2.1 二次函数
第二章 二次函数
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
导入新课
里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下
面表情包是谁吗？
你们是根据哪些
特征猜出的呢？
情景引入
下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特
征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”
------中科院数学与系统科学研究院
李邦河
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值
与它对应，那么称y是x的函数.
函
数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
问题2 我们学过哪些函数？
0 kx
ky
思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学
过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这
个函数不是我们学过的函数.
思考：这种函数叫
什么？这节课我们
一起来学习吧.
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种
一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树
所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会
少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？
哪些是因变量？
讲授新课
二次函数的定义
合作探究
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？
(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
y=(100+x)(600-5x)
=-5x²+100x+60000.
(100+x)(600-5x)=60320 解得， 1 24, 1 6x x
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，
即y是x的函数.
问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，
则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2
此式表示了正方体表面积y与正
方体棱长x之间的关系，对于x的每
一个值，y都有唯一的一个对应值，
即y是x的函数.
问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投
放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应
为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
20S x x 2 20S x x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯
一的一个对应值，即S是x的函数.
前面求出的三个函数有什么共同点?
函数都是用
自变量的二次整式表示
的 y=6x2
y=-5x²+100x+60000.
2 20S x x
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
归纳总结
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;
（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有
二次项；
例1
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由题可知 解得 = 2 2;m
（2）由题可知 解得 m=3.
第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，
从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
2 73 .my m x
2 7 1,
3 0,
m
m
2 7 2,
3 0,
m
m
注意
典例精析
1.下列函数中,哪些是二次函数?
22
2
2
)1()4(
)1()3(
1)2(
)1(
xxy
xxy
xy
xy
先化简后判断
是
不是
是
不是
练一练
2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
(3)y=-2(x+3)2.
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
问题4：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？
① y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
② y=6x2
2 0S x x ③ 2= 20x x
①∵600-5x>0，∴0≤x0.
③∵20-x>0，∴0y2；
2
2
y1>y3>y2
方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)．
又∵3> >1，∴y1>y3>y2.2
课堂小结
二次函数y=x 2 和
y=－x 2 图象与性
质
画 法 描 点 法 以对称轴为中心对
称 取 点
图 象 抛 物 线 轴 对 称 图 形
性 质 重点关注4个
方 面
开口方向
对 称 轴
顶 点 坐 标
增 减 性
2.2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质
学习目标
1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.（重点）
3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.
导入新课
门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？
羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出
二次函数y=x2的性质吗？
如果二次函数y=ax2的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎
样的火花呢？让我们拭目以待吧！
情境引入
讲授新课
画出函数 的图象.22y x
列表.
x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ···
··· ···4.5 2 0.5 0 4.520.5
二次函数y=ax2的图象与性质
合作探究
描点，连线.
－2 2
2
4
6
4－4
8
22y x2y x
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？
二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y轴就是它的对称轴.
－2 2
2
4
6
4－4
8
22y x
观察思考
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0,0).
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
－2 2
2
4
6
4－4
8
22y x
当x0时，
y随x的增大而增大.
问题5 当x0时呢？
y＝ax2 a>0 a2 0
=0
1 (0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象经过点M（x1，y1），
N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，
则y1与y2的大小关系是__________.y1＞y2
7.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图
象大致为( )
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及
熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解
决问题的关键．
D
8.已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,
求m的值和函数解析式
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质
图 象 性 质 与y=ax2的关
系
1.开口方向由a的符号
决定；
2.c决定顶点位置；
3.对称轴是y轴.
增减性结合开
口方向和对称
轴才能确定.
平移规律：
c正向上；
c负向下.
课堂小结
2.2 二次函数的图象和性质
第二章 二次函数
第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
情境引入
学习目标
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(重点）
3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.
导入新课
复习引入
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c0,开口向上
a0，k>0).
y = ax2
y = ax2 + k y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下
平移
左右
平移
上
下
平
移
左
右
平
移
u平移规律 简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
要点归纳
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐
标是（4，-2），试求这个函数关系式.
