北师版八年级数学下册第四章因式分解教学课件

4.1 因式分解 第四章 因式分解 学习目标 1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.（重 点） 2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.（难点） 导入新课 复习引入 问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21. 问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7. 思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成 几个整式的积吗？ 可以. 因式分解的概念一 讲授新课 问题：993-99能被100整除这个吗？ 所以，993-99能被100整除. 3 2 2 99 - 99 99 99 - 99 1 99(99 -1) 99 9800 98 99 100          想一想: 993-99还能被 哪些整数整除? 探究引入 问题探究 如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面 积吗？ a b c m 方法一：m(a+b+c) 方法二：ma+mb+mc m(a+b+c)=ma+mb+mc 整式乘法 ? 完成下列题目： x(x-2)=_______ (x+y)(x-y)=_______ (x+1)2=________ x2-2x x2-y2 x2+2x+1 根据左空，解决下列问题： x2-2x=( )( ) x2-y2=( )( ) x2+2x+1=( )2 x x-2 x+y x-y x+1 做一做 联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整 式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分 析说出什么是因式分解吗？ 问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？ 总结归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因 式分解，也可称为分解因式. 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： 辩一辩 A. x(a﹣b)=ax﹣bx B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c E. 2a3b=a2•2ab F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9 √ × × × × × 提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多项式．(2)右边是积的 形式. (3)右边的因式全是整式. 做一做 根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=_________ (2)ma+mb+mc=___________ (3) m2-16=__________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=___________ 计算下列各式: (1) 3x(x-1)= __, (2) m(a+b+c) = ______ , (3)(m+4)(m-4)= _____, (4)(x-3)2= , (5)a(a+1)(a-1)= __, 3x2 - 3x ma+mb+mc m2 -16 x2-6x+9 a3-a 3x(x-1) m(a+b+c) (m+4)(m-4) (x-3)2 a(a+1)(a-1) 想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同? 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法, 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程. 因式分解与整式乘法的关系二 x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个 整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为 a（x﹣2）（x+3），求a，b的值. 解：∵x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3） =ax2+ax-6a. ∴a=1，b=﹣6a=﹣6. 典例精析 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关 键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可. 下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（  ） A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2 C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2 B 练一练 当堂练习 2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的有______ .  ①24x2y=4x•6xy ②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ③x2+2x﹣3=（x+3） （x﹣1） ④9x2﹣6x+1=3x（x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+ ） ⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9） 1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 （  ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ ) C ③⑥ x 1 3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为   ．   解析：由题意可得 x2+4mx+5=(x+5)(x+n) =x2+(n+5)x+5n， 5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= ， m+n=1+ = . 5 2 5 2 3 2 3 2 4. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除 5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)， 求mn的值. 解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4， ∴可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)， 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n 解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. ∴mn=﹣5×20=﹣100． 6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 (x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值. 解：分解因式甲看错了b，但a是正确的， 其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8， ∴a=6， 同理，乙看错了a，但b是正确的， 分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9， ∴b=9， ∴a+b=15． 课堂小结 因 式 分 解 定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式 分解，也可称为___________. 其中，每个整式叫做这个多项式的_______. 与多项式乘法运算 的关系 的变形过程. 前者是把一个多项式化为几个整式的 _____，后者是把几个整式的______化 为一个_________. 积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积 4.2 提公因式法 第四章 因式分解 第1课时 提公因式为单项式的因式分解 学习目标 1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点） 2.能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点） 导入新课 问题引入 问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？ 问题2：每一项的因式都分别有哪些？ 问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因 式是什么？ ma, mb, mc 依次为m, a和m, b和m, c 有，为m 问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式. a, b, ab 相同因式p 这个多项式有什么特点？ pa+pb+pc 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公 因式. 讲授新课 确定公因式一 例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式. 系数：最大公 约数 3 字母：相同 的字母 x 所以公因式是3x. 指数：相同字母 的最低次幂1 典例精析 u正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母最低次幂. 要点归纳 写出下列多项式的公因式. （1）x-x2； （2）abc+2a； （3）abc-b2+2ab； （4）a2+ax2； 练一练 x a b a 提公因式为单项式的因式分解二 观看视频学习 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取 出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解 因式的方法叫做提公因式法. ( a+b+c )pa+ pb +pc p= 概念学习 8a3b2 + 12ab3c；例2 分解因式： 分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式；第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因 式的乘积. 