北师版七年级数学下册第二章相交线与平行线习题课件

第一章 整式的乘除 北师版 2．1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、余角与补角 知识点❶ 相交线和平行线 1．在同一个平面内，两条直线的位置关系是( ) A．平行或垂直 B．相交或垂直 C．平行或相交 D．不能确定 2．平面内任意画三条直线两两相交，交点的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个 知识点❷ 对顶角及其性质 3．(贺州中考)如图，下列各组角中，互为对顶角的是( ) A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5 C D A 4．如图，直线AB和CD交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC＝ 70°，则∠BOD的度数为( ) A．70° B．35° C．30° D．110° B 5．(1)(邵阳中考)如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD ＝160°，则∠BOC的大小为_____________； (2)如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝100°，则 ∠AOC＝__________. 50° 160° 知识点❸ 余角和补角 6．(梧州中考)已知∠A＝55°，则它的余角是( ) A．25° B．35° C．45° D．55° 7．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝30°，则∠2等于( ) A．60° B．30° C．140° D．150° B D 8．如图，点O为直线AB上一点，∠COD＝90°，如果∠1＝35°， 那么∠2的度数是_________. 9．一个角的余角与这个角的3倍互补，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x°， 根据题意得90－x＋3x＝180，解得x＝45， 所以这个角的度数是45° 55° 10．如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是( ) A．∠1＝∠3 B．∠1＝180°－∠3 C．∠1＝90°＋∠3 D．以上都不对 11．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB， ∠AOD：∠BOE＝5∶ 2，则∠AOF等于( ) A．140° B．130° C．120° D．110° C B 12．已知∠A＝110°－2m，∠B＝2m－20°，且10°＜m＜55°，则 ∠A与∠B的关系是_________． 13．如图，点A，O，B在同一条直线上，∠COB＝25°，若从点O引出 一条射线OD，使∠COD＝90°，则∠AOD的度数为___________. 互余 65°或115° 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOC－ ∠BOD＝20°，求∠BOE的度数． 15．如图，AB与CD交于点O，OM为射线． (1)写出∠BOD的对顶角； (2)写出∠BOD与∠COM的邻补角； (3)已知∠AOC＝70°，∠BOM＝80°，求∠DOM和∠AOM的度数． 解：(1)∠BOD的对顶角为∠AOC (2)∠BOD的邻补角为∠BOC和∠DOA； ∠COM的邻补角为∠MOD (3)∵∠AOC＝70°，∠BOM＝80°， ∴∠BOD＝∠AOC＝70°， ∴∠DOM＝∠BOD＋∠BOM＝70°＋80°＝150°， ∠AOM＝180°－∠BOM＝180°－80°＝100° 16．如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝60°，OD平分∠AOC，∠COD 与∠COE互余． (1)求出∠BOD的度数； (2)说明OE是∠BOC的平分线． 解：(1)∠BOD＝150° (2)∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD， 又∵∠COD＋∠COE＝90°，∠AOB＝180°， ∴∠AOD＋∠BOE＝90°， ∴∠COE＝∠BOE， ∴OE是∠BOC的平分线 17．如图，直线AB，CD相交于点O，OE是一条射线，∠1∶ ∠3＝2∶ 7， ∠2＝70°. (1)求∠1的度数； (2)试说明OE平分∠COB. 第一章 整式的乘除 北师版 2．1 两条直线的位置关系 第2课时 垂线及垂线段最短 知识点❶ 垂线 1．如图，平面内三条直线交于点O，∠1＝30°，∠2＝60°，则直 线AB与直线CD的关系是( ) A．平行 B．垂直 C．重合 D．以上均有可能 2．数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段，正 确的是( ) B A 3．如图，已知AO⊥BC于O. (1)如果∠AOD＝30°，那么∠DOC＝________； (2)如果∠AOC与∠AOD的度数比是5∶ 1，那么∠COD＝_______. 60° 72° 知识点❷ 垂线段最短 4．如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后 沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是( ) A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点只能作一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B 5．如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是( ) A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 B 6．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，点P 是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 A 7．已知OA⊥OC，∠AOB∶ ∠AOC＝2∶ 3，则∠BOC的度数为( ) A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120° 8．如图，BC⊥AC，CB＝8 cm，AC＝6 cm，AB＝10 cm，那么点B到AC 的距离是8cm，点A到BC的距离是6cm，点C到AB的距离是_____cm. C 4.8 9．