北师版九年级数学下册第三章圆教学课件习题课件

3.1 圆 第三章 圆 1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点） 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有 关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点） 3.初步了解点与圆的位置关系. 学习目标 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对 每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 情境引入 讲授新课 · r O A 问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 探究圆的概念 探究归纳 u圆的旋转定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙ O”，读作 “圆O”. u有关概念 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示． （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ． （2）到定点的距离等于定长的点都在 ． 圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面上到 定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形． O · A C E r r r r r D 定长r 同一个圆上 u圆的集合定义 问题：从画圆的过程可以看出什么呢？ 一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小． 同心圆 等圆 半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同 u确定一个圆的要素 能够重合的两 个圆叫做等圆. 甲 丙乙 丁 为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队， 因为圆上各点到圆心的距离都等于半径. 问题：现在你能回答本课最开始的问题了吗？ 例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD. 又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD. ∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上. 典例精析 u弦: · CO A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是 直径. 注意 圆的有关概念 u弧: · C O A B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． Ø半圆 u等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 想一想：长度相等的弧是等弧吗？ Ø劣弧与优弧 · C O A B 小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ; ( 大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC. ( 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; (2)请写出以点A为端点的弦及直径. 弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径. （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 . A B C EF D O 劣弧： 优弧： AF, ( AD, ( AC, ( AE. ( AFE, ( AFC, ( AED, ( AEF. ( AF ( 练一练 1.根据圆的定义,“圆”指的是“圆周”,而不是“圆面”. 2.直径是圆中最长的弦. p附图解释： · CO A B 连接OC, 在△AOC中，根据三角形三边关系有 AO+OC>AC, 而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC. 知识要点 例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B 、C在直径MN上，求证：OB=OC. 连OA,OD即可， 同圆的半径相等. Ⅰ Ⅱ 10 ？ x 2x 2 2 210x+ =即(2x) 在Rt△ABO中， 2 2 2A B B O A O+ = 算一算：设在例3中，⊙ O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .4 5 x xx x 变式：如图，在扇形MON中， ，半径MO=NO=10，,正方形 ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长. = 4 5M O N  解：连接OA. ∵ABCD为正方形 ∴DC=CO 设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x 又∵OA=OM=10 ∴在Rt△ABO中, 2 2 2A B B O A O  2 2 2(2 ) 1 0x 即 ( x ) 2 5AB x   . 问题1：观察下图，其中点和圆的位置关系有哪几种？ .o. C . ... B. .A 点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 点和圆的位置关系 问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位 置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙ O内 点P在⊙ O上 点P在⊙ O外 d d d r P d Pr d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、 12cm，则点A、B、C与⊙ O的位置关系是：点A在 ； 点B在 ；点C在 . 练一练： 圆内 圆上 圆外 2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ， 则点P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 3 o D r P d Pr d P r d R r P 点P在⊙ O内 dr 点P在圆环内 r＜d＜R 数形结合： 位置关系 数量关系 要点归纳 例4：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙ A，则点B、C、D与⊙ A的位置关系如何 ？ 解：AD=4=r，故D点在⊙ A上 AB=3r，故C点在⊙ A外 （2）若以A点为圆心作⊙ A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至 少有一点在圆外，求⊙ A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 3CD ⌒ ⌒ C. ABCD,即CD＜2AB. C D A B C D EO 弦、弧、圆心角的关 系 定 理 在同圆或等圆中 应 用 提 醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 课堂小结 圆 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 圆心的直线； 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. *3.3 垂径定理 第三章 圆 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的 计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 学习目标 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径 吗？ 导入新课 情境引入 问题：如图,AB是⊙ O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有 哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AP=BP 弧: AC=BC, AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合， 点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD 重合． ⌒ ⌒⌒⌒ ·O A B D P C 讲授新课 垂径定理及其推论 ·O A B D C P 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， AC =BC,⌒ ⌒ ⌒ ⌒AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ⌒ ⌒ AC =BC.∴AD =BD，⌒ ⌒ ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ 试一试 u垂径定理 ·O A B C D P 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD.