专题34 带电粒子在周期性变化电场、磁场中运动问题 2021年高考物理二轮专题解读与训练（解析版）

专题 34 带电粒子在周期性变化电场、磁场中运动问题 1.如图（甲）所示，两足够长的平行光滑的金属导轨 MN，PQ 相距为 L=1m，导轨平面与水平面夹角 α=37°，导轨电阻不计.磁感应强度为 B1=2T 的匀强磁场垂直于导轨平面向上，长为 L=1m 的金属杆 ab 垂 直于 MN，PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属杆的质量为 m1=2kg，电阻为 R1=3Ω.两金属导 轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间距离和板长均为 c=1m， 定值电阻为 R2=1Ω.现闭合开关 S 并将金属杆由静止释放，取重力加速度 g=10m/s2. （1）求金属杆沿导轨下滑的最大速率 vm； （2）当金属杆稳定下滑时，在水平放置的平行金属板间加一垂直于纸面向里的匀强磁场 B2=3T，在下板 的右端 C 点且非常靠近下板的位置有一质量为 m2=6×10-5kg，带电量为 q=-1×10-4C 的液滴以初速度 v 水平 向左射入磁场，该液滴可视为质点，要使带电液滴能从金属板间射出，则初速度 v 满足什么条件？ （3）若带电液滴射入的速度恰好使液滴从 D 点飞出，液滴从 C 点射入时，再从该磁场区域加一个如图 （乙）所示的变化磁场（正方向与 B2 方向相同，不考虑磁场变化所产生的电场），求该带电液滴从 C 点 射入到运动到 D 点所经历的时间 t. 【答案】（1）12 m/s （2） 或 （3） 【解析】（1）当金属杆匀速下滑时速度最大，设最大速度为 vm，达到最大时则有 ， ， 所以 ，解得最大速度 （2）金属杆稳定下滑时，E=BLv=24V，两板间电压 U=IR2=6V 因为液滴在两板间有 所以该液 滴在两平行金属板间做匀速圆周运动 当液滴恰从上板左端边缘射出时： ，r1=1m， ，所以 当液滴恰从上板右侧边缘射出时： 所以 ， 初速度 v 应满足 的条件是： 或 （3）当速度 v=2.5m/s 时，液滴从 D 点飞出，在磁场 B2 中运动周期 液滴在磁场中运动第一次遇到外加磁场前的过程中轨迹对应的圆心角 施加附加磁场后，液滴在磁场中做的圆周运动半径将变小，周期 T2 为 即离子刚 好能运动一个完整的圆周，接下来在 B2 磁场中继续偏转 对照外加磁场的规律可知，每隔 液滴在周期性外加磁场时，离子可做 3 次完整的匀速圆周运动， 最后还经过 D 点离开磁场，如图所示．离子从 C 点射入磁场到 D 点的总时间 t 为 解得 。 2.如图所示平面直角坐标系 xoy 位于竖直平面内，在坐标系的整个空间存在竖直向上的匀强电场，在区域 Ⅰ（0≤x≤L）还存在匀强磁场，磁场方向垂直于 xoy 平面向里。在 x 轴上方有一光滑弧形轨道 PQ，PQ 两 点间竖直高度差为 。弧形轨道 PQ 末端水平，端口为 Q（3L， ）；某时刻一质量为 m，带电荷量为 +q 的小球 b 从 y 轴上的 M 点进入区域 I，其速度方向沿 x 轴正方向；小球 b 在 I 区内做匀速圆周运动。b 进入磁场的同时，另一个质量也为 m，带电荷量为-q 的小球 a 从 P 点由静止释放。两小球刚好在 x=2L 上 的 N 点（没具体画出）反向等速率相碰。重力加速度为 g。 求：（l）电场强度 E；（2）a 球到达 N 点时的速度 v；（3）M 点的坐标。 【答案】（1） （2） 与水平方向夹角为 （3）（0， ） 【解析】（1）有小球 b 在Ⅰ区做匀速圆周运动，有 ，解得： （2）设 a 小球到 Q 处的水平速度为 ，则 a 小球从 P 到 Q，由动能定理得： 解得 a 小球从 P 到 Q，做类平抛运动，加速度为 a 在 x 方向： 在 y 方向： t 时刻 y 方向的分速度为 a 小球到 N 时的速度的大小为 速度与水平方向夹角为 则 （3）由于 a，b 两小球刚好在 x=2L 上的 N 点（没具体画出）反向等速率相碰，则 b 在离开磁场 A 位置时 速度也为 ，且方向与 x 轴成 45°，如图所示 由几何关系得 b 在磁场中的轨迹半径 ， A 到 x 的距离为 ， M 到 x 的距离为 ， 即 M 点的坐标为（0， ）。 3.