北师版七年级数学下册第五章生活中的轴对称习题课件

第五章 生活中的轴对称 北师版 5．1 轴对称现象 知识点❶ 轴对称图形 1．下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的 一句是( ) A．上海自来水来自海上 B．有志者事竟成 C．清水池里池水清 D．蜜蜂酿蜂蜜 2．(安顺中考)下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( ) B D 3．(资阳中考)下列图形具有两条对称轴的是( ) A．等边三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 知识点❷ 轴对称 4．下面的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是( ) C A 5．观察下图中各组图形，其中不是轴对称的是( ) 6．如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD关于BD成为轴对称，还需添 加一个条件，你添加的条件是_________________.(只需写一个，不添加 辅助线) C AD＝CD 7．如图，桌面上有M，N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一 次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是( ) A．点A B．点B C．点C D．点D D 8．判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴． 解：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．则 (1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形；(2)(4)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(8) 有1条对称轴；(10)有2条对称轴 9．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找 出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共 有多少个？请都画出来．(把新作的三角形涂黑，每种情况都画一个图) 解： 第五章 生活中的轴对称 北师版 5．2 探索轴对称的性质 知识点❶ 轴对称的性质 1．如图，△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称，∠D＝80°， 则∠B的度数为( ) A．80° B．90° C．70° D．不能确定 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且AB＝3，A′C′＝5， BC＝7，则B′C′＝( ) A．3 B．5 C．7 D．不能确定 A C 3．(南充中考)如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线 MN上的点，下列判断错误的是( ) A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM B 4．如图，若△ABC和△DBC关于直线BC对称，若△ABC的周长为12 cm， 则△DBC的周长为________cm.12 5．如图，已知△ABM和△ACM关于直线AM对称，延长BM，CM，分 别交AC，AB于点D，E.请找出图中与DM一定相等的线段，并说明理 由． 知识点❷ 画轴对称 6．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平， 你可见到( ) 7．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点的________，连接 __________，就可以得到原图形的轴对称图形． C 对称点 对称点 8．如图，已知△ABC和直线m，画出与△ABC关于直线m对称的图 形．(不要求写出画法，但应保留作图痕迹) 解：如图所示，△A′B′C′即为△ABC关 于直线m对称的图形 9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝5，AD＝4， 则图中阴影部分的面积为( ) A．5 B．10 C．15 D．20 A 10．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论中正确的有 ( ) (1)△ABC≌△A′B′C′；(2)∠BAC＝∠B′A′C′；(3)BC＝B′C′；(4)直线l 垂直平分CC′. A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 D 11．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，D两点落在B′，D′ 点处，若得∠AOB′＝70°，则∠B′OG的度数为_______. 55° 12．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位 置不同的三角形有_____个．8 13. 如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN 上． (1)图中点B的对称点是________，点C的对称点是________； (2)写出图中相等的一对线段是________，相等的一对角是________； (3)写出图中全等的一对三角形是________． 解：(1)图中点B的对称点是D，点C的对称点是E  (2)图中相等的一对线段是AB＝AD，相等的一对角是∠B＝∠D(答案不唯一) (3)图中全等的一对三角形是△ABC≌ △ADE(答案不唯一) 14．如图，两个四边形关于直线l对称，∠C＝90°，试写出a，b的长度，并 求出∠G的度数． 解：∵两个四边形关于直线l对称， ∴四边形ABCD与四边形FEHG重合， ∴∠H＝∠C＝90°，∠A＝∠F＝80°，∠E＝∠B＝135°， ∴∠G＝360°－∠H－∠E－∠F＝55°， ∴a＝5 cm，b＝4 cm 15．如图，在△ABC中，AM是对称轴，点B的对称点是点C，点D的对称点 是点E. (1)有人认为AB＝AC，M是BC的中点，你认为正确吗？为什么？ (2)你猜想图中有哪些相等的线段和相等的角？你作出这样的判断的依据是 什么？ 解：(1)正确．AM是对称轴，B的对称 点C；沿AM折叠，AB，AC重合 (2)AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE， DM＝EM；∠B＝∠C等．