北师版七年级数学下册第五章生活中的轴对称教学课件

1 轴对称现象 第五章 生活中的轴对称 学习目标 1．在生活实例中认识轴对称图形；(重点) 2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念；(重点) 3．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简 单的轴对称图形及其对称轴．(难点) 导入新课 图片欣赏 它们有什么共同的特点？ 讲授新课 轴对称和轴对称图形一 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图 形 对称轴 a m 做一做 下列哪些是属于轴对称图形？ 你能举出一些轴对称图形的例子吗？ A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为你所报的字母的形 状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报出,并说出它有几条对称轴； 如果你认为你报的字母的形状不是轴对称图形，那么，你只需坐在座 位上报就可以了.其他同学认真听，如果报错了，及时提醒. 全班总动员 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 做一做：找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多. 想一想：下面的每对图形有什么共同特点？ A′A B C B′ C′对称轴 对称轴 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么 就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴. 例 下列四组图片中有哪几组图形成轴对称？ B DC A 典例精析 知识要点 比较归纳 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 联系 一个图形具有的特殊 形状 两个全等图形的特殊的 位置关系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化. 这是轴对称图形还是两个图形成轴对称？ 当堂练习 1.观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形？ √ √ √ √ √ √ √ 2.找出下面每个轴对称图形的对称轴. 3.找出下文中成轴对称的文字： 一； 三； 个； 八； 十； 来； 苦； 天； 中. 一叶孤舟，坐着两三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七湾，历 尽八颠九簸，可叹十分来迟.十年寒窗，进了九八家书院，抛却七情 六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今天一定要中. 4.下列英文字母中，哪些是轴对称图形？ A C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z 轴对称现 象 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴 对称图形，这条直线叫作对称轴. 课堂小结 如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全 重合，那么称这两个图形成轴对称. 定义 区别 轴对称图形：一个图形具有的特殊形 状. 成轴对称：两个全等图形的特殊的位 置关系. 一.中外建筑 二.车标设计 三.国旗欣赏 摩洛哥 瑞典 约旦 也门 英国 肯尼亚 四.交通标志 2 探索轴对称的性质 第五章 生活中的轴对称 1.进一步复习生活中的轴对称现象，探索并掌握轴 对称的性质； （重点） 2.会利用轴对称的性质作对称点、对称图形、对称 轴等；（难点） 3.经历丰富材料的学习过程，提高对图形的观察、 分析、判断、归纳等能力．体验数学与生活的联 系、提高审美观． 学习目标 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分 能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形. 这条直线叫这个图形的对称轴. 轴对称:对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能 够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称. 这条直线就是对称轴. 复习引入 导入新课 观察与思考 1.动画（1）中的两个三角形有什么关系？ 2.动画（2）中的三角形是个什么图形？ （1） （2） 如图：将一张长方形形的纸对折，然后用笔尖扎出“14” 这个数字，将纸打开后铺平： 43 21 A B C D F E F' D' C' E' A' B' 轴对称的性质 讲授新课 （1）两个“14”有什么关系？ 43 21 A B C D F E F' D' C' E' A' B' 打开 （2）设折痕所在直线为l，连接点E和E′的线段和l 有什么关系？点F和F′呢？ （3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么关系？ （4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？ 与直线l垂直. AB∥A′B′，CD∥C′D′. ∠1=∠2，∠3=∠4. 成轴对称图形. 做一做： 右图是一个轴对称图形： （1）找出它的对称轴. （2）连接点A与点A1的线段与 对称轴有什么关系？连接 点B与点B1的线段呢？ A A1 B C D D1 C1 B1 3 4 1 2 与对称轴垂直. （3）线段AD与线段A1D1有什么 关系？线段BC与B1C1呢？ 为什么？ （4）∠1与∠2有什么关系?∠3 与∠4呢？说说你的理由？ B C D D1 C1 B1 3 4 1 2 思考：综合以上问题，你能得到什么结论？ A A1AD=A1D1，BC=B1C1. ∠1=∠2，∠3=∠4. 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段 被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 轴对称的性质 总结归纳 典例精析 例1 画出△ABC关于直线l的对称图形． 解：如图所示． 方法总结：先确定一些特殊的点，然后作这些 特殊点的对称点，顺次连接即可． 例2 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称 的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°， 则∠BCD的度数是(  ) A．130° B．150° C．40° D．65° 解析：∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的 四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°， ∴∠BCD＝360°－150°－40°－40°＝130°. A 例3 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积 为(  ) A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2 解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形 ABCD面积的一半，∵正方形ABCD的边长为4cm，∴S阴影＝42÷2＝ 8(cm2).故选B. B 方法归纳：正方形是轴对称图形，在轴对称图形中求不规则的阴影部 分的面积时，一般可以利用轴对称变换，将其转换为规则图形后再进 行计算. 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所 连的线段被__________垂直平分. 2.下图是轴对称图形，相等的线段是____________ ________，相等的角是__________. A B C DE 对称轴 AB=CD, BE=CE ∠B=∠C 当堂练习 3.用笔尖扎重叠的纸可以得到下面成轴对称的两个图案 . (1)找出它的两对对应点、两条对应线段和两个对 应角； (2)用测量的方法验证你找到的对应点所连线段分 别被对称轴垂直平分. 4.如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，则∠B 为______. 解析：由轴对称的性质可得∠A1=∠A=50°， ∠C=∠C1=30°,所以 ∠B=∠B1=180°－50°－30°=100°. 100° 5.下面两个轴对称图形分别只画出了一半，请画 出它们的另一半(直线L为对称轴). 解：如图所示. 1.如图，已知点A、B直线MN同侧两点，点A1、A 关于直线MN对称.