专题 31 独立性检验（解答题）
1．某研究部门为了研究气温变化与患流感人数多少之间的关系，在某地随机对 50 人进行了
问卷调查得到如下列表：(附
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
)
高于 22.5 C 不高于 22.5 C 合计
患流感 20 25
不患流感 15
合计 50
（1）对上述 2 2 列联表进行填空，并判断是否有 99%的把握认为患流感与温度有关，说明
你的理由；
（2）为了了解患流感与年龄的关系，已知某地患有流感的老年､中年､青年的人数分别为 108
人，72 人，36 人.按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行问卷调查，再从 6 人中随机抽取 2 人
进行调查结果对比，求这 2 人中至少一人是中年人的概率.
2P K k 0.10 0.05 0.025 0.01
k 2.701 3.841 5.024 6.635
【试题来源】江西省上饶市 2021 届高三年级第一次联考（文）
【答案】（1）列联表见解析，有 99%的把握认为患流感与气温有关，理由见解析（2） 3
5
【解析】（1）
高于 22.5℃ 不高于 22.5℃ 合计
患流感 20 5 25
不患流感 10 15 25
合计 30 20 50
2
2 50 (20 15 5 10) 8.333 6.63525 25 20 30K
，
所以有 99%的把握认为患流感与气温有关.
（2）按照分层抽样的方法随机抽取 6 人，老年､中年､青年分别抽取的人数为 3 人，2 人，1
人，记 3 个老年人为 1 2 3, ,A A A ，2 个中年人为 1 2,B B ，1 个青年人为 1C ，
抽取的全部结果为 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 2 3, , , , , , , , , , ,A A A A A B A B A C A A ，
2 1 2 2 2 1 3 1 3 2 3 1 1 2 1 1 2 1, , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A B A C A B A B A C B B B C B C 共 15 种.
至少 1 人是中年人包含的结果共 9 种.
所以至少 1 人是中年人的概率为 9 3
15 5p .
2．某校高三年级在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了
提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读．为了解同学们对站起来大
声诵读的态度，对全班 50 名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：
考试分数 85,95 95,105 105,115 115,125 125,135 135,145
频数 5 10 15 5 10 5
赞成人数 4 6 7 3 8 4
（1）欲使测试优秀率为 30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第（1）问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否
优秀的关系，补充下面 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩
是否优秀有关系．
赞成 不赞成 合计
优秀
不优秀
合计 50
参考公式及关系：
2
0P K k
0.150 0.100 0.050 0.010 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
， n a b c d
【试题来源】安徽省六安市第一中学 2020-2021 学年高三上学期第五次月考
【答案】（1）125 分；（2）答案见解析，没有.
【分析】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；
（2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论.
【解析】（1）因为测试的优秀率为 30%，所以测试成绩优秀的人数为50 30% 15 ，
由表中数据可知，优秀分数线应定为 125 分.
（2）由（1）可知，测试成绩优秀的学生有 50 0.3 15 人，其中“赞成的”有 12 人；
测试成绩不优秀的学生有50 15 35 人，其中“赞成的”有 20 人；
填写 2 2 列联表如下：
赞成 不赞成 合计
优秀 12 3 15
不优秀 20 15 35
合计 32 18 50
计算 2
2 50 12 15 20 3 50 2.381 2.70632 18 15 35 21K
所以没有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
3．某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗
用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 a 60 m
注射疫苗 b 30 n
总计 110 90 200
从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为 2
5 .
（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？
（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取 6 只进行病理分析，然
后从这 6 只小白鼠中随机抽取 2 只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有 1 只为注射过疫苗
的概率.
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
.
2P K k 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【试题来源】安徽省安庆市 2021 届高三下学期一模（文）
【答案】（1）有 99.9%的把握认为注射此疫苗有效；（2） 3
5 .
【分析】（1）由题中条件完善 2 2 列联表，结合列联表的数据计算出 2K 的观测值，结合临
界值表可得出结论；（2）计算出从未注射疫苗的小白鼠中抽取 4 只，记为 a ，b ， c ， d ；
从注射疫苗的小白鼠中抽取 2 只，记为 e ， f ，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概
率公式可计算出所求事件的概率.
【解析】（1）根据条件 60 3
5m
，得 100m ，从而 40a ， 70b ， 100n ，
由 2
2 200 40 30 70 60 18.182100 100 110 90K
，
因为18.182 10.828 ，所以有99.9%的把握认为注射此疫苗有效.
（2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为 2:1，所以从未注射疫苗的
小白鼠中抽取 4 只，记为 a ，b ， c ， d ；从注射疫苗的小白鼠中抽取 2 只，记为 e ， f .
