专题16 双星及多星模型 2021年高考物理二轮专题解读与训练（解析版）

专题 16 双星及多星模型 一、单选题 1．2013 年 3 月 12 日，在位于智利北部阿塔卡马沙漠，由美国，欧洲和日本等国科研机构建设的世界最 大陆基天文望远镜阵举行落成典礼．最近，一个国际研究小组借助该望远镜，观测到了一组双星系统， 它们绕两者连线上的某点 O 做匀速圆周运动．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体 表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的 过程中（ ） A．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小 B．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变大 C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变小，线速度变大 D．体积较大星体圆周运动轨迹半径变小，线速度变小 【答案】B 【解析】由万有引力提供向心力 两颗恒星在万有引力作用下围绕共同点 O(物理学上把它叫做质心)作匀速圆周运动，O 点在两颗恒星的连 线上，设两颗星到 O 的距离分别为 r、R，它们运动的周期为 T，由万有引力定律和牛顿第二定律 对质量为 m 的恒星有 对质量为 M 的恒星有 r+R=L 由以上三式解得 ，体积较大的星体轨道半径增大，CD 选项错误；Mm 数值增 大，线速度增大， 故选 B 2．月球与地球质量之比约为 1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他 们都围绕月球连线上某点 O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕 O 点运动生物线速度大小之 比约为（ ） A．1：6400 B．1:80 C．80:1 D．6400:1 【答案】C 【解析】月球和地球绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向 心力相等．且月球和地球和 O 始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有 2 2m r M R  ，又由于 v r ，所以 80 1 v r M v R m   月 地 ，C 正确． 3．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星 的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星， 在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做匀速圆周运动。现测得两颗星球之间的距离为 L，质 量之比 1 2 3 2m m ∶ ∶ ，则可知（ ） A． 1m 、 2m 做圆周运动的线速度之比为 2 3∶ B． 1m 、 2m 做圆周运动的角速度之比为 3 2∶ C． 1m 做圆周运动的半径为 3 5 L D． 2m 做圆周运动的半径为 2 5 L 【答案】A 【解析】设双星运行的角速度为 ，由于双星的周期相同，则它们的角速度也相同，则根据牛顿第二定 律得, 对 1m 有 21 2 1 12 m mG m rL  对 2m 有 21 2 2 22 m mG m rL  联立解得 1 2 2 1: : 2:3r r m m  又因为 1 2r r L  联立方程解得 1 2 5r L ， 2 3 5r L 由 v r 可知， 相同，则 1m 、 2m 做圆周运动的线速度之比为 1 2 1 2 2 3v v r r     故选 A。 4．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每颗恒 星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双 星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周运动。观测得两颗星之间的 距离为 L，质量之比为 1 2: 3: 2m m  。则可知（ ） A． 1m 、 2m 做圆周运动的角速度之比为 2 :3 B． 1m 、 2m 做圆周运动的线速度之比为 3:2 C． 1m 做圆周运动的半径为 2 5 L D． 2m 做圆周运动的半径为 L 【答案】C 【解析】双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度， 设双星的角速度为 ，对 m1 21 2 1 12 m mG m rL  对 2m 21 2 2 22 Gm m m rL  得 1 1 2 2m r m r 1 2 2 1 2 3 r m r m   所以 1 2 5r L ， 2 3 5r L 由 v r ，可知线速度之比 1 1 2 2 2 3 v r v r   故选 C。 5．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每颗恒 星的半径远小于两颗星体之间的距离，而且双星系统一般都远离其它天体．如图，两颗质量不相等的星 球组成的双星，在相互之间的万有引力的作用下，绕连线上的 O 点做匀速圆周运动，则关于两颗星球运 动的说法中不正确的是（ ） A．线速度大小相等 B．角速度相等 C．转动周期相等 D．向心力大小相等 【答案】A 【解析】两星球都是由万有引力做向心力，故万有引力大小相等，两星球的向心力大小相等，且方向总 是相反，故相同时间两星球转过的角度相等，即角速度相等，那么，周期也相等，但是半径不同，则根 据 i 可知线速度不同，故选项 A 错误，BCD 正确。 