华师版七年级下册数学第七章一次方程组教学课件

7.1 二元一次方程组和它的解 第七章 一次方程组 学习目标 1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义．（重点） 2. 会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．（难点） 导入新课 观察与思考  累死我了！ 你还累 ? 这么大的个，才比我多驮了 2 个 . 哼，我从你背上拿来 1 个，我的包裹数就是你的 2 倍！ 真的 ? ！ 听完它们的对话，你能猜出它们各驮了多少包裹吗 ? 你还累 ? 这么大的个，才比我多驮了 2 个 . 我从你背上拿来 1 个，我的包裹数就是你的 2 倍！ 讲授新课 二元一次方程组的定义 一 问题 1 ： 设老牛驮了 x 个包裹 , 小马驮了 y 个包裹 . 你能根据它们的对话列出方程吗？ 老牛的包裹数比小马的多 2 个 ; 老牛从小马的背上拿来 1 个包裹 , 就是小马的 2 倍 . x － y ＝ 2 x ＋ 1 ＝ 2( y － 1) 昨天，我们 8 个人去红山公园玩 , 买门票花了 34 元 每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元， 设他们中有 x 个成人 , y 个儿童 . 你能得到怎样的方程 ? 问题 2 ： 他们到底去了几个成人，几个儿童呢 ? x ＋ y ＝ 8 5 x ＋ 3 y ＝ 34 上面所列方程各含有几个未知数 ? 含有未知数的项的次数是多少 ? 答： 2 个未知数 答：次数是 1 含有 两个未知数 , 并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做 二元一次方程 . x － y ＝ 2 x ＋ y ＝ 8 x ＋ 1 ＝ 2( y － 1) 5 x ＋ 3 y ＝ 34 定义： 归纳总结 方程 x ＋ y ＝ 8 和 5 x ＋ 3 y ＝ 34 中， x 的含义相同吗？ y 呢？ x,y 所代表的对象分别相同 , 因而 x,y 必须同时满足方程 x ＋ y ＝ 8 和 5 x ＋ 3 y ＝ 34 , 把它们联立起来 , 得 : 像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做 二元一次方程组 . 注意： 方程组各方程中同一字母必须代表同一个量 . x ＋ y ＝ 8 5 x ＋ 3 y ＝ 34 二元一次方程组的解 二 问题： （ 1 ） x ＝ 6 , y ＝ 2 适合方程 x ＋ y ＝ 8 吗 ? x ＝ 5 , y ＝ 3 呢 ? x ＝ 4 , y ＝ 4 呢 ? 你还能找到其他 x , y 的值适合方程 x ＋ y ＝ 8 吗 ? (2) x ＝ 5 , y ＝ 3 适合方程 5 x ＋ 3 y ＝ 34 吗 ? x ＝ 2 , y ＝ 8 呢 ? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值 , 叫做这个 二元一次方程的一个解 . 例如 : x ＝ 6 , y ＝ 2 是方程 x ＋ y ＝ 8 的一个解 , 记作 x ＝ 6 y ＝ 2 x ＝ 5 , y ＝ 3 是否为方程 x ＋ y ＝ 8 的一个解 ? x ＝ 5 , y ＝ 3 是否为方程 5 x ＋ 3 y ＝ 34 的一个解 ? 使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值 , 叫做这个 二元一次方程组的解 . x ＋ y ＝ 8 5 x ＋ 3 y ＝ 34 的解 . ｛ 就是二元一次方程组 x ＝ 5 y ＝ 3 例如， ｛ 当堂练习 D. x =4 y =3 x =3 y =6 x =2 y =4 x =4 y =2 A. B. C. 1. 二元一次方程组 的解是 ( ) x +2 y =10 y =2 x C 2. 下列各式是二元一次方程的是 ( ) A. x =3y B.2 x + y =3 z C. x ²+ x - y =0 D.3 x +2=5 A x + =1 y + x =2 3. 下列不是二元一次方程组的是 (   ) A. x + y =3 x - y =1 B. C. x =1 y =1 D. 6 x +4 y =9 y =3 x +4 B 4. （嘉兴 · 中考）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（  ） 哦 …… 我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本花了 42 元钱，第二次买了 10 支笔和 5 本笔记本花了 30 元钱． 小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？ D A.0.8 元 / 支， 2.6 元 / 本 B.0.8 元 / 支， 3.6 元 / 本 C.1.2 元 / 支， 2.6 元 / 本 D.1.2 元 / 支， 3.6 元 / 本 认识二元一次方程组 二元一次方程组的定义 课堂小结 二元一次方程组的解 7.2 二元一次方程组的解法 第1课时 用代入法解二元一次方程组 学习目标 1. 