如图，直线AB，CD相交于点O，P是直线CD上一点． (1)过点P画AB的垂线段PE； (2)过点P画CD的垂线，与AB交于点F； (3)试说明线段PE，PO，FO之间的大小关系，其依据是什么？ 解：(1)(2)如图： (3)PE＜PO＜FO，理由：垂线段最短 第一章 整式的乘除 北师版 2．2 探索直线平行的条件 第1课时 利用同位角判定两直线平行 知识点❶ 同位角 1．(衢州中考)如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是( ) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 2．(金华中考)如图，∠B的同位角可以是( ) A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 C D 第1题图 第2题图 3．如图，∠B的同位角共有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点❷ 利用同位角相等判定两直线平行 4．(郴州中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，能直接用同位角 相等判定a∥b的是( ) A．∠2＝∠4 B．∠5＝∠4 C．∠5＝∠2 D．∠1＝∠3 C A 第3题图 第4题图 5．如图所示，如果∠B＝∠1，可得AD∥BC；理由是 ______________________________．同位角相等，两直线平行 6．如图，直线AB与CD被EF所截，∠1＝∠2，求证：AB∥CD. 证明：∵∠2＝∠3(对顶角相等)， 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行) 知识点❸ 平行公理及推论 7．已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直 线( ) A．有且只有一条 B．不止一条 C．不存在 D．不存在或只有一条 8．下列推理正确的是( ) A．因为a∥b，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c D．因为a∥b，c∥d，所以a∥c A C 9．已知在同一平面内的直线l1，l2，l3，如果l1⊥l2，l2⊥l3，那么l1与 l3的位置关系是( ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．以上全不对 A 10．如图，直线a，b与直线c分别交于点M，N，∠1＝120°，∠2＝30°， 若使直线a平行于直线b，可将直线a绕点M逆时针旋转( ) A．120° B．60° C．30° D．无法确定 C 11．下列说法正确的是( ) A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b∥c，则a⊥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 12．在同一个平面内，直线a，b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是 __________． A 相交 13．如图，直线AB，AF被BC，DE所截，则∠2的同位角是 _____________.∠1和∠4 14．如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠A＝70°，∠BGE＝ 70°，∠CHG＝110°，试说明：AM∥EF，AB∥CD. 解：∵∠A＝70°，∠BGE＝70°， ∴∠A＝∠BGE， ∴AM∥EF(同位角相等，两直线平行)， ∵∠BGE＝70°， ∴∠AGE＝180°－70°＝110°， ∵∠CHG＝110°， ∴∠AGE＝∠CHG， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行) 15．如图，点C，D在直线AB上，且∠1＝70°，∠CDN＝125°，CM平 分∠DCF，试判断CM与DN是否平行，并说明理由． 16．如图，两直线AB，CD被直线EF所截，∠EMB＝∠END，MG，NH 分别平分∠EMB和∠END，试问MG∥NH吗？为什么？ 17．如图，已知GH分别与AB，CD，EF相交，且∠1＝∠2，∠1＋ ∠3＝180°，试问CD∥EF吗？请说明理由． 解：∵∠2与∠4是对顶角， ∴∠2＝∠4， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠4， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)， ∵∠3＋∠5＝180°，∠1＋∠3＝180°， ∴∠1＝∠5， ∴AB∥EF(同位角相等，两直线平行)， ∴CD∥EF(平行于同一直线的两条直线平行) 第一章 整式的乘除 北师版 2．2 探索直线平行的条件 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 知识点❶ 内错角、同旁内角 1．如图，直线a，b被直线c所截，则∠2的内错角是( ) A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 2．如图，下列说法错误的是( ) A．∠A与∠B是同旁内角 B．∠1与∠3是同位角 C．∠2与∠C是同旁内角 D．∠1与∠A是同旁内角 C B 3．如图，当直线DE与BC被AC所截时，∠1与∠C是__________；当直 线DE与BC被AB所截时，∠EAB与∠B是___________；当直线AB与AC 被________所截时，∠C与∠B是同旁内角；当直线____与_____被AB 所截时，∠BAC与∠B是同旁内角． 内错角 同旁内角 BC AC BC 知识点❷ 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 4．如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件( ) A．∠2＝70° B．∠2＝100° C．∠2＝110° D．∠3＝110° 5．如图，由下列条件，不能判断AB∥CD的是( ) A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠B＋∠BCD＝180° D．∠BAD＋∠D＝180° C B 6．如图，将一副三角板如此摆放，当∠AOD的度数为多少时，可得 BO∥CD( ) A．10° B．15° C．20° D．25° B 7．