理由：轴对称图 形的对应边相等，对应角相等 16．在△ABC中，C，C′关于DE对称，判断∠1，∠2，∠C′的关系并说明理 由． 解：2∠C′＝∠1＋∠2. 理由：∵∠CDE＋∠C′DE＋∠C＋∠C′＋ ∠CED＋∠C′ED＝360°，∠CDE＋∠C′DE＋ ∠1＋∠CDE＋∠C′ED＋∠2＝360°， ∴∠1＋∠2＝∠C＋∠C′， ∵在△ABC中，C，C′关于DE对称， ∴∠C＝∠C′， ∴2∠C′＝∠1＋∠2 第五章 生活中的轴对称 北师版 5．3 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的性质 知识点❶ 等腰三角形的性质 1．已知等腰△ABC中，顶角∠A＝40°，则底角的大小为( ) A．40° B．70° C．100° D．40°或70° 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不一定 成立的是( ) A．AB＝AC B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD B D 3．(兰州中考)如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，则∠2的度 数是( ) A．50° B．60° C．65° D．70° A 4．(1)已知一个等腰三角形的一边长等于3 cm，一边长等于7 cm，那么它 的周长为_______cm； (2)若等腰三角形的一个底角是72°，则它的顶角是________. 17 36° 5．如图，已知在△ABC中，点E在BA的延长线上，且∠B＝∠C，过点 A作AD∥BC.试说明AD平分∠CAE. 解：∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴AD平分∠CAE 知识点❷ 等边三角形的性质 6．等边三角形对称轴的条数是( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度 数是( ) A．100° B．80° C．60° D．40° C A 8．若等边三角形的边长是x cm，周长为y cm，则y与x的之间的关系式是 ___________. 9．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长 BC到点E，使CE＝CD，则BE的长为________. y＝3x 9 10．如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作 DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE＝5，BD＝3，则线段CE的 长为( ) A．3 B．1 C．2 D．4 C 11．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角 形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的 个数为( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 A 12．(福建中考)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在 线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE＝____________.15° 13．如图，a∥b，∠ABC＝50°.若△ABC是等腰三角形，则∠α＝ _______________________.100°或130°或115° 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D. 求证：∠BAC＝2∠DBC. 解：作AE⊥BC于点E，由三线合一知∠BAC＝2∠CAE，又由∠CAE与 ∠DBC都与∠C互余，得∠CAE＝∠DBC， ∴∠BAC＝2∠DBC 15．(镇江中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF， 点D在AF的延长线上，AD＝AC. (1)试说明△ABE≌ △ACF； (2)若∠BAE＝30°，求∠ADC的度数． 16．(攀枝花期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一点，E为线 段AC上一点，且AD＝AE. (1)若∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，求∠BAD与∠CDE的度数； (2)设∠BAD＝α，∠CDE＝β，试写出α，β之间的关系并加以证明． 解：(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝20°， ∵∠AED＝∠CDE＋∠C， ∴∠CDE＝70°－60°＝10° 第五章 生活中的轴对称 北师版 5．3 简单的轴对称图形 第2课时 线段垂直平分线的性质 知识点❶ 作线段的垂直平分线 1．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是( ) A．尺规作线段的垂直平分线 B．尺规作一条线段等于已知线段 C．尺规作一个角等于已知角 D．尺规作线段的垂线 2．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是( ) A C 知识点❷ 线段垂直平分线的性质 3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知 线段PA＝6，则线段PB的长度为( ) A．3 B．5 C．6 D．8 C 4．如图，D是△ABC中BC边上一点，且点D在AC边的垂直平分线上， 若AB＝8 cm，BC＝10 cm，则△ABD的周长为( ) A．13 cm B．14 cm C．17 cm D．18 cm D 5．(黄冈中考)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC， AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( ) A．50° B．70° C．75° D．80° B 6．如图，AB垂直平分CD，AD＝4，BC＝2，则四边形ACBD的周 长是________.12 7．(南充中考)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交 BC于点E，∠BAC＝86°，∠FAE＝19°，则∠C＝______度．24 8．