北师版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系教学课件习题课件

1.1 锐角的三角函数 第一章 直角三角形的边角关系 第1课时 正切与坡度 1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点 ） 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算； (重 点) 3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题. （难点） 学习目标 智者乐水，仁者乐山 图片欣赏 导入新课 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 梯子与地面的夹角∠ＡＢ Ｃ称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅 直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水 平宽度 A CB 讲授新课 正切的定义 相关概念 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ A B C D E F 倾斜角越大——梯子越陡 合作探究1 问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 甲 乙 问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 3m 6m D E FC2mB 4m A 问题4:你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 3m2m 6m5m A B C D E F 倾斜角越大，梯子越陡. 总结:铅直高度与水平宽度的比和倾 斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜 程度. 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1 ,进而 无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ A C1C2 B2 B1 合作探究2 两个直角三角形相似 (1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? (3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢? 思考：由此你得出什么结论? A B1 C2 C1 B2 1 1 2 2 1 2 (2) ?B C B C AC AC 和 有什么关系 C3 B3 相等 相似三角形的对应边成比例 想一想 在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之 确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即 A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ A A   的 对 边 的 邻 边 tanA= 结论：tanA的值越大，梯子越陡. 归纳总结 邻 对 定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切. 但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边 与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 对 邻 A B C ┌ 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应. 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形； 也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 议一议 例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解:甲梯中, β 6m ┐ 乙 8mα 5m ┌ 甲 13m 乙梯中, . 12 5 513 5tan 22    . 4 3 8 6tan  ∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡. 提示:在生活中,常用一个锐 角的正切表示梯子的倾斜程 度. 典例精析 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5， 则 tan A=______，tan B =______． 5 7 7 5 互余两锐角的正切值互为倒数. 2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. 指出∠A和∠B的对边、邻边. A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 练一练 4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍, tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 A B C ┌ C 3.已知∠A,∠B为锐角， (1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B. = = 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 坡度、坡角 w例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m, w那么山坡的坡度(即tanα)就是: 坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切. 60 3tan . 100 5    100m 60m ┌α 概念学习 例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶ 3，坝高BC＝2米， 则斜坡AB的长是(  ) 解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶ 3， 1 . 3 BC AC   6 . D54 C. 102 B.52 A. B 2 2 3 6 4 2 1 0 .A B A C B C      方法总结理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键． ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． B C A (1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AC=12,tanA=( ). (2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ). (3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= , AC=( ). 4 3 1.完成下列填空： 当堂练习 5 12 5 12 1 2 5 2 0 3 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶 点均在格点上，则tanA= （ ） A. B. C. D. 5 3 5 4 4 3 3 4 D 这个图呢？ 3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为 ，则 =__________.   1 2 , 5 t a n  M 记得构造直角三角形哦！ 5 1 2 4.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山 脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m). A B C ┌ 2 2 5 5 0 2 8 6 2 0 0 5 5    ta n A . .解： 5.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB. 提示:过点A作AD垂直于BC于点D. 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的. A CB ┌ D 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴在Rt△ABD中， 易知BD=5，AD=12. 6.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA= ,求AC和BC. 4 3 4k ┌A C B 15 3k 7.如图,正方形ABCD的边长为4,点N在BC上,M、N两点关于对角线AC对 称, 若DM=1，求tan∠ADN的值. A D B N M C 解：由正方形的性质可知， ∠ADN=∠DNC，BC=DC=4， 4tan tan . 3 D CA D N D N C N C       ∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ BN=DM=1. 