专题14 天体质量和天体密度的求解 2021年高考物理二轮专题解读与训练（解析版）

专题 14 天体质量和天体密度的求解 一、单选题 1．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0、在赤道的大小为 g，地球自转的周期为 T。则地球的半径为（ ） A． 2 2 0 4 ( )g g T   B． 2 0 2 ( ) 4 g g T   C． 2 0 24 g T  D． 2 0 2 ( ) 4 g g T   【答案】B 【解析】在地球两极表面，万有引力等于物体的重力，则有 02 MmG mgR  在赤道处，万有引力和重力的合力提供物体做圆周运动向心力，有 2 2 2 4MmG mg mRR T  = 联立解得 2 0 2 ( ) 4 g g TR   选项 B 正确，ACD 错误。 故选 B。 2．英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了 2008 年度世界 8 项科学之最，在 XTEJ1650-500 双 星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径 R 约 45km，质量 M 和半径 R 的关系满足 2 2 M c R G  （其中 c 为光速，G 为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ） A． 8 210 m/s B． 10 210 m/s C． 12 210 m/s D． 14 210 m/s 【答案】C 【解析】黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑 洞表面的某一质量为 m 物体有 2 GMm mgR  又有 2 2 M c R G  联立解得 2 2 cg R  代入数据得重力加速度的数量级为：1012m/s2。 故选 C。 3．火星表面特征非常接近地球，可能适合人类居住．2010 年，我国志愿者王跃参与了在俄罗斯进行的 “模拟登火星”实验活动．已知火星半径是地球半径的 1 2 ，质量是地球质量的 1 9 ，自转周期基本相同．地 球表面重力加速度是 g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是 h，在忽略自转影响的条件下，下述分 析正确的是（ ） A．王跃在火星表面所受火星引力是他在地球表面所受地球引力的 2 9 倍 B．火星表面的重力加速度是 2 3 g C．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 2 3 倍 D．王跃在火星上向上跳起的最大高度是 3 2 h 【答案】C 【解析】根据 2 GMm mgR  可知， 4 9mg mg火 ，A 错误；这样火星表面的重力加速度是 4 9g g火  ，B 错误；根据 2mvmg R  可得 v gR ，可以求出火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 2 3 倍，C 正确；根据 21 2mgh mv ，若起跳速度相同时，若在地球上跳起的最大高度为 h，在火星上向上跳起的最 大高度是 9 4 h ，D 错误． 4．我国“玉兔号”月球车被顺利送抵月球表面，并发回大量图片和信息．若该月球车在地球表面的重力为 ，在月球表面的重力为 ．已知地球半径为 ，月球半径为 ，地球表面处的重力加速度为 ，则 （ ） A．“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为 B．地球的质量与月球的质量之比为 C．地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为 D．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为 【答案】D 【解析】“玉兔号”月球车在地球表面与月球表面质量之比为 1:1；故 A 选项错误；根据 ，则 地球的质量 ，月球的质量 ，故地球的质量与月球的质量之比为 ， 故 B 选项错误；地球表面的重力加速度 ，月球表面的重力加速度 ，故地球表面处的重 力加速度与月球表面处的重力加速度之比为 : ,故 C 选项错误；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度, 由 和 ，解得 ,故地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为 , D 选项正确． 5．“嫦娥四号”，专家称“四号星”，计划在 2017 年发射升空，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗 人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档 案资料．已知月球的半径为 R，月球表面的重力加速度为 g，月球的平均密度为ρ，“嫦娥四号”离月球中 心的距离为 r，绕月周期为 T.根据以上信息下列说法正确的是（ ） A．月球的第一宇宙速度为 gr B．“嫦娥四号”绕月运行的速度为 2gr R C．万有引力常量可表示为 3 2 3 3 r T R   D．“嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球 【答案】C 【解析】A.