如图，(1)若满足条件________，则有AB∥CD，理由是内错角相等， 两直线平行； (2)若满足条件_________________，则有AB∥CD，理由是同旁内角互补， 两直线平行； (3)若满足条件_____________，则有AB∥CD，理由是同位角相等，两直 线平行． ∠A＝∠1 ∠A＋∠4＝180° ∠A＝∠3 8．(眉山期末)已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC 上一点且∠1＋∠2＝90°.试说明DE∥BC. 解∵CD⊥AB(已知)， ∴∠1＋∠3＝90°(垂直定义)． ∵∠1＋∠2＝90°(已知)， ∴∠3＝∠2(同角的余角相等)． ∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行) 9．如图所示，下列说法中错误的是( ) A．∠A和∠3是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角 C．∠A和∠B是同旁内角 D．∠C和∠1是内错角 B 10．(甘孜州二模)将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC ＝30°，A，B两点分别落在直线m，n上，∠1＝20°，添加下列哪一 个条件可使直线m∥n( ) A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50° D 11．如图，∠EFB＝∠GHD＝53°，∠IGA＝127°，由这些条件，能找 到平行线是__________________.AB∥CD，IH∥EF 12．如图，下列条件：①∠1＝∠3，②∠2＋∠4＝180°，③∠4 ＝∠5，④∠2＝∠3，⑤∠6＝∠2＋∠3中能判断直线l1∥l2的有 ________________(只填序号)．①②③⑤ 13．如图，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，你能判定哪两条直线平行？ 说明理由． 解：AB∥CD. 理由：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠BAC. ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BAC， ∴AB∥CD 14．如图，已知∠DAB＝65°. (1)写出∠1的内错角； (2)写出∠C的同旁内角； (3)当∠B的为多少度时，AE∥BC? 解：(1)∠1的内错角是∠C (2)∠C的同旁内角是∠B和∠ADC (3)∵当AE∥BC时，有∠DAB＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－∠DAB. 又∵∠DAB＝65°， ∴∠B＝115° 15．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4，试说明AB∥CD. 解：易证CD∥EF， AB∥EF， ∴AB∥CD 16．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠BPQ， QH平分∠CQP，并且∠1＝∠2.说出图中哪些直线互相平行，并说明理 由． 第一章 整式的乘除 北师版 2．3 平行线的性质 第1课时 平行线的性质 知识点❶ 平行线的性质 1．(怀化中考)如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2＝( ) A．30° B．60° C．45° D．120° 2．(深圳中考)如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的 是( ) A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠2＋∠4＝180° D．∠1＋∠4＝180° B B 3．(襄阳中考)如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若 ∠1＝50°，则∠2的度数为( ) A．55° B．50° C．45° D．40° D 4．(1)(淄博中考)如图，直线a∥b，若∠1＝140°，则∠2＝____度； (2)(杭州中考)如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B.若∠1＝ 45°，则∠2＝________. 40 135° 5．如图，AB∥CD，∠C＝70°，BE⊥BC，则∠ABE＝______.20° 6．(重庆中考)如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2 的度数． 解：∵直线AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝54°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠3＝∠4＝54°， ∴∠2的度数为180°－54°－54°＝72° 知识点❷ 平行线性质的应用 7．(河北中考)如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航 行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为( ) A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50° A 8．如图是某次考古挖掘出的一个四边形残缺的玉片，工作人员从玉 片上已经量得∠A＝115°，∠D＝110°.已知在四边形ABCD中， AD∥BC，则∠B＝______，∠C＝_______.65° 70° 9．(湖北中考)如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB∶ ∠BDC＝1∶ 2，则 ∠DBC的度数是( ) A．30° B．36° C．45° D．50° 10．(宁夏中考)将一个长方形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2 的度数是( ) A．40° B．50° C．60° D．70° D D 11．珠江流域某段江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，如图， 若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝______度． 12．已知如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点， ∠BMF和∠DNE的角平分线相交于点P，则MP与NP的位置关系是 ___________. 20 MP⊥NP 13．