专题 37 电磁感应中动力学问题
一、单选题
1.如图甲所示，在光滑水平面上，有一个粗细均匀的单匝正方形闭合线框 abcd，边长为 L，质量为 m，电
阻为 R。在水平外力的作用下，线框从静止开始沿垂直磁场边界方向做匀加速直线运动，穿过磁感应强度
为 B 的匀强磁场，磁场方向与线圈平面垂直，线框中产生的感应电流 i 的大小和运动时间 t 的变化关系如
图乙所示。则下列说法正确的是（ ）
A． 线框的加速度大小为
B． 线框受到的水平外力的大小
C． 0～t1 时间内通过线框任一边横截面的电荷量为 i1t1
D． 0～t3 间内水平外力所做的功大于
【答案】D
【解析】由乙图读出 t1 时刻线框中的感应电流为 i1，设此刻线框的速度大小为 v1，则有： ，
则得： ；线框的加速度为 ，故 A 错误．对于 t2-t3 时间内，安培力的平均值大
小为： 由于线框做匀加速运动，拉力必定大于安培力的平均值 ，故 B 错
误． 0～t1 时间内通过线框任一边横截面的电荷量为： ．故 C 错误． t3 时刻线框的速度为：
；0～t3 间内，根据动能定理得：WF-W 克= mv32 则得：
，所以水平外力所做的功大于 ，故 D 正确．
二、多选题
2.如图所示，光滑斜面 PMNQ 的倾角为θ，斜面上放置一矩形导体线框 abcd，其中 ab 边长为 l1，bc 边长
为 l2，线框质量为 m，电阻为 R，有界匀强磁场的磁感应强度为 B，方向垂直于斜面向上，ef 为磁场的边
界，且 ef∥MN.线框在恒力 F 作用下从静止开始运动，其 ab 边始终保持与底边 MN 平行，F 沿斜面向上
且与斜面平行．已知线框刚进入磁场时做匀速运动，则下列判断正确的是（ ）
A． 线框进入磁场前的加速度为
B． 线框进入磁场时的速度为
C． 线框进入磁场时有 a→b→c→d 方向的感应电流
D． 线框进入磁场的过程中产生的热量为(F－mgsinθ)l1
【答案】ABC
【解析】 线框进入磁场前，对整体，根据牛顿第二定律得：F－mgsinθ＝ma，线框的加速度为 a＝
，故 A 正确．设线框匀速运动的速度大小为 v，则线框受力平衡，F＝F 安＋mgsinθ，而 F 安
＝B· ·l1＝ ，解得 v＝，选项 B 正确；根据右手定则可知，线框进入磁场时有 a→b→c→d 方向
的感应电流，选项 C 正确；由能量关系，线框进入磁场的过程中产生的热量为力 F 做的功与线框重力势
能增量的差值，即 Fl2－mgl2sinθ，选项 D 错误，故选 A，B，C.
3.如图所示，ACD，EFG 为两根相距 L 的足够长的金属直角导轨，它们被竖直固定在绝缘水平面上，
CDGF 面与水平面成θ角．两导轨所在空间存在垂直于 CDGF 平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.
两根质量均为 m，长度均为 L 的金属细杆 ab，cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦
因数均为μ，两金属细杆的电阻均为 R，导轨电阻不计．当 ab 以速度 v1 沿导轨向下匀速运动时，cd 杆也
正好以速度 v2 向下匀速运动．重力加速度为 g.以下说法正确的是（ ）
A． 回路中的电流强度为
B．ab 杆所受摩擦力为 mgsinθ
C．cd 杆所受摩擦力为μ(mgsinθ＋ )
D．μ与 v1 大小的关系为μ(mgsinθ＋ )＝mgcosθ
【答案】CD
【解析】 ab 杆产生的感应电动势 E＝BLv1；回路中感应电流为 I＝ ＝ ，故 A 错误．ab 杆匀速
下滑，F 安＝BIL＝ ，方向沿轨道向上，则由平衡条件得：ab 杆所受的摩擦力大小为 Ff＝mgsinθ－
F 安＝mgsinθ－ ，故 B 错误．cd 杆所受的安培力大小也等于 F 安，方向垂直于导轨向下，则 cd 杆
所受摩擦力为：f=μN=μ(mgsinθ＋ )，故 C 正确；根据 cd 杆受力平衡得：μ(mgsinθ＋ )＝
mgcosθ，故 D 正确。
4.如图所示，在光滑绝缘的水平面上方，有两个方向相反的水平方向的匀强磁场，PQ 为两磁场的边界，
磁场范围足够大，磁感应强度的大小分别为 B1＝B，B2＝2B，一个竖直放置的边长为 a，质量为 m，电阻
为 R 的正方形金属线框，以初速度 v 垂直磁场方向从图中实线位置开始向右运动，当线框运动到在每个
磁场中各有一半的面积时，线框的速度为 v/2，则下列判断正确的是（ ）
A． 此过程中通过线框截面的电量为
B． 此过程中线框克服安培力做的功为 mv2
C． 此时线框的加速度为
D． 此时线框中的电功率为
【答案】BC
【解析】通过线框截面的电量为 ，故 A 错误；由能量守恒定律得，此过程中
