1.1 同底数幂的乘法
第一章 整式的乘除
学习目标
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.（重点）
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.（难点）
问题引入
我国国防科技大学成功研制的“天河二号”超级计算机以每秒
33.86千万亿（3.386×1016）次运算.问：它工作103s可进行多少次运算？
导入新课
（1）怎样列式？
3.386×1016 ×103
我们观察可以发现，1016 和103这两个幂的底数相同，
是同底的幂的形式.
（2）观察这个算式，两个乘数1016与103有何特点？
所以我们把1016 ×103这种运算叫作同底数幂的乘法.
讲授新课
同底数幂相乘一
（1）103表示的意义是什么？
其中10，3，103分别叫什么？
=10×10×10
3个10相乘
103底数
幂
指数
( 2 )10×10×10×10×10可以写成什么形式?
10×10×10×10×10=105
u忆一忆
1016×103=？
=(10×10×…×10)
（16个10）
×(10×10×10)
(3个10)
=10×10×…×10
(19个10)
=1019
=1016+3
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
u议一议
（1）25×22=2 （ ）
1.根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现
什么规律？
u试一试
=(2×2×2×2×2) ×(2×2)
=2×2×2×2×2× 2×2
=27
（2）a3·a2=a（ ）
=(a﹒a﹒a) (a﹒a)
=a﹒a﹒a﹒a﹒a
=a5
7
5
同底数幂相乘，底数不变，
指数相加
5m× 5n =5（ ）
2.根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现
什么规律？
=(5×5×5×…×5)
(m个5)
×(5×5×5 ×…×5)
(n个5)
=5×5×…×5
(m+n个5)
=5m+n
u猜一猜
am · an =a（ ）m+n
注意观察：计算前后，
底数和指数有何变化?
如果m,n都是正整数，那么am·an等于什么？
为什么？
am·an
( 个a)
·(a·a·…·a)
( 个a)
=(a·a·…·a)
( 个a)
=a( )
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
m n
m+n
m+n
u证一证
=(a·a·…·a)
am · an = am+n (m，n都是正整数).
同底数幂相乘, 底数 ，指数 .不变 相加
u同底数幂的乘法法则：
归纳总结
结果：①底数不变
②指数相加
注意 条件：①乘法
②底数相同
典例精析
(1) (－3)7×(－3)6； (2)
(3)－x3·x5； (4)b2m·b2m+1 .
解：(1)原式=(－3)7+6=(－3)13；
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
例1 计算：
－x3+5= －x8；
b2m+2m+1=b4m+1.
提醒：计算同底数幂的乘法时，要注意算式里面的负号是属于幂的
还是属于底数的．
;111
1)111
1( 3
;)111
1()111
1( 413
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)x4·x6=x24 ( ) （2） x·x3=x3 ( )
(3) x4+x4=x8 ( ) (4) x2·x2=2x4 ( )
(5)(－x)2 · (－x)3 = (－x)5 ( )
(6)a2·a3－ a3·a2 = 0 ( )
(7)x3·y5=(xy)8 ( )
(8) x7+x7=x14 ( )
√
√
× ×
× ×
×
× 对于计算出错的题目，你能分析出错的原
因吗？试试看！
练一练
a · a6 · a3
类比同底数幂的乘法公式am · an = am+n (当m、n都是正整数)
am· an· ap = am+n+p （m、n、p都是正整数)
想一想:当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用
字母表示 等于什么呢？ am · an · ap
u比一比
= a7 · a3 =a10
典例精析
例2 光在真空中的速度约为3×108m/s,太阳
光照射到地球上大约需要5×102m/s.地球距离
太阳大约有多远？
解：3×108×5×102
=15×1010
=1.5×1011(m).
答：地球距离太阳大约有1.5×1011m.
当堂练习
1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正.
(1)b3·b3=2b3
(2)b3+b3=b6
(3)a·a5·a3=a8
(4)(－x)4·(－x)4=(－x)16
×
×
×
×
b3·b3=b6
b3+b3=2b3
=x8
a·a5·a3=a9
(－x)4·(－x)4=(－x)8
(1)x·x2·x( )=x7;
(2)xm·（ ）=x3m;
(3)8×4=2x，则x=( ).
