北师版八年级数学下册第一章三角形的证明习题课件

第一章 三角形的证明 北师版 1．1 等腰三角形 第 1 课时 等腰三角形的性质 1 ． ( 成都中考 ) 如图 ， 已知 ∠ ABC ＝ ∠ DCB ，添加以下条件 ， 不能判定 △ ABC ≌△ DCB 的是 ( ) A ． ∠ A ＝ ∠ D B ． ∠ ACB ＝ ∠ DBC C ． AC ＝ DB D ． AB ＝ DC C A B 4 ．如图 ， 在 △ ABC 中， AB ＝ AD ＝ DC ， ∠ B ＝ 70° ，则 ∠ C 的度数为 ( ) A ． 35° B ． 40° C ． 45° D ． 50° 5 ．如图 ， 在等腰 △ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC ， ∠ ABC ＝ 72° ， 则 ∠ ABD 等于 ( ) A ． 36° B ． 54° C ． 18° D ． 64° A B 6 ． ( 遵义中考 ) 如图 ， 在 △ ABC 中．点 D 在 BC 边上 ， BD ＝ AD ＝ AC ， E 为 CD 的中点．若 ∠ CAE ＝ 16° ，则 ∠ B 为 ____ 度． 37 7 ． ( 湖州中考 ) 如图 ， AD ， CE 分别是 △ ABC 的中线和角平分线． 若 AB ＝ AC ， ∠ CAD ＝ 20° ， 则 ∠ ACE 的度数是 ( ) A ． 20° B ． 35° C ． 40° D ． 70° 8 ．如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平分 ∠ BAC ， 则下列结论错误的是 ( ) A ． ∠ B ＝ ∠ C B ． AD ⊥ BC C ． ∠ BAD ＝ ∠ CAD ＝ ∠ C D ． BD ＝ CD B C 9 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， AD ⊥ BC ， AB ＝ AC ， ∠ BAD ＝ 30° ， 且 AD ＝ AE ， 则 ∠ EDC 等于 ( ) A ． 10° B ． 12.5° C ． 15° D ． 20° C 10 ． 如图 ， 在△ PAB 中 ， PA ＝ PB ， M ， N ， K 分别是 PA ， PB ， AB 上的点 ， 且 AM ＝ BK ， BN ＝ AK ， 若∠ MKN ＝ 44° ， 则∠ P 的度数为 ( ) A ． 44° B ． 66° C ． 88° D ． 92° 11 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， D 为 AB 上一点 ， E 为 BC 上一点 ， 且 AC ＝ CD ＝ BD ＝ BE ， ∠ A ＝ 50° ， 则∠ CDE 的度数为 ( ) A ． 50° B ． 51° C ． 51.5° D ． 52.5° D D 12 ． ( 娄底中考 ) 如图 ， △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD⊥BC 于点 D ， DE⊥AB 于点 E ， BF⊥AC 于点 F ， DE ＝ 3 cm ， 则 BF ＝ __ cm . 6 13 ． 如图 ， 点 D ， E 在△ ABC 的边 BC 上 ， AB ＝ AC ， BD ＝ CE. 求证： AD ＝ AE. 证明：∵ AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝∠ C ， 在△ ABD 和△ ACE 中 ， AB ＝ AC ， ∠ B ＝∠ C ， BD ＝ CE ， ∴△ ABD≌△ACE( SAS ) ， ∴ AD ＝ AE 14 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平分∠ BAC ， 点 M ， N 分别在边 AB ， AC 上 ， AM ＝ 2MB ， AN ＝ 2NC ， 求证： DM ＝ DN. 15 ． (1) 如图 1 ， 在 Rt △ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， 点 D ， E 在边 AB 上 ， 且 AD ＝ AC ， BE ＝ BC ， 求∠ DCE 的度数； (2) 如图 2 ， 在△ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 40° ， 点 D ， E 在直线 AB 上 ， 且 AD ＝ AC ， BE ＝ BC ， 则∠ DCE ＝ ________ ； (3) 在△ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ n°(0 ＜ n ＜ 180) ， 点 D ， E 在直线 AB 上 ， 且 AD ＝ AC ， BE ＝ BC ， 求∠ DCE 的度数 ( 直接写出答案 ， 用含 n 的式子表示 ) ． 解： (1)∵AD ＝ AC ， BC ＝ BE ， ∴∠ ACD ＝∠ ADC ， ∠ BCE ＝∠ BEC ， ∴∠ ACD ＝ (180° －∠ A)÷2 ， ∠ BCE ＝ (180° －∠ B)÷2.∵∠A ＋∠ B ＝ 90° ， ∴∠ ACD ＋∠ BCE ＝ 180° － (∠A ＋∠ B)÷2 ＝ 180° － 45° ＝ 135° ， ∴∠ DCE ＝∠ ACD ＋∠ BCE －∠ ACB ＝ 135° － 90° ＝ 45° (2)110° 第一章 三角形的证明 北师版 1．1 等腰三角形 第 2 课时 等边三角形的性质 1 ．若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为 100° ，则顶角的度数为 ( ) A ． 50° B ． 80° C ． 100° D ． 130° 2 ．如图 ， 在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， △ ABC 的角平分线 BD 和 CE 相交于点 O ， 则图中的全等三角形共有 ( ) A ． 1 对 B ． 2 对 C ． 3 对 D ． 4 对 B C 3 ．在等腰三角形 ABC 中 ， AB ＝ AC ， 那么下列说法中不正确的是 ( ) A ． BC 边上的高线和中线重合 B ． AB 边上的中线和 AC 边上的中线相等 C ． ∠ ABC 和 ∠ ACB 的平分线相等 D ． AB ， BC 两边上的高相等 D D 5 ． 下列说法： ① 等边三角形的每一个内角都等于 60° ； ② 等边三角形三条边上的高都相等； ③ 等腰三角形两底角的平分线相等； ④ 等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合； ⑤ 等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合． 其中说法正确的有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 6 ． 如图所示 ， △ ABC 是等边三角形 ， 且 BD ＝ CE ， ∠ 1 ＝ 15° ， 则∠ 2 的度数为 ( ) A ． 15° B ． 30° C ． 45° D ． 60° D D 7 ．如图 ， △ ABC 为等边三角形 ， AD 平分∠ BAC ， △ ADE 是等边三角形 ， 下列结论中：① AD⊥BC ；② EF ＝ FD ；③ BE ＝ BD ；④∠ ABE ＝ 60°. 其中正确的个数为 ( ) A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个 8 ． 如图 ， 已知直线 l 1 ∥l 2 ， 将等边三角形如图放置 ， 若∠ α ＝ 40° ， 则∠ β 等于 _____. A 20° 9 ．如图 ， △ ABC 是等边三角形 ， 点 B ， C ， D ， E 在同一直线上 ， 且 CG ＝ CD ， DF ＝ DE ， 则∠ E ＝ ____ 度． 15 10 ． 如图 ， 在等边△ ABC 中 ， AC ＝ 9 ， 点 O 在 AC 上 ， 且 AO ＝ 3 ， 点 P 是 AB 上一动点 ， 连接 OP ， 将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60° 得到线段 OD ， 要使点 D 恰好落在 BC 上 ， AP 的长是 ( ) A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 8 C 11 ．如图 ， △ APB 和 △ CDP 是两个全等的等边三角形 ， 且 PA ⊥ PD. 有下列三个结论： ①∠ PBC ＝ 15° ； ② AD ∥ BC ； ③ 直线 PC 与 AB 垂直． 其中正确的有 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个 D 12 ．如图 ， 点 D 是等边△ ABC 的边 AC 上一点 ， 以 BD 为边作等边△ BDE ， 若 BC ＝ 10 ， BD ＝ 8 ， 则△ ADE 的周长为 ____. 