专题10 抛体运动类问题 2021年高考物理二轮专题解读与训练（解析版）

专题 10 抛体运动类问题 考点解读 命题点一 平抛运动基本规律的应用 1．飞行时间 由 t＝ 2h g 知，时间取决于下落高度 h，与初速度 v0 无关． 2．水平射程 x＝v0t＝v0 2h g ，即水平射程由初速度 v0 和下落高度 h 共同决定，与其他因素无关． 3．落地速度 v＝ vx2＋vy2＝ v02＋2gh，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有 tan θ＝vy vx ＝ 2gh v0 ，落地速度与初速 度 v0 和下落高度 h 有关． 4．速度改变量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改 变量Δv＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图 4 所示． 图 4 5．两个重要推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图 5 所示， 即 xB＝xA 2 . 推导： tan θ＝ yA xA－xB tan θ＝vy v0 ＝2yA xA →xB＝xA 2 (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有 tan θ＝2tan α. 推导： tan θ＝vy v0 ＝gt v0 tan α＝y x ＝ gt 2v0 →tan θ＝2tan α 题型一 单个物体的平抛运动 【例 1】如图所示，从地面上方某点，将一小球以 10m/s 的初速度沿水平方向抛出。小球经过 1s 落地， 不计空气阻力。则下列正确的是（ ） （g=10m/s2） A．小球抛出时离地面的高度是 10m B．小球从抛出点到落地点的水平位移大小是 20m C．小球落地时的速度大小是 10 5 m/s D．小球落地时的速度方向与水平地面成 45 角 【答案】D 【解析】 A．竖直方向，由自由落体运动规律得 2 5m1 2h gt  则小球抛出时离地面的高度是 5m，故 A 错误； B．水平方向的位移大小为 0 10mx v t  故 B 错误； C．小球落地时，竖直方向的速度大小为 10m/syv gt  则小球落地时的速度大小为 2 2 0 10 2m/syv v v   故 C 错误； D．由于小球落地时，竖直方向速度大小等于水平方向速度大小，则小球落地时的速度方向与水平地面成 45 角，故 D 正确。 故选 D。 题型二 多个物体的平抛运动 【例 2】如图所示，A，B 两小球分别从距地面高度为 h、3h 处以速度 A Bv v、 水平抛出，均落在水平面上 CD 间的中点 P，它们在空中运动的时间分别为 A Bt t、 。不计空气阻力，下列结论正确的是（ ） A． 13A Bt t ∶ ∶ B． 31A Bt t ∶ ∶ C． 1 3A Bv v ∶ ∶ D． 3 1A Bv v ∶ ∶ 【答案】D 【解析】 AB．竖直方向做自由落体运动，根据 21 2h gt 得 2ht g  故 : : 3 1: 3A Bt t h h  选项 A B 错误； CD．水平方向做匀速运动，根据 0x v t 知，水平位移 x 相等，则 : : 3 :1A B B Av v t t  故 C 错误，D 正确； 故选 D。 【例 3】下图是某一家用体育锻炼的发球机，从同一点沿不同方向发出质量相同的 A、B 两球，返回同一 高度时，两球再次经过同一点.如果不计空气阻力，关于两球的运动，下列说法正确的是：（ ） A．两球再次经过同一点时的速度大小一定相等 B．两球再次经过同一点时重力做功的功率可能相等 C．在运动过程中，小球 A 动量变化量小于小球 B 动量变化量 D．在运动过程中，小球 A 运动的时间大于小球 B 运动的时间 【答案】D 【解析】 D．由图可知，两球在竖直方向上做竖直上抛运动，A 球上升的高度大，A 球运动的时间长，初位置 A 球 的竖直分速度大于 B 球的竖直分速度，故 D 正确； A ．根据题意可知两球水平方向距离相等，A 球运动的时间长，所以 A 球的水平分速度小于 B 球的水平 分速度，而 A 球的竖直分速度大于 B 球的竖直分速度，根据运动的合成可知，两球落地时速度不一定相 等，故 A 错误； B．两球再次经过同一点时 A 球的速度竖直分速度大，两球再次经过同一点时 A 球重力做功的功率大， 故 B 错误； C．A 球运动的时间长，两球质量相同，两球重力相同，合力相同，所以合力对 A 球的冲量大，根据动量 定理要知，在运动过程中，小球 A 动量变化量大于小球 B 动量变化量，故 C 错误； 故选 D。 总结： 1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水 平分运动． 