23×22=25
4
5
x2m
2.填空：
A组
（1）(－9)2×93
（2）(a－b)2·(a－b)3
（3）－a4·(－a)2
3.计算下列各题：
注意符号哟！ B组
(1) xn+1·x2n
(2)
(3) a·a2+a3
1 1
10 10
m n
=92×93=95
=(a-b)5
=－a4·a2
=－a6
=x3n+1
=a3+a3=2a6
+1
1 0
m n
公式中的底数和指数可以是一个数、字母
或一个式子.
注意
（1）已知an－3·a2n+1=a10,求n的值;
（2）已知xa=2,xb=3,求xa+b的值.
公式逆用：am+n=am·an
公式运用：am·an=am+n
解：n－3+2n+1=10,
n=4;
解：xa+b=xa·xb=2×3=6.
4.创新应用.
课堂小结
同底数幂的
乘法
法 则
am·an=am+n (m,n都是正整数）
注 意
同底数幂相乘，底数不变，指数
相加
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）
直接应用法则
常见变形：(－a)2=a2, (－a)3=－a3
底数相同时
底数不相同时
先变成同底数,
再应用法则
1.2 幂的乘方与积的乘方
第一章 整式的乘除
第1课时 幂的乘方
学习目标
1.理解并掌握幂的乘方法则;（重点）
2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活运用.（难点）
a · a · … · a
n个a
=an
同底数幂乘法的运算法则：
am · an
am · an
am+n （m,n都是正整数）
=(a · a · … · a)·
m个a
(a · a · … · a)
n个a
= a · a · … · a
(m+n)个a
= am+n
推导过程
复习
情境导入
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分
别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
你知道(102)3等于多少吗？
V球= —πr3 ，
其中V是球的体积，r是
球的半径.
3
4
导入新课
1.一个正方体的棱长是10，则它的体积是 多少？
2.一个正方体的棱长是102，则它的体积是 多少？
讲授新课
幂的乘方一
自主探究
103 =10×10×10 =101+1+1 =101×3
(102)3 =102×102×102 =102+2+2 =102×3
3.100个104相乘怎么表示？又该怎么计算呢？
(104)100
100个104
100个4
猜一猜
=am·am· …·am （乘方的意义）
=am+m+…+m （同底数幂的乘法法则）
（乘法的意义） =a100m
=104×100
=104×104×…×104 =104+4+…+4
(am)100
（1）(a3)2 =a3·a3
am·am·…·am
n个am
= am+m+……+m
n个m
=am·am （2）(am)2
=amn（am）n=
=a3+3 =a6
=am+m = a2m (m是正整数)
请你观察上述结果的底数与指数有何变化？你能
猜想出幂的乘方是怎样的吗？
做一做
u幂的乘方法则
(am)n= amn (m，n都是正整数）
幂的乘方，底数 ＿＿，指数＿＿.不变 相乘
归纳总结
例1 计算：
解:(1)(102)3=102×3=106；
(2)(b5)5 =b5×5=b25;
典例精析
(6)2(a2)6–(a3)4=2a2×6 －a3×4 =2a12-a12 =a12.
(5)(y2)3 · y=y2×3·y=y6·y=y7;
注意：一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．
(3)(an)3=an×3=a3n;
(1)(102)3 ； (2)(b5)5;
(5)(y2)3·y; (6) 2(a2)6 － (a3)4 .
(3)(an)3;
(4)－(x2)m;
(4)－(x2)m=－x2×m=－x2m;
nmnm aa )(
1052 aaa
20102 )( aa
632 )4
3(])4
3([
2221 )( nn bb
1052 )(])[( yxyx
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
判断对错：
（ × ）
（ × ）
（ √ ）
（ × ）
（ √ ）
（ √ ）
练一练
例2 已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：∵2x＋5y－3＝0，
方法总结：本题考查了幂的乘方的逆用及同底
数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．
∴2x＋5y＝3，
∴4x·32y＝(22)x·(25)y
＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
底数不同，需要化成同
底数幂，才能进行运算.
当堂练习
1.判断下面计算是否正确？正确的说出理由,
不正确的请改正.