如图甲所示，偏转电场的两个平行极板水平放置，板长 L=0.08m，板间距足够大，两板的右侧有水平宽 度 l=0.06m，竖直宽度足够大的有界匀强磁场。一个比荷为 的带负电粒子以速度 v0=8×105m/s 从两板中间沿与板平行的方向射入偏转电场，若从该粒子进入偏转电场时开始计时，板间场 强恰好按图乙所示的规律变化。粒子离开偏转电场后进入匀强磁场并最终垂直磁场右边界射出。不计粒 子重力，求： （1）粒子在磁场中运动的速率 v； （2）粒子在磁场中运动的轨道半径 R 和磁场的磁感应强度 B。 【答案】（1） （2）0.1m 0.2T 【解析】（1）根据题意，电子在偏转电场中的运动时间： ① 对比乙图可知，电子在极板间运动的时间是偏转 电场的一个周期。 在第一个 t=5×l0—8s 时间内，电子在垂直于极板 方向上做初速为 0 的匀加速直线运动，有： ② ③ 在第二个 t=5×l0—8s 时间内，电子做匀速直线运 动，带电粒子进入磁场时的速度为： ④ 联解①③④⑤得： ⑤ （2）作出电子在磁场中的轨迹如图所示 ⑥ 设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，由几何关系有： ⑦ 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有： ⑧ 联解⑦⑧得：R=0.1m⑨B=0.2T⑩ 4.如图所示，在 xOy 平面内存在均匀，大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙，丙所 示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿 y 轴正方向电场强度为正）。在 t=0 时刻由原点 O 发射 初速度大小为 vo，方向沿 y 轴正方向的带负电粒子。 已知 v0，t0，B0，粒子的比荷为 ，不计粒子的重力。求： （1）t=t0 时，求粒子的位置坐标； （2）若 t=5t0 时粒子回到原点，求 0～5to 时间内粒子距 x 轴的最大距离； （3）若粒子能够回到原点，求满足条件的所有 E。，值。 【答案】（1）（ ，0）（2） （3） （n=1，2，3，…） 【解析】（1）由粒子的比荷 ，则粒子做圆周运动的周期 ，则在 内转过的 圆心角 ，由牛顿第二定律 ，得 ，位置坐标（ ，0）； （2）粒子 时回到原点，轨迹如图所示 ， 得 ；又 ， ，粒子在 时间内做匀加速直 线 运 动 ， 时 间 内 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 则 在 时 间 内 粒 子 距 x 轴 的 最 大 距 离 ： ； （3）如图所示， 设带电粒子在 x 轴上方做圆周运动的轨道半径为 r1，在 x 轴下方做圆周 运动的轨道半径为 r2，由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足: （n=1，2，3，…） 联立以上解得 又由于 得 （n=1，2，3，…） 5.在直角坐标系的第一象限内存在按如图所示规律变化的磁场，磁场的左边界与 y 轴重合，右边界与 x 轴 成 30o 角；第二象限内存在磁感应强度为 的匀强磁场；第三象限内存在与 y 方向成 45o 角的匀 强电场，电场强度大小为 E。一质量为 m，电荷量为+ q 的带电粒子从（0，-a）点由静止释放，从（- a，0）点进入第二象限并垂直 y 轴离开第二象限。若磁场方向垂直于纸面向外时磁感应强度为正值，t=0 时粒子进入第一象限，不计粒子重力，求： （1）粒子进入第二象限时的速度大小和在第三象限内运动的 时间； （2）粒子离开第二象限时的位置和在第二象限内运动的时间； （3）B3 为多大时粒子刚好能离开第一象限内的磁场区域。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】⑴粒子在电场中运动时： ， 解得： ， ⑵由牛顿第二定律得 解得 粒子离开第二象限时的 y 轴坐标 ， 粒子在第二象限内运动时 ； ； ⑶如图，相切时粒子刚好能离开第一象限内的磁场区域 0～ 内由 ； 得 ， 磁场的变化时间正好等于 1/4 周期，轨迹为 1/4 圆周，此后粒子 经历 4B0 磁场 ； 由图象知粒子整好运动了一个周期，轨迹为一完整圆周。