解：8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； 如果提出公因式4ab, 另一个因式是否还有 公式？ 另一个因式将是2a2b+3b2c, 它还有公因式是b. 思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果： （1）2x2+4x = 2(x2+2x)； （2）2x2+4x = x(2x+4)； （3） 2x2+4x = 2x(x+2). 第几位同学的结果是正确的？ 用提公因式法 分解因式应注意 哪些问题呢？ 做乘法运算来检验易 得第3位同学的结果是 正确的. 因式分解：12x2y+18xy2. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式 2 注意：公因式要提尽. 正确解：原式=6xy(2x+3y). 问题1：小明的解法有误吗？ 易错分析 当多项式的某一项和公因式相同时，提公 因式后剩余的项是1. 错误 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x-6y). 因式分解：3x2 - 6xy+x. 正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1) 问题2：小亮的解法有误吗？ 提出负号时括号里的项没变 号 错误 因式分解： - x2+xy-xz. 解：原式= - x(x+y-z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z) 问题3：小华的解法有误吗？ 例3 分解下列因式： 解：(1)3x+ x3=x ·3+x·x2=x(3+x2)； 3 3 2 3 2 3 3 2 (1) 3 (2) 7 21 (3) 8 12 (4) 24 12 28 x x x x a b ab c ab x x x        (2)7x3－ 21x2=7x2·x －7x2·3=7x2(x－3)； (3)8a3b2 －12ab3c+ab=ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b－ 12b2c+1)； (4)－24x3+ 12x2－28x =－(24x3 －12x2+28x) =－(4x·6x2 －4x·3x+4x·7) =－4x(6x2 －3x+7). 例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：∵a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分 解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整 体带入即可. 1. 多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（  ） A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1 解析：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大 公约数，为4； （2）字母取各项都含有的相同字母，为xy； （3）相同字母的指数取次数最低的，x为m次， y为n-1次； D 当堂练习 2. 把多项式﹣4a3+4a2﹣16a分解因式（  ） A．﹣a（4a2﹣4a+16） B．a（﹣4a2+4a﹣16） C．﹣4（a3﹣a2+4a） D．﹣4a（a2﹣a+4） D 3. 若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（  ） A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8 解析：因为ab=﹣3，a﹣2b=5， 所以a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b） =﹣3×5=﹣15． A 4. 计算（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1，得（  ） A．3m﹣1 B．（﹣3）m﹣1 C．﹣（﹣3）m﹣1 D．（﹣3）m 解析：（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1 =（﹣3）m﹣1（﹣3+2） =﹣（﹣3）m﹣1． C 5.把下列多项式分解因式： (1)-3x2+6xy-3xz； (2)3a3b+9a2b2-6a2b. 解：-3x2+6xy-3xz =(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z =-3x·(x-2y+z). 3a3b+9a2b2-6a2b =3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2 =3a2b(a+3b-2) 6.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. 解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12. 课堂小结 因 式 分 解 提公因式法（单项 式 ） 确定公因式的方法：三定，即定系数；定 字母；定指数 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 注 意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号 4.2 提公因式法 第四章 因式分解 第2课时 提公因式为多项式的因式分解 学习目标 1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；（重点） 2.能运用整体思想进行因式分解.（难点） 导入新课 复习引入 1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各 项变号； 2.公因式的系数是多项式各项__________________; 3.字母取多项式各项中都含有的____________; 4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _________. 提公因式法因式分解的一般步骤： 系数的最大公约数 相同的字母 最低次幂 思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找上面各式的公因 式. 思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？ )()( yxbyxa )1( )2( )(3)(2 cbcba  )3( )4( )3(2)3(  xbxa 22 )1()1(  xyxy 提公因式为多项式的因式分解 讲授新课 例1 把下列各式分解因式 （1）a(x-3)+2b(x-3) （2） 解:（1） a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b)    22 11  xyxy    221 1y x y x   =y(x+1)(1+xy+y)(2) 典例精析 归纳总结 1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 练一练： 1. x(a+b)+y(a+b) 2. 3a(x－y)－(x－y) 3. 6(p+q)2－12(q+p) =(a+b)(x+y) =(x－y)(3a－1) =6(p+q)(p+q-2) ( ) ( )a x y b x y    (1) ( ) ( );a x y b y x   (1) ( ) ( )a x y b y x  解： ( )x y ( )y x ( )( )x y a b   ( )b x y  例2 把下列各式因式分解： 3 2(2)6( ) 12( ) ;m n n m   3 2(2 )6 ( ) 1 2 ( )m n n m   26 ( ) [( ) 2 ]m n m n    3 26 ( ) 1 2 ( )m n m n    2)(12 nm  )2()(6 2  nmnm 两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法: (1)当相同字母前的符号相同时, 则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a (2)当相同字母前的符号均相反时, 则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b) 归纳总结 由此可知规律： (1)a-b 与 -a+b 互为相反数. (a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数） (2) a+b与b+a 互为相同数, (a+b)n = (b+a)n (n是整数） a+b 与 -a-b 互为相反数. (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数） (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数） 在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使 等式成立： (1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2; (3) (a-b)3 =___(b-a)3; (4) (a-b)4 =___(b-a)4; (5) (a+b) =___(b+a); (6) (a+b)2 =___(b+a)2. +- - + + + (7) (a+b)3 =__(-b-a)3;- (8) (a+b)4 =__(-a-b)4.+ 当堂练习 1.请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立. (1) 2-a= (a-2) (2) y-x= (x-y) (3) b+a= (a+b) - (6)-m-n= (m+n)(5) –s2+t2= (s2-t2) (4) (b-a)2= (a-b)2 (7) (b-a)3= (a-b)3 - + + - - - 3.因式分解：(x-y)2+y(y-x). 解法1：(x-y)2+y(y-x) =（x-y)2-y(x-y) =(x-y)(x-y-y) =(x-y)(x-2y). 解法2：(x-y)2+y(y-x) =（y-x)2+y(y-x) =(y-x)(y-x+y) =(y-x)(2y-x). 2.因式分解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ). 解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=(a2+b2)(p-q). 