18 13 ． 如图 ， △ ABC 是等边三角形 ， D 是 AB 边上一点 ， 以 CD 为边作 等边△ CDE ， 使点 E ， A 在直线 DC 同侧．连接 AE ， 求证： AE∥BC. 证明：∵△ ABC ， △ CDE 是等边三角形 ， ∴∠ BCD ＋∠ ACD ＝∠ ACE ＋∠ ACD ＝ 60° ， ∴∠ BCD ＝∠ ACE. 在△ BCD 和△ ACE 中 ， BC ＝ AC ， ∠ BCD ＝∠ ACE ， CD ＝ CE ， ∴△ BCD≌△ACE( SAS ) ， ∴∠ B ＝∠ CAE.∵∠B ＝∠ ACB ， ∴∠ CAE ＝∠ ACB ， ∴ AE∥BC 14 ． 已知 ， 如图所示 ， P 为等边三角形 ABC 内的一点 ， 它到三边 AB ， AC ， BC 的距离分别为 h 1 ， h 2 ， h 3 ， △ ABC 的高 AM ＝ h. 则 h 与 h 1 ， h 2 ， h 3 有何数量关系？写出你的猜想并加以证明． 15 ． 如图 1 ， 已知点 P 是线段 AB 上的动点 (P 不与 A ， B 重合 ) ， 分别以 AP ， PB 为边向线段 AB 的同一侧作等边 △ APC 和等边 △ PBD. 连接 AD ， BC ， 相交于点 Q ， AD 交 CP 于点 E ， BC 交 PD 于点 F. (1) 图 1 中有 ______ 对全等三角形； ( 不必证明 ) (2) 图 1 中设 ∠ AQC ＝ α ， 那么 α ＝ ________° ； ( 不必证明 ) (3) 如图 2 ， 若点 P 固定 ， 将 △ PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转 ( 旋转角小于 180°) ， 此时 α 的大小是否发生变化？请说明理由． 解：(1)△APD≌△CPB，△EPD≌△FPB，△APE≌△CPF，一共有3对 (2)∵△APC是等边三角形，∴PA＝PC，∠APC＝60°，∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，在△APD和△CPB中， ∴△ APD ≌△ CPB( SAS ) ， ∴∠ PAD ＝ ∠ PCB ， ∵∠ QAP ＋ ∠ QAC ＋ ∠ ACP ＝ 120° ， ∴∠ QCP ＋ ∠ QAC ＋ ∠ ACP ＝ 120° ， ∴∠ AQC ＝ 180° － 120° ＝ 60°. 故答案为 60 (3) 此时 α 的大小不会发生改变 ， 始终等于 60 ° . 理由： ∵△ APC 是等边三角形 ， ∴ PA ＝ PC ， ∠ APC ＝ 60 ° ， ∵△ BDP 是等边三角形 ， ∴ PB ＝ PD ， ∠ BPD ＝ 60 ° ， ∴∠ APC ＝ ∠ BPD ， ∴∠ APD ＝ ∠ CPB ， 在 △ APD 和 △ CPB 中 ， ∴△ APD ≌△ CPB( SAS ) ， ∴∠ PAD ＝ ∠ PCB ， ∵∠ QAP ＋ ∠ QAC ＋ ∠ ACP ＝ 120° ， ∴∠ QCP ＋ ∠ QAC ＋ ∠ ACP ＝ 120° ， ∴ α ＝ ∠ AQC ＝ 180° － 120° ＝ 60° 第一章 三角形的证明 北师版 1．1 等腰三角形 第 3 课时 等腰三角形的判定 1 ．在△ ABC 中，已知∠ B ＝∠ C ，则 ( ) A ． AB ＝ BC B ． AB ＝ AC C ． BC ＝ AC D ．∠ A ＝ 60° 2 ．如图 ， 在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝ 36° ， BD ， CE 分别是△ ABC ，△ BCD 的角平分线 ， 则图中的等腰三角形共有 ( ) A ． 5 个 B ． 4 个 C ． 3 个 D ． 2 个 B A 3 ．如图 ， OB 平分 ∠ CBA ， CO 平分 ∠ ACB ， 且 MN ∥ BC ， 设 AB ＝ 12 ， BC ＝ 24 ， AC ＝ 18 ， 则 △ AMN 的周长为 ( ) A ． 30 B ． 33 C ． 36 D ． 39 4 ． 如图 ， ∠ BAC ＝ 100° ， ∠ B ＝ 40° ， ∠ D ＝ 20° ， AB ＝ 3 ， 则 CD ＝ ___. A 3 5 ．如图 ， 在△ ABC 中 ， BC ＝ 5 cm ， BP ， CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的平分线 ， 且 PD∥AB ， PE∥AC ，则△ PDE 的周长是 ___ cm . 5 6 ．用反证法证明命题“在三角形中 ， 至多有一个内角是直角”时 ， 应先假设 ( ) A ．至少有一个内角是直角 B ． 至少有两个内角是直角 C ． 至多有一个内角是直角 D ． 至多有两个内角是直角 7 ．请举反例说明命题“对于任意实数 x ， x 2 ＋ 5x ＋ 5 的值总是正数” 是假命题．你举的反例是 ____. ( 写出一个 x 的值即可 ) B － 2 8 ． 用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角． 已知： △ ABC ， AB ＝ AC. 求证： ∠ B ， ∠ C 都是锐角． 证明： ① 假设等腰三角形的底角 ∠ B ， ∠ C 都是直角 ， 则 _________________ ， 从而 ___________________ ＞ 180° ， 这与 ___________________ 矛盾； ∠ B ＋ ∠ C ＝ 180° ∠ A ＋ ∠ B ＋ ∠ C 三角形内角和定理 ② 设等腰三角形的底角 ∠ B ， ∠ C 都是钝角 ， 则 _______________________ ， 从而 ___________________________ ， 这与 ______________________ 矛盾． 综上所述 ， 假设 ① ， ② _______ ， 所以 ∠ B ， ∠ C 只能为 _____ ， 故等腰三角形的两底角必为锐角． ∠ B ＋ ∠ C ＞ 180° ∠ A ＋ ∠ B ＋ ∠ C ＞ 180° 三角形内角和定理 不成立 锐角 C 10 ． 如图 ， 一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70° 方向的 M 处 ， 它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行 ， 2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40° 的 N 处 ， 则 N 处与灯塔 P 的距离为 ( ) A ． 40 海里 B ． 60 海里 C ． 70 海里 D ． 80 海里 D 11 ．如图 ， 在△ ABC 中 ， D ， E 分别是 AC ， AB 上的点 ， BD 与 CE 交于点 O. 给出下列三个条件：①∠ EBO ＝∠ DCO ；②∠ BEO ＝∠ CDO ；③ BE ＝ CD. 上述三个条件中 ， 哪两个条件可判定△ ABC 是等腰三角形 ( 用序号写出一种情形 ) ： ______________. ①③或②③ 12 ． 用反证法证明：在一个三角形中 ， 至少有一个内角小于或等于 60°. 已知：△ ABC 求证：∠ A ， ∠ B ， ∠ C 中至少有一个角小于或等于 60°. 证明：假设∠ A ， ∠ B ， ∠ C 中没有一个内角小于或等于 60°. 即∠ A____60° ， ∠ B____60° ， ∠ C____60° ， ∴∠ A ＋∠ B ＋∠ C___180° ， 这与三角形的内角和等于 180°____ ， ∴∠ A ， ∠ B ， ∠ C 中至少有一个内角小于或等于 60°. ＞ ＞ ＞ ＞ 矛盾 13 ． 如图 ， ∠ BAC ＝ ∠ ABD ， AC ＝ BD ， 点 O 是 AD ， BC 的交点 ， 点 E 是 AB 的中点．试判断 OE 和 AB 的位置关系 ， 并给出证明． 解： OE 和 AB 相互垂直．理由：在 △ ABC 和 △ BAD 中 ， AB ＝ BA ， ∠ BAC ＝ ∠ ABD ， AC ＝ BD ， ∴△ ABC ≌△ BAD( SAS ) ， ∴∠ ABC ＝ ∠ BAD ， ∴ OA ＝ OB ， ∵ 点 E 是 AB 的中点 ， ∴ OE ⊥ AB 14 ． 如图 ， AD 平分 ∠ BAC ， AD ⊥ BD ， 垂足为点 D ， DE ∥ AC. 求证： △ BDE 是等腰三角形． 