从 6 只小白鼠中抽取 2 只共有 15 种方法，
即有 ,a b ， ,a c ， ,a d ， ,a e ， ,a f ，
,b c ， ,b d ， ,b e ， ,b f ， ,c d ， ,c e ， ,c f ，
,d e ， ,d f ， ,e f .
记事件 A 为“至少有一只注射过疫苗”，则 A包含 9 个基本事件，
从而 9 3
15 5P A ，故至少有 1 只为注射过疫苗的概率为 3
5 .
4．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数.(说
明：图中饮食指数低于 70 的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于 70 的人，饮食以肉类为主.)
（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；
（2）根据以上数据完成下列 2 2 列联表：
主食蔬菜 主食肉类 合计
50岁以下
50岁以上
合计
（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析.
【试题来源】2021 年高考一轮数学（理）单元复习一遍过
【答案】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；（2）
表格见解析；（3）有，分析见解析.
【分析】（1）根据茎叶图，分析题中数据即可得出结果.
（2）根据茎叶图，补充完善列联表，计算观测值即可求解.
【解析】（1）30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主；
（2）补全 2 2 列联表：
主食蔬菜 主食肉类 合计
50岁以下 4 8 12
50岁以上 16 2 18
合计 20 10 30
（3）
2
2 30 (4 2 16 8) 10 6.63512 18 20 10K
，
有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.
5．随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着
越来越重要的地位．某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情
况做了统计，将 18~40 岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人
群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为 60% ，“非青年人”使用智
能手机占比为 40% ；日均使用时长情况如下表：
时长 2 小时以内 2～3 小时 3 小时以上
频率 0.4 0.3 0.3
将日均使用时长在 2 小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在 2 小时以内称为“非频繁使
用人群”．已知“频繁使用人群”中有 3
4
是“青年人”．
现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个
容量为 200 的样本，请你根据上面提供的数据．
（1）补全下列 2 2 列联表；
青年人 非青年人 合计
频繁使用人群
非频繁使用人群
合计
（2）根据列联表的独立性检验，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
以参考数据：独立性检验界值表
2
0P K K
0.15 0.10 0.050 0.025 0.010
0K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【试题来源】陕西省咸阳市 2020-2021 学年高三上学期高考模拟检测（一）
【答案】（1）列联表见解析；（2）有99%的把握认为“日均使用智能于机时长与年龄有关”．
【分析】（1）根据已知条件可计算青年人数、非青年人数、出频繁使用人数，中青年人频繁
使用人数，将 2 2 列联表补充完整即可；
（2）利用公式计算 2K 的观测值与临界值比较即可求解.
【解析】（1） 200 人中青年人有 200 0.6 120 人，非青年人有 200 0.4 80 人，
频繁使用人群有 200 0.6 120 人，频繁使用人群中青年人有 3120 904
人，
2 2 列联表为
青年人 非青年人 合计
频繁使用人群 90 30 120
非频繁使用人群 30 50 80
合计 120 80 200
（2）
2
2 200(90 50 30 30) 28.125 6.635120 80 120 80K
，
故有99%的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”．
6．2020 年 11 月某市进行了高中各年级学生的“国家体质健康测试”.现有 1500 名(男生 1200
名，女生 300 名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取 100 名学生进行分析，
得到如下统计图表：
男生测试情况：
抽样情况 免试(病残等) 合格 合格 良好 优秀
人数 2 10 18 46 x
女生测试情况：
抽样情况 免试(病残等) 合格 合格 良好 优秀
人数 1 3 11 y 2
（1）现从抽取的 100 名且测试成绩为优秀的学生中随机挑选两名学生，求选出的这两名学
生恰好是一男一女的概率；
（2）若测试成绩为良好或优秀的学生为“体育达人”，其他成绩的学生(含病残等免试学生)
为“非体育达人”.根据以上统计数据填写下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过
0.01 的前提下认为“是否为体育达人与性别有关？”
男性 女性 总计
体育达人
非体育达人
总计
临界值表：
2
0P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
附：
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
【试题来源】安徽省淮北市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】（1） 8
15
；（2）列联表见详解；在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下可以认为“是
否为体育达人与性别有关”.
【分析】（1）先根据分层抽样的方法，由题中条件，得到抽取的这 100 名学生中，男生优秀
的有 4 人，标记为 A ， B ，C ， D ；女生优秀的有 2 人，标记为 a ，b ；用列举法列举出
从这 6人中随机抽取两名学生，所包含的基本事件，以及选出的这两名学生恰好是一男一女，
所包含的基本事件，基本事件的个数比，即为所求概率；
（2）根据（1）中计算，结合题中条件，直接完善列联表，由列联表根据公式计算 2K ，根
据临界值表，即可得出结论.