已知AB∥CD，∠1∶ ∠2∶ ∠3＝1∶ 2∶ 3，求∠BDF的度数． 解：∵∠1∶ ∠2∶ ∠3＝1∶ 2∶ 3， ∴设∠1＝x°，∠2＝2x°，∠3＝3x°， ∵AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°， ∴2x＋3x＝180，∴x＝36， 即∠1＝36°，∠2＝72°，∠3＝108°. ∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＋∠BDF＝180°， ∴∠BDF＝180°－∠1－∠2＝72° 14．如图，已知C点在B点的北偏西60°的方向上，B点在A点的 北偏东30°的方向上，试求∠ABC的度数． 解：∠ABC＝90° 15．如图，已知AB∥CD，若∠C＝35°，AB是∠FAD的平分线． (1)求∠FAD的度数； (2)若∠ADB＝110°，求∠BDE的度数． 解：(1)∵AB∥CD， ∴∠FAB＝∠C＝35°， ∵AB是∠FAD的平分线， ∴∠FAD＝2∠FAB＝2×35°＝70° (2)∵∠ADB＝110°，∠FAD＝70°， ∴∠ADB＋∠FAD＝110°＋70°＝180°， ∴CF∥BD， ∴∠BDE＝∠C＝35° 14．如图，已知∠DAB＝65°. (1)写出∠1的内错角； (2)写出∠C的同旁内角； (3)当∠B的为多少度时，AE∥BC? 解：(1)∠1的内错角是∠C (2)∠C的同旁内角是∠B和∠ADC (3)∵当AE∥BC时，有∠DAB＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－∠DAB. 又∵∠DAB＝65°， ∴∠B＝115° 16．(成都期末)思考：填空，并探究规律． 如图1，图2，OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°，则在图1中∠CED＝ ______°；在图2中∠CED＝______°；用一句话概括你发现的规律 __________________________________________ 应用：已知∠AOB＝80°，∠CED＝x°，OA∥CE，OB∥ED，求x的 值． 解：思考：∵OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°， ∴在图1中∠CED＝30°， ∴在图2中∠CED＝150°， 故可得到的规律为：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么 这两个角相等或互补． 应用：∵∠AOB＝80°，OA∥CE，OB∥ED， 设∠CED＝x°， ∴x的值为80或100 第一章 整式的乘除 北师版 2．3 平行线的性质 第2课时 平行线的判定与性质的综合应用 知识点 平行线的判定与性质的综合应用 1．(东营中考)下列图形中，根据AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是(B) 2．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( ) A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2 C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90° D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b D 3．如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝100°，则∠4等于( ) A．70° B．80° C．90° D．100° 4．如图，∠D＝∠2，∠1＝25°，则∠B等于( ) A．25° B．45° C．50° D．65° D A 5．(黔西南州中考)如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE， 则∠DEC＝( ) A．30° B．60° C．90° D．120° B 6．(湘潭中考)如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使 BC∥AD，则可添加的条件为________________________________ _________________________________________.(任意添加一个符合题意 的条件即可) ∠A＋∠ABC＝180°或∠C＋∠ADC＝ 180°或∠CBD＝∠ADB或∠C＝∠CDE 7．(1)如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°， 则∠2＝_______； (2)(孝感中考)如图，直线AD∥BC，若∠1＝42°，∠BAC＝78°， 则∠2的度数为__________. 30° 60° 8．如图，已知∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B的度数． 解：∵∠1＝∠2，∠1＝∠AGH， ∴∠2＝∠AGH， ∴AB∥CD， ∴∠D＋∠B＝180°， ∵∠D＝50°， ∴∠B＝130° 9．如图，下列推理不正确的是( ) A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD C 10．(恩施州中考)如图所示，直线a∥b，∠1＝35°，∠2＝90°，则∠3 的度数为( ) A．125° B．135° C．145° D．155° A 11．如图，已知∠B＝∠BCG，∠A＝61°，则∠ECF＝________.119° 12．(通辽中考)如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝ 37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射 后(∠ADC＝∠ODE)，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的 度数是_______________________．75°30′(或75.5°) 13．如图，如果∠1＝∠E，∠B＝∠D，那么AB与CD平行吗？试说明理 由． 解：AB∥CD. 理由：∵∠1＝∠E， ∴AD∥BE， ∴∠2＋∠D＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＋∠2＝180°， ∴AB∥CD 14．如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD与FG平行吗？试说明 理由． 解：平行． 