23
1 2 xy
21 ( 4 ) 23y x
练一练
当堂练习
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛
物线的解析式为______________ 23 2 3y x
3.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新
坐标系下，此抛物线的解析式为__________________．y=2（x-3）2-3
4.已知y＝ (x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐
标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．
解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交点坐标是(1，0)，
则另一个交点坐标是(5，0)．
(5，0)
1
2
5.对于抛物线y=- (x−2）2+6，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=2；
③顶点坐标为（2，6）；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
2
D
6.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数
y=-（x-1）2+1的图象上，若-1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1_____y2
（填“＞”、“＜”或“=”）．
＞
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=-1，
∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4，
∴y1＞y2．
7.抛物线 与x轴交于B,C两点，顶点为A，则△ABC的周长为
（ ）
A. B. C.12 D.
42 xy
54 454 452
B
8.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，
再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k.所得抛物线与x轴交于A，
B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求h，k的值；
解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，
再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－4，
∴h＝－1，k＝－4；
(2)判断△ACD的形状，并说明理由．
(2)△ACD为直角三角形．
理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.
当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)．
当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，
∴C点坐标为(0，－3)．
顶点坐标为D(－1，－4)．
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，
如图所示．
在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；
在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；
在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.
∵AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图
象 和 性 质
图 象 特 点
当a>0,开口向上；当
a0 a0,当x< 时，y随x的增大而 减小；当x> 时，y随x的增大而
增大；当x= 时，函数达到最小值，
最小值为 .
2
bx a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
24
4
ac b
a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(2)
2
bx a
x
y
O
如果a 时，y随x的增大而减
小;当x= 时，函数达到最大值，最
大值为 .
2
b
a
2
b
a
2
b
a
24
4
ac b
a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
例3 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减
小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的
值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋
2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .2
2 ( 1)
bx b
D
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,3) x=1 最大值1
(0,-1) y轴 最大值-1
最小值-6( ,-6)1
3
直线x= 1
3
填一填
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，
请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2y=k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＜
＞
＞
＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＞
＞
二次函数的系数与图象的关系
合作探究
x
y
O
2
22
bx a
1
12
bx a
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次
函数的性质填空：
2y a x b x c
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，
对称轴在y轴右侧，1
1
02
bx a
＜
2
2
02
bx a
＞
x=0时，y=c.
x
y
O
4
42
bx a
3
32
bx a
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，
对称轴在y轴右侧，3
3
= 02
bx a
4
4
02
bx a
＞
x=0时，
y=c.
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
要点归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜
0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝
－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，
可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，
由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数
在同一坐标系内的大致图象是（ ）
2y a x b x c ay x
y b x
解析：由二次函数的图象得知a＜0，
b＞0.故反比例函数的图象在二、四
象限，正比例函数的图象经过一、
三象限.故选C.
C
练一练
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )D
当堂练习
5
2
3
2
2.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值：
2
2
(1) 2 12 13;
(2) 5 80 319;
1(3) 2 2 ;2
(4) 1 2 .
y x x
y x x
y x x
y x x
直线x=3 3 , 5
直线x=8 8, 1
直线x=1.25
5 9, 4 8
直线x= 0.5 1 9, 2 4
最小值-5
最大值1
最小值 9
8
最大值 9
4
O
y
x
–1
–2
3
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x= –1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
4.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单
位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
解析：y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝(x－ )2＋ .将y＝(x－ )2＋ 向左平
移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋
bx＋c＝(x＋ )2＋ ，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A.
3
2
11
4
3
2
11
4
3
219
4
A
5.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列
判断：①b-2a=0；②4a-2b+cy2.其中正确的是（ ） 2
3
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
x
y
O 2
x=-1
B
6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对
称轴为直线x=-1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，
y3）是直线l上的点，且x3＜-1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（
）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
D
∴这个二次函数的解析式为y＝－ x2＋4x－6；
7. 如图，已知二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象经过
A(2，0) ，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
1
2
解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入
y＝－ x2＋bx＋c 得1
2
- 2 + 2 0 ,
6 ,
b c
c
4 ,
6 ,
b
c
解得
1
2
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
△ABC的面积．
(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝ ＝4，
∴点C的坐标为(4，0)，
∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，
∴S△ABC＝ ×AC×OB＝ ×2×6＝6.1
2
1
2
4
12 ( )2
课堂小结
24( , )2 4
b ac b
a a
2
bx a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式) (顶点式)
2
2 4( )2 4
b a c by a x a a
2.3 确定二次函数的表达式
第二章 二次函数
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）
导入新课
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标
求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
复习引入
∴
讲授新课
例1.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，
求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
a=2，
c=－5.