【解析】（1）由题意可得，用分层抽样抽取的男生人数为 1001200 801500
，抽取的女生人
数为 100300 201500
，
所以 80 2 10 18 46 4x ， 20 1 3 11 2 3y ，
则抽取的这 100 名学生中，男生优秀的有 4 人，标记为 A，B ，C ，D ；女生优秀的有 2 人，
标记为 a ，b ；
从这6人中随机抽取两名学生，所包含的基本事件有： ,A B ， ,A C ， ,A D ， ,A a ，
,A b ， ,B C ， ,B D ， ,B a ， ,B b ， ,C D ， ,C a ， ,C b ， ,D a ， ,D b ，
,a b ，共15 个基本事件，
选出的这两名学生恰好是一男一女，所包含的基本事件有： ,A a ， ,A b ， ,B a ， ,B b ，
,C a ， ,C b ， ,D a ， ,D b ，共8个基本事件；
所以选出的这两名学生恰好是一男一女的概率为 8
15P ；
（2）由题中条件，完善列联表如下：
男性 女性 总计
体育达人 50 5 55
非体育达人 30 15 45
总计 80 20 100
所以
2
2 100(50 15 5 30) 9.091 6.63555 45 80 20K
，
因此在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下可以认为“是否为体育达人与性别有关”.
7．为了解中学生是否近视与性别的相关性，某研究机构分别调查了甲、乙、丙三个地区的
100 名中学生是否近视的情况，得到三个 2 2 列联表如表所示．
甲地区 乙地区 丙地区
近
视
不 近
视
合
计
近
视
不 近
视
合
计
近
视
不 近
视
合
计
男 21 29 50 男 25 25 50 男 23 27 50
女 19 31 50 女 15 35 50 女 17 33 50
合
计
40 60 100
合
计
40 60 100
合
计
40 60 100
（1）分别估计甲、乙两地区的中学男生中男生近视的概率；
（2）根据列联表的数据，在这三个地区中，中学生是否近视与性别关联性最强与最弱的地
区分别是哪个地区？
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
【试题来源】安徽省阜阳市 2020-2021 学年高三上学期教学质量统测
【答案】（1）0.42；0.5；（2）在这三个地区中，乙地区的中学生是否近视与性别关联性最强，
甲地区的中学生是否近视与性别关联性最弱.
【解析】（1）甲地区的中学男生中男生近视的概率的估计值为 21 0.4250
，
乙地区的中学男生中男生近视的概率的估计值为 25 0.550
（2）
2
2
100 (21 31 19 29)
40 60 50 50K 甲 ，
2
2 100 (25 35 15 25)
40 60 50 50K 乙 ，
2
2
100 (23 33 17 27)
40 60 50 50K 丙 ，
因为 21 31 19 29 100,25 35 15 25 500,23 33 17 27 300 ，
所以 2 2 2
K K K 乙 甲丙 ，
故在这三个地区中，乙地区的中学生是否近视与性别关联性最强，甲地区的中学生是否近视
与性别关联性最弱．
8．国家逐步推行全新的高考制度.未来新高考不再分文、（理），采用3 3 模式，其中语文、
数学、外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，
结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 门科目中自选
3 门参加考试（6 选 3），每科目满分 100 分.为了应对新高考，某高中从高一年级 1000 名学
生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，采用分层随机抽样的方法从中抽取 n 名学生进行调
查.
（1）已知抽取的 n 名学生中女生有 45 人，求 n 的值；
（2）学校计划在高一上学期开设选修中的物理和地理两个科目，为了了解学生对这两个科
目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的 n 名学生进行问卷调查（假设每名学生在这两
个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的 2 2 列联表.
请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关，说明理由；
（3）在抽取的选择地理的学生中用分层抽样的方法再抽取 6 名学生，然后从这 6 名学生中
抽取 2 名学生了解学生对地理的选课意向情况，求这 2 名学生中至少有 1 名男生的概率.
选择物理 选择地理 总计
男生 45
女生 20
总计
参考数据及公式：
2P K k 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
【试题来源】安徽省宣城市 2020-2021 学年高三上学期期末（文）
【答案】（1） 100n ；（2）列联表见解析；有99%的把握认为选择科目与性别有关；理由
见解析；（3） 3
5 .
【分析】（1）根据抽样比例相同例等式化简即可；
（2）根据题意完成 2 2 列联表，代入公式计算，根据结果判定即可；
（3）根据古典概型的概率求解步骤，列出全部基本事件，找出满足条件的基本事件，代入
公式计算即可.