（1）(x3)3=x6； =x3×3=x9×
（2）x3·x3=x9； × =x3+3=x6
（3）x3+ x3=x9. × =2x3
2.计算：
(1) (103)3 ; (2) (x3)4 · x2 ;
(3) [(－x)2 ]3 ; (4) x·x4 – x2 · x3 .
解：（1）原式=103×3=109；
（2）原式=x12· x2=x14;
（3）原式=(x2)3=x6;
（4）原式=x5–x5=0.
3.已知 am=2，an=3,
求:（1）a2m ，a3n的值；
解:(1) a2m =(am)2 =22 =4，
a3n =(an)3 = 33=27；
(3) a2m+3n = a2m. a3n =(am)2. (an)3 =4×27=108.
（3）a2m+3n 的值.
（2）am+n 的值;
(2) am+n = am.an =2×3=6；
你能比较 的大小吗？ 334455 5,4,3
思维拓展
1111511555 )243()3(33
1111411444 )256()4(44
1111311333 )125()5(55
111111 )125()243()256( ＞＞
335544 534 ＞＞
课堂小结
幂的乘方
法 则
（am）n=amn (m,n都是正整数）
注 意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的
区别：(am)n=amn; am﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m
1.2 幂的乘方与积的乘方
第一章 整式的乘除
第2课时 积的乘方
学习目标
1.理解并掌握积的乘方的运算法则；（重点）
2.掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用.（难点）
导入新课
复习导入
1.计算:
（1） 10×102× 103 =______ ；
（2） (x5 )2=_________.x10
106
2.（1）同底数幂的乘法：am·an= ( m，n都是
正整数).
am+n
（2）幂的乘方：(am)n= (m,n都是正整数）.amn
底数不变
指数相乘指数相加
同底数幂相乘
幂的乘方
其中m , n都是正
整数
（am）n=amn
am·an=am+n
想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点
和不同点？
我们学过的幂的乘方
的运算性质适用吗？
讲授新课
积的乘方一
思考下面两道题:
2( ) ;ab 3( ) .a b(1) (2)
我们只能根据乘方的意义及乘法交换律、结合律
可以进行运算.
这两道题有什么特点？
底数为两个因式相乘，积的形式.
这种形式为积的
乘方.
2( )ab ( ) ( )a b a b
( ) ( )a a b b
2 2a b
同理：
（乘方的意义）
（乘法交换律、结合律）
（同底数幂相乘的法则）
3( )a b ( ) ( ) ( )ab ab ab
( ) ( )a a a b b b
3 3a b
(ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n个ab
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
n个a n个b
=anbn.
证明：
思考：积的乘方(ab)n =?
猜想结论：
因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数).
(ab)n=anbn (n为正整数)
推理验证
积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘.
(ab)n = anbn （n为正整数）
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
知识要点
积的乘方 乘方的积
例1 计算:
(1)(3x)2 ； (2)(－2b)5 ；
(3)(－2xy)4 ； (4)(3a2)n.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
= 9x2；
= －32b5；
=16x4y4；
=3na2n.
32x2
(－2)5b5
(－2)4x4y4
3n(a2)n
典例精析
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个
因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏方．
例2 太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R 分别代表球的
体积和半径，那么V＝ πR3，太阳的半径约为6×105千米，它
的体积大约是多少立方千米(π取3)?
3
4
解：∵R＝6×105千米，
∴V＝ πR3 ≈ ×3×(6×105)3
≈8.64×1017(立方千米)．
答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．
3
4
3
4
方法总结：读懂题目信息，理解球的体积 公式并熟记积
的乘方的性质是解题的关键．
( ) .4 101 24
[( ) ]2 4 101 22
解：原式 逆用幂的乘方的运算性质
( )8 101 22
幂的乘方的运算性质
( )8 8 21 2 22
逆用同底数幂的乘法运算
性质
( )8 21 2 22
逆用积的乘方的运算
性质
.4
例3 计算: 1 2=12
提示：可利用 简化运算
知识要点
幂的运算法则的反向应用
an·bn = (ab)n am+n =am·an
amn =(am)n
u作用：
使运算更加简便快捷！
当堂练习
(1)（ab2)3=ab6 ( ) ×
×
×
(2) (3xy)3=9x3y3 ( )
×(3) (－2a2)2=－4a4 ( )
(4) －(－ab2)2=a2b4 ( )
1.判断:
2.下列运算正确的是（ ）
A.x.x2=x2 B.(xy)2=xy2 C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
C
3. (0.04)2018×[(－5)2018]2=________. 1
(1) (ab)8; (2) (2m)3; (3) (－xy)5;
(4) (5ab2)3; (5) (2×102)2; (6) (－3×103)3.