证明： ∵ DE ∥ AC ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 3 ， ∵ AD 平分 ∠ BAC ， ∴∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴∠ 2 ＝ ∠ 3 ， ∵ AD ⊥ BD ， ∴∠ 2 ＋ ∠ B ＝ 90° ， ∠ 3 ＋ ∠ BDE ＝ 90° ， ∴∠ B ＝ ∠ BDE ， ∴ BE ＝ DE ， ∴△ BDE 是等腰三角形 15 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ＝ 2 ， ∠ B ＝ ∠ C ＝ 40° ， 点 D 在线段 BC 上运动 (D 不与 B ， C 重合 ) ， 连接 AD ， 作 ∠ ADE ＝ 40° ， DE 交线段 AC 于点 E. (1) 当 ∠ BDA ＝ 115° 时 ， ∠ EDC ＝ ________ ， ∠ DEC ＝ ________ ；点 D 从 B 向 C 运动时 ， ∠ BDA 逐渐变 ________ ( 填 “ 大 ” 或 “ 小 ” ) ； (2) 当 DC 等于多少时 ， △ ABD ≌△ DCE ， 请说明理由； (3) 在点 D 的运动过程中 ， △ ADE 的形状可以是等腰三角形吗？ 若可以 ， 请直接写出 ∠ BDA 的度数．若不可以 ， 请说明理由． 解： (1)25°   115°  小 (2) 当 DC ＝ 2 时 ， △ ABD≌△DCE. 理由：∵∠ C ＝ 40° ， ∴∠ DEC ＋∠ EDC ＝ 140°. 又∵∠ ADE ＝ 40° ， ∴∠ ADB ＋∠ EDC ＝ 140° ， ∴∠ ADB ＝∠ DEC. 又∵ AB ＝ DC ＝ 2 ， ∴△ ABD≌△DCE( AAS ) (3) 当 ∠ BDA 的度数为 110° 或 80° 时 ， △ ADE 的形状是等腰三角形． 理由：当 ∠ BDA ＝ 110° 时 ， ∠ ADC ＝ 70°. ∵∠ C ＝ 40° ， ∴∠ DAC ＝ 180° － ∠ ADC － ∠ C ＝ 180° － 70° － 40° ＝ 70° ， ∴∠ AED ＝ 180° － ∠ DAC － ∠ ADE ＝ 180° － 70° － 40° ＝ 70° ， ∴∠ AED ＝ ∠ DAE ， ∴ AD ＝ ED ， ∴△ ADE 的形状是等腰三角形． 当 ∠ BDA ＝ 80° 时 ， ∠ ADC ＝ 100°. ∴∠ DAC ＝ 180° － ∠ ADC － ∠ C ＝ 180° － 100° － 40° ＝ 40° ， ∴∠ DAE ＝ ∠ ADE ， ∴ AE ＝ DE ， ∴△ ADE 的形状是等腰三角形 第一章 三角形的证明 北师版 1．1 等腰三角形 第 4 课时 等边三角形的判定 1 ．下列三角形，不一定是等边三角形的是 ( ) A ．有两个角等于 60° 的三角形 B ．有一个外角等于 120° 的等腰三角形 C ．三个角都相等的三角形 D ． 边上的高也是这边的中线的三角形 D 2 ．在 △ ABC 中 ， ∠ A ＝ 60° ， 若要判定 △ ABC 是等边三角形 ， 还需添加一个条件 ， 下面三种说法： ① 如果添加条件 “ AB ＝ AC ” ， 那么 △ ABC 是等边三角形； ② 如果添加条件 “ ∠ B ＝ ∠ C ” ， 那么 △ ABC 是等边三角形； ③ 如果添加条件 “ 边 AB ， BC 上的高相等 ” ， 那么 △ ABC 是等边三角形． 正确的说法有 ( ) A ． 3 个 B ． 2 个 C ． 1 个 D ． 0 个 A A 3 ． 如图 ， △ ABC 是等边三角形 ， DE∥BC ， 若 AB ＝ 5 ， BD ＝ 3 ， 则△ ADE 的周长为 ( ) A ． 2 B ． 6 C ． 9 D ． 15 4 ．如图 ， 将两个完全相同的含有 30° 角的三角板拼接在一起 ， 则拼接后的△ ABD 的形状是 ____________ ． B 等边三角形 A 2 7 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 3 ， ∠ B ＝ 30° ， 点 P 是 BC 边上的动点 ， 则 AP 长不可能是 ( ) A ． 3.5 B ． 4.2 C ． 5.8 D ． 7 8 ．如图 ， 这是某超市自动扶梯的示意图 ， 大厅两层之间的距离 h ＝ 6.5 米 ， 自动扶梯的倾角为 30° ， 若自动扶梯运行速度为 v ＝ 0.5 米 / 秒 ， 则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 ____ 秒． D 26 D 9 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ A ＝ 60° ， CD ⊥ AB 于点 D ， BE ⊥ AC 于点 E ， CD 与 BE 相交于点 O ， 且 CD ＝ BE ， 则下列结论： ①△ ABC 是等边三角形； ②△ BOC 是等腰三角形； ③∠ BOC ＝ 120° ； ④ BD ＝ CE. 其中正确的有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 B 11 ． 如图 ， ∠ AOB ＝ 60° ， 点 P 在边 OA 上 ， OP ＝ 12 ， 点 M ， N 在边 OB 上 ， PM ＝ PN. 若 MN ＝ 2 ， 则 OM 等于 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 C 12 ． 已知：如图 ， AB ＝ AC ， 点 D 是 BC 的中点 ， AB 平分∠ DAE ， AE⊥BE ， 垂足为 E. (1) 求证： AD ＝ AE ； (2) 若 BE∥AC ， 试判断△ ABC 的形状 ， 并说明理由． (2)△ABC 是等边三角形．理由：∵ BE∥AC ， ∴∠ EAC ＝ 90° ， ∵ AB ＝ AC ， 点 D 是 BC 的中点 ， ∴∠ 1 ＝∠ 2 ＝∠ 3 ＝ 30° ， ∴∠ BAC ＝∠ 1 ＋∠ 3 ＝ 60° ， ∴△ ABC 是等边三角形 13 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 120° ， 点 D 为 AC 的中点 ， DE ⊥ AC 交 BC 于点 E. 求证： BE ＝ 2CE. 14 ． 如图 ， △ ABC 为等边三角形 ， AE ＝ CD ， AD ， BE 相交于点 P ， BQ ⊥ AD 于点 Q ， PQ ＝ 3 ， PE ＝ 1 ， 求 AD 的长． 15 ． 在四边形 ABCD 中 ， AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ， ∠ B ＝∠ D ＝ 60° ， 连接 AC. (1) 如图① ， 点 E ， F 分别在边 BC ， CD 上 ， BE ＝ CF. 求证：①△ ABE≌ACF ；②△ AEF 是等边三角形； (2) 如图② ， 若点 E 在 BC 的延长线上 ， 在直线 CD 上是否存在点 F ， 使△ AEF 是等边三角形？证明你的结论． 解： (1)①∵AB ＝ BC ， ∠ B ＝ 60° ， ∴△ ABC 是等边三角形．同理可得△ ACD 是等边三角形．∵ AB ＝ AC ， ∠ B ＝∠ ACF ＝ 60° ， BE ＝ CF ， ∴△ ABE≌△ACF( SAS )  ②由△ ABE≌△ACF 得 AE ＝ AF ， ∠ BAE ＝∠ CAF ， ∵∠ BAE ＋∠ CAE ＝ 60° ， ∴∠ CAF ＋∠ CAE ＝ 60° ， 即∠ EAF ＝ 60° ， ∴△ AEF 是等边三角形  (2) 存在．证明：当 BE ＝ CF 时 ， 与 (1) 同理证△ ABE≌△ACF ， ∴ AE ＝ AF ， ∠ BAE ＝∠ CAF ， ∴∠ CAF －∠ CAE ＝∠ BAE －∠ CAE ， ∴∠ EAF ＝∠ BAC ＝ 60° ， ∴△ AEF 是等边三角形 第一章 三角形的证明 北师版 1．2 直角三角形 第 1 课时 直角三角形的性质和判定 1 ．如图 ， 在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， CD 是 AB 边上的高线 ， 则图中与∠ A 互余的角有 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个 C 2 ． 在△ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的对边分别为 a ， b ， c ， 则下列说法错误的是 ( ) A ． ∠ A ＋∠ B ＝∠ C B ． a 2 ＝ c 2 － b 2 C ． b 2 ＝ a 2 － c 2 D ．∠ B ＝ 90° －∠ A C 3 ． 如图 ， 点 E 在正方形 ABCD 内 ， 满足 ∠ AEB ＝ 90° ， AE ＝ 6 ， BE ＝ 8 ， 则阴影部分的面积是 ( ) A ． 48 B ． 60 C ． 76 D ． 80 C D 6 ．已知 △ ABC 三边长为 a ， b ， c ，由下列条件不能判定 △ ABC 是直角三角形的是 ( ) A ． ∠ A ＝ 37° ， ∠ C ＝ 53° B ． a ∶ b ∶ c ＝ 3 ∶ 4 ∶ 5 C ． ∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝ 3 ∶ 4 ∶ 5 D ． a 2 ∶ b 2 ∶ c 2 ＝ 1 ∶ 2 ∶ 3 C 1 8 ．