如图，在△ABC中，点E，D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，点 E在AB的垂直平分线上，∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数． 9．如图，∠AOB内有一点P，P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点， P1P2交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长是6 cm，则P1P2的长是 ( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm D 10．如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB，AC垂直平分线的交点， 则∠BCO的度数是( ) A．40° B．30° C．20° D．10° C 40° 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝106°，DE，FG分别是 AB，AC的垂直平分线，那么∠EAG＝_______.32° 13．(宜宾期末)如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交AC于点E， 交BC延长线于F.当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数． 解：∵DF是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵∠A＝46°， ∴∠ABE＝∠A＝46°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝67°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23° 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. (1)用尺规作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作 图痕迹，不要求写作法) (2)连接BD，求证：BD平分∠CBA. 解：(1)作图略 (2)∵DE是AB边上的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°， ∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝CD，点C在线段AE的垂直平分线 上，若AB＝8，BC＝6，求DE的长． 解：易知CD＝BD＝3， ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB， 又∵点C在线段AE的垂直平分线上， ∴AC＝CE，∴CE＝AC＝AB＝8，∴DE＝8＋3＝11 16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC. (1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数； (2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请求出m，n满足的关系式． 解：(1)∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠A＝60°，∠ACP＝24°， ∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝120°－24°， ∴3∠ABP＝120°－24°，∴∠ABP＝32° (2)∵点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP＝n°， ∵∠A＝60°，∠ACP＝m°， ∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝120°－m°， ∴3∠ABP＝120°－m°， ∴3n°＋m°＝120° 第五章 生活中的轴对称 北师版 5．3 简单的轴对称图形 第3课时 角的平分线的性质 知识点❶ 作角的平分线 1．观察图中尺规作图痕迹，下列结论不一定正确的是( ) A．PQ为∠APB的平分线 B．PA＝PB C．PA＝AB D．∠APQ＝∠BPQ C C 知识点❷ 角的平分线的性质 3．(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E， DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( ) A．2 B．3 C．4 D．6 D 4．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交 CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于( ) A．10 B．9 C．8 D．6 B 5．(乐山期末)如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和 ∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是( ) A．20 B．25 C．30 D．35 C 6．(德州中考)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM ＝4，则点C到射线OA的距离为_____.3 7．如图，AB∥CD，GN平分∠BGH，HN平分∠DHG，点N到直线AB 的距离是2，则点N到直线CD的距离是_____.2 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)作∠BAC的平分线AD，交BC于D； (2)若AB＝10 cm，CD＝4 cm，求△ABD的面积． 9．如图，∠AOB＝40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A， MB⊥OB于点B，则∠MAB的度数为( ) A．50° B．40° C．30° D．20° D 10．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三 条角平分线交于点O，则S△ABO∶ S△BCO∶ S△CAO等于( ) A．1∶ 2∶ 3 B．2∶ 3∶ 4 C．3∶ 4∶ 5 D．4∶ 5∶ 6 D 11．如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP，并分别交OA，OB于C， D，则CD_______P点到∠AOB两边距离之和．(填“大于”、“小于” 或“等于”) 大于 12．