连接A1B交直线MN于点P,连 接AP. （1）若A1B＝5cm，则AP+BP的长为 . 5cm A B P A1 NM 拓展提升 （2）某乡为了解决所辖范围内张家村A和李家村B的饮水问题，决定 在河MN边打开一个缺口P将河水引入到张家村A和李家村B.为了节约 资金，使修建的水渠最短，应将缺口P修建在哪里?请你利用所学知 识解决这一问题，并用红色线段画出水渠. A B PM N A B M A1 2.如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点P1，P 关于OA对称，点P2，P关于OB对称.连接P1P2，分 别交OA，OB于C， D.连接PC，PD.若P1P2＝10cm， 则△PCD的周长为 . 10cm. . P2 P. P1 C D B A O 课堂小结 轴对称的性 质 1.对应点所连的线段被对称轴 垂直平分 2.对应线段相等，对应角相等 3 简单的轴对称图形 第五章 生活中的轴对称 第1课时 等腰三角形的性质 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)  2.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质， 能初步运用其解决有关问题．(难点). 观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形, 能找出对称轴吗？ 复习巩固 导入新课 情境导入 观察下列图片，它们有什么共同的特征？ 等 腰 三 角 形 讲授新课 等腰三角形的性质 如图,在△ABC中,AB=AC，则三角形为等腰三角形. 它的各部分名称分别是什么？ A B C (1)相等的两条边都叫腰; 腰腰 底边 (2)另一边叫底边; 顶角 底角 底角 (3)两腰的夹角∠A叫顶角; (4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角. 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直 角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 互动探究 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线 段和角. 重合的线段 重合的角   A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC (1)等腰三角形是轴对称图形. (2)∠B =∠C. (3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线. (4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高. (5)BD=CD，AD为底边上的中线. A B CD 现象 A B CD 解：在ΔABC中，∵AD是角平分线, ∴∠BAD=∠CAD. 在ΔABD和ΔACD中, ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD， ∴ΔABD≌ΔACD. ∴BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚. ∴AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底 边上的高. 三线合一吗？ 等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合 （简称“三线合一”）. 归纳总结 等腰三角形的两个底角相等. 画出任意一个等腰三角形的底 角平分线、这个底角所对的腰 上的中线和高，看看它们是否 重合？ A B C D E F A B C D 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （X） （X） （X） （X） （√） （√） 1.按下面的步骤做一做： （1）将长方形纸片对折 （2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开. 你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流. 议一议 2.你能尝试用圆规吗？ 例1 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角 形的底角的大小是(  ) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 典例精析 解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50° 的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底 角是65°. A 解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知） ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.(等边对等角） 设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠BDC+∠ADB=180°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°. ∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°， ∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°） 解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°. 例2 如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且 BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数. C D B A 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得 2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°. 针对训练： 例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 典例精析 图②图① 证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图② 图① G 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加 辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的 辅助线． 1.填空： （1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 ； （2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的 顶角的度数是_________ ； （3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这 个三角形的最小内角等于____________ .20°或50° 当堂练习 100° 45° (4)△ ABC中，AB=AC,∠A= 36◦ ,则∠B= ______， ∠C= ____. (5)△ ABC中，AB=AC,∠B= 36◦ ,则∠A= ______， ∠C= ____. 72° 72° 108° 36° 方法总结：等边对等角！ 2.如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案， 请找出它的对称轴. 解：∵OA=AB， ∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°, ∴∠BAC=∠ABO+∠O=30°. ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC=30°， ∴∠CBO=135°，∴∠CBD=∠O+∠ACB=45°. ∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠BCD=90°, ∴∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°. 3.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数. ⌒ 15° 1 C DBO A ⌒ 4.