2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分 运动和竖直高度差决定． 3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运 动和竖直分运动． 4．两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇． 命题点二 有约束条件的平抛运动模型 题型一 对着竖直墙壁平抛 【例 4】如图所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射 网球。假定网球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时与水平方向夹角分别为 30°和 60°，若不考虑网 球在空中受到的阻力，则（ ） A．两次发射的初速度之比为1: 3 B．碰到墙面前竖直方向的分速度大小之比为 1：1 C．下降高度之比为1: 3 D．碰到墙面时速度大小之比为 1：1 【答案】D 【解析】 A．设两球的初速度分别为 1xυ 和 2xυ ，运动时间为 1t 和 2t ，由平抛运动规律可知 1 1 2 2x xL υ t υ t  速度和水平方向夹角为 1 1 tan30 x gt υ  2 2 tan 60 x gt υ  联立解得 1 2 1 3 t t  1 2 3 1 x x υ υ  故 A 错误； B．由 y gt  可得，竖直分速度大小之比为 1 2 1 2 1 3 y y υ t υ t   故 B 错误； C．由 21 2y gt 可得，下落高度之比为 2 1 1 2 2 2 1 3 y t y t   故 C 错误； D．由 cos x  可得，两球碰墙的速度之比为 11 2 2 cos60 1 cos30 1 x x υυ υ υ     故 D 正确； 故选 D。 题型二 斜面上的平抛运动 【例 5】如图所示，水平地面放置一倾角为 37°的斜面，将小球甲从斜面顶端 A 以速度 1v 沿水平方向抛出 后落在斜面上的 C 点。将另一小球乙从与 A 等高的 B 点以速度 2v 水平抛出恰好垂直撞击到 C 点，已知 3tan37 4   ，则甲乙两球初速度大小之比 1 2:v v 是（ ） A． 4 5 B． 8 9 C． 4 3 D．1 【答案】B 【解析】 根据平抛运动的规律，甲球落在 C 点 21 2h gt x vt tan37h x   可得 1 2tan37gt v   乙球垂直斜面落地落在 C 点，可知末速度与水平方向的夹角为53，竖直下落高度与甲相同，则所用时 间与甲相同，乙球下落高度与甲相同，则所用时间与甲相同。设乙球抛出的速度大小为 2v ，则 2 tan53y x v gt v v    联立解得 1 2 8 9 v v  故选 B。 1．顺着斜面平抛 方法：分解位移． x＝v0t， y＝1 2gt2， tan θ＝y x ， 可求得 t＝2v0tan θ g . 2．对着斜面平抛(垂直打到斜面) 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝v0 vy ＝v0 gt ， 可求得 t＝ v0 gtan θ. 题型三 半圆内的平抛运动 【例 6】如图所示，在竖直平面内有一固定的半圆环 ACB，其中 AB 是它的水平直径，C 为环上的最低点， 环半径为 R。一个小球从 A 点以速度 v0 水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ） A．只要 v0 足够大，小球一定可以不落在圆环上 B．只要 v0 取值不同，小球从抛出到落至环上的空中飞行时间就不同 C．初速 v0 取值越小，小球从抛出到落至环上的空中飞行时间就越小 D．无论 v0 取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环 【答案】D 【解析】 A．小球飞出后做平抛运动，竖直方向上必下落，故必落在圆环上，故 A 错误； BC．平抛运动的物体飞行时间取决于竖直上下落的高度，当小球落在环上同一高度时飞行时间一定相同， 但速度可不同；落点在 C 点左侧时速度大者时间长，落在 C 点右侧时速度越大时间越短，故 BC 错误； D．因平抛运动的速度方向的反向延长线通过水平位移的中点，当小球垂直落在环上时，速度方向通过环 心，而小球只要落在环上，水平位移都不可能达到 2R，即水平位移的中点必在环心的左侧，故 D 正确。 故选：D。 【例 7】固定在竖直面内的半圆弧 ABC 的半径为 R，直径 AB 水平，小孔 P 和圆心 O 连线与水平方向夹角 为 ，自 A 点将质量为 m 的小球水平抛出，一段时间后，小球恰好通过小孔 P，重力加速度为 g，不计空 气阻力。下列说法正确的是（ ） A．小球平抛的初速度大小为 2 0 (1 cos ) 2sin gRv    B．小球通过小孔 P 的速度一定沿 OP 方向 C．只要初速度大小合适，小球可以通过 B 点 D．