【解析】（1）由题意得 45
1000 450
n ，解得 100n ；
（2）列联表如下：
选择物理 选择地理 总计
男生 45 10 55
女生 25 20 45
总计 70 30 100
2
2 100 (45 20 25 10) 8.1289 6.63555 45 70 30K
，
所以有99%的把握认为选择科目与性别有关；
（3）从 30 名选择地理的学生中用分层随机抽样的方法抽取 6 名学生，
则这 6 名学生中有 2 名男生，4 名女生，
设男生编号为 1、2，女生编号为 a 、b 、 c 、 d ，从 6 名学生中抽取 2 名学生，
所有可能的结果为 , , , 1, 2, , , 1, 2, , 1, 2, 1, 2,12ab ac ad a a bc bd b b cd c c d d ，共 15 种可
能的结果，至少有一名男生的结果为 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,12a a b b c c d d ，共 9 种可能的结果，
所以 2 名学生中至少有 1 名男生的概率 9 3
15 5P .
9．2020 年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟 2020 年的春季线下
开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽
取了该校的100 名学生(男生与女生的人数之比为1:1)对线上课程进行评价打分，若评分不
低于80 分视为满意.其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的
评分不低于 70 分的频率为 0.85.
（1）求b 的值，并估计100名学生对线上课程评分的平均值;(每组数据用该组的区间中点值
为代表)
（2）结合频率分布直方图，请完成以下 2 2 列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线
上教学是否满意与性别有关”.
性别 态度 满意 不满意 合计
男生
女生 15
合计 100
附：随机变量
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
2
0P K k 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【试题来源】黑龙江省 2020-2021 学年上学期高三 1 月线上学习阶段性考
试（理）
【答案】（1） 0.04b ，80；（2）表格见解析，能有99%的把握认为对“线上教学是否满意
与性别有关”.
【分析】（1）先由题中条件，求出 a ，b 的值，再由频率分布直方图，根据组的中间值乘以
该组的频率，再求和，即可得出平均数；（2）由题中先完善列联表，再由计算公式，求出 2K ，
进而可判断出结果.
【解析】(1）由已知得 0.015 0.03 10 0.85b ，解得 0.04b ，
又 0.005 10 1 0.85a ，解得 0.01a ，
所以评分的平均值为 55 0.05 65 0.1 75 0.3 85 0.4 95 0.15 80
(2）由题意可得， 2 2 列联表如下表:
性别 态度 满意 不满意 合计
男生 20 30 50
女生 35 15 50
合计 55 45 100
因此 2
2 100 20 15 35 30 9.091 6.63555 45 50 50K
，
能有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
10．为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各 10 人，并测量他们
的身高，测量结果如下（单位：厘米）：
男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170
女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172
（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值；
（2）请根据测量结果得到 20 名学生身高的中位数 h（单位：厘米），将男、女生身高不低
于 h 和低于 h 的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？
人数 男生 女生
身高 h
身高 h
参照公式：
2
2 n ad bck a b c d a c b d
2
0P K k
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（3）若男生身高低于 165 厘米为偏矮，不低于 165 厘米且低于 175 厘米为正常，不低于 175
厘米为偏高.采用分层抽样的方法从以上男生中抽取 5 人作为样本.若从样本中任取 2 人，试
求恰有 1 人身高属于正常的概率.
【试题来源】宁夏六盘山市高级中学 2021 届高三上学期期末考试（文）
【答案】（1）男：171.1，女：163.4；（2）答案见解析，有；（3）0.6.
【分析】（1）根据题中数据完善茎叶图即可，结合平均数的计算公式即可求出结果；（2）根
据题中数据完善列联表，再由
2
2 n ad bck a b c d a c b d
求出 2k ，结合临界值表即
可得出结论；（3）先由题意确定身高属于正常的男生概率，进而可求出结果.
【解析】（1）茎叶图为
男生 女生
15 6 8 3
1 4 7 9 16 5 6 3 2 9
0 4 8 0 3 17 0 2
5 18
平均身高为男： 1 173 178 185 170 169 167 164 161 170 171.110
，
女： 1 165 166 156 170 163 162 158 153 169 172 163.410
.
（2）20 名学生身高的中位数 168h ，
男、女身高的 2 2 列联表：
人数 男生 女生
身高 h 7 3
身高 h 3 7
因为
2
2 20 7 7 3 3 32 3.2 2.7067 3 3 7 7 3 3 7 10K
，
所以有 90%把握认为男、女身高有差异.
（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生 5 6 310
，记这三名男生为 a，b，c 身高属
于不正常（偏矮或偏高）的男生 5 4 210
，记这两名男生为 1，2
从以上 5 名学生中任取 2 人的结果有： ab ， ac ， 1a ，bc ， 1b ， 2b ， 1c ， 2c ，12 共 10
种其中恰好一名身高属于正常的男生的事件 A 有： 1a ， 2a ， 1b ， 2b ， 1c ， 2c ，共 6 种
6 0.610p A .所以恰有 1 人属于正常的概率为 0.6.