6．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体 S1 和 S2 构成，两星在相互之 间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为 T，S1 到 C 点的距离为 r1，S1 和 S2 的距离为 r，已知引力常量为 G．因此可求出 S2 的质量为（ ） A．  2 2 1 2 4π r r r GT  B． 2 2 1 2 4π r GT C． 2 3 1 2 4π r GT D． 2 2 1 2 4π r r GT 【答案】D 【解析】设星体 S1 和 S2 的质量分别为 m1、m2，星体 S1 做圆周运动的向心力由万有引力提供得即： 2 1 2 1 12 2 4m m rG mr T  ，解得： 2 2 1 2 2 4 r rm GT  ，故 D 正确，ABC 错误． 7．两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力 而吸引到一起，则以下说法中正确的是（ ） A．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比 B．它们做圆周运动的线速度大小之比与其质量成反比 C．它们做圆周运动的半径与其质量成正比 D．它们做圆周运动的半径与其质量成反比 【答案】D 【解析】两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等．由 v＝rω得线速度与两子星圆周 运动的半径是成正比的．因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等， 由 G ＝M1r1ω2 可知 M1r1ω2＝M2r2ω2，所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的．而线速度大小又 与轨道半径成正比，所以线速度大小与它们的质量也是成反比的．正确答案为 B、D 选项． 8．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。设某 双星系统 A、B 绕其连线上的 O 点做匀速圆周运动，如图所示。若 AO>OB，则（ ） A．星球 A 的质量大于 B 的质量 B．星球 A 的线速度大于 B 的线速度 C．星球 A 的角速度大于 B 的角速度 D．星球 A 的周期大于 B 的周期 【答案】B 【解析】A.根据万有引力提供向心力 mAω2rA=mBω2rB，因为 rA＞rB，所以 mA＜mB，即 A 的质量一定小于 B 的质量，故 A 错误； BCD.双星系统角速度相等，则周期相等，根据 v=ωr 可知，vA＞vB，故 B 正确，CD 错误。 9．宇宙中有相距较近、质量可以相比的两颗星球，其他星球对他们的万有引力可以忽略不计．它们在相 互之间的万有引力作用下，围绕连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，如图所示．下列说法中 正确的是（ ） A．它们的线速度大小与质量成正比 B．它们的线速度大小与轨道半径成正比 C．它们的线速度大小相等 D．它们的向心加速度大小相等 【答案】B 【解析】A、B、C、双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据 v=ωr 可知，线速度 大小与轨道半径成正比，故 A、C 错误，B 正确；D、根据向心加速度 a=ω2r 可知，a 与 r 成正比，故 D 错误；故选 B. 10．某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质 量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知，双星 间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中（ ） A．双星做圆周运动的角速度不断减小 B．双星做圆周运动的角速度不断增大 C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小 D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径不变 【答案】A 【解析】AB．设质量较小的星体质量为 m1，轨道半径为 r1，质量大的星体质量为 m2，轨道半径为 r2．双星间的距离为 L．转移的质量为△m。根据万有引力提供向心力 对 m1： 21 2 1 12 ( )( )m m m mG m m rL       （ ） ① 对 m2： 21 2 2 22 ( )( )m m m mG m m rL       （ ） ② 由①+②得：  1 2 3 G m m L   总质量 m1+m2 不变，两者距离 L 增大，则角速度ω变小。A 正确，B 错误。 CD．由②式可得 1 2 2 2 ( )G m mr L  ＝ ，把ω 的值代入得：   1 1 2 21 2 1 2 3 ( )G m m m mr LG m m m mLL       ＝ ＝ 因为，L 增大，故 r2 增大。即质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大，CD 错误。 故选 A。 二、多选题 11．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们 的引力作用，如图，设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为 L 的 正方形的四个顶点上．