北师版八年级数学下册第一章三角形的证明教学课件

1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质 学习目标 1.回顾全等三角形的判定和性质; 2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用 其解决基本的几何问题.(重点) 导入新课 情境引入 问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点? 斜拉桥梁埃及金字塔 体育观看台架 问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系 一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平 的，你知道其中反映了什么数学原理? 七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”. 思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？ 问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？ 1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等. 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （AAS）. 问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？ 弄清楚证明一个 命题的一般步骤 是解题的关键 证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程. 讲授新课 全等三角形的判定和性质一 已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代换）. ∵BC=EF（已知）， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. FE D CB A 总结归纳 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合 (三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 定理:等腰三角形的两个底角相等. 等腰三角形的性质及其推论二 问题引入 等腰三角形的两个底角相等. A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 如何证明两个角相 等呢？ 可以运用全等三角形的 性质“对应角相等”来 证 议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角 形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三 角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？ 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B CD 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 方法一：作底边上的中线 还有其他的证法 吗？ 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B CD 证明： 作顶角的平分线AD， 则∠BAD=∠CAD. AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ), AD=AD (公共边), ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 方法二：作顶角的平分线 在△BAD和△CAD中 想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得 到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新 的发现？ 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得 BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平 分线、底边BC上的高线 . A B CD 定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A CB 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 证明后的结论,以后可以直接运用. 总结归纳 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合(三线合一）. A CB D 1 2∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. 综上可得：如图,在△ABC中, A B C D 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， 求△ABC各角的度数. 典例精析 分析：（1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ ∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC； △ABC, △ABD, △BCD. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x （3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、 ∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. （4）设∠A=x°,请把△ ABC的内角和用含x的 式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °, A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 °，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内 角、外角之间的关系进行转化求解. 归纳 例2 如图①，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证： AF⊥BC. 解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG， DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，再根据等腰三角形的性质证明． 图① 图② A B D G E C A B D E CF 证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝ CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC. 图① 图② A B D G E C A B D E CF 当堂练习 1.如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌ △AED， 还需添加一个条件，这个条件可以是 ____________________________．∠C＝∠D（答案不唯一） 2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___________； (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________； (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________. 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°,30° 结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90° 课堂小结 等腰三 角形的 性 质 等 边 对 等 角 三 线 合 一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和 中线才有这一性质.而腰上高和中线与 底角的平分线不具有这一性质. 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （AAS）. 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第2课时 等边三角形的性质 学习目标 1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角 形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质; 2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问 题.(重点、难点) 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很 多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形. 思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各 角之间有什么关系呢？ 导入新课 情境引入 讲授新课 等腰三角形的重要线段的性质一 A CB DE A CB MN A CB PQ 上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的 两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？ 猜想：底角的两条平分线相等； •两条腰上的中线相等； •两条腰上的高线相等. 你能证明你 的猜想吗？ 例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等． A CB E 已知: 求证: BD=CE. 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线． 1 2 猜想证明 D ∠2= ∠ACB(已知), ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 证明： 1 2又∵∠1= ∠ABC，1 2 ∴∠1=∠2(等式性质)． 在△BDC与△CEB中， ∠DCB=∠ EBC（已知）， BC=CB（公共边），  ∠1=∠2（已证）， ∴ △BDC≌△CEB（ASA）． ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)． A CB E 1 2 D 又∵CM= ，BN=  ， 1 2 A B 例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． BM=CN．求证: 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线． 1 2 AC 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. ∴CM=BN． 在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN， ∴△BMC≌△CNB（SAS）． ∴BM=CN. A CB MN 例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等． BP=CQ．求证: 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是 △ABC两腰上的高． 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. 在△BMC与△CNB中， ∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB， ∴△BQC≌△CPB（SAS）． ∴BP=CQ. A CB PQ 还有其他的结 论吗? A CB DE 1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. （1）如果∠ABD= ∠ABC ， ∠ACE= ∠ACB， 那么BD=CE吗? 为什么？ （2）如果∠ABD= ∠ABC ， ∠ACE= ∠ACB 呢? 由此你能得到一个什么结论? 