在磁场为 B3 中运动时 ； ； ； ； 6.如图甲所示，在光滑绝缘的水平桌面上建立一 xoy 坐标系，平面处在周期性变化的电场和磁场中，电场 和磁场的变化规律如图乙所示（规定沿+y 方向为电场强度的正方向，竖直向下为磁感应强度的正方 向）．在 t=0 时刻，一质量为 10g，电荷量为 0.1C 的带电金属小球自坐标原点 O 处，以 v0=2m/s 的速度沿 x 轴正方向射出．已知 E0=0.2N/C，B0=0.2πT．求： （1）t=1s 末速度的大小和方向； （2）1s～2s 内，金属小球在磁场中做圆周运动的半径和周期； （3）在给定的坐标系中，大体画出小球在 0 到 6S 内运动的轨迹示意图． （4）6s 内金属小球运动至离 x 轴最远点的位置坐标． 【答案】（1）2 m/s 与 x 轴正方向的夹角 450 （2） /π（m） 1s （3）如图 （4）{（6－3/π）m ，（9+ ）m} 【解析】（1）在 0～1s 内，小球在电场力作用下，在 x 轴方向上做匀速运动 vx=v0，y 方向做匀加速直线 运动 vy＝（qEo/m）t1；1s 末粒子的速度 v1＝ =2 m/s 设 v1 与 x 轴正方向的夹角为α，则 tanα＝vy/vx=1 ，故α=450 （2）在 1s～2s 内，小球在磁场中做匀速圆周运动的周期 T＝2πm/qBo=1s ，由洛仑兹力公式得 qv1B0＝ mv12/R1，解得 R1＝mv1/qBo= /π（m）； （3）如图所示 ，在 t=5s 内，小球运动轨迹可看做一个连续抛物线.由匀变速直 线运动规律 x 方向上 x3=vot Vx=vo；y 方向上 y3=at2/2 a=qEo/m vy3=at 5s 末时小球的速度 v= =2 m/s tanθ=vy3/vo=3 （θ为 v 与 x 轴的夹角） 在 5～6s 内，小球在磁场中做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力有 R=mv/ qBo 由几何关系得，离 x 轴最远点 G 的坐标为（x,y）其中 x=x3－x2，y=y3+y2 而 x2=Rsinθ,y2=R（1+cosθ） 由上述各式可得 x=（6－3/π）m y=（9+ ）m 7.如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P，Q 垂直于 y 轴且关于 x 轴对称，极板长度和板间距均为 l，第一四象限有磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里。位于极板左侧的粒子源沿 x 轴间右连接发射质量为 m， 电量为+q，速度相同，重力不计的带电粒子在 0~3t0 时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘 的影响）。已知 t=0 时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t0 时，刻经极板边缘射入磁场。上述 m，q，，t0， B 为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况） （1）求电压 U0 的大小。 （2）求 t0 时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。 （3）带电粒子在磁场中的运动时间。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）t=0 时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t0 时刻刚好从极板边缘射出， 在 y 轴负方向偏移的距离为 l/2，则有 Eq=ma l/2=at02/2 联立解得两极板间偏转电压为 。 （2）t0 时刻进入两极板的带电粒子，两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动。 带电粒子沿 x 轴方向的分速度大小为 v0=l/t0 设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为 R，则有 联立⑤⑥式解得 （3）2t0 时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短。