【名师点睛】本题主要考查茎叶图以及独立性检验的问题，熟记平均数的计算公式、独立性
检验的思想等即可，属于常考题型.
11．中国探月工程自 2004 年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”
的目标，创造了许多项中国首次． 2020 年12 月17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着
陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件
的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100 名学生进行调查，调查结果如下面 2 2 列
联表.
关注 没关注 合计
男 30
女 30 40
合计
（1）完成上面的 2 2 列联表，并计算回答是否有 95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度
与性别有关”？
（2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取 5名学生，如果再从中随机选
取 2 人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的 2 名学生中恰有1名女生的概率.若将频率
视为概率.
附：
2
0P K k
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
0k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d
【试题来源】安徽省淮南市 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟（文）
【答案】（1）表格见解析，有；（2） 3
5 .
【解析】（1） 2 2 列联表如下表所示：
关注 没关注 合计
男 30 30 60
女 10 30 40
合计 40 60 100
22
2
2 2
100 30 30 10 25 6.25 3.84140 60 6K
，
所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注与性别有关”；
（2）由于男生、女生各 60 、 40 人，
采取分层抽样的方法选取5名学生，那么男生、女生分别选取3人、 2 人．
设从5名学生中随机选取 2 人其中恰有1名女生的事件记为 A，
将三位男生分别记为 a 、b 、 c ，将两位女生分别记为1、 2 ，
则从这5名学生中随机选取 2 人的所有的基本事件有：
,a b 、 ,a c 、 ,1a 、 ,2a 、 ,b c 、 ,1b 、 ,2b 、 ,1c 、 ,2c 、 1,2 ，共10 个，
其中事件 A包含的基本事件有： ,1a 、 ,2a 、 ,1b 、 ,2b 、 ,1c 、 ,2c ，共 6个
所以 6 3( ) 10 5P A ，即事件 A发生的概率是 3
5
．
12．针对偏远地区因交通不便､消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开
始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就 100 个
贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入
(单位：元)的贫困地区数目的数据如下表：
人均可支配年收入(元)
电商扶贫年度总投入(万元)
(5000，10000] (10000，15000] (15000，20000]
(0，500] 5 3 2
(500，1000] 3 21 6
(1000，3000) 2 34 24
（1）估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这 100 个贫困地区
的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；
（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有 99%的把握认为当地的人均可支配年
收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.
人均可支配年收入≤10000 元 人均可支配年收入>10000 元
电商扶贫年度总投入不超过 1000 万
电商扶贫年度总投入超过 1000 万
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
2P K k 0.050 0.01 0.005
k 3.841 6.635 7.879
【试题来源】云南西南名校 2021 届高三下学期联考（理）
【答案】（1）概率为0.9 ，平均值的估计值为13600(元)；（2）列联表答案见解析，有 99%
的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有
关.
【分析】（1）利用频率估计概率，再利用平均数公式估计平均值；
（2）根据题干完成 2 2 联表，再根据公式计算 2K ，对照参数得出结论.
【解析】（1）由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为
5 3 21 0.9100
.
本 年 度 这 100 个 贫 困 地 区 的 人 均 可 支 配 年 收 入 的 平 均 值 的 估 计 值 为
5 3 2 3 21 34 2 6 247500 12500 17500 13600100 100 100
(元).
（2）列联表如下：
人均可支配年收入≤10000 元 人均可支配年收入>10000 元
电商扶贫年度总投入不超过 1000 万 8 32
电商扶贫年度总投入超过 1000 万 2 58
因为 2
2 100 8 58 2 32 200 7.407 6.63510 90 40 60 27K
，
所以有 99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否
超过千万有关.
13．某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机
使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了 40 名学生，其中有四成学生经常
使用手机. 40 名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示.小组约定物理成绩低于 70 分
为一般， 70 分以上为良好.
（1）根据以上资料完成以下 2 2 列联表，并判断有多大的把握认为“物理成绩一般与经常
使用手机有关系”.
物理成绩一般 物理成绩良好 合计
不使用手机
经常使用手机
合计
（2）现将 40 个成绩分为[50,60) ，[60,70) ，[70,80) ，[80,90) ，[90,100) 共5组，补全
频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这 40 名学生的物理平均成绩的估计值.
（3）从这 40 名学生成绩高于90分的人中随机选取 2 人，求至少有一人不使用手机的概率.
附表及公式：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
， n a b c d .
2
0P K k 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【试题来源】内蒙古赤峰市 2021 届高三模拟考试（文）
【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握；（2）直方图见解析， 75.25；（3） 20
21 .