回 路 产 生 的 电 能 为 E= - ， 故 B 正 确 ； 此 时 感 应 电 动 势 ：
，线框电流为： ，由牛顿第二定律得：2BIa+BIa=maa 解得：
加速度 ，故 C 正确；此时线框的电功率为： ，故 D 错误。
5.如图甲所示，MN 左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场．现将一质量为 m，电阻为 R，边长为 l 的正方形
金属线框置于该磁场中，使线框平面与磁场方向垂直，且 bc 边与磁场边界 MN 重合．对线框施加一按图
乙所示规律变化的水平拉力 F，使线框由静止开始向右做匀加速直线运动；当 t=0 时，拉力大小为 F0；线
框的 ab 边与磁场边界 MN 重合时，拉力大小为 3F0。则（ ）
A． 线框的加速度为
B． 线框的 ad 边出磁场时的速度为
C． 线框在磁场中运动的时间为
D． 磁场的磁感应强度为
【答案】BD
【解析】t=0 时刻，感应电动势 E=0，感应电流 I=0，安培力 F 安=BIL=0 由牛顿第二定律得，F0=ma，得
a= ， 由匀变速运动 v2=2aL 线框的 ad 边出磁场时的速度为 ; 由 L= 得线框在磁场中运动的
时间为 ;根据牛顿第二定律，F-F 安=ma，F 安=BIL，I= ，E=BLV ,得到： 图中
可得图线的斜率即可求得磁场的磁感应强度为
6.如图所示，两根足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨下端接有定值电阻 R，匀强磁场方向垂直导轨平
面向上．现给金属棒 ab 一平行于导轨的初速度 v，使金属棒保持与导轨垂直并沿导轨向上运动，经过一
段时间金属棒又回到原位置．不计导轨和金属棒的电阻，在这一过程中，下列说法正确的是（ ）
A． 金属棒上滑时棒中的电流方向由 b 到 a
B． 金属棒回到原位置时速度大小仍为 v
C． 金属棒上滑阶段和下滑阶段的最大加速度大小相等
D． 金属棒上滑阶段和下滑阶段通过棒中的电荷量相等
【答案】AD
【解析】金属棒上滑时，根据右手定则判断可知金属棒中感应电流的方向由 b 到 a，故 A 正确．金属棒运
动过程中产生感应电流，受到安培力作用，根据楞次定律可知安培力总是阻碍金属棒相对于导轨运动，
所以金属棒的机械能不断减小，则金属棒回到原位置时速度大小必小于 v，故 B 错误．根据牛顿第二定律
得：对于上滑过程：mgsinθ＋F 安＝ma 上；对于下滑过程：mgsinθ－F 安′＝ma 下．可知：a 上>a 下，故 C 错
误．金属棒上滑阶段和下滑阶段中回路磁通量的变化量相等，根据 q＝ 可知通过金属棒的电荷量相等，
故 D 正确．
7.如图甲所示，足够长的平行金属导轨 MN，PQ 倾斜放置．完全相同的两金属棒 ab，cd 分别垂直导轨放
置，棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒的电阻均为 R，导轨间距为 l 且光滑，电阻不计，整个装
置处在方向垂直于导轨平面向上，磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中．棒 ab 在平行于导轨向上的力 F 作
用下，沿导轨向上运动，从某时刻开始计时，两棒的速度时间图象如图乙所示，两图线平行，v0 已
知．则从计时开始（ ）
A． 通过棒 cd 的电流由 d 到 c B． 通过棒 cd 的电流 I＝
C． 力 F＝ D． 力 F 做的功等于回路中产生的焦耳热和两棒动能的增量
【答案】AC
【解析】 由题图乙可知，ab，cd 棒都是匀变速直线运动，ab 速度始终大于 cd 的速度，电动势是 ab，
cd 棒切割产生的电动势的差值，对 ab 由右手定则知电流方向从 a 到 b，cd 的电流由 d 到 c，故 A 正确；I
＝ ＝ ，选项 B 错误；分别对 ab，cd 运用牛顿第二定律可知 F＝ ，选项 C 正
确 ； 由 能 量 守 恒 可 知 力 F 做 的 功 等 于 回 路 中 产 生 的 焦 耳 热 和 两 棒 机 械 能 的 增 量 ， 选 项 D 错
误． 三、计算题
8.某电子天平原理如题图所示，E 形磁铁的两侧为 N 极，中心为 S 极，两极间的磁感应强度大小均为 B，
磁极宽度均为 L，忽略边缘效应，一正方形线圈套于中心磁极，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端 C，D
与外电路连接，当质量为 m 的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动(骨架与磁极不