命题 “ 全等三角形的对应角相等 ” 是 ___ 命题 ( 填 “ 真 ” 或 “ 假 ” ) ， 它的逆命题是 ______________________________ ， 它是 ___ 命题 ( 填 “ 真 ” 或 “ 假 ” ) ， 这两者是 _____________ ． 真 对应角相等的两个三角形全等 假 互逆命题 9 ． 下列定理中 ， 没有逆定理的是 ( ) A ． 等腰三角形的两个底角相等 B ． 对顶角相等 C ． 三边对应相等的两个三角形全等 D ． 直角三角形两个锐角的和等于 90° B D 10 ． 下列命题的逆命题不正确的是 ( ) A ． 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 B ． 如果 x 2 ＝ 4 ， 那么 x ＝ ±2 C ． 等腰三角形的两个底角相等 D ． 如果 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， 那么 ab ＞ 0 11 ． ( 扬州中考 ) 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， CD ⊥ AB 于 D ， CE 平分 ∠ ACD 交 AB 于 E ， 则下列结论一定成立的是 ( ) A ． BC ＝ EC B ． EC ＝ BE C ． BC ＝ BE D ． AE ＝ EC C 12 ． 如图 ， 一个三级台阶 ， 它的每一级的长、宽和高分别为 20 ， 3 ， 2 ， A 和 B 是这个台阶两个相对的端点 ， A 点有一只蚂蚁 ， 想到 B 点去吃可口的食物 ， 则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是 ____. 25 13 ．一副直角三角板按如图所示方式放置 ， 点 C 在 FD 的延长线上 ， AB ∥ CF ， ∠ F ＝ ∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ 5 ， 则 CD 的长为 ___________. 14 ． 如图 ， ∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13 ， 求四边形 ABCD 的面积． 15 ． ( 益阳中考 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， AB ＝ 15 ， BC ＝ 14 ， AC ＝ 13 ， 求△ ABC 的面积． 某学习小组经过合作交流 ， 给出了下面的解题思路 ， 请你按照他们的解题思路完成解答过程． 16 ． 如图 ， 在斜坡 AB 上有一棵树 BD ， 由于受台风影响而倾斜 ， 恰好与坡面垂直 ， 测得 ∠ BAE ＝ 30° ， ∠ DCA ＝ 60°( D 为树的顶端 ， C 为地面上一点 ) ， AB ＝ 6 米 ， AC ＝ 4 米 ， 求树高 BD 是多少米？ ( 结果保留根号 ) 17 ． (1) 以 a ， b 为直角边 ， c 为斜边作两个全等的 Rt △ABE 与 Rt △FCD 拼成如图 1 所示的图形 ， 使 B ， E ， F ， C 四点在一条直线上 ( 此时 E ， F 重合 ) ， 可知△ ABE≌△FCD ， AE⊥DF ， 请你证明： a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ； (2) 在 (1) 中 ， 固定△ FCD ， 再将△ ABE 沿着 BC 平移到如图 2 的位置 ( 此时 B ， F 重合 ) ， 请你重新证明： a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 . 第一章 三角形的证明 北师版 1．2 直角三角形 第 2 课时 用“斜边、直角边”证明三角形全等 1 ． 如图 ， 要用“ HL ” 判定 Rt △ABC 和 Rt △DEF 全等的条件是 ( ) A ． AC ＝ DF ， BC ＝ EF B ． ∠ A ＝∠ D ， AB ＝ DE C ． AC ＝ DF ， AB ＝ DE D ． ∠ B ＝∠ E ， BC ＝ EF C 2 ． 如图 ， 在△ ABC 与△ ABD 中 ， ∠ C ＝∠ D ＝ 90° ， 要使△ ABC≌△ABD( HL ) 成立 ， 还需要加的条件是 ( ) A ． ∠ BAC ＝∠ BAD B ． BC ＝ BD 或 AC ＝ AD C ． ∠ ABC ＝∠ ABD D ． AB 为公共边 B 3 ． 使两个直角三角形全等的条件是 ( ) A ． 一个锐角对应相等 B ．两个锐角对应相等 C ． 一条边对应相等 D ．两条边对应相等 4 ． 如图 ， 在 Rt △ ABC 的斜边 BC 上截取 CD ＝ CA ， 过点 D 作 DE ⊥ BC 交 AB 于点 E ， 则下列结论正确的是 ( ) A ． DE ＝ DB B ． DE ＝ AE C ． AE ＝ BE D ． AE ＝ BD D B 5 ．如图 ， 点 H 是 △ ABC 的高 AD 与 BE 的交点 ， 且 AD ＝ BE ， 则下列结论： ① AE ＝ BD ； ② AH ＝ BH ； ③ EH ＝ DH ； ④∠ HAB ＝ ∠ HBA. 其中正确的有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 D 6 ． 如图 ， 在 Rt △ ABC 与 Rt △ DCB 中 ， 已知 ∠ A ＝ ∠ D ＝ 90° ， 请你添加一个条件 ( 不添加字母和辅助线 ) ， 使 Rt △ ABC ≌ Rt △ DCB( HL ) ， 你添加的条件是 _____________________. AB ＝ DC 或 AC ＝ BD 7 ．如图 ， MN∥PQ ， AB⊥PQ ， 点 A ， D 和点 B ， C 分别在直线 MN 与 PQ 上 ， 点 E 在 AB 上 ， AD ＋ BC ＝ 7 ， AD ＝ BE ， DE ＝ EC ， 则 AB ＝ ___. 7 C 8 ． 如图 ， P ， Q 分别是 BC ， AC 上的点 ， 作 PR⊥AB 于点 R ， 作 PS⊥AC 于点 S ， 若 AQ ＝ PQ ， PR ＝ PS ， 下面三个结论： ① AS ＝ AR ；② QP∥AR ；③△ BRP≌△CSP. 正确的是 ( ) A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③ 9 ．如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC 于点 D ， CE ⊥ AB 于点 E ， BD 和 CE 交于点 O ， AO 的延长线交 BC 于点 F ， 则图中全等的直角三角形有 ( ) A ． 3 对 B ． 4 对 C ． 5 对 D ． 6 对 D 5 或 10 12 ． 如图 ① ， E ， F 分别为线段 AC 上的两个点 ， 且 DE ⊥ AC 于点 E ， BF ⊥ AC 于点 F ， 若 AB ＝ CD.AE ＝ CF ， BD 交 AC 于点 M. (1) 求证： MB ＝ MD ， ME ＝ MF ； (2) 当 E ， F 两点移动到如图 ② 的位置时 ， 其余条件不变 ， 上述结论能否成立？若成立 ， 请给予证明． 解： (1) ∵ BF ⊥ AC ， DE ⊥ AC ， ∴∠ AFB ＝ ∠ CED ＝ 90° ， ∵ AE ＝ CF ， ∴ AE ＋ EF ＝ CF ＋ FE ， 即 AF ＝ CE. 又 ∵ AB ＝ CD ， ∴ Rt △ ABF ≌ Rt △ CDE( HL ) ， ∴ BF ＝ DE ， ∵∠ BFM ＝ ∠ DEM ＝ 90° ， ∠ FMB ＝ ∠ EMD. ∴△ BFM ≌△ DEM( AAS ) ， ∴ MB ＝ MD ， MF ＝ ME   (2) 结论成立 ， 证法同 (1) 13 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ CB ， ∠ ABC ＝ 90° ， F 为 AB 延长线上一点 ， 点 E 在 BC 上 ， 且 AE ＝ CF. (1) 求证： Rt △ ABE ≌ Rt △ CBF ； (2) 若 ∠ CAE ＝ 30° ， 求 ∠ ACF 的度数． (1) 证明： ∵∠ ABC ＝ 90° ， ∴∠ CBF ＝ ∠ ABE ＝ 90°. 在 Rt △ ABE 和 Rt △ CBF 中 ， ∵ AE ＝ CF ， AB ＝ CB ∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ CBF( HL ) (2) ∵ AB ＝ CB ， ∠ ABC ＝ 90° ， ∴∠ CAB ＝ ∠ ACB ＝ 45° ， ∴∠ BAE ＝ ∠ CAB － ∠ CAE ＝ 45° － 30° ＝ 15°. 由 (1) 知 Rt △ ABE ≌ Rt △ CBF ， ∴∠ BCF ＝ ∠ BAE ＝ 15° ， ∴∠ ACF ＝ ∠ BCF ＋ ∠ ACB ＝ 15° ＋ 45° ＝ 60° 14 ． 