小球通过小孔 P 时，速度大小为 2 singR  【答案】A 【解析】 A．由平抛运动规律有 21sin 2R gt  0(1 cos )R v t  解得 2 0 (1 cos ) 2sin gRv    故 A 正确； B．根据平抛运动的速度方向的反向延长线经过水平位移的中点可知，小球通过小孔 P 的速度不可沿 OP 方向，故 B 错误； C．由于小球做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则竖直方向一定有位移，所以小球不可能通过 B 点，故 C 错误； D．由竖直方向可得 21sin 2R gt  得 2 sinRt g  则在 P 点时的竖直方向的速度为 2 sin 2 siny Rv gt g gRg      则小球通过小孔 P 时，速度大小大于 2 singR  ，故 D 错误。 故选 A。 如图所示， 半径和几何关系制约平抛运动时间 t：h＝1 2gt2， R± R2－h2＝v0t. 联立两方程可求 t. 命题点三 平抛运动的临界和极值问题 1.取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计 空气阻力。该物块落地式的速度方向与水平方向的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设物体水平抛出的初速度为 v0，抛出时的高度为 h，则 ，则 物体 落地的竖直速度 ，则落地时速度方向与水平方向的夹角 ，则 ，选项 B 正确。 2.如图，可视为质点的小球位于半圆体左端点 A 的正上方某处，以初速度 v0 水平抛出，其运动轨迹恰好 能与半圆柱体相切于 B 点．过 B 点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为 30°，则半圆柱体的半径为（不计 空气阻力，重力加速度为 g）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在 B 点由速度分解可知，竖直分速度大小为 ，由平抛运动规律和圆周的几何条件可知， ， ，解得: ，所以 ABD 错误；C 正确。 3.如图所示，某人向对面的山坡上水平抛出两个质量不等的石块，分别落到Ａ，Ｂ两处．不计空气阻力， 则落到Ｂ处的石块（ ） A． 初速度大，运动时间短 B． 初速度大，运动时间长 C． 初速度小，运动时间短 D． 初速度小，运动时间长 【答案】A 【解析】由于 B 点在 A 点的右侧，说明水平方向上 B 点的距离更远，而 B 点距抛出点的距离较小，故运 动时间较短，二者综合说明落在 B 点的石块的初速度较大，故 A 是正确的，BCD 都是不对的。 4.如图所示，x 轴在水平地面上，y 轴竖直向上，在 y 轴上的 P 点分别沿 x 轴正方向和 y 轴正方向以相同大 小的初速度抛出两个小球 a 和 b，不计空气阻力，若 b 上行的最大高度等于 P 点离地的高度，则从抛出到 落地，有（ ） A．a 的运动时间是 b 的运动时间的 倍 B．a 的位移大小是 b 的位移大小的 倍 C．a，b 落地时的速度相同，因此动能一定相同 D．a，b 落地时的速度不同，但动能可能相同 【答案】D 【 解 析 】 设 P 点 离 地 面 高 度 为 h ， 初 速 度 大 小 为 ， 则 a 落 地 的 时 间 ， a 的 位 移 ；对 b 分段求时间 ，又有 ，解得 ， ，所 以 AB 错误，由机械能守恒可知，a，b 落地时速度大小相等，方向不同，若 a，b 质量相等，故动能可能 相等，选项 C 错误，D 正确。 5.第 22 届冬季奥林匹克运动会于 2014 年 2 月 7 日至 2 月 23 日在俄罗斯索契市举行。跳台滑雪是比赛项 目之一，利用自然山形建成的跳台进行，某运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡 上，如图所示，若斜面雪坡的倾角为θ，飞出时的速度大小为 v0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的 姿势保持不变，重力加速度为 g，则（ ） A． 如果 v0 不同，该运动员落到雪坡时的位置不同，速度方向也不同 B． 如果 v0 不同，该运动员落到雪坡时的位置不同，但速度方向相同 C． 运动员在空中经历的时间是 D． 运动员落到雪坡时的速度大小是 【答案】A 【 解 析 】 根 据 得 ， 运 动 员 在 空 中 经 历 的 时 间 ， 则 水 平 位 移 ，知初速度不同，水平位移不同，落点位置不同．因为速度与水平方向的夹角正切值 为 ，因为位移与水平方向夹角为定值，则速度与水平方向的夹角为定值，则落 在斜面上的速度方向相同．故 A 正确，B，C 错误；因为运动员落在斜面上时与水平方向的夹角不等于θ， 则速度大小不等于 ，D 错 6.