4.计算:
解：(1)原式=a8·b8;
(2)原式= 23 ·m3=8m3;
(3)原式=(－x)5 ·y5=－x5y5;
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6;
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104;
(6)原式=(－3)3 ×(103)3=－27 ×109=－2.7 ×1010.
（1）2(x3)2·x3－(3x3)3+(5x)2·x7;
（2）(3xy2)2+(－4xy3) · (－xy) ;
（3）(－2x3)3·(x2)2.
解：原式=2x6·x3－27x9+25x2·x7
= 2x9－27x9+25x9 = 0;
解：原式=9x2y4 +4x2y4
=13x2y4;
解：原式= －8x9·x4 =－8x13.
注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.
5.计算:
能力提升：如果(an.bm.b)3=a9b15,求m, n的值.
(an)3.(bm)3.b3=a9b15,
a3n .b3m.b3=a9b15 ,
a3n.b3m+3=a9b15,
3n=9,3m+3=15.
n=3,m=4.
解:∵(an.bm.b)3=a9b15,
课堂小结
幂的运算性质
性 质 am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
反 向 运
用
am · an =am+n、
(am)n =amn
an·bn = (ab)n
可使某些计算简捷
注 意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都
要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆
向运用（混合运算要注意运算顺序）
1.3 同底数幂的除法
第一章 整式的乘除
第1课时 同底数幂的除法
1.经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底
数幂的除法法则;
2.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负
整数指数幂的运算;（重点，难点）
3.会用同底数幂的除法法则进行计算.（重点、难点）
学习目标
问题 幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？
同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即aman=am＋n（m，n都是正整数）
导入新课
回顾与思考
an
底数
幂 指数
情境导入
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科
学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体
中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
1012÷109
（2）观察这个算式，它有何特点？
我们观察可以发现，1012 和109这两个幂的底数相同，
是同底的幂的形式.所以我们把1012 ÷109这种运算叫作同底数幂的除
法.
（1）怎样列式？
根据同底数幂的乘法法则进行计算：
28×27＝ 52×53＝
a2×a5＝ 3m－n×3n＝
215 55
a7 3m
（ ）× 27＝215
（ ）×53＝ 55
（ ）×a5＝a7
（ ）×3n ＝
28
a2
52
乘法与除法互为逆运算
215÷27=( ) =215－7
55÷53=( ) =55-3
a7÷a5=( ) =a7-5
3m÷3m－n=( ) =3m－(m－n)
28
52
a2
3n
填一填：
上述运算你发现
了什么规律吗？
讲授新课
同底数幂的除法一
u自主探究
3m－n 3m
猜想:am÷an=am－n(m＞n)
验证:am÷an= ...
...
a a a
a a a
m个a
n个a
=(a·a· ··· ·a)
m－n个a
=am－n
总结归纳
(a≠0，m，n是正整数，且m＞n).am÷an=am－n
即:同底数幂相除，底数不变，指数相减.
例1 计算：
典例精析
(1)a7÷a4; (2)(－x)6÷(－x)3;
(3)(xy)4÷(xy); (4)b2m+2÷b2.
(1)a7÷a4=a7－4
=(－x)3
(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1
(4)b2m+2÷b2
注意：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
解： =a3；
(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3 =－x3；
=(xy)3 =x3y3；
=b2m+2－2 =b2m.
已知：am=8,an=5. 求：
（1）am－n的值； (2)a3m－3n的值.
解:(1)am－n=am÷an=8÷5 = 1.6；
(2)a3m－3n= a3m ÷ a3n
= (am)3 ÷(an)3
=83 ÷53
=512 ÷125
=
同底数幂的除法可以逆用：am－n=am÷an
这种思维叫作
逆向思维 (逆
用运算性质）.