(结论) 归纳总结 u推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化, 形成整体,才能运用自如. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有 垂直 是 不是，因为CD没有 过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E Ø垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 D O A BE C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ④ AC=BC ⑤ AD=BD ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 如图，AB是⊙ O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） ·O A B C D E （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.⌒ ⌒ ⌒⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？⌒ ⌒⌒ ⌒ 证明举例 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. u垂径定理的推论 ·OA B C D 归纳总结 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. Ø特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 垂径定理的本质是: 满足其中任两条， 必定同时满足另 三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙ O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm. ·O A BE解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 ∴ 2 2 2 210 6 8 AE OA OE     cm. 垂径定理及其推论的计算 典例精析 例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm， 求半径OC的长. ·O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 1 1 8 4 (cm)2 2AD AB    设OC=xcm，则OD=x-2, 根据勾股定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 例3：已知：⊙ O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD.⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半 径的问题吗? 垂径定理的实际应用 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所 在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D， 与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m. ∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23. 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m. R2=18.52+(R-7.23)2 2 2 2O A A D O D ∵ 例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心), 其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段 弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ ,O E C D 1 1 6 0 0 3 0 0 ( m ).2 2C F C D     2 2 2 ,O C C F O F    22 23 0 0 9 0 .R R   设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. 如图a、b,一弓形弦长为   cm，弓形所在的圆的半径为7cm， 则弓形的高为＿＿＿____＿. 64 C D C B O A DO A B 图a 图b 2cm或12cm 针对训练 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距 离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距 构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下 关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d2 a 2 2 2 2 ar d       d+h=r O A BC · 方法归纳 1.已知⊙ O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 .5cm 2.⊙ O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦AC= . 10 3 cm 当堂练习 3.如图，在⊙ O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D， OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D ·O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD. O. A C D BE 6.（分类讨论题）已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且 MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .14cm或2cm 5. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点 C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______． 7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高 EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径． 解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高， ∴OE⊥AB于F，∴AF= AB=3m， ∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m， ∴AO=r，OF=r-2， 在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2， 即r2=32+（r-2）2，解得r= m． 即，AB所在圆O的半径为 m． 2 1 4 13 4 13 拓展提升： 如图，⊙ O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的 取值范围 .3cm≤OP≤5cm BA O P 垂径定理 内 容 推 论 辅 助 线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分 弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分 弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其 它 三 个 结 论 （ “ 知 二 推 三 ” ） 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧. 两 条 辅 助 线 ： 连 半 径 ， 作 弦 心 距 构造Rt△利用勾股定理计算或建 立方程. 基 本 图 形 及 变 式 图 形 课堂小结 3.4 圆周角和圆心角的关系 第三章 圆 第1课时 圆周角和圆心角的关系 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的 几何问题.（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”. （难点） 学习目标 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角, 如∠BOC. 导入新课 A 复习引入 在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AE的张角 （ ∠ABE ）有关. 问题2 图中的三个张角∠ABE、∠ADE和∠ACE的顶点各在圆的什么位置？ 它们的两边和圆是什么关系？ C A E D B 顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 讲授新课 圆周角的定义 · C O AB · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由. （2）（1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交√ √√ 测量：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存 在怎样的数量关系. 