【分析】（1）由茎叶图计数可得列联表中数据．然后计算 2K ，结合对比值可得；（2）同样
由茎叶图计数求出各组频率，可补全频率分布直方图，每组取中间点数值乘以频率相加得平
均估计值；（3）高于90分经常使用手机的有 2 人，记为 A， B ，不使用手机的有5人，记
为 a ，b ， c ， d ， e ，用列举法写出任选 2 人的所有基本事件，并得出至少有一人不使用
手机的基本事件，然后可计算出概率．
【解析】（1）
物理成绩一般 物理成绩良好 合计
不使用手机 6 18 24
经常使用手机 10 6 16
合计 16 24 40
2
2 40(6 6 18 10) 45 5.625 5.02424 16 24 16 8K
，
有97.5%的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”.
（2）
设 40 名学生物理平均成绩估计值为 x
55 0.015 65 0.025 75 0.020 85 0.0225 95 0.0175 75.25x .
（3）高于 90分经常使用手机的有 2 人，分别设为 A， B
不使用手机的有5人，分别设为 a ，b ， c ， d ， e
高于90分人中随机抽取 2 人共有：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ae ；Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，
Be ； ab ， ac ， ad ， ae ；bc ， bd ，be ， cd ， ce ， de ，共 21 种
则至少有一人不使用手机的概率为 20
21p ．
【名师点睛】本题考查茎叶图，考查列联表与独立性检验，频率分布直方图，古典概型．正
确认识茎叶图是解题关键．由茎叶图的数据进行计数得列联表，得频率，频率分布直方图，
求古典概型概率一般用列举法写出所有的基本事件，并得出所求概率事件所包含的基本事件，
从而计算出概率．
14．在关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，
对保护群众生命安全具有重要作用.2020 年 4 月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.
行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安
全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，
某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的 1000 名骑行
人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的统计图表：
（1）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄；
（2）根据所给的数据，完成下面的列联表：
是否佩戴头盔
年龄
是 否
20,40
40,70
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，
2P K k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【试题来源】湖北省武汉市 2021 届高三下学期 3 月质量检测
【答案】（1）39；（2）列联表见解析；（3）没有把握.
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解..
（2）根据统计表完成列联表.
（3）根据列联表，利用公式求得 2K 的值，然后与临界值表对照下结论.
【解析】（1）该市电动自行车骑行人员平均年龄为
25 0.25 35 0.35 45 0.2 55 0.15 65 0.05 39 .
（2）
是否佩戴头盔
年龄 是 否
20,40 540 60
40,70 340 60
（3）
2
2 1000 (60 540 60 340) 125 5.682 6.635600 400 880 120 22K .
故而没有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.
15．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴
雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了 50份，
所得统计结果如下表：
支持 不支持 总计
北京暴雨后 x y 50
北京暴雨前 20 30 50
总计 A B 100
已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为 2
5 .
（1）求列联表中的数据 x ､ y ､ A､ B 的值；
（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设
施的投入的态度？
（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有
关？
【试题来源】2021 年高考一轮数学（理）单元复习一遍过
【答案】（1） 40x ， 10y ， 60A ， 40B ；（2）条形统计图答案见解析，暴雨影
响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）有 99.9%把握.
【分析】（1）先求出 y 的值，再求 , ,B x A 的值；（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，
画出条形统计图，再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的
投入的态度.（3）利用独立性检验求解即可.
【解析】（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件 A，
由已知得 30 2( ) 100 5
yP A ，所以 10y ， 40B ， 40x ， 60A ；
（2）由（1）知北京暴雨后支持为 40 4
50 5
，不支持率为 4 11 5 5
，
北京暴雨前支持率为 20 2
50 5
，不支持率为 2 31 5 5
，
条形统计图如图：
由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；
（3）
2
2 100 (30 40 20 10) 50 16.78 10.82850 50 40 60 3K
，
故至少有99.9%把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有
关.
【名师点睛】独立性检验的解题步骤：（1）2*2 列联表；（2）提出假设：设 p 与 q没有关系；
（3）根据列联表中的数据 2K 计算的值；（4）根据计算得到的随机变量 2K 的观测值作出判
断.
16．某学习研究机构调研数学学习成绩对物理学习成绩的影响，随机抽取了 100 名学生的数
学成绩和物理成绩(单位：分).
物理
数学 25,50 50,75 75,100 合计
40,60 24 18 6 48
60,80 8 12 16 36
80,100 2 6 8 16
合计 34 36 30 100
（1）随机抽取一名同学，试估计其“数学考分不低于 60 分，且物理考分不低于 50 分”的概
率；
（2）完成下面的 2×2 列联表.
物理
数学
25,50 50,100 合计
40,60
60,100
合计
（3）根据（2）中的数据，判断是否有 99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.
2P K k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.6354 10.828
附
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
【试题来源】贵州省贵阳市普通中学 2021 届高三上学期期末监测考试
【答案】（1） 0.42 ；（2）见解析；（3）有 99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.
