专题4.1 解三角形（理）（解析版）-2021年高考数学（理）解答题挑战满分专项训练

专题 4.1 解三角形 1．（2020·全国高考真题（理）） ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求 A； （2）若 BC=3，求 ABC 周长的最大值． 【答案】（1） 2 3  ；（2）3 2 3 ． 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出 cos A的形式，进而求得 A ； （2）利用余弦定理可得到  2 9AC AB AC AB    ，利用基本不等式可求得 AC AB 的 最大值，进而得到结果． 【解析】（1）由正弦定理可得 2 2 2BC AC AB AC AB    ， 2 2 2 1cos 2 2 AC AB BCA AC AB      ，  0,A  ， 2 3A   ． （2）由余弦定理得 2 2 2 2 22 cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB         ， 即 2 9AC AB AC AB    ． 2 2 AC ABAC AB       （当且仅当 AC AB 时取等号），       2 2 2 239 2 4 AC ABAC AB AC AB AC AB AC AB             ， 解得 2 3AC AB  （当且仅当 AC AB 时取等号）， ABC 周长 3 2 3L AC AB BC     ， ABC 周长的最大值为3 2 3 ． 【名师点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应 用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中， 结合基本不等式构造不等关系求得最值． 2．（2019·全国高考真题（理）） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C   ． （1）求 A； （2）若 2 2a b c  ，求 sinC． 【答案】（1） 3A  ；（2） 6 2sin 4C  ． 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得 2 2 2b c a bc   ，从而可整理出 cos A， 根据  0,A  可求得结果；（2）利用正弦定理可得 2 sin sin 2 sinA B C  ，利用  sin sinB A C  、两角和差正弦公式可得关于sinC 和 cosC 的方程，结合同角三角函 数关系解方程可求得结果． 【解析】（1） 2 2 2 2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sinB C B B C C A B C      即 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C   ，由正弦定理可得 2 2 2b c a bc   ， 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc     ，  0,A  ， 3A   ； （2） 2 2a b c  ，由正弦定理得 2 sin sin 2 sinA B C  又  sin sin sin cos cos sinB A C A C A C    ， 3A  3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C     整理可得 3sin 6 3cosC C  2 2sin cos 1C C     2 23sin 6 3 1 sinC C    解得 6 2sin 4C  或 6 2 4  因为 6sin 2sin 2sin 2sin 02B C A C     所以 6sin 4C  ，故 6 2sin 4C  ． （2）法二： 2 2a b c  ，由正弦定理得 2 sin sin 2 sinA B C  又  sin sin sin cos cos sinB A C A C A C    ， 3A  3 3 12 cos sin 2sin2 2 2C C C     整理可得 3sin 6 3cosC C  ，即3sin 3cos 2 3sin 66C C C        2sin 6 2C       由 2(0, ), ( , )3 6 6 2C C       ，所以 ,6 4 4 6C C       6 2sin sin( )4 6 4C      ． 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、 同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦 定理的形式或角之间的关系． 3．（2018·全国高考真题（理））在平面四边形 ABCD 中， 90ADC   ， 45A   ， 2AB  ， 5BD  ． （1）求 cos ADB ； （2）若 2 2DC  ，求 BC ． 【答案】（1） 23 5 ；（2）5． 【 分 析 】（ 1 ） 根 据 正 弦 定 理 可 以 得 到 sin sin BD AB A ADB   ， 根 据 题 设 条 件 ， 求 得 2sin 5ADB  ， 结 合 角 的 范 围 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 关 系 式 ， 求 得 2 23cos 1 25 5ADB    ；（ 2 ） 根 据 题 设 条 件 以 及 第 一 问 的 结 论 可 以 求 得 2cos sin 5BDC ADB    ，之后在 BCD 中，用余弦定理得到 BC 所满足的关系，从 而求得结果． 【解析】（1）在 ABD 中，由正弦定理得 sin sin BD AB A ADB   ． 由题设知， 5 2 sin45 sin ADB  o ，所以 2sin 5ADB  ． 由题设知， 90ADB  o ，所以 2 23cos 1 25 5ADB    ； （2）由题设及（1）知， 2cos sin 5BDC ADB    ． 在 BCD 中，由余弦定理得 2 2 2 22 cos 25 8 2 5 2 2 255BC BD DC BD DC BDC              ． 所以 5BC  ． 【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函 数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时 对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果． 4．（2018·天津高考真题（理））在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已 知 sin cos 6b A a B      ． （1）求角 B 的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b 和  sin 2A B 的值． 【答案】（1） 3  ；（2） 7b  ， 3 3 14 ． 【分析】（1）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得 3tanB  ，则 B= π 3 ．（2）在 △ ABC 中，由余弦定理可得 b= 7 ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可 得   3 32 14sin A B  ． 【解析】（1）在 △ ABC 中，由正弦定理 a b sinA sinB  ，可得bsinA asinB ， 又由 π 6bsinA acos B     ，得 π 6asinB acos B     ， 即 π 6sinB cos B     ，可得 3tanB  ． 因为  0 πB ， ，可得 B= π 3 ． （2）在 △ ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= π 3 ， 有 2 2 2 2 7b a c accosB    ，故 b= 7 ． 由 π 6bsinA acos B     ，可得 3 7 sinA  ．因为 a