512.125
10001.0
1001.0
101.0
101
零次幂与负整数次幂二
1010
10100
101000
1010000 4
3
2
1
22
24
28
216 4
28
1
24
1
22
1
21
0
–1
–2
–3
3
2
1
0
–1
–2
–3
我们规定
即任何不等于零的数的零次幂都等于1.
即用a-n表示an的倒数.
0 1 0 .a a （ ）
知识要点
1 0 .n
na a na
（ ， 是 正 整 数 ）
例2 用小数或分数表示下列各数：
解：
典例精析
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4.
（1）10－3
310
1
1000
1 =0.001.
（2）70×8－2
28
11 ;64
1
注意：a0
=1
（3）1.6×10－4
410
16.1 =1.6×0.0001
=0.00016.
练一练
计算下列各式，你有什么发现？与同伴交流.
(1)7－3÷7－5； (2)3－1÷36；
(3)(－8)0÷(－8)－2.
解：(1)7－3÷7－5= =7－3－(－5)；
(2)3－1÷36= =3－1－6
(3)(－8)0÷(－8)－2= 2
2
11 =( 8)( 8)
=(－8)0－(－2)
5 2
3 5 3
1 1 1= 7 =77 7 7
6 6 7
1 1 1 1= =3 3 3 3 3
总结归纳
(a≠0，m，n是任意整数).1.am÷an=am－n
即:同底数幂相除，底数不变，指数相减.
1 12 . = 0 .n n
na a na a
（ ， 是 整 数 ）
1.计算：
1 2
4
31 3
；
1 5 1 22 22 -3 3
；
8= 3解 ： 原 式 ；
15 12
15 12
2 3= 3 2
8
27
解：原式 ﹣
﹣ ；
当堂练习
2 7
2 43 ;x y
x y
（ - ）（ ）（ - ）
2 14 .m ma a m （ ） （ 是 正 整 数 ）
14 7
8 4
6 3
= x y
x y
x y
解：原式 ﹣
﹣ ； 1
=
.
m m
m
m
a a a
a
a
解：原式
2.计算（结果用整数或分数表示）：
00 . 5 01 （ ） 51 0
61
2
（ ） 33
4
（ ）
1 1 1
100000
64 64
27
3.下面的计算对不对？如果不对，请改正.
5 5 ;a a a （ 1 ）
1 0
4 4
62 = .x y x yx y
（ - ）（ ） -（ - ）
5 4a a a 解 ： 不 正 确 ， 改 正 ： ；
1 0
4 4 4
6
- - .-
xy xy x yxy
（ ）解 ： 不 正 确 ， 改 正 ：（ ）
4.已知3m=2, 9n=10, 求33m－2n 的值.
解： 33m－2n =33m÷32n
=(3m)3÷(32)n
=(3m)3÷9n
=23÷10
=8÷10
=0.8.
5. 地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数字表示地
震的强度是10的若干次幂.例如，用里克特震级表示地震是8级，
说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天
后，加利福尼亚发生了7级地震，加利福尼亚的地震强度是荷兰
地震强度的多少倍？
解：由题意得 ，
答：加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的100倍.
6
2
4
10 10 10010
6.若a＝(－ )－2，b＝(－1)－1，c＝(－ )0，则
a、b、c的大小关系是( )
A．a＞b＝c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
3
2
2
3
解析：∵a＝(－ )－2＝(－ )2＝ ，
b＝(－1)－1＝－1，c＝(－ )0＝1，
∴a＞c＞b.
3
2 3
2
9
4
2
3
B
7.计算：－22＋(－ )－2＋(2016－π)0－|2－ π|.2
1
2
1
解：－22＋(－ )－2＋(2016－π)0－|2－ π|2
1
2
1
2
1＝－4＋4＋1－2＋ π
2
1＝ π－1.
1.同底数幂的除法法则:
同底数幂相除, 底数不变，指数相减.
(a≠0, m、n为任意整数)
m
m n
n
a aa
课堂小结
2.任何不等于零的数的零次幂都等于1.
3.负整数指数幂：
0 1 0a a （ ）
1 1 n
n
na a a
= （a≠0，n为正整数）
1.3 同底数幂的除法
第一章 整式的乘除
第2课时 用科学记数法表示较小的数
学习目标
1.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.（重点）
2.会用科学记数法解决相应的实际问题．（难点）
科学记数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a
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