接触)，随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流 I
可确定重物的质量，已知线圈匝数为 n，线圈电阻为 R，重力加速度为 g.问
(1)线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从 C 端还是从 D 端流出？
(2)供电电流 I 是从 C 端还是 D 端流入？求重物质量与电流的关系．
(3)若线圈消耗的最大功率为 P，该电子天平能称量的最大质量是多少？
【答案】(1)从 C 端流出 (2)从 D 端流入 (3)
【解析】(1)感应电流从 C 端流出．
(2)设线圈受到的安培力为 FA，外加电流从 D 端流入．
由 FA＝mg 和 FA＝2nBIL
得 m＝ I
(3)设称量最大质量为 m0.
由 m＝ I 和 P＝I2R
得 m0＝
9.如图所示，固定在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为 d，其右端接有阻值为 R 的电阻，整
个装置处在竖直向上磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中．一质量为 m(质量分布均匀)的导体杆 ab 垂直于
导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.现杆在水平向左，垂直于杆的恒力
F 作用下从静止开始沿导轨运动距离 L 时，速度恰好达到最大(运动过程中杆始终与导轨保持垂直)．设杆
接入电路的电阻为 r，导轨电阻不计，重力加速度大小为 g.求：
(1)此过程杆的速度最大值 vm；
(2)此过程流过电阻 R 的电量．
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)当杆达到最大速度 vm 时，E＝Bdvm
F 安＝BId I＝ Ff＝μmg
匀速时合力为零．
F－μmg－ ＝0
得 vm＝ .
(2)由公式 q＝ t ＝ ＝
得 q＝ ＝ ＝ .
10.如图 BE 左边为侧视图，右边府视图)所示，电阻不计的光滑导轨 ABC，DEF 平行放置，间距为 L，BC，
EF 水平，AB，DE 与水平面成θ角。PQ，P′Q′是相同的两金属杆，它们与导轨垂直，质量均为 m，电阻均
为 R。平行板电容器的两金属板 M，N 的板面沿竖直放置，相距为 d，并通过导线与导轨 ABC，DEF 连接。
整个装置处于磁感应强度大小为 B，方向竖直向下的匀强磁场中。要使杆 P′Q′静止不动，求：
(1)杆 PQ 应沿什么方向运动？速度多大？
(2)从 O 点入射的离子恰好沿图中虚线通过平行板电容器，则入射粒子的速度 v0 多大？
【答案】(1) 向右运动 (2)
【解析】(1)设杠 PQ 运动速度为 v，杆 MN 切割磁感线产生的感应电动势:
E=BLv ①
回路电流：I= ②
P′Q′杆静止，对杆 P′Q′: mgtanθ=BIL ③
由①，②，③得：v= ④
根据左手定则与右手定则，PQ 应向右运动
(2)两平行板间的电压：U=IR ⑤
粒子在电场中运动，电场力：F=qE= ⑥
离子沿直线通过平行板电容器，这时离子所受的电场力和洛伦兹力相互平衡：
=qBv0⑦
联立解得：v0= ⑧
11.如图所示，平行金属导轨 PQ，MN 相距 d＝2m，导轨平面与水平面间的夹角α＝30°，导轨上端接一个
R＝6 Ω的电阻，导轨电阻不计，磁感应强度 B＝0.5 T 的匀强磁场垂直导轨平面向上．一根质量为 m＝0.2
kg，电阻 r＝4 Ω的金属棒 ef 垂直导轨 PQ，MN 静止放置，距离导轨底端 x1＝3.2m．另一根绝缘塑料棒 gh
与金属棒 ef 平行放置，绝缘塑料棒 gh 从导轨底端以初速度 v0＝10m/s 沿导轨上滑并与金属棒正碰(碰撞时
间极短)，碰后绝缘塑料棒 gh 沿导轨下滑，金属棒 ef 沿导轨上滑 x2＝0.5m 后停下，在此过程中电阻 R 上
产生的电热为 Q＝0.36 J．已知两棒与导轨间的动摩擦因数均为μ＝ ，g＝10m/s2.求：
(1)绝缘塑料棒 gh 与金属棒 ef 碰撞前瞬间，绝缘塑料棒的速率；
(2)碰撞后金属棒 ef 向上运动过程中的最大加速度；
(3)金属棒 ef 向上运动过程中通过电阻 R 的电荷量．
【答案】 (1)6m/s (2)12m/s2 (3)0.05 C
【解析】 (1)绝缘塑料棒与金属棒相碰前，做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得
Mgsin 30°＋μMgcos 30°＝Ma1
由运动学公式得 v －v ＝2a1x1
解得 v1＝6m/s.