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D, E是底边上两点， 且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数. CED B A 解 :∵AB=AC,∴∠B=∠C， ∴∠B=∠C=（180°－120°）÷2=30°. 又∵BD=AD,∴∠BAD=∠B=30°. 同理，∠CAE=∠C=30°. ∴∠DAE=∠BAC－∠BAD －∠CAE=120°－30°－30° =60°. 5.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请 在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C的位置． A B 分别以A、B、C为顶角 顶点来分类讨论！ 8个 这样分类就不 会漏啦！ C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 拓展提升： 等腰三角形 的性质 课堂小结 等腰三角形的两个底角相等（等边对 等角）. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线和底边上的高重合（三线合一）. 3 简单的轴对称图形 第五章 生活中的轴对称 第2课时 线段垂直平分线的性质 学习目标 1.理解线段的垂直平分线的概念； 2.理解并掌握线段垂直平分线的性质．(重点） 3.能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题． （难点） 1.什么样的图形叫作轴对称图形？ 把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全 重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫 作这个图形的对称轴. 复习巩固 2.下列图形哪些是轴对称图形？ 线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条 对称轴与线段存在着什么关系？ A B 问题引入 导入新课 按照下面的步骤做一做： （1）在纸片上画一条线段AB， 对折AB使点A，B重合； 折痕与AB的交点为O； O （2）在折痕上任取一点C， 沿CA将纸折叠； （3）把纸展开， 得到折痕CA和CB. 探究 线段垂直平分线的性质 讲授新课 A （1）CO与AB有怎样的位置关系？ （2）AO与BO相等吗？CA与CB呢？ 能说明你的理由吗？ 垂直 AO=BO CA=CB 想一想 （3）在折痕上另取一点，再试一试. A O B C O 1.线段是轴对称图形，它的一条对称轴就是 对折后能使之完全重合的那条折痕； 2.线段的对称轴过线段AB的 点；中 3.线段的对称轴与线段AB ； （位置关系） 垂直 4.线段的对称轴上的任意一点C到线 段AB的两端点A,B的距离______. A O C 相等 A O C 线段的对称轴上任意一点到这条线段的两端点 的距离相等. A B O 1.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作 这条线段的垂直平分线. 线段的垂直平分线 2.线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的 距离相等. 3 线段的对称轴是这条线段的垂直平分线. 典例精析 例1 利用尺规，作线段AB的垂直平分线. 作法： 1.分别以点A和点B为圆心，以大于 AB一半的长为半径作弧， 已知：线段AB. 求作：AB的垂直平分线. 2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线． • • A B C D 两弧相交于点C和D； 例2 如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米， BC＝10厘米，则△BCD的周长为(  ) A．22厘米 B．16厘米 C．26厘米 D．25厘米 解析：根据线段垂直平分线的性质 得CD＝AD，故△BCD的周长为BD ＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋ BC＝12＋10＝22(厘米)． A 例3 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站， A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两 个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写 画法)? 解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.∵EO 是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公 共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长． 1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为 直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 P A B C D B 当堂练习 2.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平 分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的 周长等于18cm,则AC的长是 .10cm A B C D E 3.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平 分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm, BD=6cm,那么EA=_______, DA=_______. A BE DC 4cm 6cm 解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线, ∴EB=EA, ∴△AEC的周长 =AC+CE+EA =AC+CE+EB =AC+BC =4+5 =9. 4.如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、 BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周长. AD B E C  解：∵AD⊥BC，BD =DC， ∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB =AC． ∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC =CE．∴AB =AC =CE． ∴AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE. 5.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直 平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ A B C D E 如图,A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这 三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，请给予说 明理由. 拓展提升 A ● B ● C ● 提示：连接AB,AC,分别作AB,AC的垂直平分线，两线交于一 点，这点即为所求的点P. 课堂小结 线段垂直平分线 的性质 内 容 线段垂直平分线上的点到线段的两个 端点的距离相等 作 用 见垂直平分线，得线段相等 3 简单的轴对称图形 第五章 生活中的轴对称 第3课时 角平分线的性质 学习目标 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分 线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 导入新课 用量角器度量，也可用折纸的方法．   问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得 到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线 AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B C(E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗 ？ A BO 尺规作角平分线一 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法 与仪器的关系. 