如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO 的面积为S. （1）求S与x的函数关系式； （2）当S=10时,求tan∠PAO 的值. M 解：(1)过点P作PM⊥OA于点M， 1 5 . 2 2 S O A P M = y   能力提升 （2）当S=10时,求tan∠PAO 的值. M 解： 5 1 0 , 2 S y =Q 4 .y = 又∵点P在直线y=-x+6上， ∴x=2. ∴AM=OA-OM=5-2=3. 4tan . 3 P MP A O A M     课堂小结 正切 定 义 坡 度 ∠A越大，tanA越大, 梯子越陡 与梯子倾斜 程度的关系 tan  铅直高度 水平宽度 1.1 锐角三角函数 第一章 直角三角形的边角关系 第2课时 正弦与余弦 1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算； （重点、难点） 2.在直角三角形中求正弦值、余弦值. (重点) 学习目标 导入新课 1.分别求出图中∠A，∠B的正切值. 复习引入 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与 邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了 呢？ A B C邻边b 对边a 斜边c 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ AB BC '' '' BA CB A B C A' B' C' 讲授新课 正弦的定义 合作探究 在图中，由于∠C＝∠C‘＝90°，∠A＝∠A’＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的 大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． A B C A' B' C' ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 概念学习 例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长. 解： 在Rt△ABC中， sin ,BCA AC  即 0.6, 200 BC  ∴ BC=200×0.6=120. A B C 典例精析 变式：在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20, 求:△ABC的周长和面积. 解: 在Rt△ABC中, . 5 4sin A 20 ┐ A B C 20 4 . 5AB   5 20 25, 4 AB     2 22 5 2 0 1 5 .A C    2 5 2 0 1 5 6 0 .A B CC      20 15 150. 2ABCS    B C 4s i n A , B C 2 0 , A B 5    任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' AB AC A' C' A' B' 余弦的定义 合作探究 A B C A' B' C' 在图中，由于∠C＝∠C‘＝90°，∠A＝∠A’＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的 大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值． ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 概念学习 • 定义中应该注意的几个问题 : w1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角 w(注意数形结合,构造直角三角形). w2.sinA,cosA是一个完整的符号, w分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号). w3.sinA,cosA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均﹥0,无单位. w4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. w5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个 锐角相等. 例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB. 提示:过点A作AD⊥BC于D. 55 6 A B C┌ D ,,: 中则在于作过解 ABDRtDBCADA  .4,3,5  ADBDAB 易知 , 5 4sin  AB ADB , 5 3cos  AB BDB . 3 4tan  BD ADB 如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？ A sinA的值越大,梯子越 ____ ; cosA的值越 ____ ,梯子越陡. 陡 小 8 10 6 8 10 6A 议一议 例3：在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=3,AB=6, 求sinA和cosB. ┌B C A 36 3 3 3c o s . 6 2 B CB A B    3 3 3s i n . 6 2 B CA A B     2 26 3 3 3 .B C    : R t A B C , A B 6 , A C 3,  Q解 在 中 想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内在的联系? 正弦、余弦和正切的相互转化 求:AB,sinB. 10 ┐ A B C . 13 12cos A变式：如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, . 6 65 12 1310   AB . 13 12 6 65 10sin  AB ACB . 13 1210  AB 思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握? AC 12: cosA ,AC 10, AB 13   解 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， s in A aA c   的 对 边 = 斜 边 c o s B aB c   的 邻 边 = 斜 边 sinA=cosB s inta n c o s a a c AA b c b A    sintan cos AA A  要点归纳 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为_________.13 5 12 5 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是（  ） A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB D 针对训练 1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 2.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinA sinB; (2)若sinA=sinB,则∠A ∠B. A B C ┌ C = = 当堂练习 . 3.如图, ∠C=90°CD⊥AB. 4.在上图中,若BD=6,CD=12.则cosA=______. ┍ ┌ A C BD Bsin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CDB C ACA B ADA C 2 5 5 5.如图：P是边OA上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cos α =_____,tan α=_______. 3 5 4 3 x y o 3 4 P α A 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6， 求sinA、cosA、tanA的值． 解：∵ 又∵ A B C 6 10 变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， cosA＝ ，求sinA、tanA的值． 15 17 解：∵ A B C设AC=15k，则AB=17k 所以 ∴ 变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ， 求sinA、cosB的值． 4 3 A B C 8 解：∵ 7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM. 解：设正方形ABCD的边长为4x， ∵M是AD的中点，BE=3AE， ∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x． 由勾股定理可知， 2 2 2 2 2 2( 2 ) 5E M A M A E x x x      , A M E D B C 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 4 ) 2 0C M D M D C x x x     , 2 2 2 2 2 2( 4 ) (3 ) 2 5E C B C B E x x x     , 2 2 2 .E C E M C M   7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM. 5 5s in . 