月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，所以重力提供向心力: 2vmg m R  解得： v gR 故 A 错误； B.根据万有引力提供向心力： 2 2 Mm vG mr r  解得： GMv r  又因为月球表面的物体受到的重力等于万有引力： 2 GMmmg R  可得： 2GM R g 所以“嫦娥四号”绕月运行的速度为： 2GM gRv r r   故 B 错误； C.根据万有引力提供向心力： 2 2 2 4MmG m rr T  得月球的质量： 2 3 2 4 rM GT  所以月球的密度： 2 3 32 2 3 3 4 3 4 3 r M rGT V GT RR       所以万有引力常量为： 3 2 3 3 rG T R   故 C 正确； D.嫦娥四号要脱离月球的束缚才能返回月球，嫦娥四号要脱离月球束缚必须加速做离心运动才行，故 D 错误． 6．模拟我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星 500”的实验活动.假设王跃登陆火星后,测得火星 的半径是地球半径的 1 2 ,质量是地球质量的 1 9 .已知地球表面的重力加速度是 g,地球的半径为 R,王跃在地 面上能向上竖直跳起的最大高度是 h,忽略自转的影响,下列说法错误．．的是（ ） A．火星的密度为 2 3 g GR B．火星表面的重力加速度是 4 9 g C．火星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的 2 9 D．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后,能达到的最大高度是 9 4 h 【答案】C 【解析】由 2 mMG mgR ＝ ，得到： 2 GMg R  ，已知火星半径是地球半径的 1 2 ，质量是地球质量的 1 9 ，则 火星表面的重力加速度是地球表重力加速度的 4 9 ，即为 4 9 g。选项 B 正确；设火星质量为 M′，由万有引 力等于重力可得： 2 M mG mgR    ，解得： 2 = g RM G   ，火星的密度为： 2 '3 2 4 3 3 g R M gG V GRR        ．故 A 正确；由 2 2 =mM vG m mgR R ＝ ，得到 v gR ，火星的第一宇宙速度 是地球第一宇宙速度的 2  3 倍。故 C 错误；王跃以 v0 在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出可跳 的最大高度是： 2 0 2 vh g  ，由于火星表面的重力加速度是 4 9 g，王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可 跳的最大高度 h′= 9 4 h，D 正确。此题选择不正确的选项，故选 C。 7．观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间 t 通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为θ （弧度），如图所示。已知引力常量为 G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球 的质量为（ ） A． 3 22 l G t   B． 3 2 l G t C． 3 2 l Gt  D． 2 l G t 【答案】B 【解析】线速度为： lv t  …① 角速度为： t   …② 根据线速度和角速度的关系公式，有：v=ωr…③ 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： 2 GMm m vr  …④ 联立解得： 3 2 lM G t 故选 B． 8．2007 年 10 月 24 日，我国发射了第一颗探月卫星——“嫦娥一号”，使“嫦娥奔月”这一古老的神话变成 了现实．嫦娥一号发射后先绕地球做圆周运动，经多次变轨，最终进入距月球表面 h=200 公里的圆形工 作轨道，开始进行科学探测活动．设月球半径为 R，月球表面的重力加速度为 g，万有引力常量为 G，则 下列说法正确的是（ ） A．嫦娥一号绕月球运行的周期为 2 R g  B．在嫦娥一号的工作轨道处的重力加速度为 ( )R gR h C．嫦娥一号在工作轨道上的绕行速度为 ( )g R h D．由题目条件可知月球的平均密度为 3 4 g GR 【答案】D 【解析】 根据万有引力提供向心力，即： 2 2 2 2 4 GMm vm mrr r T ＝ ＝ ，解得 GMv r  ， 2 34 rT GM  ，嫦娥一号 的轨道半径为 r=R+h，结合黄金代换公式：GM=gR2，代入线速度及周期公式得： 2gRv R h ＝ ， 3 2 )2 (R hT gR   ，故 AC 错误．根据 G 2( ) Mm R h ＝mg′，GM=gR2，联立解得在嫦娥一号的工作轨道处 的重力加速度为 g′=（   R R h ）2g，故 B 错误．由黄金代换公式得中心天体的质量 G gRM 2  ，体积 V= 4 3 πR3，则平均密度 3 4 M g V GR  ＝ ．故 D 正确．故选 D． 9．我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据。