已知引力常量为 G，关于四星系统（忽略星体自转的影响），下列说法正确的是 （ ） A．四颗星的向心加速度的大小为 2 2 2Gm L B．四颗星运行的线速度大小是 (1 2 2) 2 2 Gm L  C．四颗星表面的重力加速度均为 2 mG R D．四颗星的周期均为 22 (1 2 2) LL Gm   【答案】BC 【解析】四星系统的圆心在正方形中心，半径为 2 2r L ，向心力由合力提供，故 2 2 (1 2 2) 2n GmF maL   ，解得 2 (1 2 2) 2 Gma L  ，A 错误；根据公式 2va r  ，解得 (1 2 2) 2 2 Gm L v ， B 正确；根据公式 2πrT v  ，解得T  22π (2 2 1) LL Gm ，D 错误；由 2Gm gR ， 2 Gmg R  ，C 正确． 12．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的三颗星组成的三星系统。设三星系统中每个星体的质 量均为 m，半径均为 R，三颗星的球心稳定分布在边长为 a 的等边三角形的三个顶点上。三颗星围绕等边 三角形的重心做匀速圆周运动，已知引力常量为 G。关于三星系统，下列说法正确的是（ ） A．三颗星的轨道半径均为 3 3 a B．三颗星表面的重力加速度均为 Gm R C．一颗星的质量发生变化，不影响其他两颗星的运动 D．三颗星的周期均为 2πa 3 a Gm 【答案】AD 【解析】A.由几何关系知：它们的轨道半径 2 3sin 603 3 ar a  故 A 正确； B.在星球表面重力等于万有引力 2 mmm g G R  ＝ 解得 2 Gmg R ＝ 故 B 错误。 C.一颗星的质量发生变化，万有引力大小变化，合力不指向三角形中心，会影响其他两颗星的运动，故 C 错误。 D.任意两个星星之间的万有引力 2 m mF G a  每一颗星星受到的合力 F1= 3 F 合力提供它们的向心力： 2 2 22 4  3Gm rm Ta ＝ 解得 2 3 aT a Gm  故 D 正确。 三、解答题 13．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规 律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX 3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响． A 、 B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们 之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为 G ，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期T ． (1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 aF 可等效为位于 O 点处质量为 m 的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 1m 、 2m ，试求 m（用 1m 、 2m 表示）． (2)求暗星 B 的质量 2m 与可见星 A 的速率 v 、运行周期T 和质量 1m 之间的关系式． (3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 sm 的 2 倍，它将有可能成为黑洞．若可见星 A 的速率 52.7 10 m/sv   ，运行周期 44.7 10 sT   ，质量 1 6 sm m ，试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞 吗？ （ 11 2 26.67 10 N m /kgG    ， 302.0 10 kgsm   ） 【答案】（1）   3 2 2 1 2 mm m m   ．（ 2 ）   3 3 2 2 1 2 2 Tm v Gm m   ．（3）暗星 B 有可能星黑洞 【解析】（1）设 A 、 B 两颗星的轨道半径分别为 1r 、 2r ，由题意可知， A 、 B 两颗星做匀速圆周运动 的角速度相同，设其为 ，由牛顿定律可知，有 2 1 1AF m r ， 2 2 2BF m r ， A BF F ． 设 A 、 B 两颗星之间的距离为 r ，又 1 2r r r  ，由上述各式得 1 2 2 = m mr m  1r ．① 由万有引力定律，有 1 2 2A m mF G r  将①代入得   3 1 2 2 2 1 2 1 A m mF G m m r   ． 令 1 2 1 A m mF G r  ，比较可得   3 2 2 1 2 mm m m   ．② （ 2 ）由牛顿第二定律，有 2 1 12 1 1 m m vG mr r   ．③ 又可见星 A 的轨道半径 1 2 vTr  ．④ 由②③④式解得   3 3 2 2 1 2 2 m v T Gm m   ．⑤ （3）将 1 6 sm m 代入⑤式，得   3 3 2 2 2 26 s m v T Gm m   ，代入数据得   3 2 2 2 3.5m 6 s m m m   ．⑥ 设 2 ( 0)sm nm N  ，将其代入⑥式，得   3 2 2 2 2 3.5 66 1 s s s m n m m m m n        ．⑦ 可 见 ， 分 的 值 随   3 2 2 26 s m m m 的 值 随 n 的 增 大 而 增 大 ， 试 令 2n  ， 得 2 0.125 3.5 6 1 s s s n m m m n       ．