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝6， S△ABC＝9，则DE的长为_________. 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点P在AD上，PE⊥AB， PF⊥AC，垂足分别为E，F，试说明：PE＝PF. 解：由等腰三角形的三线合一可知AD平分∠BAC，再由角平分线的性质可 得PE＝PF 14．如图，点B在AG上，点C在AH上，BP平分∠GBC，CP平分∠HCB， PD⊥AG于点D，PE⊥AH于点E，试说明：PD＝PE. 解：过点P作PM⊥BC于点M，由角平分线的性质可得PD＝PM，PE＝PM， ∴PD＝PE 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是三条角平分线的交点，已知 AC＝6 cm，BC＝8 cm，AB＝10 cm，求点D到Rt△ABC三边的距离． 16．如图，点D为锐角∠ABC的平分线上一点，点M在边BA上，点N在边BC 上，∠BMD＋∠BND＝180°.试说明：DM＝DN. 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， DF⊥BC于点F. ∴∠DEB＝∠DFB＝90°， 又∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF. ∵∠BMD＋∠DME＝180°，∠BMD ＋∠BND＝180°，∴∠DME＝∠BND. 第五章 生活中的轴对称 北师版 5．4 利用轴对称进行设计 知识点 利用轴对称设计图案 1．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日～2022年02月20日在 中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设 计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部 分图形，其中不是轴对称图形的是( ) D 2．(乐山二模)如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正 方形涂黑，不能与图中阴影部分构成轴对称图形的是( ) A．① B．② C．③ D．④ D 3．把一张长方形的纸按下列先后顺序对折两次，再用剪刀沿虚线剪掉三 角形部分，则剩余部分展开后的图形是( ) B 4．如图所示，在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中 其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有 ( ) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 C 5．一张长方形纸片按如图①，图②所示的方式对折两次后，再按图③ 中的虚线裁剪，则图④中的纸片展开铺平后的图形是( ) D 6．如图，将一个等腰三角形(底角大于60°)沿对称轴对折后，剪掉一个 60°的角，展开后得到如图的形状，若∠ABD＝15°，则∠A＝ __________.30° 7．如图，请你按图案的排列规律，在空白方格中画出相应的图案，并 回答下列问题： (1)相邻两格中的图案可以看成是怎样得到的？ (2)若以相邻的两格为一组，那么每组图案之间有什么关系？以相邻的三 格为一组呢？ 解：(1)通过轴对称得到  (2)相邻两格一组成轴对称，三格一组也成轴对称 8．实践与操作：如图①是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相 等的圆弧而成的轴对称图形，图②是以图①为基本图案经过图形变换形成的 一个轴对称图形． (1)请你仿照图①，用两段相等的圆弧(小于或等于圆)，在图③中重新设计一 个不同的轴对称图形； (2)以你在图③中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图④中拼出一个轴 对称图形．(与图②不相同) 解：画图略 第五章 生活中的轴对称 北师版 易错课堂 生活中的轴对称 对轴对称的性质理解不清而致错 【例1】 若两个图形关于某一直线对称，则下列说法错误的是( ) A．对应角相等 B．对应线段相等 C．这条直线垂直并且平分对应点所连线段 D．连接对应点的线段的平分线就是这两个图形的对称轴 D 1．如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 __________.100° 2．将五边形纸片按图所示的方式折叠，折痕为AF，点E，D分别落在E′， D′处，已知∠AFC＝76°，则∠CFD′的度数为________. 28° 计算等腰三角形内角度数时没分类讨论 【例2】 等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个角的度数为 ________． 正解： 50°，80°或65°，65°  3．等腰三角形有一个内角为100°，则它的底角为_________. 4．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶ 4，则这个等腰三角形顶角 的度数为( ) A．20° B．120° C．20°或120° D．36° 40° C 对线段的垂直平分线和角平分线的性质混淆而致错 【例3】 如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个 仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在( ) A．△ABC三边的中线的交点上 B．△ABC三内角平分线的交点上 C．△ABC三条边高的交点上 D．△ABC三边垂直平分线的交点上 D 5．如图，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D 的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕 迹，写出结论) 解：如图，作∠AOB的角平分线OH， CD的垂直平分线EF， OH与EF的交点P就是货站的位置． ∴点P就是所要求作的点 第五章 生活中的轴对称 北师版 专题课堂 巧用轴对称的性质解决问题 等腰三角形的性质 【例1】 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线 相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数． 