该卫星在月球上空绕 月球做匀速圆周运动时，经过时间 t，卫星行程为 s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度，万有引力 常量为 G，月球半径为 R，则可推知月球密度的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间 t，卫星行程为 s，卫星与月球中心连线 扫过的角度是θ弧度，所以该卫星的线速度、角速度分别为 ᦀ ， ＝ 又因为 v=ωr，所以轨道半径为 ＝ ᦀ ；根据万有引力提供向心力 ＝ ，得月球的质量为 ᦀ ᦀ 月球的体积为 ᦀ 所以月球的密度 ＝ ᦀ ＝ ，故 C 正确、ABD 错误．故选 C． 二、多选题 10．宇宙飞船绕地心做半径为 r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为 m 的人站在可称体重的台秤上， 用 R 表示地球的半径，g0 表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的重力加速度，FN 表示 人对台秤的压力，下列说法中正确的是（ ） A．g′=0 B．g′= 2 2 R r g0 C．FN=0 D．FN=m 2 2 R r g0 【答案】BC 【解析】 在地球表面处 2 MmG R ＝mg，即 GM＝gR2，在宇宙飞船内： 2 MmG R ＝mg′，g′＝ 2 GM r ＝ 2 2 gr r ， B 正确；宇宙飞船绕地心做匀速圆周运动时，其内物体处于完全失重状态，故 FN＝0，C 正确-font="宋体 ">故选 BC。 11．为了探索未知星体的奥秘，科学家们发射飞行器携带探测工具进行探测。如图所示，飞行器 P 绕某 星球做匀速圆周运动，已知该星球的半径为 R，星球相对飞行器的张角为θ，飞行器的运动周期为 T，下 列说法正确的是（ ） A．飞行器 P 的轨道半径为 sin R  B．飞行器 P 的线速度为 2 R T  C．飞行器 P 的向心加速度为 2 2 4 sin 2 R T   D．此星球的平均密度为 2 3 3 sin 2GT   【答案】CD 【解析】A．设星球的质量为 M，飞行器绕星球运动的轨道半径为 r，由几何关系可得 sin 2 Rr  A 错误； B．根据线速度和周期的关系可得 2 rv T  B 错误； C．由飞行器的向心加速度 2 2 2 4 sin 2 v Ra r T    C 正确； D．由 2 2 2 4MmG m rr T  34 3 M R    得 3 2 3 3 r GT R   又 sin 2 R r  所以 2 3 3 sin 2GT   D 正确。 故选 CD。 12．“嫦娥三号”于 2013 年 12 月 14 日 21 时 11 分降落在距离地球 38 万公里的月球上，中国成为继苏联、 美国之后的第三个在月球成功实现探测器软着陆的国家．着陆前“嫦娥三号”曾在离月面 100m 处悬停避障， 然后缓速下降，离月面 4m 时，７500N 变推力发动机关机，“嫦娥三号”做自由落体运动降落在月球虹湾 以东地区（19.51W，44.12N），已知月表重力加速度为地表重力加速度的六分之一，下列说法正确的是 （g 取 9.8m/s2）（ ） A．若悬停时“嫦娥三号”的总质量为 1.5×103kg，则变推力发动机的推力约为 2450Ｎ B．“嫦娥三号”落月点的北边十几米处有一个大撞击坑，假如悬停时“嫦娥三号”在撞击坑的正上方，为避 障姿态控制发动机先向南喷气，后向北喷气再次悬停在了落月点正上方 C．变推力发动机关机后，同样的着陆速度相当于从离地球表面 2 6 m3 处落下 D．变推力发动机关机后，同样的着陆速度相当于从离地球表面 2 m3 处落下 【答案】AC 【解析】悬停时“嫦娥三号”处于平衡状态，故有 3 11.5 10 9.8N 2450N6F mg     月 ，所以选项 A 正确；应该先向北喷气，再向南喷气，才能悬停在落月点的正上方，所以选项 B 错误；变推力发动机关 闭后，在月球上的着陆速度为 1 2v g h月 月 ，而在地球上同样有 2 2v gh地 ，联立可得 2 m3 gh hg  月 月地 ，故选项 C 正确、D 错误； 13．我国研制的“嫦娥三号”月球探测器于 2013 年 12 月 1 日发射成功，并成功在月球表面实现软着陆。探 测器首先被送到距离月球表面高度为 H 的近月轨道做匀速圆周运动，之后在轨道上的 A 点实施变轨，使 探测器绕月球做椭圆运动，当运动到 B 点时继续变轨，使探测器靠近月球表面，当其距离月球表面附近 高度为 h（h＜5m）时开始做自由落体运动，探测器携带的传感器测得自由落体运动时间为 t，已知月球 半径为 R，万有引力常量为 G。则下列说法正确的是（ ） A．“嫦娥三号”的发射速度必须大于第一宇宙速度 B．探测器在近月圆轨道和椭圆轨道上的周期相等 C．“嫦娥三号”在 A 点变轨时，需减速才能从近月圆轨道进入椭圆轨道 D．月球的平均密度为 2 3 2 h GRt 【答案】ACD 【解析】A．“嫦娥三号”在地表的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故 A 正确； B．椭圆轨道的轨道半长轴和近月圆轨道的轨道半径不相等，因此周期不相同，故 B 错误； C．从近月圆轨道需要点火减速才能进入椭圆轨道，故 C 正确； D．在月球表面有 2 MmG mgR  解得月球质量 G gRM 2  则月球密度 3 3 4 4 3 M g GRR     根据自由落体运动下落高度为 h，运动时间为 t，则有 21 2h gt 得到 2 2hg t  代入上述密度表达式中 2 3 2 h GRt   ，故 D 正确。 故选 ACD。