1 2BAC BOC   猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半.等于 圆周角定理及其推论 测量与猜测 已知：在圆O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC. 求证：∠BAC= ∠BOC. 1 2 推导与验证 圆心O在∠BAC的 内部 圆心O在 ∠BAC的一边上 圆心O在 ∠BAC的外部 圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论. n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 1 2B A C B O C   O A B D O A C D O A B C D n圆心O在∠BAC的内部 O A C D O A B D 1 2BAD BOD   1 2DAC DOC  1 1( )2 2 BAC BAD DAC BOD DOC BOC            O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D n圆心O在∠BAC的外部 u圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 圆周角定理及其推论 A1 A2 A3 u推论1： 同弧所对的圆周角相等. 要点归纳 1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧 ，∠BAC=35º. (1)∠BOC= º，理由 是 ; (2)∠BDC= º，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 练一练 (1)完成下列填空： ∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= . 2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的 对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O1 ((( ( ( ( ( ( 23 4 5 6 7 8 2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线. （2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？⌒ ⌒ u推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 所对的弧为 , 例1 如图，OA,OB,OC都是⊙ O的半径，∠AOB=50°，∠BOC=70°. 求∠ACB和∠BAC度数. AB⌒ BC O . 70° A∴∠ACB= ∠AOB=25°. 同理∠BAC= ∠BOC=35°. 1 2 1 2 典例精析 例2 如图，AB是⊙ O的直径，C、D、E是⊙ O上的点，则∠1+∠2等 于（  ） A．90° B．45° C．180° D．60° A 例3 如图，⊙ O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°， 则∠B的度数是（  ） A．15° B．25° C．30° D．75° C 例4 如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形， OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（  ） A．12.5° B．15° C．20° D．22.5° 解析：连接OB， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OC=AB，又OA=OB=OC， ∴OA=OB=AB， ∴△AOB为等边三角形， ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB， ∴∠BOF=∠AOF=30°， 由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°， 故选：B． 1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 当堂练习 2.已知△ABC的三个顶点在⊙ O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= ． BA C O 166° 3.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ADB= ，∠ACB= . D A O C B 130°50° 4.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙ O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙ O的半径是 . C A B O 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2. 2 5.船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、 B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任 一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全 区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时，即船位于 暗礁区域外（即⊙ O外） ，与两个灯 塔的夹角∠α小于“危险角”. 拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： . B D D E A B CD E ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD. ∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）. 解:BD=CD.理由是:连接AD,  B D D E  圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的 推论1 课堂小结 圆周角的度数等 于它所对弧上的 圆心角度数的一 半. 同弧或等弧 所对的圆周 角相等； 1.顶点在圆上， 2.两边都与圆 相交的角 第三章 圆 3.4 圆周角和圆心角的关系 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识. 2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用. (重点) 学习目标 问题1 什么是圆周角？ 导入新课 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ●O B A C D E 复习引入 问题2 什么是圆周角定理？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 即 ∠ABC = ∠AOC. 导入新课 如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑 脸的圆心吗？ 情境引入 讲授新课 思考：如图，AC是圆o的直径， 则∠ADC= ， ∠ABC= . 90° 90° 推论：直径所对的圆周角是直角. 反之，90°的圆周角所对的弦是直径. 直径所对应的圆周角 问题 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？ 利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到 两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心. 例1：如图，⊙ O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙ O于B, 求AB、 BC的长． B 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， 2 2 2 21 0 6 8;D C A C A D     典例精析 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°. ∵BD平∠ADC,∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. 2 2 10 5 2 (cm ).2 2A B B C A C      B 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考 虑构造直角三角形来求解. 归纳 如图，BD是⊙ O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(  ) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD是⊙ O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C. C 练一练 四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的四边形叫做 圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 思考：圆内接四边形有什么特 殊的性质吗？ 