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重 合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程 呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 讲授新课 A B M C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本 的尺规作图,大家一定 要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当 长为半径画弧，交OA于 点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内 部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 1 2 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂 线的方法. AB O C 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质二 验证猜想 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 为D,E. 试说明：PD=PE. P A O B C D E 解： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 u 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. u应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个，必须 写完全，不能少了任何一 个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B AD O P E C 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 试说明：EB=FC. A B CD E F 解： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 典例精析 例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC， 垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A B C P 变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交 BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于 点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积. D 14 PDBC PD PB DB PC PB DB BC DB AD DB AB              （3）求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 1 2A P BS   由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， = 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到 的等量关系进行转化求解 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点 D到AB的距离是 . A B C D3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明 ∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M C O A 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE ＝2，AB＝4，则AC的长是(  ) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C EA D解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3. F 1 14 2 2 7,2 2ABCS AC       方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用 三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E， 且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间 的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 6.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别 为E，F.试说明：CE＝CF. 解：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC， DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF.      , , DFDE CDCD  课堂小结 角平分 线 尺规作 图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定 理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅 助 线 添 加 过角平分线上一点向两边作垂线段 第五章 生活中的轴对称 4 利用轴对称进行设计 学习目标 1.理解图形轴对称变换的性质；（重点） 2.能按要求画出一个图形关于某条直线对称的另 一个图形.（难点） 剪纸艺术 导入新课 情境引入 实物图案 讲授新课 利用轴对称设计图案 问题1 试说出构成下列图形的基本图形． （1） （2） （3） （4） 基本图形 （1） （2） （3） （4） 想一想：哪些图 形是成轴对称图 形？ 问题2 分析下列图形哪些可以通过轴对称得到， 其形成过程怎样？ （1） （2） （3） （4） 基本图案 图案的形成过程 分析图案的形成过程 分析图案的形成过程 问题3 下面花边中的图案以正方形为基础,由圆弧、圆或线段构成. 仿照例图,请你为班级的板报设计一条花边.要求:(1)只要画出组 成花边的一个图案;(2)以所给的正方形为基础,用圆弧、圆或线段 画出;(3)图案应有美感. 利用轴对称变换设计美丽图案 像上面那样，由一个平面图形得到 它的轴对称图形叫作轴对称变换. 轴对称变换： ∴△A′B′C′即为所求. 例1 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形. l A B C A′ B′ C′ 典例精析 例2 某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地(如下图)上建花坛， 现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的 个数不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形．请在下边长方形中 画出你的设计方案． 解：如图所示． 取一张长30厘米、宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，一反一正像 “手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画出字母E.用小刀把 画出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到一条以字母E为 图案的花边. 做一做 在上面的活动中，如果先把纸条纵向对折，再折成“手风 琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是 轴对称图形吗？ 是轴对称图形. 观察图案： （1）它们是轴对称图形吗？ （2）生活中这些图案可以代表什么含义？ （3）自己设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图. 走进生活，动手创作 利用两个圆、两条线段、两个三角形设计一个轴对称图案， 并说明你的设计意图和要表达的含义. 1. 如图给出了一个图案的一半，其中的虚线 l 是这个图案的对称轴.整个 图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半. B A C D EF G H l 当堂练习 2.图中给出了一个图案的一半，其中的虚线是 这个图案的对称轴. (1)你能猜出整个图案的形状吗？ (2)你能画出这个图案的另一半吗？ 3.用轴对称的知识再设计一个新颖的(课堂上未 见过的)美丽图案. 课堂小结 图案的设计 分析图案设计 分清基本图形 知道形成过程 设计方法 利用轴对称进行图形变换 动手设计 赏析悦目的图案