【分析】（1）先求得“数学考分不低于 60 分，且物理考分不低于 50 分的学生”的人数，再由
古典概率公式可求得所求的概率；
（2）由已知的数据可得出 2×2 列联表；
（3）由（2）中的数据，计算 2 10.5306>6.6354K ，可得结论.
【解析】（1）数学考分不低于 60 分，且物理考分不低于 50 分的学生有：12+16+6+8 42
人，所以 “数学考分不低于 60 分，且物理考分不低于 50 分”的概率为 42 0.42100P ；
（2）2×2 列联表如下表所示：
物理
数学
25,50 50,100 合计
40,60 24 24 48
60,100 10 42 52
合计 34 66 100
（3）由（2）中的数据，得 2
2 100 10.5306>6.635448 5
24 42 10 2
2 4 6
4
3 6K
，
所以有 99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.
【名师点睛】本题考查求古典概率，独立性检验的问题，关键在于对数据处理，准确地运用
相应的公式，并且理解其数据的实际意义．
17．某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取 100
名试验者检验结果并评分（满分为 100 分），其中评分不低于 80 分视为强力有效，否则视为
效力一般．得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求 t 的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（2）将选取的 100 名试验者的性别与疫苗是否强力有效进行统计，请将下列 2×2 列联表补
充完整，并能否判断在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为疫苗的强效力与性别有关?
强力有效 效力一般 合计
男性 50
女性 10
合计 100
参考数据：
2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟 2020-202 学年高三上学期（2018 级）第二次联考
【答案】（1） 0.015t ，平均数为 72 ；（2）2×2 列联表见解析，能在犯错误的概率不超过
0.05 的前提下认为疫苗的强效力与性别有关.
【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于1即可求 t 的值，再利用小矩形底边中点横坐标乘
以对应的小矩形面积之和即可得平均数；（2）由已知条件即可补充 2 2 列联表；再利用卡
方分布的计算公式求 2k 与临界值 3.841比较即可判断.
【解析】（1）由 0.005 0.020 0.025 0.030 0.005 10 1t ，解得 0.015t
平均得分为 45 0.005 10 55 0.015 10 65 0.020 10 75 0.030 10
85 0.025 10 95 0.005 10 72
（2）由己知可得强力有效人数有 100 0.025 0.005 10 30 人，
则 2 2 列联表为
强力有效 效力一般 合计
男性 20 30 50
女性 10 40 50
合计 30 70 100
2 2
2 100 800 300 4.762 3.84150 50 30 70
n ad bcK a b c d a c b d
所以能在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为疫苗强效力与性别有关.
18．2021 届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本
校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检
数据，并得到如下图的频率分布直方图.
年级名次 1~ 100 101~1000
是否近视
近视 40 30
不近视 10 20
（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精
确到 0.01）；
（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习
成绩是否有关系，对抽取的 100 名学生名次在1~ 100 名和101~1000名的学生的体检数据
进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认
为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了 6 人，进一步调查他们良好的护
眼习惯，求在这 6 人中任取 2 人，至少有 1 人的年级名次在1~ 100 名的概率.
2P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
【试题来源】江西省赣州市 2021 届高三上学期期末考试
【答案】（1）4.74；（2）能；（3） 3
5 .
【分析】（1）根据题中所给的频率分布直方图中对应的数据，可以求得第三组、第六组、第
五组的频数以及前四组的频数和，结合前四组的频数成等比数列，得出相应的数据，利用中
位数的特征，两边各占一半，求得结果；
（2）利用题中所给的列联表，求得 2K 的值，与表中所给的临界值比较，得到结论；
（3）根据题意，求出满足条件的基本事件数和总的基本事件数，利用古典概型概率公式求
解即可.
【解析】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为100 0.8 0.2 16 人，
第五组的频数为100 1.2 0.2 24 人，所以前四组的频数和为 100 24 16 60 人，
而前四组的频数依次成等比数列，
故第一组的频数为 4 人，第二组的频数为 8 人，第四组的频数为 32 人，
所以中位数落在第四组，设为 x，
因此有 4.6 50 (4 8 16)
0.2 32
x （或1.6( 4.6) 0.22x ）
解得 4.7375x ，所以中位数是 4.74；
（2）因为
2
2 100 (40 20 30 10)
50 50 70 30K
，
所以 2 100 4.76221K ，所以 2 3.841K ，
因此在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系；
（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 6 人中年级名次在1~ 100 名和
101~1000名的分别有 2 人和 4 人，
从 6 人中任意抽取 2 人的基本事件共 15 个，
至少有 1 人来自于 1~100 名的基本事件有 9 个，
所以至少有 1 人的年级名次在1~ 100名的概率为 9 3
15 5P .