圆内接四边形及其性质 如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接 圆. (2)当ABCD为一般四边形时， 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 . ∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º (1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 . ∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º 性质探究 证明：圆内接四边形的对角互补. 已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外 接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°. 证明：连接OB、OD. 根据圆周角定理，可知 1 21A = 12 ∠ ∠ ， 1C = 2 .2 ∠ ∠ 1 1A+ C= 1 2 = = .2 2    ∠ ∠ （ ∠ ∠ ） 360 180 由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180° 试一试 圆内接四边形的对角互补. 推论 要点归纳 C O D B A ∵∠A＋∠DCB＝180°， E ∠DCB＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有 何关系？ 想一想 1．四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°， 则∠C= ，∠D= . 2．⊙ O的内接四边形ABCD中，∠A∶ ∠B∶ ∠C=1∶ 2∶ 3 ， 则∠D= . 70º 100º 90º 练一练 3. 如图，在⊙ O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么 ∠BCD是(  ) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A. A 例2：如图，AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E，交⊙ O于D，AF交⊙ O于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙ O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 典例精析 1.如图，AB是⊙ O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°, 则∠BCD=＿＿＿_.50° A BO C D 当堂练习 2.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙ O的直径， 则∠AEB等于 （ ） A.70° B.110° C.90° D.120° B A CB O DE 3.在⊙ O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A. O A B D C 解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20° ∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130° ∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补） 变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数. A BC O D . 90 40 50 . 180 50 130 . AO D D BD ABD OAB ADB C                 解：延长 至 ，交圆于点 ，连接 ， ， 4.如图，△ABC内接于⊙ O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙ O的直 径，AD=6，那么AB的值为（  ） A．3 B． C． D．232 33 A 5.如图，点A、B、D、E在⊙ O上，弦AE、BD的延长线相交于点C. 若AB是⊙ O的直径，D是BC的中点． (1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明； 解：(1)AB＝AC. 证明如下：连接AD， ∵AB是⊙ O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC. ∵BD＝DC， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC； (2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？ 为什么？ (2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中 点． 理由如下：连接BE， ∵AB为⊙ O的直径， ∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC. ∵△ABC为正三角形， ∴AE＝EC， 即E是AC的中点． 课堂小结 圆周角定 理 推 论 2 推 论 3 圆内接四边形的对角互补. 直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径 3.5 确定圆的条件 第三章 圆 1.复习并巩固圆中的基本概念. 2.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用. (重点) 3.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.（难点） 学习目标 问题1 构成圆的基本要素有那些? 导入新课 o r 两个条件: 圆心 半径 那么我们又该如何画圆呢? 复习与思考 问题2 过一点可以作几条直线？ 问题3 过几点可以确定一条直线？那么过几点可以确定一个圆呢？ 问题1如何过一个点A作一个圆？ 过点A可以作多少个圆？ · · · · · 以不与A点重合的任意一点为圆心，以 这个点到A点的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 讲授新课 探索确定圆的条件 合作探究 回顾线段垂直平分线的尺规作图的方法 1．分别以点A和B为圆心，以 大于二分之一AB的长为半径 作弧，两弧相交于点M和N； 2.作直线MN. N M A B 问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？ · · ··A B 作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点 为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画 圆即可; 可作无数个圆. 问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ A B C D E G F ●o 经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直 平分线上. n经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直 平分线的交点O的位置. 经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直 平分线上. A B C 问题4过同一直线上三点能不能作圆? 不能. 有且只有 位置关系 A B C D E G F ●o 归纳总结 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配 到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该 是（  ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 B 典例精析 试一试： 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. A B C O 三角形的外接圆及外心 1. 外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三 角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角 形. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的外心： 定义： ●O A B C 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三条边的垂直平分线的交点. 性质： 概念学习 判一判： 下列说法是否正确 (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) √ × × √ 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的 外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. A B C ●O A B CC A B ┐ ●O ●O 画一画 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外. 