课堂小结 因 式 分 解 公因式为多 项 式 确定公因式的方法：三定，即定系数 ；定字母；定指数 分两步：（整体思想） 第一步找公因式；第二步提公因式 注 意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号 4.3 公式法 第四章 因式分解 第1课时 平方差公式 学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想．（重点） 2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解．（难点） 导入新课 a米 b米 b米a米 (a-b) 情境引入 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部 分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ a2- b2=(a+b)(a-b) 讲授新课 用平方差公式进行因式分解一 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式 ))(( b a ba -+=22 ba - ))(( 22baba ba-+ = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项 式才能用平方差公式进行因 式分解，即能写成: ( )2- ( )2的形式. （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2（4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 2(1) 4 9 ;x  例1 分解因式： 2 2( 2 ) 3x  (2 3)(2 3) ;x x   2 2(2) ( ) ( ) .x p x q   a ab b( + ) ( - )a2 - b2 = 解:(1)原式= 2x 3 2x 2x3 3    ( ) ( ) ( ) ( )x p x q x p x q      (2)原式 (2 )( ).x p q p q    2 2( ) ( )x p x q   典例精析 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只 要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因 式分解. 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中有公因 式，一定要再用提公因式法继续分解. ))((22 bababa -+=- 20152－20142 =（2mn）2 - ( 3xy)2 =(x+z)2 - (y+p)2 = 例2 分解因式： 4 4 3(1 ) ; ( 2 ) .x y a b a b  解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) 分解因式后，一定要检查是否还有能继 续分解的因式，若有，则需继续分解. ＝(x2+y2)(x+y)(x-y); (2)原式＝ab(a2-1) 分解因式时，一般先用提公因式法进行 分解，然后再用公式法.最后进行检查.＝ab(a+1)(a-1). 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式， 再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分 解因式为止． 分解因式： (1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b. 针对训练 ＝(a＋2b)(a－2b－1). ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)； 解：(1)原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值． ∴x－y＝－2②. 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2， x＋y＝1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 1 ,2 3 .2 x y      方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问 题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4. 解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进 行变形，使运算得以简化. 例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除． 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除． 证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除， 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然 后分析能被哪些数或式子整除． 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(  ) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 当堂练习 D 2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（  ） A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3) C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3) D 3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（  ） A．-21 B．21 C．-10 D．10 A (4a+3b)(4a-3b) 4ab 9xy(y+2x)(y-2x) (4+a2)(2+a)(2-a) 4 原式=-40×5=-200． 当4m+n=40，2m-3n=5时， 7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形， 求剩余部分的面积． 解：根据题意，得 6.82－4×1.62 ＝6.82－ (2×1.6)2 ＝6.82－3.22 ＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2) 答：剩余部分的面积为36 cm2. 8. (1)992-1能否被100整除吗？ 解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98， ∵n为整数 ∴(2n+1)2-25能被4整除. (2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ ∴992-1能否被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5) =(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). 课堂小结 平 方 差 公 式 分 解 因 式 公 式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步 骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再 分解为止. 4.3 公式法 第四章 因式分解 第2课时 完全平方公式 学习目标 导入新课 复习引入 1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 讲授新课 用完全平方公式分解因式一 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积 吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b aba² b²ab 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2+2ab+b2 （a+b）2 = b a² ab ab b² （a+b）2 a2+2ab+b2= 将上面的等式倒过来看，能得到： a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 22 2 baba 完全平方式: 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方 形式，便实现了因式分解. 2ab +b2± =(a ± b)²a2 首2 +尾2±2×首 ×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方. 3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x 2 x + 2 a a 2b a + 2b2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： m m - 33 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9. 变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________. 解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8. ±8 典例精析 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所 在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出 参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解． 例2 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2. 分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2. 2ab +b2a2 (2)中首项有负号，一般先利 用添括号法则，将其变形为- (x2-4xy +4y2),然后再利用公式分解因 式. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2； = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. 例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； 分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等） 的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 概念学习 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. 