理由：∵∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC， ∴∠1＝∠BCD， 又∵∠1＝∠2， ∴∠BCD＝∠2， ∴CD∥FG(同位角相等，两直线平行) 15．如图，已知点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1＝∠2，∠C＝ ∠D，则∠A＝∠F，试说明理由． 解：∵∠AHC＝∠2，∠1＝∠2， ∴∠1＝∠AHC， ∴BD∥CE， ∴∠ABD＝∠C， 又∵∠C＝∠D， ∴∠ABD＝∠D， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠F 16．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠A，∠ACB＝60°，求∠BED 的度数． 解：∵∠1＋∠2＝180°，∠DFE＋∠1＝180°， ∴∠2＝∠DFE， ∴EF∥AB， ∴∠3＝∠BDE， 又∵∠3＝∠A， ∴∠A＝∠BDE， ∴DE∥AC， ∴∠BED＝∠ACB＝60° 第一章 整式的乘除 北师版 2．4 用尺规作角 知识点 用尺规作一个角等于已知角 1．在下列各题中，属于尺规作图的是( ) A．利用三角板画45°的角 B．用直尺和三角板画平行线 C．用直尺画一工件边缘的垂线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 2．下列尺规作图语句错误的是( ) A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α B．以OA为半径作弧 C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β D B 3．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作 图痕迹中，弧FG是( ) A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧 D 4．如图，求作一个角等于已知角∠AOB. 作法：(1)作射线____________； (2)以____为圆心，以______为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； (3)以____为圆心，以___________为半径画弧，交O′B′于点D′； (4)以____为圆心，以_________为半径画弧，交前面的弧于点C′； (5)过_______作射线O′A′.∠A′O′B′就是所求作的角． O′B′ O 任意长 O′ OC的长 D′ CD的长 点C′ 5．如图，“过点P画直线a的平行线b”的作法的依据是( ) A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 6．已知∠α，∠β，用直尺和圆规，求作一个角，使它等于∠α－∠β. 解：作图略 D 7．已知∠α，∠AOB＝90°，求作∠AOC，使其等于∠α的余角． 解：作图略 8．如图，点P在∠AOB的内部． (1)画图：①过点P画AO的平行线，交OB于点C； ②过点P画OB的平行线，交OA于点D. (2)若∠AOB＝60°，求∠CPD的度数． 解：(1)作图略 (2)∵PC∥AO， ∴∠CPD＝∠PDA， ∵PD∥BO， ∴∠PDA＝∠AOB， ∴∠CPD＝∠AOB＝60° 第二章 相交线与平行线 北师版 易错课堂 相交线与平行线 没有正确理解点到直线的距离 【例1】 如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论：①AB 与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB； ④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线 段AB是点B到AC的距离．其中正确的个数是( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 A 易错分析：∵∠BAC＝90°，∴①AB⊥AC正确；∵∠DAC≠90°， ∴AD与AC不互相垂直，∴②错误；点C到AB的垂线段应是线段AC， ∴③错误；点A到BC的距离是线段AD的长度，∴④错误；根据“从直线 外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可知⑤正确； 线段AB的长度是点B到AC的距离，∴⑥错误． 1．如图，直线l外一点P到l的距离是_________的长度．线段PC 2．如图，在直线MN的异侧有A，B两点，按要求画图取点，并注明画 图取点的依据． (1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是________________； (2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是 ________________． 解：(1)如图，过A作AC⊥MN，依据：垂线段最短 (2)如图，连接AB交MN于D，依据是：两点之间线段最短 截线与被截线不清楚，判断直线平行出错 【例2】 如图，下列结论中正确的是( ) A．若∠1＝∠4，则m∥c B．若∠1＝∠2，则m∥c C．若∠1＋∠3＝180°，则n∥c D．若∠2＋∠3＝180°，则m∥n C 易错分析：若∠1＝∠4，则a∥b，故A不正确；B不正确，∠1与∠2不 是两条直线被第三条直线所截得到的角；C正确，根据是同旁内角互补， 两直线平行；D不正确，∠2与∠3不是同旁内角． 3．如图． (1)如果∠1＝_______，那么DE∥AC； (2)如果∠1＝__________，那么EF∥BC； (3)如果∠FED＋_________＝180°，那么AC∥ED； (4)如果∠2＋__________＝180°，那么AB∥DF. ∠C ∠DEF ∠EFC ∠AED 考虑问题不周全出错 【例3】 (乐山期末)已知：如图，点M，N分别在直线AB，CD上，且 AB∥CD，若在同一平面内存在一点O，使∠OMB＝20°，∠OND＝ 50°，则∠MON＝____________. 易错分析：点O可在AB，CD之间，也可在AB上方． 70°或30° 4．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当 ∠AOC＝40°时，∠BOD的度数是( ) A．50° B．130° C．50°或 90° D．50°或 130° 5．