静止的城市绿化洒水车，由横截面积为 S 的水龙头喷嘴水平喷出水流，水流从射出喷嘴到落地经历的时 间为 t,水流落地点与喷嘴连线与水平地面间的夹角为 ，忽略空气阻力（重力加速度 g 取 10 ）,以下 说法正确的是（ ） A． 水流射出喷嘴的速度为 B． 空中水柱的水量为 C． 水流落地时位移大小为 D． 水流落地时的速度为 【答案】B 【解析】由题意知，水做平抛运动，θ为总位移与水平方向的夹角， ，可得水流射出喷 嘴的速度为 ，故 A 错误；下落的高度 ，水流落地时位移 ，所 以 C 错 误 ； 空 中 水 柱 的 体 积 ， 所 以 B 正 确 ； 水 流 落 地 时 的 速 度 ，所以 D 错误。 7.在空中某一高度将一小球水平抛出，取抛出点为坐标原点，初速度方向为 轴正方向，竖直向下为 y 轴 正方向，得到其运动的轨迹方程为 y=ax2（a 为已知量），重力加速度为 g。则根据以上条件可以求得 （ ） A． 物体距离地面的高度 B． 物体作平抛运动的初速度 C． 物体落地时的速度 D． 物体在空中运动的总时间 【答案】B． 【解析】根据 得， ，则 ．因为 y，则 ，可以求出平抛 运动的初速度．高度未知，无法求出运动的时间，无法求出竖直分速度以及落地的速度．故 B 正确， ACD 错误． 8.如图所示，AB 为一固定斜面，一物体自斜面的顶端以某一速度 v1 沿水平方向抛出后落在斜面上，物体 与斜面接触时的速度方向与斜面的夹角为θ1．另一物体也自斜面的顶端以另一速度 v2（v1＜v2）沿水平方 向抛出后也落在斜面上，该物体与斜面接触时的速度方向与斜面的夹角为 2．空气阻力不计，则关于 1 与 2 之间的大小关系，下列正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设斜面的倾角为 ，物体落在斜面上，速度与水平方向的夹角为 ，有 ， ，因为小球落在斜面上位移与水平方向的夹角相同， 则速度与水平方向的夹角相同，物体速度方向与斜面的夹角为 ，知 ．故 A 正确，BCD 错误．故选：A． 9.在空中某一高度将一小球水平抛出，取抛出点为坐标原点，初速度方向为 x 轴正方向，竖直向下为 y 轴 正方向，得到其运动的轨迹方程 y＝ax2．若 a 和重力加速度 g 均已知，且不计空气阻力，则仅根据以上条 件可求出的是（ ） A．小球距离地面的高度 B．小球做平抛运动的初速度 C．小球落地时的速度 D．小球在空中运动的总时间 【答案】B 【解析】根据 x=v0ty= 及 y＝ax2 可求出平抛运动的初速度．高度未知，无法求出运动的时间，无法 求出竖直分速度以及落地的速度．故 B 正确，ACD 错误． 10.如图所示，位于同一高度的小球 A，B 分别以 v1 和 v2 的速度水平抛出，都落在了倾角为 30°的斜面上的 C 点，小球 B 恰好垂直打到斜面上，则 v1，v2 之比为（ ） A． 1 ∶1 B． 2 ∶1 C． 3 ∶2 D． 2 ∶3 【答案】C 【解析】小球 A 做平抛运动，根据分位移公式，有： 又 联立①②③得： 小球 B 恰好垂直打到斜面上，则有： 则得： 由④⑥得： 。故选：C 11.（多选）如图所示，在水平放置的半径为 R 的圆柱体轴线的正上方的 P 点，将一个小球以水平速度 v0 垂直圆柱体的轴线抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的 Q 点沿切线飞过，测得 O，Q 连线与竖直 方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】小球以水平速度 v0 垂直圆柱体的轴线抛出后做平抛运动，将其沿水平和竖直方向分解，在水平 方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动。设小球到达 Q 点时的速度 ，竖直速度为 ， 则由题设及几何知识得，小球从 P 到 Q 在水平方向上发生的位移为 ，速度 的方向与水平方 向的夹角为θ，于是 ，根据运动规律得： ， ，联立以上各式解得： ， 或 ，故选 BC。 12.（多选）如图所示，斜面上有 a，b，c，d，e 五个点，ab＝bc＝cd＝de，从 a 点以初速度 v0 水平抛出 一个小球，它落在斜面上的 b 点，速度方向与斜面之间的夹角为θ。若小球从 a 点以 2v0 速度水平抛出， 不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ） A．小球将落在 c 点与 d 点之间 B．小球将落在 e 点 C．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角大于θ D．小球落在斜面的速度方向与斜面的夹角等于θ 【答案】BD 【解析】小球落在斜面上时，速度方向与斜面间的夹角相同，D 正确；小球落在 e 点时，下落高度为落在 b 点下落高度的 4 倍，时间为 2 倍，而水平速度加倍，则水平位移加倍，B 正确。 13.