【名师点睛】该题考查的是有关概率与统计的问题，解题方法如下：
（1）根据频率分布直方图中所给的数据求相应的量，利用中位数的定义求得结果；
（2）利用公式求得 2K 的值，结合临界值得到结果；
（3）利用古典概型概率公式求得概率.
19．某县为了在全县营造“浪费可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为
进一步了解此项政策对市民的影响程度，县政府在全县随机抽取了 100 名市民进行调查，其
中男士比女士少 20 人，表示政策无效的 25 人中有 10 人是女士.
（1）完成下列 2 2 列联表，并判断是否有99%的把握认为“政策是否有效与性别有关”；
政策有效 政策无效 总计
女士 10
男士
合计 25 100
（2）从被调查的市民中，采取分层抽样方法抽取 5 名市民，再从这 5 名市民中任意抽取 2
名，对政策的有效性进行调研分析，求抽取的 2 人中有男士的概率.
参考公式：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
（ n a b c d ）
2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828
【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021 届高三第一次联考（文）
【答案】（1）列联表见解析，没有；（2） 7
10 .
【分析】（1）分析题意完成 2×2 列联表,直接套公式求出 2K ,对照参数下结论;
（2）列举出基本事件,利用等可能事件的概率公式求概率.
【解析】（1）由题意设男士人数为 x ，则女士人数为 20x ，
又 20 100x x ，解 40x .即男士有 40 人，女士有 60 人.
由此填写 2 2 列联表如下：
政策有效 政策无效 总计
女士 50 10 60
男士 25 15 40
合计 75 25 100
由表中数据，计算 2
2 100 50 15 25 10 5.556 6.63560 40 75 25K
，
所以没有99%的把握认为对“政策是否有效与性别有关”.
（2）从被调查的该餐饮机构的市民中，利用分层抽样抽取 5 名市民，其中女士抽取
560 3100
人，分别用 A， B ，C 表示，男士抽取 2 人，分别用 D ， E 表示.
从 5 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为（ A， B ），（ A， C ），（ A ， D ），（ A ， E ），
（ B ，C ），（ B ， D ），（ B ， E ），（C ， D ），（C ， E ），（ D ， E ），共 10 种.其中抽取
的 2 人中有男士的所有可能结果为（ A，D ），（ A，E ），（ B ，D ）（ B ，E ），（C ，D ），
（C ， E ），（ D ， E ），共 7 种.
所以，抽取的两人中有男士的概率为 7
10P .
20．网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了100名市民，统
计了不同年龄的人群网购的人数如下表：
年龄段（岁） 0,20 20,40 40,60 60 100,
网购人数 26 32 34 8
男性人数 15 10 10 5
（1）若把年龄在 20 60, 的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的 2 2 列
联表，并判断能否在犯错误的概率不超过1% 的前提下，认为网购与性别有关？
网购迷 非网购迷 总计
男性
女性
总计
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
.
2
0P K k 0.10 0.05 0.01 0.001
0k 2.706 3.841 6.635 10.828
（2）若从年龄小于 40 岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取5人，再从中抽取两人，求两
人年龄都小于 20 岁的概率.
【试题来源】江西省吉安市 2021 届高三上学期期末（文）
【答案】（1）列联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过1% 的前提下，认为网购与性别
有关；（2） 3
10 .
【分析】（1）根据表格中的数据可题中信息可完善 2 2 列联表，计算出 2K 的观测值，结合
临界值表可得出结论；（2）计算得出年龄段 0,20 应抽取3人，分别记为1、 2 、3；年龄
段 20,40 应抽取 2 人，分别记为 a 、b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽的两人
年龄都小于 20 岁”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解析】（1）由题中信息可完善 2 2 列联表如下表所示：
网购迷 非网购迷 总计
男性 20 20 40
女性 46 14 60
总计 66 34 100
计算得 2
2 100 20 14 46 20 7.605 6.63566 34 40 60K
，
故能在犯错误的概率不超过1% 的前提下，认为网购与性别有关；
（2）年龄在 0,20 、 20,40 网购男性分别有15 人、10 人.
按分层抽样的方法随机抽取5人，年龄段 0,20 应抽取3人，分别记为1、 2 、3；年龄段
20,40 应抽取 2 人，分别记为 a 、b .
从中随机抽取 2 人的一切可能结果所组成的基本事件共10 个： 1,2 、 1,3 、 1,a 、 1,b 、
2,3 、 2,a 、 2,b 、 3,a 、 3,b 、 ,a b .
用 A表示“两人年龄都小于 20 岁”这一事件，则事件 A由3个基本事件组成： 1,2 、 1,3 、
2,3 .故事件 A的概率为 3
10P A .
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