带电粒子离开磁场时沿 y 轴正方向的分速度 为 vy=at0，设带电粒子离开电场时速度方向与 y 轴正方向的夹角为 ，则 ， 联立解得 ， 带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为 ，所求最短时间为 , 带 电粒子在磁场中运动的周期为 ，联立以上两式解得 。 同理，t=0 进入两极板的带电 粒子在磁场中运动的时间最长为： ；所以，带电粒子在磁场中的运动时间： 8.某放置在真空中的装置如图甲所示，水平放置的平行金属板 A，B 中间开有小孔，小孔的连线与竖直放 置的平行金属板 C，D 的中心线重合。在 C，D 的下方有如图所示的，范围足够大的匀强磁场，磁场的理 想上边界与金属板 C，D 下端重合，其磁感应强度随时间变化的图象如图乙所示，图乙中的 为已知， 但其变化周期 未知。已知金属板 A，B 之间的电势差为 ，金属板 C，D 的长度均为 L，间 距为 。质量为 m，电荷量为 q 的带正电粒子 P（初速度不计，重力不计）进入 A，B 两板之间被加 速后，再进入 C，D 两板之间被偏转，恰能从 D 极下边缘射出。忽略偏转电场的边界效应。 （1）求金属板 C，D 之间的电势差 UCD。 （2）求粒子离开偏转电场时速度的大小和方向。 （3）规定垂直纸面向里的磁场方向为正方向，在图乙中 t=0 时刻该粒子进入磁场，并在 时刻粒 子的速度方向恰好水平，求磁场的变化周期 T0 和该粒子从射入磁场到离开磁场的总时间 t 总。 【答案】（1） （2） 方向 ；（3） 【解析】（l）设粒子在加速电场中被加速后获得的速度为 ，由动能定理得： ；解得： ；设粒子在偏转电场中运动的加速度为 a，运动时间为 t，由牛顿运动定律和类平抛运动规 律可得： ， ， ；联立解得： ； （2）设粒子离开偏转电场时的速度大小为 ，由动能定理得： 解得： 设粒子由 k 点离开电场时偏转角为 ，由平行四边形定则得： 解得： （3）由作图和分析可得，粒子在磁场中的运动轨迹如下图所示 。 粒子在磁场中做圆周运动的周期为： ；粒子从 k 进入磁场，沿逆时针方向运动，由“ 时刻的速度方向恰好水平”可知，轨迹对应的图心角为 ；即 故有： ； 联立上述各式解得： ； 结合图乙可知，粒子经过 点时，磁场反向，在 内粒子沿顺时 针方向运动半周到达 点；此时磁场再反向，粒子在 内沿逆时针方向运动到 点；接着在 内运动到 点；再接着在 内运动到 点；由作图和分析可知，最后经 从 点离开磁 场。 则该粒子从射入磁场到离开磁场的总时间为：t 总= 即：t 总= 9.如图所示，宽度为 c 的竖直狭长区域内（边界为 L1，L2），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向周 期性变化的电场（如图 2 所示），电场强度的大小为 ， >0 表示电场方向竖直向上． =0 时，一带正 电，质量为 的微粒从左边界上的 N1 点以水平速度 射入该区域，沿直线运动到 Q 点后，做一次完整的 圆周运动，再沿直线运动到右边界上的 N2 点．Q 为线段 N1N2 的中点，重力加速度为 ．上述 ， ， ， ， 为已知量． （1）求微粒所带电荷量 和磁感应强度 的大小； （2）求电场变化的周期 ； （3）改变宽度 ，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求 的最小值． 【答案】（1） ； ；（2） ；（3） 【解析】（1）根据题意，微粒做圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，重力与电场力平衡， 则 mg=qE0① ∵微粒水平向右做直线运动，∴竖直方向合力为 0． 则 mg+qE0=qvB ② 联立①②得： ③ ④ （2）设微粒从 N1 运动到 Q 的时间为 t1，作圆周运动的周期为 t2， 则 ⑤ ⑥ 2πR=vt2⑦ 联立③④⑤⑥⑦得： ， ⑧ 电场变化的周期 T=t1+t2= ⑨ （3）若微粒能完成题述的运动过程，要求 c≥2R ⑩ 联立③④⑥得： ，设 N1Q 段直线运动的最短时间 t1min，由⑤⑩得 ， 因 t2 不变，T 的最小值 Tmin=t1min+t2= ．