（多选）如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O 为圆心，AB 为沿水平方向的直径。 若在 A 点以初速度 沿 AB 方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点 D 点：若 A 点小球抛出的同时， 在 C 点以初速度 方向平抛另一相同质量的小球并也能击中 D 点。已知 ，且不计空 气阻力，则（ ） A． 两小球同时落到 D 点 B． 两小球在此过程中动能的增加量相等 C． 在击中 D 点前瞬间，重力对两小球做功的功率不相等 D． 两小球初速度之比 【答案】CD 【解析】两球均做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由 h= gt2，得 t= ，由于两球下落的高度 不同，则知两球不可能同时到达 D 点．故 A 错误．根据动能定理得知：重力做功等于动能的增加量，而 重力做功不等，则动能的增加量不等．B 错误．在击中 D 点前瞬间，重力做功的功率为 P=mgvy=mg•gt，t 不等，则 P 不等．故 C 正确． 设半圆的半径为 R． 小球从 A 点平抛，可得 R=v1t1R= gt12 小球从 C 点平抛，可得 Rsin60°=v2t2R（1- cos60°）= gt22 联立解得 ．故 D 正确． 14.（多选）如图所示，a 为竖直平面内的半圆环 acb 的水平直径，c 为环上最低点，环半径为 R。将一个 小球从 a 点以初速度 沿 ab 方向抛出，设重力加速度为 g，不计空气阻力。则（ ） A． 当小球的初速度 时，掉到环上时的竖直分速度最大 B． 当小球的初速度 时，将撞击到环上的圆弧 ac 段 C． 当 取适当值，小球可以垂直撞击圆环 D． 无论 取何值，小球都不可能垂直撞击圆环 【答案】ABD 【解析】当下落的高度为 R 时，竖直分速度最大，根据 得， 则 ，故 AB 正确；设小球垂直击中环，则其速度方向必过圆心，设其与水平方向的夹角为θ， ， ，且 可解得θ=0，但这是不可能的，故 C 错误 D 正确； 故选 ABD。 15.（多选）一小球以 的速度水平抛出，在落地之前经过空中 A，B 两点．在 A 点小球速度方 同与水平方同的夹角为 ．在 B 点小球速度方同与水平方同的夹角为 （空气阻力忽略不计．g 取 m/s2）．以下判断中正确的足（ ） A．小球经过 A，B 两点间的时间 B．小球经过 A，B 两点间的时间 C．A，B 两点间的高度差 D．A，B 两点间的高度差 【答案】AC 【解析】平抛运动是水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动的合运动。水平速度 恒 定不变，竖直方向速度 ，根据矢量合成，在 A 点有 ，．在 B 点 ，计 算得从抛出点到 AB 的时间分别为 ， ，所以小球经过 A，B 两点间的时间 选 项 A 对 B 错。根据自由落体运动高度 ，从抛出点到 A 点的高度 ， ，A，B 两点间的高度差 选项 C 对 D 错。 16.在某高度处以初速度 水平抛出一个飞镖，在离抛出点水平距离 l，2l 处有 A，B 两个正以速度 v2 匀速 上升的完全相同的小气球，先后被飞标刺破（认为飞标质量很大，刺破气球不会改变其平抛运动的轨 迹）。求： (1)飞标刺破 A 气球时，飞标的速度大小； (2)A，B 两个小气球在未被刺破前的高度差。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）从抛出到刺破气球 A，经过了时间 竖直方向速度 ， 则飞镖速度 （2）AB 两球被刺破位置的高度差 ， B 球比 A 球多运动时间 ， B 比 A 多上升 ， 所以 AB 未被刺破前高度差为 17.如图所示，装甲车在水平地面上以速度 v0=20m/s 沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为 h=1.8m。在车正前方竖直一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触。枪口与靶距离为 L 时，机枪手 正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为 v=800m/s。在子弹射出的同时，装甲车开始匀减速 运动，行进 s=90m 后停下。装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹。（不计空气阻力，子弹 看成质点，重力加速度 g=10m/s2） （1）求装甲车匀减速运动时的加速度大小； （2）当 L=410m 时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离； （3）若靶上只有一个弹孔，求 L 的范围。 【答案】(1) m/s2(2)0.55 m 0.45 m (3)492 m