已知点 O 到△ ABC 的两边 AB ， AC 所在直线的距离相等 ， 且 OB ＝ OC. (1) 如图① ， 若点 O 在边 BC 上 ， 求证：△ ABC 是等腰三角形； (2) 如图② ， 若点 O 在△ ABC 的内部 ， 求证：△ ABC 是等腰三角形； (3) 若点 O 在△ ABC 的外部 ， △ ABC 还一定是等腰三角形吗？ 若是 ， 请证明；若不是 ， 请画图说明． 解： (1) 过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ， 作 OE ⊥ AC 于点 E ， 则 ∠ BDO ＝ ∠ CEO ＝ 90 ° ， OD ＝ OE ， 又 ∵ OB ＝ OC ， ∴ Rt △ BOD ≌ Rt △ COE( HL ) ， ∴∠ B ＝ ∠ C ， ∴ AB ＝ AC ， ∴△ ABC 是等腰三角形 (2) 过点 O 分别作 OD ⊥ AB ， OE ⊥ AC ， D ， E 分别是垂足 ， 则 ∠ BDO ＝ ∠ CEO ＝ 90 ° ， OD ＝ OE ， 又 ∵ OB ＝ OC ， ∴ Rt △ BDO ≌ Rt △ CEO( HL ) ， ∴∠ DBO ＝ ∠ ECO ， 又 ∵ OB ＝ OC ， ∴∠ OBC ＝ ∠ OCB ， ∴∠ DBO ＋ ∠ OBC ＝ ∠ ECO ＋ ∠ OCB ， 即 ∠ ABC ＝ ∠ ACB ， ∴ AB ＝ AC ， ∴△ ABC 是等腰三角形 (3) 当点 O 在 △ ABC 的外部时 ， △ ABC 不一定是等腰三角形 ， 如图所示： 第一章 三角形的证明 北师版 1．3 线段的垂直平分线 第 1 课时 线段的垂直平分线的性质 1 ．如图 ， 已知直线 l 垂直平分线段 AB ， P 是 l 上一点 ， 已知 PA ＝ 1 ， 则 PB( ) A ．等于 1 B ．小于 1 C ．大于 1 D ．不能确定 2 ．如图 ， 在△ ABC 中 ， AB ＝ 5 ， AC ＝ 6 ， BC ＝ 4 ， 边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ， 则△ BDC 的周长是 ( ) A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 11 A C 3 ． ( 黄冈中考 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， DE 是 AC 的垂直平分线 ， 且分别交 BC ， AC 于点 D 和 E ， ∠ B ＝ 60° ， ∠ C ＝ 25° ， 则 ∠ BAD 为 ( ) A ． 50° B ． 70° C ． 75° D ． 80° 4 ．如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 100° ， AB 的垂直平分线 DE 分别交 AB ， BC 于点 D ， E ， 则 ∠ BAE 的度数为 ______. B 40° 5 ．如图 ， AC ＝ AD ， BC ＝ BD ，则有 ( ) A ． AB 垂直平分 CD B ． CD 垂直平分 AB C ． AB 与 CD 互相垂直平分 D ． CD 平分∠ ACB A 6 ．如图 ， 在 Rt △ABC 中，过直角边 AC 上的一点 P ，作直线 DE 交 AB 于点 D ，交 BC 的延长线于点 E ，若∠ DPA ＝∠ A ， 则 D 点在 ( ) A ． 线段 BC 的垂直平分线上 B ． 线段 BE 的垂直平分线上 C ． 线段 AC 的垂直平分线上 D ． 以上答案都不对 B 7 ．如图 ， D 是 △ ABC 的边 BC 的延长线上一点 ， 且 BD ＝ BC ＋ AC ， 则点 C 在线段 _____ 的垂直平分线上． AD A 9 ． ( 达州中考模拟 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， BC 边上的垂直平分线 DE 交边 BC 于点 D ， 交 AB 边于点 E. 若△ EDC 的周长为 24 ， △ ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为 12 ， 则线段 DE 的长为 ___. 10 ． ( 南充中考 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， AF 平分∠ BAC ， AC 的垂直平分线交 BC 于点 E ， ∠ B ＝ 70° ， ∠ FAE ＝ 19° ， 则∠ C ＝ ____ 度． 6 24 11 ．如图 ， △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 54° ， ∠ BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线相交于点 O ， 将 ∠ C 沿 EF( E 在 BC 上 ， F 在 AC 上 ) 折叠 ， 点 C 与点 O 恰好重合 ， 则 ∠ OEC 为 ______ 度． 108 12 ． 如图 ， AD 为 △ ABC 的角平分线 ， DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F ， 连接 EF 交 AD 于点 O. (1) 求证： AD 垂直平分 EF ； (2) 若 ∠ BAC ＝ 60° ， 写出 DO 与 AD 之间的数量关系 ， 并证明． 13 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， 点 D ， E 在 AB 上 ， 且 AF 垂直平分 CD ， BG 垂直平分 CE. (1) 求 ∠ ECD 的度数； (2) 若 ∠ ACB 为 α ， 则 ∠ ECD 的度数能否用含 α 的式子来表示． 解： (1) 设 ∠ ADC ＝ x ， ∠ BEC ＝ y. ∵ AF 垂直平分 CD ， ∴ AC ＝ AD ， ∴∠ ADC ＝ ∠ ACD ＝ x ， 同理 ∠ BEC ＝ ∠ BCE ＝ y. 在 △ ACD 中 ， ∵∠ ADC ＋ ∠ ACD ＋ ∠ CAD ＝ 180° ， ∴ 2x ＋ ∠ CAD ＝ 180° ① ， 同理 ， 2y ＋ ∠ CBE ＝ 180° ② ， ① ＋ ② ， 得 2x ＋ 2y ＋ ∠ CAD ＋ ∠ CBE ＝ 360° ③ ， ∵∠ CAD ＋ ∠ CBE ＋ ∠ ACB ＝ 180° ， ∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠ CAD ＋ ∠ CBE ＝ 90° ④ ， ④ 代入 ③ ， 得 2x ＋ 2y ＋ 90° ＝ 360° ， ∴ x ＋ y ＝ 135° ， ∴∠ ECD ＝ 180° － (x ＋ y) ＝ 45° 14 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， MP ， NO 分别垂直平分 AB ， AC. (1) 若 BC ＝ 10 cm ， 试求出△ PAO 的周长； ( 不用写过程 ， 直接写出答案 ) (2) 若 AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 110° ， 试求∠ PAO 的度数； ( 不用写过程 ， 直接写出答案 ) (3) 在 (2) 中 ， 若无 AB ＝ AC 的条件 ， 你能求出∠ PAO 的度数吗？ 若能 ， 请求出来；若不能 ， 请说明理由． 解： (1) ∵ MP ， NO 分别垂直平分 AB ， AC ， ∴ AP ＝ BP ， AO ＝ CO ， ∴△ PAO 的周长＝ AP ＋ PO ＋ AO ＝ BP ＋ PO ＋ OC ＝ BC ， ∵ BC ＝ 10 cm ， ∴△ PAO 的周长为 10 cm (3) 能．理由如下：∵∠ BAC ＝ 110° ， ∴∠ B ＋∠ C ＝ 180° － 110° ＝ 70° ， ∵ MP ， NO 分别垂直平分 AB ， AC ， ∴ AP ＝ BP ， AO ＝ CO ， ∴∠ BAP ＝∠ B ， ∠ CAO ＝∠ C ， ∴∠ PAO ＝∠ BAC －∠ BAP －∠ CAO ＝ ∠ BAC － (∠B ＋∠ C) ＝ 110° － 70° ＝ 40° 第一章 三角形的证明 北师版 1．3 线段的垂直平分线 第 2 课时  三角形三边的垂直平分线 1 ．到△ ABC 三个顶点距离相等的点是△ ABC 的 ( ) A ． 三边垂直平分线的交点 B ．三边中线的交点 C ． 三条高的交点 D ．无法确定 2 ． 在△ ABC 中 ， 边 AB ， AC 的垂直平分线交于点 O ， 则有 ( ) A ． O 在△ ABC 的内部 B ． O 在△ ABC 的外部 C ． O 在 BC 边上 D ． OA ＝ OB ＝ OC A D 3 ． 如图 ， D 是线段 AC ， AB 的垂直平分线的交点 ， 若∠ ACD ＝ 30° ，∠ BAD ＝ 50° ，则∠ BCD 的大小是 ( ) A ． 