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少 60°，则这两个角的度数分别为_________________________. D 48°，132°或20°，20° 第二章 相交线与平行线 北师版 专题课堂 探索平行线的判定和性质综合应用的规律 三角尺在平行线中的应用 【例1】 (遵义中考)已知a∥b，某学生将一直角三角板放置如图所示，如 果∠1＝35°，求∠2的度数． 解：∵a∥b， ∴∠3＝∠4， ∵∠3＝∠1， ∴∠1＝∠4， ∵∠5＋∠4＝90°，且∠5＝∠2， ∴∠1＋∠2＝90°， ∵∠1＝35°， ∴∠2＝55° 1．(自贡中考)在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组 平行线上；若∠1＝55°，则∠2的度数是( ) A．50° B．45° C．40° D．35° D 2．(枣庄中考)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如 图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若 ∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A．20° B．30° C．45° D．50° D 3．(随州中考)如图，在平行线l1，l2之间放置一块直角三角板，三角板 的锐角顶点A，B分别在直线l1，l2上，若∠1＝65°，则∠2的度数是 ( ) A．25° B．35° C．45° D．65° A 【例2】 (聊城中考)如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D 是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，求∠DEF的度 数． 解：过点D作DM∥EF， ∵直线AB∥EF，∴DM∥EF∥AB，∴∠BCD＋∠CDM＝180°， ∴∠CDM＝85°， ∵∠CDE＝25°，∴MDE＝85°－25°＝60°， ∵∠DEF ＋∠EDM＝180°， ∴∠DEF＝120° 4．(达州中考)如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝80°，则∠2的度数 为( ) A．30° B．35° C．40° D．45° B 5．(广安中考)一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A， CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝______度．120 6．(贵港中考)如图，将长方形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′ 与CD交于点M，若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为_____. 70° 探究平行线之间角的关系 【例3】 如图，若AB∥CD，在下列三种情况下探究∠APC与∠PAB， ∠PCD的数量关系． (1)在图①中，∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝________； (2)在图②中，∠PAB＋∠PCD＝________； (3)在图③中，写出∠APC与∠PAB，∠PCD三者的数量关系，并说明理 由． 解：(1)360°  (2)∠APC  (3)∠PCD＝∠PAB＋∠APC.理由：过点P作PE∥AB(E在直线PC右侧)， ∴∠PAB＋(∠APC＋∠CPE)＝180°.又∵AB∥CD，∴PE∥CD， ∴∠CPE＋∠PCD＝180°，∴∠PAB＋∠APC＋∠CPE＝∠CPE＋ ∠PCD，∴∠PAB＋∠APC＝∠PCD，即∠PCD＝∠PAB＋∠APC 7．如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则 ∠AED的度数是________.80° 8．如图，已知AM∥BN，∠A＝52°，点P是射线AM上一动点(与点A不重 合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D. (1)求∠CBD的度数； (2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不 变化，请写出它们之间的关系，并说明理由，若变化，请写出变化规律； (3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． (2)不变化，∠APB＝2∠ADB，证明：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN， ∠ADB＝∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB ＝2∠ADB 平行线的判定、性质的推理证明 【例4】 如图，CD⊥AB于点D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于点E，且 ∠1＝∠2，∠3＝80°. (1)试说明∠B＝∠ADG； (2)求∠BCA的度数． 解：(1)∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠2＝∠DCF， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠DCF， ∴DG∥BC， ∴∠B＝∠ADG (2)由(1)得DG∥BC， ∴∠BCA＝∠3＝80° 9．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的三倍少24°，则∠α的度数是 _____________．12或129度 10．如图，AB与CD交于点O，OE平分∠AOC，点F为AB上一点(不与点A及 O重合)，过点F作FG∥OE，交CD于点G，若∠AOD＝110°，则∠AFG度数 为____________.35°或145° 11．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BC于点D，E，A，C三点共线，∠DAC＝ ∠EFA，延长EF交BC于点G. (1)求证：EG⊥BC； (2)若将AD平分∠BAC与EG⊥BC互换，其他条件不变，结论是否仍然成立？ 说明理由． 解：(1)∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠EFA， ∴∠1＝∠EFA，∴AD∥EG， ∵AD⊥BC，∴EG⊥BC (2)结论仍然成立．理由：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴AD∥EG， ∴∠1＝∠EFA， ∵∠2＝∠EFA， ∴∠1＝∠2， ∴AD平分∠BAC