议一议： 1 3 1 3 1 41 4 如果∠ABD= ∠ABC ， ∠ACE= ∠ACB ， 那么BD=CE吗? 1 n 1 n 过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. BD=CE BD=CE BD=CE 2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC. (1)如果AD= AC,AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么？ 1 3 1 3 A CB DE BD=CE (2)如果AD= AC,AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么？ 1 4 1 4 BD=CE 由此你能得到一个什么结论? (3)如果AD= AC,AE= AB, 那么BD=CE吗? 为什么？ 1 n 1 n BD=CE 两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等. 这里是一个由特殊 结论归纳出一般结 论的一种数学思想 方法. 等边三角形的性质二 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么 特征呢？ 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 可以利用等腰三角 形的性质进行证明. 怎样证明这一定 理了？ 定理证明 已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°． A CB 证明：在△ABC中， ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. B C D A E 例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求 ∠EDA的度数. 解： ∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. ∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°. ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°. ∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°. 当堂练习 A CB D E 1.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm. 12 2.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM， 求证：AN=BM. 证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60°， ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2， 即∠ACN＝∠MCB. ∵CA＝CM，CB＝CN， ∴△CAN≌△CMB(SAS)， ∴AN＝BM. 3.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形， 求∠AEB的大小. C B OD A E解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等 边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A、O、D三点共线， ∴ ∠DOB=∠COA=120°， ∴ △COA ≌△DOB(SAS). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠AEB=∠AOB=60°. F 变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边 三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB的大小吗？ D C A B E O 方法与前面相同，∠AEB=60°. 课堂小结 等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性 质： 底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等. 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点、难点） 2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；（重点） 学习目标 复习引入 导入新课 问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？ 等腰三角形的两底角相等(简写成 ‘‘等边对等角”)． 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简 写成 ‘‘三线合一”) 问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？ 题设：一个三角形是等腰三角形 结论：相等的两边所对应的角相等 思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么 关系吗？ 我测量后发现AB与AC相等. 3cm3cm 讲授新课 等腰三角形的判定一 A B C 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报 警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出 发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 互动探究 已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和 AC有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°， 请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么 数量关系，你能得出什么结论？ AB=AC 你能验证你的结论吗？ 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∠B=∠C， AD=AD， ∴AB=AC. 过A作AD平分∠BAC交BC于点D.证明： C A B 21 D （ （ △ABC是等腰三 角形. 结论验证： 有两个角相等的三角形是等腰三角形. (简称“等角对等边”). 等腰三角形的判定定理： 在△ABC中， ∵∠B=∠C, 应用格式： ∴AB=AC(等角对等边). A CB 总结归纳 A B CD 21 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC A B C D 21 （等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? 例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. A B C D E 证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）, ∴AE=DE(等角对等边）, ∴ △AED是等腰三角形. 典例精析 例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB， AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形. 证明 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C. 又∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴ ∠ADE=∠AED. ∴△ADE为等腰三角形. 想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两 个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证 明它吗? A B C 反证法二 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定 理可得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾， 因此AB≠AC. 小明是这样想的: 你能理解他的推理过程吗? 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与 已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定 成立．这种证明方法称为反证法． 总结归纳 用反证法证题的一般步骤 1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与 定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题 的结论正确. 例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC． 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角． 【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中 不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角 是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾． 典例精析 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角． 当堂练习 E 2 1 A B C D 72° 36°③如果AD=4cm，则 1.已知:如图,∠A=36°， ∠DBC=36°，∠C=72°, ①∠1= , ∠2= ； ②图中有 个等腰三角形； BC= cm； 72° 36° 3 4 个等腰三角形. ④如果过点D作DE∥BC, 交AB于点E,则图中有 5 2. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于 点O. 求证：△OBC为等腰三角形. A B C DE O 证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ ∠ABD =∠DBC= ， ∠ACE =∠ECB= . 1 2 A B C 1 2 A C B ∴ ∠DBC =∠ECB， ∴ △OBC是等腰三角形. 又∵ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠ABC =∠ACB， 3.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那 么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. l1 l2 l3 P 经过直线外一点,有且只有一条直线 与已知直线平行 假设不成立 l3与l2 不相交 l3∥l2 l1∥l2 假设____________,那么 _________. 这与“______________________________________ ________________”矛盾. 所以___________,即求证的命题正确. 证明: 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 课堂小结 等腰三角 形的判定 等 角 对 等 边 有两个角相等的三角形是等腰三 角形 反 证 法 先假设结论不成立，然后推导与已知定 理相矛盾的结果，从而证明原命题成立. 1.1 等腰三角形 第一章 三角形的证明 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的 直角三角形的性质 学习目标 1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点) 2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点) 导入新课 观察与思考 观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？ 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定 理是什么呢？ 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形 的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 等边三角形的判定一 讲授新课 A B C 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 已知： 若AB=AC , ∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 证明完整吗？