⑧ 若使⑦式成立，则 n 必大于 2 ，即暗星 B 的质量 2m 必大于 2ms ，由此得出结论：暗星 B 有可能是黑 洞．得出结论，暗星有可能是黑洞． 14．如图，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L。已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和 B 分别在 O 的两侧。引力常数为 G： (1)求两星球做圆周运动的周期； (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B，月球绕其轨道中心 运行的周期为 T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记 为 T2。.已知地球和月球的质量分别设为 M 和 m。求 T2 与 T1 两者之比。 【答案】（1）   3 2 LT G M m   ； （2） 2 1 T M m T m  【解析】(1)A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 A 和 B 的向心力大小相等， 且 A、B 和 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期，因此有 2 2 2 MmG MR mrL    半径间的关系为 r+R=L 联立解得 mR LM m   Mr LM m   对 A 根据万有引力定律得 2 2 2 4MmG m rL T  解得   3 2 LT G M m   (2) 将地月看成双星，由(1)得   3 1 2 L MT G m   将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 2 2 2 2 4MmG m LL T  解得 3 2 2 GMT L 所以两种周期的比值为 2 1 T M m T m  15．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对 它们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上， 两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上， 并沿外接于等边三角形的圆轨道上运行．设每个星体的质量均为 m．万有引力常量为 G． （1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期； （2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 【答案】（1） 5 4 Gm R 4 5 RR Gm  （2） 3 12 5 R 【解析】(1)第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律得 ， 解得 v＝ ， 故周期 T＝ ＝ . (2)第二种形式下，设星体之间的距离为 L，由万有引力定律和牛顿第二定律得 而角速度ω＝ ， 解得 L＝ . 16．经过用天文望远镜的长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我 们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的 线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是 M，两者相距 L，它们正 围绕两者连线的中点做圆周运动。 (1)试计算该双星系统的运动周期 0T 。 (2)若实验上观测到的运动周期为 T，且 0: 1: (N 1)T T N  ，为了解释 T 与 T。的不同，目前有一种 流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这 两个星体连线为直径的球体内均匀地分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响。试根据这一模型 和上述观测结果确定这种暗物质的密度。（不必考虑暗物质对星体运动的阻力） 【答案】（1） 0 2LT L GM  （2） 3 3( 1) 2 N m L    【解析】解析(1)双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设运动速度为 ，向心加速度满足方程 2 2 2 / 2 MG ML L  ， 所以， 2 GM L   ， 则周期 0 2 ( / 2) 2L LT L GM    . (2)根据观测结果，星体的运动周期 0 0 1T T T N   ，这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力， 故它一定还受到其他指向中心的作用力。按题意，这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体 内的暗物质对双星系统的作用相当于质量等于球内暗物质的总质量 M  、位于中点处的质点相同，考虑暗 物质作用后双星的速度即为观察到的速度 0 ，则有 2 2 0 2 2/ 2 ( / 2) M MMM G GL L L    ， 所以 ( ) 2 G M M L   . 因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由此可得 0 1 1 1 N   ， 进而有 1 4 NM M  . 设所求暗物质的密度为 ，则有 34 1 3 2 4 L N M       ， 故. 3 3( 1) 2 N m L   