(2)设金属棒刚开始运动时速度为 v，由能量守恒定律得
Q＋mgx2sin 30°＋μmgx2cos 30°＝ mv2
解得 v＝4m/s
金属棒刚开始运动时加速度最大，此时感应电动势
E＝Bdv＝4 V
感应电流 I＝ ＝0.4 A
安培力 F＝BId＝0.4 N
由牛顿第二定律得 mgsin 30°＋μmgcos 30°＋F＝mam
解得 am＝12m/s2.
(3)通过电阻 R 的电荷量 q＝ ＝
解得 q＝0.05 C.
12.如图所示，一个边缘带有凹槽的金属圆环，沿其直径装有一根长 2L 的金属杆 AC，可绕通过圆环中心
的水平轴 O 转动．将一根质量不计的长绳一端固定于槽内并将绳绕于圆环槽内，绳子的另一端吊了一个
质量为 m 的物体．圆环的一半处在磁感应强度为 B，方向垂直环面向里的匀强磁场中．现将物体由静止
释放，若金属圆环和金属杆单位长度的电阻均为 R.忽略所有摩擦和空气阻力．
(1)设某一时刻圆环转动的角速度为ω0，且 OA 边在磁场中，请求出此时金属杆 OA 产生电动势的大小．
(2)请求出物体在下落中可达到的最大速度．
(3)当物体下落达到最大速度后，金属杆 OC 段进入磁场时，杆 C，O 两端电压多大？
【答案】 (1) (2) (3) ( ＋1)
【解析】 (1)，(2)等效电路如图所示，
R 外＝ ＝ ，
R2＝LR，
r＝LR，
当达到最大速度时，重物的重力的功率等于电路中消耗的电功率：mgv＝ ，
其中：E＝ ＝ ，
v＝ ＝ ；
(3)OA 中的电流大小为：I＝ ，
当 OC 段在磁场中时，
UCO＝ ( ＋LR)＝ ( ＋1)；
13.如图甲所示，电流传感器(相当于一只理想电流表)能将各时刻的电流数据实时通过数据采集器传输给
计算机，经计算机处理后在屏幕上同步显示出 I－t 图象．电阻不计的足够长光滑平行金属轨道宽 L＝1.0m，
与水平面的夹角θ＝37°.轨道上端连接阻值 R＝1.0 Ω的定值电阻，金属杆 MN 长与轨道宽相等，其电阻 r＝
0.50 Ω，质量 m＝0.02 kg.在轨道区域加一垂直轨道平面向下的匀强磁场，让金属杆从图示位置由静止开
始释放，杆在整个运动过程中与轨道垂直，此后计算机屏幕上显示出如图乙所示的 I－t 图象．重力加速
度 g＝10m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试求：
(1)t＝1.2 s 时电阻 R 的热功率；
(2)匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；
(3)t＝1.2 s 时金属杆的速度大小和加速度大小．
【答案】(1)0.022 5 W (2)0.75 T (3)0.3m/s m/s2
【解析】 (1)由 I－t 图象可知，当 t＝1.2 s 时，I＝0.15 A
P＝I2R＝0.152×1.0 W＝0.022 5 W；
(2)由题图乙知，当金属杆稳定运动时的电流为 0.16 A，
稳定时杆匀速运动，受力平衡，则有：
mgsinθ＝BI′L，
代入数据解得：B＝0.75 T；
(3)t＝1.2 s 时电源电动势 E＝I(R＋r)＝BLv，
代入数据得：v＝0.3m/s，
mgsinθ－BIL＝ma，
代入数据得：a＝ m/s2；
14.如图甲所示，MN，PQ 是相距 d＝1.0m 足够长的平行光滑金属导轨，导轨平面与水平面间的夹角为θ，
导轨电阻不计，整个导轨处在方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，金属棒 ab 垂直于导轨 MN，PQ 放
置，且始终与导轨接触良好，已知金属棒 ab 的质量 m＝0.1 kg，其接入电路的电阻 r＝1 Ω，小灯泡电阻
RL＝9 Ω，重力加速度 g 取 10m/s2.现断开开关 S，将棒 ab 由静止释放并开始计时，t＝0.5 s 时刻闭合开关 S，
图乙为 ab 的速度随时间变化的图象．求：
(1)金属棒 ab 开始下滑时的加速度大小，斜面倾角的正弦值；
(2)磁感应强度 B 的大小．
【答案】 (1)6m/s2 (2)1 T
【解析】 (1)S 断开时 ab 做匀加速直线运动
由图乙可知 a＝ ＝6m/s2
根据牛顿第二定律有：mgsinθ＝ma
所以 sinθ＝ .