10° B ． 20° C ． 30° D ． 40° 4 ．在△ ABC 中， AB ， AC 的垂直平分线相交于点 P ， 那么 P 点必定在 BC 的 _____________ ，且 PA ＝ ____ ＝ _____. A 垂直平分线上 PB PC 5 ． ( 宜昌中考 ) 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线 ， 下列作图中正确的是 ( ) B P 点 A 点 B MN 7 ． 在平面内 ， 到三点 A ， B ， C 距离相等的点 ( ) A ． 只有一个 B ．有两个 C ． 有三个或三个以上 D ．有一个或没有 8 ． 等腰 △ ABC 两腰 AB ， AC 的垂直平分线交于点 O ， 下列说法不正确的是 ( ) A ． OA 平分 ∠ BAC B ． OA ⊥ BC C ． OB ＝ OC D ． OA ＝ BC D D 9 ． 等腰三角形的底角为 40° ， 两腰的垂直平分线交于点 P ， 则 ( ) A ． 点 P 在三角形内 B ． 点 P 在三角形外 C ． 点 P 在三角形底边上 D ． 点 P 的位置与三角形的边长有关 B 10 ． 如图 ， 某地三个村子的中心 A ， B ， C 恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处 ， 在三个村子中心之间铺设自来水管道 ， 以 A 村为出发点设计了三种连接方案：① AC ＋ BC ；② AD ＋ BC(D 为 BC 的中点 ) ；③ OA ＋ OB ＋ OC(O 为△ ABC 三边的垂直平分线的交点 ) ．要使铺设的水管长度最短 ， 则应选择方案 ____.( 填序号 ) ③ 12 ． 如图所示 ， 已知线段 a ， b ， 求作等腰三角形 ， 使高为 a ， 腰长为 b (a ＜ b ， 尺规作图 ， 保留作图痕迹 ) ． 解：作法： (1) 作线段 AD ＝ a ； (2) 过点 D 作直线 MN ⊥ AD 于点 D ； (3) 以点 A 为圆心 ， b 为半径画弧 ， 交 MN 于 B ， C 两点 ， 连接 AB ， AC ， △ ABC 即为所求 ， 如图所示 13 ．如图 ， 在墙角点 O 处有一个老鼠洞 ， 小猫在点 A 处发现老鼠从点 B 处往洞口逃窜 ， 小猫想：这一次不会再让你逃掉．若小猫和老鼠的速度相同 ， 你能确定小猫抓住的位置吗？ 解： 14 ． 为了推进农村新型合作医疗制度改革 ， 准备在某镇新建一个医疗点 P ， 使点 P 到该镇所属 A 村 ， B 村 ， C 村的村委会所在地的距离都相等 (A ， B ， C 不在同一条直线上 ， 地理位置如下图 ) ， 请你用尺规作图的方法确定点 P 的位置． 要求：写出已知 ， 求作 ， 不写作法；保留作图痕迹． 解： 已知： A ， B ， C 三点不在同一直线上． 求作：一点 P ， 使 PA ＝ PB ＝ PC 15 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， DE ， MN 是 AB ， AC 的垂直平分线 ， 垂足分别为点 D ， M ， 分别交 BC 于点 E ， N ， 且 DE 和 MN 交于点 F. (1) 若∠ B ＝ 20° ， 求∠ BAE 的度数； (2) 若∠ EAN ＝ 40° ， 求∠ F 的度数； (3) 若 AB ＝ 7 ， AC ＝ 3 ， 求△ AEN 周长的范围． 解： (1)∵DE 是边 AB 的垂直平分线 ， ∴ AE ＝ BE ， ∵∠ B ＝ 20° ， ∴∠ BAE ＝∠ B ＝ 20°   (2)∵DE ， MN 是 AB ， AC 的垂直平分线 ， ∴ AE ＝ BE ， AN ＝ CN ， ∴∠ BAE ＝∠ B ， ∠ CAN ＝∠ C ， ∵∠ EAN ＝ 40° ， ∠ B ＋∠ BAE ＋∠ EAN ＋∠ CAN ＋∠ C ＝ 180° ， ∴∠ B ＋∠ BAE ＋∠ CAN ＋∠ C ＝ 140° ， ∴∠ B ＋∠ C ＝ 70° ， ∵∠ B ＋∠ BED ＋∠ C ＋∠ CNM ＝ 90° ＋ 90° ＝ 180° ， ∴∠ BED ＋∠ CNM ＝ 110° ， ∴∠ FEN ＋∠ FNE ＝ 110° ， ∴∠ F ＝ 180° － (∠FEN ＋∠ FNE) ＝ 70° (3) ∵ DE ， MN 是 AB ， AC 的垂直平分线 ， ∴ AE ＝ BE ， AN ＝ CN ， ∴△ AEN 的周长为 AE ＋ EN ＋ AN ＝ BE ＋ EN ＋ NC ＝ BC ， 在 △ ABC 中 ， AB － AC ＜ BC ＜ AB ＋ AC ， 即 4 ＜ BC ＜ 10 ， ∴△ AEN 周长的范围是 4 ～ 10 第一章 三角形的证明 北师版 1．4 角平分线 第 1 课时 角平分线的性质定理及其逆定理 1 ． ( 梧州中考 ) 如图 ， 已知 BG 是∠ ABC 的平分线 ， DE⊥AB 于点 E ， DF⊥BC 于点 F ， DE ＝ 6 ，则 DF 的长度是 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 6 2 ． ( 怀化中考 ) 如图 ， OP 为∠ AOB 的平分线 ， PC⊥OA ， PD⊥OB ， 垂足分别是 C ， D ， 则下列结论错误的是 ( ) A ． PC ＝ PD B ．∠ CPO ＝∠ DOP C ． ∠ CPO ＝∠ DPO D ． OC ＝ OD D B 3 ． 如图 ， AB ∥ CD ， O 为 ∠ BAC ， ∠ ACD 的平分线的交点 ， OE ⊥ AC ， 垂足为 E ， 若 OE ＝ 2 cm ， 则 AB 与 CD 间的距离为 ( ) A ． 2 cm B ． 3 cm C ． 4 cm D ． 5 cm 4 ． 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， 若 BC ＝ 10 ， AD 平分 ∠ BAC 交 BC 于点 D ， 且 BD ∶ CD ＝ 3 ∶ 2 ， 则点 D 到线段 AB 的距离为 ___. C 4 5 ．如图 ， AB ∥ CD ， AD ⊥ DC ， AE ⊥ BC ，垂足分别为 D ， E ， ∠ DAC ＝ 35° ， AD ＝ AE ，则 ∠ B 等于 ( ) A ． 50° B ． 60° C ． 70° D ． 80° 6 ． ( 教材 P 29 例 1 变式 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ BAC ＝ 60° ， 点 D 在 BC 上 ， DE ⊥ AB 于点 E ， DF ⊥ AC 于点 F ， 且 DE ＝ DF ， 若 DE ＝ 4 ， 则 AD ＝ ___. C 8 7 ． 如图 ， 已知 DB ⊥ AN 于点 B ， 交 AE 于点 O ， OC ⊥ AM 于点 C ， 且 OB ＝ OC ， 若 ∠ EAN ＝ 25° ， 则 ∠ ADB ＝ _____. 8 ．如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ABC ＝ 120° ， ∠ C ＝ 26° ， 且 DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， DE ＝ DF ， 则 ∠ ADC 的度数为 _____. 40° 137° 9 ． ( 威海中考 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ABC ＝ 50° ， ∠ ACB ＝ 60° ， 点 E 在 BC 的延长线上 ， ∠ ABC 的平分线 BD 与 ∠ ACE 的平分线 CD 相交于点 D ， 连接 AD. 以下结论不正确的是 ( ) A ． ∠ BAC ＝ 70° B ． ∠ DOC ＝ 90° C ． ∠ BDC ＝ 35° D ． ∠ DAC ＝ 55° B 10 ． ( 遂宁中考 ) 如图 ， AD 是△ ABC 中∠ BAC 的平分线 ， DE⊥AB 于点 E ， S △ABC ＝ 7 ， DE ＝ 2 ， AB ＝ 4 ， 则 AC 的长是 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 6 D ． 5 A C 12 ． 如图 ， 两条公路 OA 和 OB 相交于点 O ， 在 ∠ AOB 的内部有工厂 C 和 D ， 现要修建一个货站 P 到两条公路 OA ， OB 的距离相等 ， 且到两工厂 C ， D 的距离相等 ， 用尺规作出货站 P 的位置． ( 要求：不写作法 ， 保留作图痕迹 ， 写出结论 ) 13 ． ( 株洲中考 ) 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， BD 是 △ ABC 的一条角平分线．