解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，即∠AEC＝90°， ∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∠ADC＝130°，∴∠EDC＝50°， ∴∠ECD＝90°－50°＝40°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝80°， ∴∠B＝∠ACB＝80°，∠BAC＝180°－80°×2＝20° 1．(自贡一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心， BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠DBC等于( ) A．75° B．60° C．45° D．30° D 2．如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB＝BC，∠ACD＝110°，则 ∠EAB＝_________.40° 3．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 _____cm2.8 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BC＝BD，求∠A的度 数． 解：∵DE＝EB，∴设∠BDE＝∠ABD＝x，∴∠AED＝∠BDE＋∠ABD＝ 2x，∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝2x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝3x， ∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在 △ABC中，3x＋3x＋2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠A＝2x＝22.5°×2 ＝45° 线段垂直平分线的性质 【例2】 如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点 D. (1)求∠DBC的度数； (2)若△DBC的周长为14 cm，BC＝5 cm，求AB的长． 5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于点D，交 BC于点E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，则∠C等于_______.28° 6．如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC 的角平分线，l与m相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP 的度数为_________.32° 7．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接 BD. (1)若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长； (2)求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 解：(1)∵MN垂直平分BC，∴DC＝BD，CE＝EB，又∵EC＝4， ∴BE＝4，又∵△BDC的周长＝18，∴BD＋DC＝10，∴BD＝5 (2)∵∠ADM＝60°，∴∠CDN＝60°，又∵MN垂直平分BC， ∴∠DEC＝90°，∴∠C＝30°，又∵∠C＝∠DBC＝30°， ∠ABD＝20°，∴∠ABC＝50°，∴∠A＝180°－∠C－∠ABC ＝100° 角平分线的性质 【例3】 如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线， DE是BC的垂直平分线．试说明：BC＝2AB. 解：∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC， ∴DA＝DE，又∵∠DBA＝∠DBE，∠A＝∠DEB， ∴△ABD≌△EBD(AAS)， ∴AB＝BE， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴BC＝2BE＝2AB 8．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任 意一点，则下列选项正确的是( ) A．PQ≤5 B．PQ＜5 C．PQ≥5 D．PQ＞5 C 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上的一点，将 Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于 ____________.40° 10．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D.求证： (1)ED＝EC； (2)∠ECD＝∠EDC； (3)射线OE与CD有什么关系？说明理由． 证明：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC＝ DE (2)∵EC＝DE，∴∠ECD＝∠EDC (3)OE是CD的垂直平分线． 理由：设OE，CD相交于点F. ∵∠ECD＋∠OCF＝∠EDC＋∠ODF＝90°，∠ECD＝∠EDC， ∴∠ODF＝∠OCF，∵∠DOF＝∠COF，OF＝OF. ∴△OCF≌ △ODF，∴DF＝CF，∠OFD＝∠OFC＝90°，∴OE是CD 的垂直平分线 利用轴对称的性质解决路线最短问题 【例4】 如图，在铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在铁路边修建一个货场 C，货场应该建在什么地方，才能使A，B两厂到货场C距离之和最短？试画 出图形． 解：如图所示，找到B点关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点C， 则点C为所求货场位置 11．如图所示，牧童在A处放牧，其家在B处，A，B两点到河岸的距离分别 AC和BD，且AC＝BD.若点A到河岸CD中点M的距离为500 m，则牧童从A处 牵牛到河边饮水再回家，最短路程为( ) A．7500 m B．1000 m C．1500 m D．2000 m B 12．如图，∠ABC内有一点P，在BA，BC边上各取一点P1，P2，求作 △PP1P2，使△PP1P2的周长最小． 13．如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带 到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线． 解：如图所示，最短路线为P→A→B→P