(2)t＝0.5 s 时 S 闭合，ab 先做加速度减小的加速运动，当速度达到最大 vm＝6m/s 后做匀速直线运动
根据平衡条件有 mgsinθ＝F 安
又 F 安＝BId E＝Bdvm I＝
解得 B＝1 T.
15.间距为 的两条足够长的光滑平行金属导轨 MN，PQ 与水平面夹角为 30°，导轨的电阻不计，导轨的
N，Q 端连接一阻值为 R 的电阻，导轨上有一根质量一定，电阻为 的导体棒 ab 垂直导轨放置，导体棒
上方距离 以上的范围存在着磁感应强度大小为 ，方向与导轨平面垂直的匀强磁场。现在施加一个平
行斜面向上且与棒 ab 重力相等的恒力，使导体棒 ab 从静止开始沿导轨向上运动，当 ab 进入磁场后，发
现 ab 开始匀速运动，求：
（1）导体棒的质量；
（2）若进入磁场瞬间，拉力减小为原来的一半，求导体棒能继续向上运动的最大位移。
【答案】（1） （2）2L
【解析】(１) 导体棒从静止开始在磁场外匀加速运动距离 L，其加速度为
, ∵ ;
得 ；
棒进入磁场时的速度为： ；
由棒在磁场中匀速可知： ，
得： ；
（2）若进入磁场瞬间使拉力减半，则 ，则导体棒所受合力为 ，
，
∵ 和 代入上式： ，即： ，
使式子两边对该过程求和，则有： ，将 和 代入
得： 。
16.如图所示，螺线管横截面积为 S，线圈匝数为 N，电阻为 R1，管内有水平向右的磁场，磁感应强度为
B.螺线管与足够长的平行金属导轨 MN，PQ 相连并固定在同一平面内，与水平面的夹角为θ，两导轨间距
为 L.导轨电阻忽略不计．导轨处于垂直斜面向上，磁感应强度为 B0 的匀强磁场中．金属杆 ab 垂直导轨，
杆与导轨接触良好，并可沿导轨无摩擦滑动．已知金属杆 ab 的质量为 m，电阻为 R2，重力加速度为 g.忽
略螺线管磁场对金属杆 ab 的影响，忽略空气阻力．
(1)螺线管内方向向右的磁场 B 不变，当 ab 杆下滑的速度为 v 时，求通过 ab 杆的电流的大小和方向；
(2)当 ab 杆下滑的速度为 v 时，螺线管内方向向右的磁场才开始变化，其变化率 ＝k(k>0)．讨论 ab 杆
加速度的方向与 k 的取值的关系．
【 答 案 】 (1) ， 方 向 为 b→a (2)k< ， 加 速 度 方 向 向 上 ； k> ，加速度方向向下
【解析】 (1)切割磁感线产生的感应电动势 E1＝B0Lv
则电流的大小 I＝ ＝ ，
根据右手定则知，通过 ab 的电流方向为 b→a.
(2)根据法拉第电磁感应定律得，螺线管中磁场变化产生的感应电动势
E2＝ ＝kNS，
产生的感应电动势方向与 ab 切割产生的感应电动势方向相反．
则感应电流的大小 I＝ ，
当 mgsinθ ，加速度方向向下
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