5 5 E M xE C M E C x      A M E D B C 由勾股定理逆定理可知，△EMC为直角三角形. 8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)， 点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝ (1)求点B的坐标； (2)求cos∠BAO的值． 5 3 A B H 解：(1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为 H．在Rt△OHB中， ∵BO＝5，sin∠BOA＝ , ∴BH=3，OH＝4， 3 5 ∴点B的坐标为(4，3)． 8．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)， 点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝ (2)求cos∠BAO的值． 5 3 A B H (2)∵OA＝10，OH＝4， ∴AH＝6． ∵在Rt△AHB中，BH=3， 2 2 2 23 6 5A B B H A H   = =3 , 6 2 5co s . 55 A HB A O A B      3 1.在Rt△ABC中 课堂小结 2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系： sinA的值越大,梯子越陡; cosA的值越小,梯子越陡. s i ns i n c o s t a n c o s AA B A A  ， 1.2 30°,45°,60°角的三角函数值 第一章 直角三角形的边角关系 1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、 45°、60°角的 三角函数值；（重点） 2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.(难点) 学习目标 猜谜语 一对双胞胎，一个高，一个胖，  3个头,尖尖角,我们学习少不了 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？ 导入新课 情境引入 45° 45° 90° 60° 30°90° 思考：你能用所学知识，算出图中各角度的三角函数值吗？ 下图两块三角尺中有几个不同的锐角？ 分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30° 60° 45° 45° 讲授新课 30°、45°、60°角的三角函数值 合作探究 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝  2 22 3a a a  1sin 30 2 2 a a    3 3cos30 2 2 a a   3tan 30 33 a a   30° 3 3sin 60 2 2 a a    1cos 60 2 2 a a   3tan 60 3a a   设两条直角边长为a，则斜边长＝ 2 2 2a a a  2cos 45 22 a a   tan 45 1a a   2sin 45 22 a a    60° 45° 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 2 三角 函数 锐角 a 归纳总结 1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系. （互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系） 2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或 减小）而 _______ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ . 增大（或减小） 减小（或增大） 两点反思 1 2 3 3 练一练 1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____. 2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____. 例1 计算: (1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°. 注意事项: sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2 解: (1)sin30°+cos45° 1 2 2 2   2 23 1 1 2 2              (2)sin260°+cos260°-tan45° 3 1 1 4 4    1 2 . 2   0. 典例精析 1.求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260° （2）    45tan 45sin 45cos  解： （1） cos260°＋sin260° ＝1 （2） ＝0 针对训练 填一填 ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= 2 1sin A 2 1cos A 3 3tan A 030 2 3sin A 060 2 2cos A 030 3tan A 2 2sin A 2 3cos A 1tan A 060 045 045 030 060 045 逆向思维 由特殊三角函数值确定锐角度数 例2： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，求∠A的度数．3,6  BCAB 解： 在图中， A B C 36B C 3 2s i n A A B 26     6, 3AB BC  典例精析 1.如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍， 求 ． 3tan 3    AO OB , OB OB 解： 在图中， A BO  3  练一练 2.sinα﹤cosα，则锐角α取值范围（ ） A 30°﹤α ﹤ 45 ° B 0°﹤α ﹤ 45 ° C 45°﹤α ﹤ 60 ° D 0°﹤α ﹤ 90 ° B 例3 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰 好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置 时的高度之差(结果精确到0.01m). 特殊三角函数值的运用 ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. 0 01 6 0 3 0 , 2   ∠AOD OD=2.5m, A C O B D 解:如图,根据题意可知, 0c o s 3 0 ,O C O D Q ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). 0 3c o s 3 0 2 .5 2 .1 6 5 ( m ). 2 O C O D     例4 已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α- tan（α+15°）的值．3 解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3， ∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°. ∴2sin2α+cos2α- 3 tan（α+15°） =2sin245°+cos245°- 3 tan60° 2 2 2 2 32 3 2 2 2                    3 (1 3). 2   2.在△ABC中，若 ， 则∠C=（  ） A．30° B．60° C．90° D．120° 2 1 3s in c o s 0 2 2 A B           1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（  ） A．40° B．30° C．20° D．10° 3 D D 当堂练习 3.已知cosα ﹤ ，锐角a取值范围（ ） A 60°﹤α ﹤ 90 ° B 0°﹤α ﹤ 60 ° C 30°﹤α﹤ 90 ° D 0°﹤α﹤ 30 ° 2 1 A 4.求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60° （3）   30tan 1 60sin1 60cos   解： (1)1－2 sin30°cos30° (2)3tan30°－tan45°+2sin60° 5.如图，在△ABC中，∠A=30°， 求AB. 3tan , 2 3, 2 B AC  A B C D 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∠A=30°， 1sin 2 CDA AC  Q ， 3cos 2 ADA AC  Q ， 3tan 2 CDB BD  Q ， 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 求∠A、∠B的度数． 7 2 1B C , A C ,  B A C 7 21 解： 由勾股定理 ∴ ∠A=30° ∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60° 20m tan tan 45 , DC EB ACADC DC       解：由已知得 ， ta n 4 5 ,A C D C    D A BE 1.6m 20m 45° C 7.