点 O ， E ， F 分别在 BD ， BC ， AC 上 ， 且四边形 OECF 是正方形． (1) 求证：点 O 在 ∠ BAC 的平分线上； (2) 若 AC ＝ 5 ， BC ＝ 12 ， 求 OE 的长． (1) 证明：过点 O 作 OM ⊥ AB ， ∵ BD 是 ∠ ABC 的平分线 ， ∴ OE ＝ OM. ∵ 四边形 OECF 是正方形 ， ∴ OE ＝ OF ， ∴ OF ＝ OM ， ∴ AO 是 ∠ BAC 的平分线 ， 即点 O 在 ∠ BAC 的平分线上 14 ． 如图 ， 四边形 ABCD 中 ， ∠ B ＝ 90° ， AB∥CD ， M 为 BC 边上的一点 ， 且 AM 平分∠ BAD ， DM 平分∠ ADC. (1) 求证： AM⊥DM ； (2) 若 BC ＝ 8 ， 求点 M 到 AD 的距离． 15 ． 已知 AM ∥ BN ， AE 平分 ∠ BAM ， BE 平分 ∠ ABN. (1) 如图 1 ， ∠ AEB 的度数为 ________ ； (2) 如图 2 ， 过点 E 的直线交射线 AM 于点 C ， 交射线 BN 于点 D ， 求证： AC ＋ BD ＝ AB ； (3) 如图 3 ， 过点 E 的直线交射线 AM 的反向延长线于点 C ， 交射线 BN 于点 D ， AB ＝ 5 ， AC ＝ 3 ， S △ ABE － S △ ACE ＝ 2 ， 求 △ BDE 的面积． 90 ° (3) 如图 ， 延长 AE 交 BD 于 F ， ∵∠ AEB ＝ 90 ° ， ∴ BE ⊥ AF ， BE 平分 ∠ ABN ， ∴ AB ＝ BF ＝ 5 ， AE ＝ EF ， ∵ AM ∥ BN ， ∴∠ C ＝ ∠ EDF ， 在 △ ACE 与 △ FDE 中 ， ∴△ ACE ≌△ FDE ， ∴ DF ＝ AC ＝ 3 ， ∵ BF ＝ 5 ， ∴ 设 S △ BEF ＝ S △ ABE ＝ 5x ， S △ DEF ＝ S △ ACE ＝ 3x ， ∵ S △ ABE － S △ ACE ＝ 2 ， ∴ 5x － 3x ＝ 2 ， ∴ x ＝ 1 ， ∴△ BDE 的面积＝ 8 第一章 三角形的证明 北师版 1．4 角平分线 第 2 课时 三角形三个内角的平分线 1 ．到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的 ( ) A ．三条中线的交点 B ． 三条高的交点 C ． 三条边的垂直平分线的交点 D ． 三条角平分线的交点 D 2 ． 如图 ， △ ABC 的三边 AB ， BC ， CA 长分别是 20 ， 30 ， 40 ， 其三条角平分线将 △ ABC 分为三个三角形 ， 则 S △ ABO ∶ S △ BCO ∶ S △ CAO 等于 ( ) A ． 1 ∶ 1 ∶ 1 B ． 1 ∶ 2 ∶ 3 C ． 2 ∶ 3 ∶ 4 D ． 3 ∶ 4 ∶ 5 C 3 ．如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， ∠ B ＝ 30° ， 以 A 为圆心 ， 任意长为半径画弧分别交 AB ， AC 于点 M 和 N ， 再分别以 M ， N 为圆心 ， 大于 MN 的长为半径画弧 ， 两弧交于点 P ， 连接 AP 并延长交 BC 于点 D ， 则下列说法中正确的个数是 ( ) ① AD 是 ∠ BAC 的平分线； ②∠ ADC ＝ 60° ； ③ 点 D 在 AB 的垂直平分线上； ④ S △ DAC ∶ S △ ABC ＝ 1 ∶ 3. A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 D 4 ． 如图 ， BO ， CO 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB ， OD ⊥ BC 于点 D ， 且 OD ＝ 3. 若 △ ABC 的周长是 22 ， 则 △ ABC 的面积是 ____. 5 ． ( 广安中考 ) 如图 ， ∠ AOE ＝ ∠ BOE ＝ 15° ， EF ∥ OB ， EC ⊥ OB 于 C ， 若 EC ＝ 1 ，则 OF ＝ ____. 33 2 6 ．如图所示是一块三角形的草坪 ， 现要在草坪上建一凉亭供大家休息 ， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等 ， 凉亭的位置应选在 ( ) A ． △ ABC 三条中线的交点 B ． △ ABC 三边的中垂线的交点 C ． △ ABC 三条角平分线的交点 D ． △ ABC 三条高所在直线的交点 C 7 ．如图 ， 有三条铁路 a ， b ， c 相互交叉 ， 现在建一个货物中转站 ， 要求到三条铁路的距离相等 ， 可供选择的地址有 ___ 处． 4 8 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， ∠ B ＝ 30° ， DE 垂直平分 AB ， 交 BC 于点 D ， 垂足为 E. 则下列结论错误的是 ( ) A ． DE ＋ BD ＝ BC B ． BD ＝ 2CD C ． BE ＋ DE ＝ BC D ． BE ＋ AC ＝ AB C 9 ．如图 ， O 是 △ ABC 内一点 ， 且点 O 到 △ ABC 三边 AB ， BC ， AC 的距离 OD ＝ OE ＝ OF ， 若 ∠ A ＝ 70° ， 则 ∠ BOC ＝ _______. 125° 10 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ BAC ＝ 120° ， AB ＝ AC ， ∠ ACB 的平分线交 AB 于点 D ， AE 平分 ∠ BAC 交 BC 于点 E ， 连接 DE ， DF ⊥ BC 于点 F ， 则 ∠ EDC ＝ _____. 30° 11 ． 如图 ， AB ＝ AC ， PB ＝ PC ， PD⊥AB ， PE⊥AC ， 垂足分别是 D ， E. 求证： PD ＝ PE. 证明：连接 AP ， ∵ AB ＝ AC ， PB ＝ PC ， AP ＝ AP ， ∴△ ABP≌△ACP( SSS ) ， ∴∠ BAP ＝∠ CAP ， 又∵ PD⊥AB ， PE⊥AC ， ∴ PD ＝ PE( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ) 12 ． 已知：如图 ， 在 Rt △ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， ∠ B ＝ 60° ， AD ， CE 是角平分线 ， AD 与 CE 相交于点 F ， FM⊥AB ， FN⊥BC ， 垂足分别为 M ， N. 求证： FE ＝ FD. 证明：连接 BF ， ∵ F 是角平分线交点 ， ∴ BF 也是角平分线 ， ∴ MF ＝ FN ， ∠ DNF ＝ ∠ EMF ＝ 90 ° ， ∵ 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90 ° ， ∠ ABC ＝ 60 ° ， ∴∠ BAC ＝ 30 ° ， ∴∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝ 15 ° ， ∴∠ CDA ＝ 75 ° ， ∵∠ NFC ＝ 45 ° ， ∠ MFN ＝ 120 ° ， ∴∠ MFE ＝ 15 ° ， ∴∠ MEF ＝ 75 ° ＝ ∠ NDF ， ∴△ DNF ≌△ EMF( AAS ) ， ∴ FE ＝ FD2 14 ． 在△ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 2∠B. (1) 如图① ， 当∠ C ＝ 90° ， AD 为∠ BAC 的角平分线时 ， 求证： AB ＝ AC ＋ CD ； (2) 如图② ， 当时∠ C≠90° ， AD 为∠ BAC 的角平分线时 ， 线段 AB ， AC ， CD 又有怎样的数量关系？不需要证明 ， 请直接写出你的猜想； (3) 如图③ ， 当 AD 为△ ABC 的外角平分线时 ， 线段 AB ， AC ， CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想 ， 并对你的猜想给予证明． 解：过点 D 作 DE ⊥ AB ， 交 AB 于点 E ， (1) ∵ AD 为 ∠ BAC 的平分线 ， DC ⊥ AC ， DE ⊥ AB ， ∴ DE ＝ DC ， ∵ AD ＝ AD ， ∴ Rt △ ACD ≌ Rt △ AED( HL ) ， ∴ AC ＝ AE ， ∠ ACB ＝ ∠ AED ， ∵∠ ACB ＝ 2 ∠ B ， ∴∠ AED ＝ 2 ∠ B ， 又 ∵∠ AED ＝ ∠ B ＋ ∠ EDB ， ∴∠ B ＝ ∠ EDB ， ∴ BE ＝ DE ＝ DC ， 则 AB ＝ AE ＋ BE ＝ AC ＋ CD (2)AB ＝ CD ＋ AC (3)AB ＝ CD － AC. 