是不是还 有另一种情形呢？ 1 2 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是60°. A CB 60° 【验证】 等腰三角形(含 等边三角形) 性质 判定的条件 等边对等角 等角对等边 “三线合一”,即等腰三 角形顶角平分线，底边上 的中线、高线互相重合 有一角是60°的等腰三 角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相 等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形 是等边三角形 归纳总结 例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A CB D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形 吗?试说明理由. A CB D E 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°. ∵ AD=AE, ∴ △ADE是等腰三角形 ∴ △ADE是等边三角形. 又∵ ∠A=60°. 含30°角的直角三角形的性质二 操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一 个怎样的三角形？ 30° 30° 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与 斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 30° 30° 30° 合作探究 结论:在直角三角形中, 30°角所对的 直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°， ∠A=30°. 求证:BC= AB. 1 2 A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 猜想验证 30° 30° ∵ ∠ACB=90°, (已知) ∴∠ACD=90°，(平角意义) 在△ABC与△ADC中， BC=DC，（作图）  ∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB； ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知) ∴∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形) ∴BC= BD= AB． (等式性质) 30° A B C D 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD， 2 1 2 1 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角 边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角 边等于斜边的一半) A B C30° 推论： 归纳总结 CB A D 例2 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB =15°, CD是腰AB上的高，求CD的长. 解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知) ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°， ∵∠ADC=90°，∴CD= AC=a． （在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角 边等于斜边的一半） 1 2 例3 已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D ． 求证:BD= D A C B 30° 证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90° ∴BC= ∠B=60°． ∴∠BCD=30°， ∴BD= ∴BD= AB 4 ． AB 2 ， CB 2 ， AB.4 1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为 ______cm. 9 当堂练习 2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3． 则AC=_____;BC=_______． A B C 3 30° 6 3 3 3. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分 ∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. 证明: ∵ AB=BC， ∴△ABC是等边三角形. 又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE. ∴ ∠FDC=∠ABC=60°， ∴ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠EDF=∠FDC=60°， 又∵DF∥BA， 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC． ∴△ACB≌△ACD(SAS)． ∴AB=AD． ∵CD=BC，∴BC= BD． 又∵BC=  AB， ∴AB=BD．∴AB=AD=BD， 即△ABD是等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°． 4．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB． 求证：∠BAC=30°． CB A D 1 2 1 21 2 课堂小结 1.等边三角形的判定: 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 三个角都相等的三角形是等边三角形． 2.特殊的直角三角形的性质: 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜 边的一半． 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所 对的锐角等于30°． 3.数学方法：分类的思想． 1.2 直角三角形 第一章 三角形的证明 第1课时 直角三角形的性质与判定 1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三 角形的性质和判定. 2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解 决问题.（重点、难点） 学习目标 直角三角形的两个锐角互余. 问题1 直角三角形的定义是什么？ 问题2 三角形内角和的性质是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形. 三角形内角和等于180°. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 导入新课 复习引入 问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 直角边所对的锐角等于30°. 讲授新课 直角三角形的性质与判定一 问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？ 问题引入 根据三角形的内角和 定理，即可得到“直 角三角形的两锐角互 余”. 如果一个三角形中有两个 锐角互余，那么这个三角 形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所 以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 勾股定理与逆定理二 知识回顾 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理. a c b 勾 弦 股 证明欣赏 2 21 1 1 2 2 2 21 1 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 21 1 1 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( 2 ) . s a b a b a ab b a b ab s ab ab c ab c s s a b ab ab c a b c                      ， ， ， b a c b ac 1．美国第二十任总统的证法： c a b c a b c a b c a b ∵ (a+b)2 = c2+ ， a2+2ab+b2 = c2+2ab， ∴a2+b2=c2. 大正方形的面积可以表示 为 ； 也可以表示为 ； (a+b)2 c2+ 2．利用正方形面积拼图证明： 14 2 ab 14 2 ab c ∵ c2= +(b-a)2， c2 =2ab+b2-2ab+a2， c2 =a2+b2， ∴ a2+b2=c2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为     ． c2 +(b-a)2 3．赵爽弦图 14 ab2  14 ab2  c a c a c b a a b b b 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是 直角三角形． 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 这个命题是真命题吗？ 为什么？ A BC 已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形． 分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？ 例1 证明此命题： 证明：作Rt△DEF,使∠E=90°, DE=AC,FE=BC， 则DE2+EF2=DF2(勾股定理)． ∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), ∴AB2=DF2， ∴AB=DF， ∴△ABC≌△DFE（SSS）． ∴∠C=∠E=90°, ∴△ABC是直角三角形． D FE ┏ A BC 归纳总结 定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三 角形是直角三角形． 互逆命题与互逆定理三 议一议 定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三 角形是直角三角形． 下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？ 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件． 观察上面三组命题,你发现了什么? 1.两直线平行,内错角相等； 3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎； 2.内错角相等,两直线平行； 5.一个三角形中相等的边所对的角相等； 6.一个三角形中相等的角所对的边相等； 说出下列命题的条件和结论： 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第 一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆 命题. 上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置． 命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为： 条件为：两直线平行； 结论为：内错角相等． 因此它的逆命题为： 内错角相等，两直线平行. 归纳总结 例2 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直 角三角形. 典例精析 (2)等边三角形的每个角都等于60°. 条件：一个三角形是等边三角形; 结论：它的每个角都等于60°. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是 等边三角形. （3）全等三角形的对应角相等. 条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全 等. 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条 件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确． 