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶 端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离 地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ 2 0 ta n 4 5 1 .6A B A C C B       =20+1.6=21.6（m） 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 30° 45° 60° sin a cos a tan a 对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大； 对于cosα，角度越大，函数值越小. 课堂小结 锐角 a 三角 函数 1.3 三角函数的计算 第一章 直角三角形的边角关系 1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识. 2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算. (重点) 3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点） 学习目标 导入新课 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3 3 2 3 3 1 三角 函数 回顾与思考 20m tan tan 42 , DC EB ACADC DC      Q 解：由已知得 ， ta n 4 2 ,A C D C    D A BE 1.6m 20m 42° C 问题: 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶 端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面 1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ 20 tan 42 1.6.AB AC CB       这里的tan42°是多少呢？ 讲授新课 1.求sin18°． 第一步：按计算器 键，sin 第二步：输入角度值18， 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）. 用计算器求三角函数值 2.求cos72°． 第一步：按计算器 键，cos 第二步：输入角度值72， 屏幕显示结果cos72°=0.309 016 994 第一步：按计算器 键，tan 3.求 tan30°36'. 第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用 键)，°＇ ″ 屏幕显示答案：0.591 398 351； 第一步：按计算器 键，tan 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351. 第一种方法： 第二种方法： 例1：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；    (2)sin12°30′； (3)cos25°18′；  (4)sin18°＋cos55°－tan59°. 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 典例精析 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角． 利用计算器由三角函数值求角度    已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作： 还以以利用 键，进一步得到 ∠A＝30°07'08.97 " 第一步：按计算器 键，2nd F sin 第二步：然后输入函数值0. 501 8 屏幕显示答案： 30.119 158 67° °＇″2nd F 操作演示 例2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数 (结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°； (2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°. cos55°= cos70°= cos74°28 '= tan3°8 ' = tan80°25'43″= sin20°= sin35°= sin15°32 ' = 0.3420 0.3420 0.5736 0.5736 0.2678 0.2678 5.930 0.0547 角度 增大 正弦值增大 余弦值减小 正切值增大 比一比，你能得出什么结论？ 拓广探索 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 归纳总结 例3：如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米， ∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要， 将在A、B两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 利用三角函数解决实际问题 (1)求改直后的公路AB的长； 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)， ∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)． 所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米； 4 . 2 5 . 9 ( ) s i n s i n 4 5 C DB C = C B A     千 米 ， (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? (2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米， ∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)． 所以，公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米． 【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三 角函数关系求出有关线段的长． 例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与 水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方 向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡 顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大 约是多少米 (结果精确到个位)． 解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°. ∵∠A＝45°， ∴AF＝DF. 设EF＝x， ∵tan25.6°＝ ≈0.5， ∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x， 故tan61.4°＝ ＝1.8， 解得x≈31. 故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)． 所以，塔高DE大约是81米． E F B F 5 0 2 2 x D F x B F   解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的 直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直 角三角形． 方法总结 当堂练习 1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： （1）sinA=0.627 5，sinB＝0.6175； （2）cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9； （3）tanA＝4.842 8，tanB＝0.881 6. ∠B=38°8″∠A=38°51′57″ ∠A=51°18′11″ ∠B=80°27′2″ ∠A=78°19′58″ ∠B=41°23′58″ 2.已知：sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（  ） A．32° B．58° C．68° D．以上结论都不对 A 3.用计算器验证，下列等式中正确的是（  ） A．sin18°24′+sin35°26′=sin45° B．sin65°54′-sin35°54′=sin30° C．2sin15°30′=sin31° D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′ D A4.下列各式中一定成立的是（ ） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°