理由：在 AF 上截取 AE ＝ AC ， ∵ AD 为 ∠ FAC 的平分线 ， ∴∠ EAD ＝ ∠ CAD ， ∵ AD ＝ AD ， ∴△ ADE ≌△ ADC( SAS ) ， ∴ CD ＝ ED ， ∠ AED ＝ ∠ ACD ， 即 ∠ FED ＝ ∠ ACB ， ∵∠ ACB ＝ 2 ∠ B ， ∴∠ FED ＝ 2 ∠ B ， 又 ∵∠ FED ＝ ∠ B ＋ ∠ EDB ， ∴∠ B ＝ ∠ EDB ， ∴ BE ＝ DE ＝ CD ， 则 AB ＝ BE － AE ＝ CD － AC 第一章 三角形的证明 北师版 易错课堂 三角形的证明 例 1   若等腰三角形的两条边长分别为 7 cm 和 14 cm ， 则它的周长为 ____ cm . 易错分析： 等腰三角形中 ， 腰和底不明确时需分类讨论 ， 要看这条边是等腰三角形的腰还是底 ， 然后看它们是否满足三边关系 ， 不满足的要舍去． 35 1 ． 在等腰三角形 ABC 中 ， AB ＝ AC ， 一边上的中线 BD 将这个三角形的 周长分为 15 和 12 两部分 ， 则这个等腰三角形的底边长为 ( ) A ． 7 B ． 7 或 11 C ． 11 D ． 7 或 10 2 ． 已知等腰三角形的周长为 50 cm ， 一条边长是 12 cm ， 则另两条边长为 _______________. B 19 cm 和 19 cm 例 2   等腰三角形的一个内角是 80° ， 则它的顶角的度数是 ( ) A ． 80° B ． 80° 或 20° C ． 80° 或 50° D ． 20° 易错分析： 等腰三角形中求角度时 ， 要看给出的角是等腰三角形的顶角还是底角 ， 若不确定 ， 应分两种情况讨论． B 3 ． 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 40° ， 则该等腰三角形的底角度数为 _______________. 65° 或 25° 4 ． 如图 ， O 是等边三角形 ABC 内一点 ， 连接 OA ， OB ， OC ， 将 △ BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60° 得到 △ ADC ， 连接 OD. (1) 求证： △ COD 是等边三角形； (2) 若 ∠ AOB ＝ 110° ， ∠ BOC ＝ α ， 请探究： 当 α 为多少度时 ， △ AOD 是等腰三角形． 解： (1) ∵ 将 △ BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 ° 得到 △ ADC. ∴△ BOC ≌△ ADC ， ∠ OCD ＝ 60 ° ， ∴ CO ＝ CD ， ∴△ COD 是等边三角形  (2) 若 △ AOD 是等腰三角形 ， 则存在三种情况： ①∠ AOD ＝ ∠ ADO ； ②∠ ODA ＝ ∠ OAD ； ③∠ AOD ＝ ∠ DAO. ∵∠ AOB ＝ 110 ° ， ∠ COD ＝ 60 ° ， ∴∠ BOC ＝ 190 ° － ∠ AOD ， 而 ∠ BOC ＝ ∠ ADC ＝ ∠ ADO ＋ ∠ CDO ， 由 ① 得 ∠ BOC ＝ ∠ AOD ＋ 60 ° ， 求得 α ＝ 125 ° ； D 例 4   已知 △ ABC 中 ， AB ＝ 15 ， AC ＝ 13 ， BC 边上的高 AD ＝ 12 ， 则线段 BC 的长为 ___________. 易错分析： 三角形形状不明确 ， 若涉及到高的问题 ， 应分钝角三角形和锐角三角形两种情况求解． 14 或 4 C 2 例 5   如图 ， AD 是 △ ABC 的角平分线 ， DE ， DF 分别是 △ BAD ， △ CAD 的高 ， 求证： AD 垂直平分 EF. 易错分析： 运用线段垂直平分线的判定定理时 ， 只证出一点在线段的垂直平分线上而得出结论 ， 需要两个点来确定一条直线． 解： ∵ AD 平分 ∠ BAC ， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， ∴ DE ＝ DF ， ∴ 点 D 在线段 EF 的垂直平分线上 ， 又 ∵ DE ＝ DF ， AD ＝ AD ， ∴ Rt △ AED ≌ Rt △ AFD( HL ) ， ∴ AE ＝ AF ， ∴ 点 A 在线段 EF 的垂直平分线上 ， ∴ AD 垂直平分 EF 9 ． 如图 ， AB ⊥ BC ， AD ⊥ DC ， B ， D 为垂足． (1) 若 AB ＝ AD ， 则 AC 平分 ∠ _______ ； (2) 若 BC ＝ DC ， 则 ∠ BAC ＝ ∠ _______ . BCD DAC 10 ． 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交 所得的锐角为 50° ， 则 ∠ B 的度数为 ____________. 70° 或 20° 第一章 三角形的证明 北师版 专题课堂 三角形的证明 例 1   ( 武汉中考 ) 如图 ， 点 E ， F 在 BC 上 ， BE ＝ CF ， AB ＝ DC ， ∠ B ＝∠ C ， AF 与 DE 交于点 G ， 求证： GE ＝ GF. 2 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， 点 D 是 BC 的中点 ， 作 ∠ EAB ＝ ∠ BAD ， AE 交 CB 的延长线于点 E ， 延长 AD 到点 F ， 使 AF ＝ AE ， 连接 CF. 求证： BE ＝ CF. 证明： ∵ AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点 ， ∴∠ BAD ＝ ∠ CAD ， ∵∠ EAB ＝ ∠ BAD ， ∴∠ EAB ＝ ∠ CAD ， 在 △ AEB 和 △ AFC 中 ， AE ＝ AF ， ∠ EAB ＝ ∠ FAC ， AB ＝ AC ， ∴△ AEB ≌△ AFC( SAS ) ， ∴ BE ＝ CF 例 2  如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 、 E 是 △ ABC 内两点 ， AD 平分 ∠ BAC ， ∠ EBC ＝ ∠ E ＝ 60° ， 若 BE ＝ 6 cm ， DE ＝ 2 cm ， 求 BC 的长． 3 ． ( 嘉兴中考 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 为 AC 的中点 ， DE⊥AB ， DF⊥BC ， 垂足分别为点 E ， F ， 且 DE ＝ DF. 求证：△ ABC 是等边三角形． 例 3  如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ BAC ＝ 90° ， BF ＝ BA ， DF ⊥ BC ， AE ⊥ BC ， 交 BD 于点 G ， 连接 GF. 求证： GD 平分 ∠ AGF. 证明： 在 Rt △ ABD 和 Rt △ FBD 中 ， BA ＝ BF ， BD ＝ BD ， ∴ Rt △ ABD ≌ Rt △ FBD( HL ) ， ∴ DA ＝ DF ， ∠ ADB ＝ ∠ FDB ， 又 ∵ DG ＝ DG ， ∴△ ADG ≌△ FDG( SAS ) ， ∴∠ AGD ＝ ∠ FGD ， 即 GD 平分 ∠ AGF 4 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ BAC ＝ 90° ， AD ⊥ BC ， ∠ ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 F ， AG 平分 ∠ DAC. 给出下列结论： ①∠ BAD ＝ ∠ C; ②∠ AEF ＝ ∠ AFE; ③∠ EBC ＝ ∠ C ； ④ AG ⊥ EF. 正确结论有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 C 例 4   如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ B ＝ 2 ∠ C ， AD ⊥ BC 于点 D. 求证： CD ＝ AB ＋ BD. 证明： 在 CD 上截取 DE ＝ DB ， ∵ AD ⊥ BC ， ∴ AE ＝ AB ， ∴∠ B ＝ ∠ AEB ， ∵∠ AEB ＝ ∠ C ＋ ∠ CAE ， ∴∠ B ＝ ∠ C ＋ ∠ CAE ， 又 ∵∠ B ＝ 2 ∠ C ， ∴∠ C ＝ ∠ CAE ， ∴ AE ＝ CE ＝ AB ， 又 ∵ CD ＝ CE ＋ DE ， ∴ CD ＝ AB ＋ BD 6 ． 如图 ， 已知在 △ ABC 中 ， DE 是 BC 的垂直平分线 ， 垂足为 E ， 交 AC 于点 D ， 若 AB ＝ 6 ， AC ＝ 9 ， 则 △ ABD 的周长是 _____. 15 7 ． 如图所示 ， D 为锐角 ∠ ABC 内一点 ， 点 M 在边 BA 上 ， 点 N 在边 BC 上 ， 且 DM ＝ DN ， ∠ BMD ＋ ∠ BND ＝ 180°. 求证： BD 平分 ∠ ABC. 证明：作 DE ⊥ AB ， DF ⊥ BC ， E ， F 为垂足 ， 可证 △ DEM ≌△ DFN ， 则 ∴ DE ＝ DF ， ∴ BD 平分 ∠ ABC