例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是 假命题． 知识归纳 例3 举例说明下列命题的逆命题是假命题. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如10能被5整除，但它的个位数是0. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5. 例如60°= 60°，但这两个角不是直角. 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆 定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题. 注意2：不是所有的定理都有逆定理. 知识归纳 当堂练习 1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm 【解析】Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=100， ∴AB=10cm.BE= AB=5cm.1 2 B 2.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出 几个例子说明. (1)同旁内角互补，两直线平行. 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形. 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相 等. 真 直角三角形 角的性质 课堂小结 边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平 方和等于斜边的平方； 逆定理：如果三角形两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是直角 三角形 定理1：直角三角形的两个锐角互余； 定理2：有两个角互余的三角形是直角三 角形. 互逆命题与互逆 定理 互逆命题 互逆定理 一个定理的逆命题也是定理，这两个 定理叫做互逆定理 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 概念 概念 1.2 直角三角形 第一章 三角形的证明 第2课时 直角三角形全等的判定 情境引入 学习目标 1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点） 2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全 等．（重点） 旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法 导入新课 C B A AC BC AB 思考： 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ A B C A′ B′ C′ 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐 角对应相等，这两个直角三角形全等 吗？为什么？ 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三 角形全等吗？为什么？ 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ 为什么？ 口答： 动脑想一想 如图，已知AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？ 我们知道，证明三角形全等不存 在SSA定理. A B C D E F 问题： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠B=∠E=90°， 且AC=DF，BC=EF，现在能 判定△ABC≌△DEF吗？ A B C D E F 直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）一 讲授新课 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个 Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下 来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ A B C 作图探究 画图方法视频（点击文字 播放） 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90° A B C M C′ N 画图思路 （2）在射线C′M上截取B′C′=BC M C′ A B C N B′M C′ 画图思路 （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′ M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 （4）连接A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 知识要点 “斜边、直角边”判定方法 u文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. u几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “SSA”可以判定两个直角三角形全 等，但是“边边”指的是斜边和一直 角边，而“角”指的是直角. AB=A′B′, BC=B′C′, 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”， 全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL × SAS AAS AAS 判一判 典例精析 例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA, AC=BD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在 直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法 的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这 是常见的思路. 变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需 一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定 它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分 别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD. 变式2 HL AC=BD Rt△ABD≌Rt△BAC 如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置 关系. 变式3 HL ∠ADB=∠CBD Rt△ABD≌Rt△CDB AD∥BC 例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝ AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和 △ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL” 公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最 多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑 梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有 什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF , ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 D A 当堂练习 2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证： △EBC≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD， BC=CB， ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与 △ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）. 全等 HL ┑ A F CE D B 5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF. 即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE, ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF. A F C E D B G 变式训练1 AB=CD, AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗? 变式训练2 C AB=CD, AF=CE. Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一 条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ 上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位 置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合． 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 能力拓展 (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本 题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏 解． 课堂小结 “斜边、 直角边” 内 容 斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等. 前 提 条 件 在直角三角形中 使 用 方 法 只须找除直角外的两个条件即可（两个条 件中至少有一个条件是一对对应边相等） 1.3 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 第1课时 线段的垂直平分线 1.理解线段垂直平分线的概念； 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点） 学习目标 导入新课 问题引入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应 建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A 与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直 线段AA′. ● ● l A A′D 21 (A) 讲授新课 线段垂直平分线的性质一 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平 分线. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的 对称轴. 知识要点 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量 线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 探究发现 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂 直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是 PA=PB. (A)(B) B A P l 活动探究 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．  证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB．   又 AC =CB，PC =PC，   ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．   ∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 微课--证明线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： 总结归纳 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足 为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(  ) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 典例精析 C 解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又 ∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝ 35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).故选C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化， 从而求出未知线段的长． 练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一 点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等. 逆 命 题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定二 想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 记得要分点P在线段AB上及 线段AB外两种情况来讨论 （1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB， ∴点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 微课--线段垂直平分线的逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 总结归纳 例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个 端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一 条直线）. 你还有其他证明 方法吗？ 利用三角形的全等证明 证明：延长AO交BC于点D， ∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ， ∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO， ∵AB=AC， ∴AO⊥BC． ∵OB＝OC ，OD＝OD ， ∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）. ∴BD＝CD. ∴直线AO垂直平分线段BC. 试一试：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB, 垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边 的距离相等）. ∴ OE是CD的垂直平分线. 当堂练习 1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是 （   ） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝ EB,FA＝FB，这样的点的组合共有    种. 无数 3.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 4.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE， AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm. A B C D E 16 5.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD， AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 ∵AB与CD相交于点O， ∴ AO=BO. 课堂小结 线段的垂直平分的 性质和判定 性 质 到线段的两个端点距离相等的点在线 段的垂直平分线上 内 容 判 定 内 容 作 用 线段的垂直平分线上的点到线段的两个 端点的距离相等 作 用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线 上 1.3 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图 1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能 够运用其解决实际问题.(重点) 2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线. 学习目标 导入新课 复习引入 A B C D 1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.线段的垂直平分线的作法. 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上. 讲授新课 三角形三边的垂直平分线的性质一 合作探究 画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？ 发现：三角形三边的垂直平分线交于 一点．这一点到三角形三个顶点的距 离相等． 怎样证明这个结论 呢? 点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在 第三条直线上即可. 思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ B C A P l n ml是AB的垂直平分线 m是BC的垂直平分线   PA=PB PB=PC  PA=PC  点P在AC的垂直平 分线上 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相 等）. ∴PB=PC. ∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分 线上）. B C A P l n m 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶 点的距离相等. 归纳总结 u应用格式： ∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA =PB=PC． A B C P 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线， 说明交点分别在什么位置. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 做一做 尺规作图二 做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形 吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? 已知：三角形的一条边a和这边上的高h. 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h. A1 D CB A a h (D)CB A a h A1 D C B A a h A1 提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. （2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能 作几个?所作出的三角形都全等吗?   这样的等腰三角形有无数多个.根据线段垂直平 分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边 的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点， 和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角 形． 如图所示，这些三角形不都全等． (3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形 吗？能作几个？   这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等 的，分别位于已知底边的两侧． 例 已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. N M D CB a h A 作法： 1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 4．连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形. 典例精析 1.已知直线l和其上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P. P ● l 试一试 A B C P 已知：直线 l 和 l 上一点P． 求作：PC⊥ l ． 作法： 1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求 l 的垂线． l BA 作法： 2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P. (1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径 作圆，交直线 l 于A，B. (2)分别以A、B为圆心，大于R的长 为半径作圆，相交于C、D两点. (3)过两交点作直线 l ',此直线为 l 过P的垂线. P ● C D 当堂练习 1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交 AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ） A．80°   B．70° C．60° D．50° C B A D E C 2.下列说法错误的是 ( ) A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点 B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直 于底边 C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称 D 【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称，等腰三角形关于底边 上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状， 所以D选项说法错误. 3.如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分线交BC于点D， DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交于G. 求证：EG＝EC. F A B CE G D 证明:连接AD.∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°, ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°. ∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°, ∴AE＝DE.又∵DF⊥AC, ∴∠DFC＝∠AEC＝90°, ∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°, ∴∠CAE＝∠CDF, ∴△DEG≌△AEC(ASA), ∴EG＝EC. F A B CE G D 4.已知：线段a. 求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a. 作法： （1）作直线l. （2）在直线l上任取一条线段DE. （3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C. （4）在射线CE上截取CA=a, 在射线CM上截取CB=a. （5）连接AB. △ABC就是所求作的三角形. 课堂小结 1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个 顶点的距离相等. 