要点归纳 例：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点， ∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°； 典例精析 (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． (2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在直角△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝ ， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π. 33 33 方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径 (或半径)长度． 1.判断： （1）经过三点一定可以作圆 （ ） （2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ） （3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ） （4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ） √ × × × 当堂练习 2.三角形的外心具有的性质是（ ） A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等. C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内. B 3.如图，是一块圆形镜片破碎后的部分残片，试找出它的圆心. A B C O 方法: 1.在圆弧上任取三点A、B、C. 2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O 即为圆心. 3.以点O为圆心，OC长为半径作圆,⊙ O即 为所求. 4.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条 圆弧所在圆的圆心是（  ） A．点P B．点Q C．点R D．点M B 5.如图，△ABC内接于⊙ O，若∠OAB＝20°， 则∠C的度数是________．70° 6.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心， 求∠ACB的度数． 解：∵点O为△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC. ∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°， ∴∠OCA＋∠OCB＝90°， 即∠ACB＝90°. 7.如图，在平面直角坐标系xOy中， △ABC外接圆的圆心坐标是_________，半径是______．（5，2） 2 5 8.已知正△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆 的半径是________． 解析：如图，能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC 外接圆的半径， 设⊙ O是△ABC的外接圆，连接OB，OC， 作OE⊥BC于E， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°， ∵OB=OC，OE⊥BC， ∴∠BOE=60°，BE=EC=3， ∴sin60°= ， ∴OB= ，故答案为 ． BE OB 2 3 2 3 2 3 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆 注意：同一直线上 的三个点不能作圆 课堂小结 三角形外 接圆 概 念 性 质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离 相等. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 外接圆 外 心 外接圆的圆心叫三角形的外心 3.6 直线和圆的位置关系 第三章 圆 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质 1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系. 2.能根据圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系， 判断出直线与圆的位置关系.(重点） 3.理解并掌握圆的切线的性质定理.（重点） 学习目标 点和圆的位置关系有几种？ dr 用数量关系如何来 判断呢？ ⑴点在圆内 rO·P ⑵点在圆上 rO·P ⑶点在圆外 rO ·P (令OP=d ) 导入新课 知识准备 问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能 根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 讲授新课 用定义判断直线与圆的位置关系 问题2 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移 动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数 最少时有几个？最多时有几个？ ● ● ● l 0 2 直线与圆的 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 割线 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 位置关系 公共点个数 填一填 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线 叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）. A l O 知识要点 ①直线与圆最多有两个公共点. ②若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. ③若A是☉O上一点，则直线AB与☉O相切. ④若C为☉O外一点，则过点C的直线与☉O相交或相离. ⑤直线a 和☉O有公共点，则直线a与☉O相交. √ × × × × 判一判 问题1 刚才同学们用硬币移近直线的过程中，除了发现公共点的个 数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么 样的数量关系呢？ 相关知识： 点到直线的距离是指从直线外 一点（A)到直线(l)的垂线段(OA)的 长度. l A O 圆心到直线的距离 在发生变化； 首先距离大于半径， 而后距离等于半径， 最后距离小于半径. 用数量关系判断直线与圆的位置关系 问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？ O d 合作探究 直线和圆相交 d< r 直线和圆相切 d= r 直线和圆相离 d> r rd ∟ rd ∟ r d 数形结合： 位置关系 数量关系 （用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分） o o o       性 质 判 定 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 性 质 与 判 定 的 区 别 ： 位 置 关 系 数 量 关 系 . 公共点个数 要点归纳 1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ： （3）若d=8cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. （2）若d=6cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. （1）若d=4cm ,则直线与圆   , 直线与圆有____个公共点. 相交 相切 相离 2 1 0 练一练 (3)若AB和⊙ O相交,则 . 2.已知⊙ O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围: (1)若AB和⊙ O相离, 则 ; (2)若AB和⊙ O相切, 则 ; d > 5cm d = 5cm 0cm≤d < 5cm 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm. (1) 以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与圆C相切？． B C A 4 3 D ∴ 解：过C作CD⊥AB，垂足为D. 在△ABC中， AB= 2 2A C B C  2 23 4  5. 根据三角形的面积公式有 1 1 .2 2C D A B A C B C   3 4 2 .4 ( c m ) ,5 A C B CC D A B     因此，当半径长为2.4cm时，AB与圆C相切. 记住：斜边上的高等于 两直角边的乘积除以斜 边. 典例精析 问题 对于例1(1)，你还有其他解法吗？ B C A 4 3 D ∵BC=4，AC=3，AB=5， 4sin ,5 C D B CA A C A B     4 4 3 2 .4,5 5C D A C     因此，当半径长为2.4cm时， AB与圆C相切. (2)以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ ① r=2cm；② r=2.4cm； ③ r=3cm． 解：由(1)可知圆心C到AB的距离d=2.4cm. 所以 ①当r=2cm时, 有d >r, 因此⊙ C和AB相离. ②当r=2.4cm时,有d=r. 因此⊙ C和AB相切. ③当r=3cm时，有d