针对训练 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2； (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a＋2)2(a－2)2. 有公因式要先提公 因式 要检查每一个多项式的因 式，看能否继续分解． 例4 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=（100－99)² (2)原式＝(34＋16)2 本题利用完全平方公式分解 因式，可以简化计算， =1. ＝2500. 例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值． ＝112＝121. 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0， ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0. ∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 几个非负数的和为0，则 这几个非负数都为0. 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数 的和的形式，然后利用非负数性质解答问题． 例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0， 请判断△ABC的形状，并说明理由． ∴△ABC是等边三角形． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c， 当堂练习 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) 3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． B B 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ． ±4 5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2; (2)原式=[2(2a+b)]² － 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b － 1)2; 解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2; (3)原式=(y+1)² －x² =(y+1+x)(y+1－x). 2( 2 0 1 4 2 0 1 3 )  1 . 2 2(2014) 2 2014 2013 (2013)    (2)原式 2 2( 2 )2 0 1 4 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 .   6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. 解：(1)原式＝(38.9－48.9)2 ＝100. 7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2) 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来. x2－2x＋3.1 3 (2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2 1 3 解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 小聪: 小明: × × 1 3 8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 原式＝2×52＝50. 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.  当ab＝2，a＋b＝5时， 课堂小结 完全平方公式 分 解 因 式 公 式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特 点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式 的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍， 符号可正可负. 第四章 因式分解 小结与复习 一、因式分解 要点梳理 1.把一个多项式化成几个整式的 ____的形式，叫 做多项式的_________，也叫将多项式__________. 2.因式分解的过程和   的过程正好____． 3.前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者 是把几个整式的______化为一个_________. 因式分解 乘积 分解因式 整式乘法 相反 多项式 乘积 乘积 二、提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个 多项式各项的________，简称多项式的________. 2. 公因式的确定： (1)系数：多项式各项整数系数的 ___； (2)字母：多项式各项   的字母； (3)各字母指数：取次数最  __的． 公因式 公因式 最大公约数 相同 最低 3.定义：逆用乘法对加法的______律，可以把 _______写在括号外边，作为积的一个_____，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法. 分配 公因式 因式 三、公式法 —— 平方差公式 1.因式分解中的平方差公式 a2－b2＝   ； 2.多项式的特征：(1)可化为个____整式； (2)两项负号______； (3)每一项都是整式的______. 3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式; (2)进行到每一个多项式都不能再 分解为止. (a＋b)(a－b) 两 相反 平方 四、公式法 —— 完全平方公式 1.完全平方公式：a2+2ab+b2=( )2 a2 -2ab+b2=( )2 2.多项式的特征：(1)三项式； (2)有两项符号_____,能写成两个 整式的_________的形式； (3)另一项是这两整式的______的 _____倍. 3.注意事项：有公因式时，应先提出_______. a+b a-b 相同 平方和 乘积 2 公因式 考点一 因式分解与整式乘法的关系 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a; (2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10; (3)x2-6x+9=(x-3)2; (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2. 【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第 一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式 的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断 过程要从左到右保持恒等变形. 考点讲练 不是 不是 是 不是 考点二 提公因式法分解因式 例2 因式分解： (1)8a3b2＋12ab3c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b. 解：(1)原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc)； (2)原式 ＝ (2a－3)(b＋c)； (3)原式 ＝ (a＋b)(a－b－1)． 方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式 的形式. 1. 把下列多项式分解因式.      3 21 1x x x      2 1 1x x x      21 1x x    2 a x b x a y b y      ax bx ay by       x a b y a b       a b x y   针对训练 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 考点三 利用提公因式法求值 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14 ＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. 2. 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：因为a＋b＝7，ab＝4， 所以原式＝ab(a＋b) ＝4×7＝28. 针对训练 方法归纳 原式提取公因式变形后，将a＋b与ab作为一个整体代入计算 即可得出答案． 考点四 平方差公式分解因式 例4 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 3. 已知x2－y2＝－1，x＋y＝ ，求x－y的值． 解：∵ x2－y2 ＝(x＋y)(x－y)＝－1， x＋y＝ ， ∴x－y＝－2. 针对训练 1 2 1 2 4. 如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影， 最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方 形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个 图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？ 解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面 积的差， 而正方形的面积是其边长的平方， 则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050． 答：所有阴影部分的面积和是5050cm2. 考点五 完全平方公式分解因式 例5 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2； (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2. 5. 已知a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值． 解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2) ＝ ab(a＋b)2. 当a＋b＝5，ab＝10时， 原式＝ ×10×52＝125. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因 式 分 解 定 义 提 公 因 式 法 公 式 法 平 方 差 公 式 完 全 平 方 公 式 课堂小结