2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形. A B C P a bc 1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 第1课时 角平分线 1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平 分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实 际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识 和能力． 学习目标 情境引入 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？ （比例尺为1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 导入新课 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将 三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质一 讲授新课 验证猜想 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 u 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. u应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 推理的理由有三个，必须写 完全，不能少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B CD E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分 别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 A B C P 变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交 BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于 点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积. D 14 PDBC PD PB DB PC PB DB BC DB AD DB AB              （3）求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 1 2P D BS   由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， = 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到 的等量关系进行转化求解 角平分线的判定二 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗 ？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 思考：这个结论正 确吗？ 逆 命 题 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B AD O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 u判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. u应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识总结 例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于 M. ∵点F在∠BCE的平分线上，     FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上，     FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.    G H M A B C F E D ┑ ┑ ┑ 例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学， OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学 的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什 么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹) ON M A B ON M A B P 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等 的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示： 归纳总结 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定角的平分线的性质 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB 的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G 3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取 OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB. 为什么？ A O B M N P 解：在RT△MOP和RT△NOP中， OM=ON， OP=OP， ∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）. ∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB. 课堂小结 角平分线 性 质 定 理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅 助 线 添 加 过角平分线上一点向两边作垂线段 判 定 定 理 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在 这个角的平分线上 1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 第2课时 三角形三条内角的平分线 1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点 到三条边的距离相等”.(重点） 2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识 和能力．(难点） 学习目标 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距 离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 导入新课 情境引入 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 三角形的内角平分线一 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 讲授新课 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段， 你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明这个结论 吗？ 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条 角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流． 结论：三角形三个角的平分线相交于一点. 怎样证明这个结论呢? 试一试 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点， 只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角 平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线   PI=PH PG=PI  PH=PG  点P在∠BCA的平 分线上 A B C P F H D E I G 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明结论 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有 什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)如果CD=4cm,AC的长; E D A BC （1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E， ∴DE=CD=4cm. ∵AC=BC,∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中， 22 4 2 c m .B D D E  (4 4 2 ) cm .AC BC CD BD      (2)求证:AB=AC+CD. E D A BC （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. M E N A B C PO D 例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD 平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 12 解：连接OC 1 1 1 2 2 2 1 ( )2 1 4 3 2 6 42 A B C A O C B O C A O BS S S S A B O E B C O N A B O M O M A B B C O M                     M E N A B C PO D (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若 ∠A＝40°，则∠BOC的度数为(  ) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 1 2 1 2 当堂练习 1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下 列确定P点的方法正确的是（ ） A.P为∠A，∠B两角平分线的交点 B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线 的交点 C.P为AC，AB两边上的高的交点 D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点 A B C P B 【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等， ∴P在∠A的角平分线上， ∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上. ∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点. 2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE= ∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC的  ， AE+DE= . C A B E D 角平分线 6cm 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休 息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A.△ABC 的三条中线的交点 B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点 C  4.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.  求证：CF=EB. 证明：∵AD平分∠CAB,   DE⊥AB，∠C＝90°（已知）, ∴ CD＝DE (角平分线的性质). 在Rt△CDF和Rt△EDB中,    CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. C F A E D B 拓展思维 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转 站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位 置. l1 l3 l2 P1 P2 P3 P4 l1 l2l3 三角形内角平分线 的性质 性质：三角形的三条角平分线交于一点，并 且这一点到三条边的距离相等． 课堂小结 应用：位置的选择问题.