解得 { 关于y轴对
称
{
特殊条件的二次函数的表达式
典例精析
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
图象经过
原点
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
解得a=-1,b=-6.
∴ y=-x2-6x.
{
针对训练
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,
把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
顶点法求二次函数的表达式
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，
求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，
因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9.
解得 1 .8a
∴所求的二次函数的表达式是 21 ( 8) 9.8y x
针对训练
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函
数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
x
y
O 1 2-1-2-3-4 -1-2
-3
-4
-5
1
2
交点法求二次函数的表达式
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上
（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛
物线上的点的坐标才能求出来？
3个 3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
一般式法求二次函数的表达式
合作探究
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，
0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个
二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写表达式）
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
3. 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，
求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过
点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得 3 ,2a 3 .2b
∴所求的二次函数的表达式是 23 3 1.2 2y x x
针对训练
当堂练习
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .23
4y x=
注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、
y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过
前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O 1 2-1-2-3-4 3
2
1
-1
34
5
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
是 .
顶点坐标是（1，6）
y=-2(x-1)2+6
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个
二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得 b＝3，
c＝－4，
a＝2，
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此
函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数
的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
5.综合题：如图，已知二次函数 的图象经过A(2，0)，
B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)设该二次函数的对称轴与
x轴交于点C，连接BA，BC，求
△ABC的面积．
21
2y x b x c= - + +
A
B
C
x
y
O
(1) 21 4 6;2y x x
(2)△ABC的面积是6.
6.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）
四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A．E，F B．E，G
C．E，H D．F，G
C
7.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（
）
A．8 B．14
C．8或14 D．-8或-14
C
8.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴
是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
2
b
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，
且CD＝8，求△BCD的面积．
∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.1
2
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对
称轴或最值
③已知抛物线与x轴的
两个交点
已知条件 所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
2.4 二次函数的应用
第二章 二次函数
第1课时 图形面积的最大值
学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
导入新课
复习引入
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）y=x2-4x-5; (2)y=-x2-3x+4.
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；
顶点坐标：（2，-9）；
（2）开口方向：向下；对称轴：x= ；
顶点坐标：（ ， ）；
3- 23- 2
2 5
4
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，
当 时，
二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
2
bx a
24
4
a c by a
．
想一想：如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
讲授新课
例1 写出下列抛物线的最值.
（1）y=x2-4x-5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）,
∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)y=-x2-3x+4.
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x= ,顶点坐标为（ ， ）,
∴当x= 时，y取最大值，最小值为 ;
3- 2
25
4
3- 2
3- 2 25
4
求二次函数的最大(或最小)值
典例精析
例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )
A．3 B．－1 C．4 D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，
∴a＞0，y最小值＝ ＝ ＝2，
整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.
∵a＞0，∴a＝4.故选C.
24
4
ac b
a
24 ( 1) 4
4
a a
a
C
引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的
运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运
动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O 1 2 3 4 5 6
20
40 h= 30t - 5t 2 可以看出，这个函数的图象是一条抛物
线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函
数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点
的横坐标时，这个函数有最大值.
几何图形面积的最大面积
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的
最大高度是 45 m．
30 32 2 5
bt a
（ ） ，
2 24 30 454 4 5
ac bh a
（ ） ．
t/s
h/m
O 1 2 3 4 5 6
20
40 h= 30t - 5t 2
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变
化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
典例精析
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而
变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
解:根据题意得
S=l(30-l),
即 S=-l2+30l (0
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