会用代入法解二元一次方程组 . （重点、难点） 导入新课 观察与思考 问题： 根据篮球比赛规则：赢一场得 2 分，输一场得 1 分 , 已知某次中学生篮球联赛中，某球队共赛了 12 场，积 20 分 . 求该球队赢了几场？输了几场？ 解：设该球队赢了 x 场，输了 y 场，则 怎么求 x 、 y 的值呢？ x + y =12 2 x + y =20 讲授新课 用代入法解二元一次方程组 一 昨天 , 我们 8 个人去红山公园玩 , 买门票花了 34 元 . 每张成人票 5 元 , 每张儿童票 3 元 . 他们到底去了几个成人、几个儿童呢 ? 还记得下面这一问题吗 ? 设他们中有 x 个成人， y 个儿童 . 我们列出的二元一次方程组为 : x + y =8 5 x +3 y =34 解：设去了 x 个成人，则去了 (8 － x ) 个儿童，根据题意，得： 解得： x =5. 将 x =5 代入 8 － x =8 － 5=3. 答：去了 5 个成人， 3 个儿童 . 用一元一次方程求解 用二元一次方程组求解 解：设去了 x 个成人，去了 y 个儿童，根据题意，得： 观察 : 列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？ 5 x +3(8- x )=34 x + y =8 5 x +3 y =34 用二元一次方程组求解 由①得： y = 8 － x. ③ 将③代入②得： 5 x +3(8 － x )=34. 解得： x = 5. 把 x = 5 代入③得： y = 3. 所以原方程组的解为： x + y =8① 5 x +3 y =34② 归纳总结 解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元” . 前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程 . 这种解方程组的方法称为 代入消元法 ，简称 代入法 . 将 x =5 代入③ ，得 y =2. 所以原方程组的解是 x =5 ， y =2. 解：由①，得 y =7- x ③ 将③代入②，得 3 x+ 7 - x= 17. 2 x =10 x =5. 例 1 ： 解方程组 x + y =7 ① 3x + y =17 ② 典例精析 将 y =2 代入③ ，得 x =5. 所以原方程组的解是 x =5 ， y =2. 解：由②，得 x =13-4 y ③ 将③代入①，得 2 （ 13 - 4 y ） +3 y =16 26 –8 y +3 y =16 -5 y =-10 y =2 例 2 ： 解方程组 2 x +3 y =16 ① x +4 y =13 ② 归纳总结 解二元一次方程组的步骤： 第一步： 在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来 . 第二步： 把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程 . 第三步： 解这个一元一次方程，得到一个未知数的值 . 第四步： 回代求出另一个未知数的值 . 第五步： 把方程组的解表示出来 . 第六步： 检验 ( 口算或在草稿纸上进行笔算 ), 即把求得的解代入每一个方程看是否成立 . 用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1 的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是 1 ，则选取系数的绝对值较小的方程变形 . 当堂练习 y =2 x    x + y =12   (1) (2) 2 x = y -5 4 x +3 y =65 解： (1) x= 4 y =8 (2) 1. 解下列方程组 . x =5 y =15 2. （济南 · 中考）二元一次方程组 的解是（ ） A ． B ． C ． D. D 3. （江津 · 中考）方程组 的解是（ ） B ． C ． D ． A. B 解二元一次方程组 基本思路“消元” 课堂小结 代入法解二元一次方程组的一般步骤 7.2 二元一次方程组的解法 第 2 课时 用加减法解二元一次方程组 学习目标 1. 会用加减法解二元一次方程组．（重点） 导入新课 观察与思考 信息一： 已知买 3 瓶苹果汁和 2 瓶橙汁共需 23 元； 信息二： 又知买 5 瓶苹果汁和 2 瓶橙汁共需 33 元 . 解：设苹果汁的单价为 x 元，橙汁的单价为 y 元，根据题意得， 你会解这个方程组吗？ 3 x +2 y =23 5 x +2 y =33 你是怎样解这个方程组的？ 解： 由①得 将③代入②得 ③ 解得： y =4 把 y =4 代人③ ，得 x =5 所以原方程组的解为： 除代入消元， 还有其他方法吗？ ① ② 3 x +2 y =23 5 x +2 y =33 x =5 y =4 讲授新课 用加减法解二元一次方程组 仔细观察这组方程，你有什么发现吗？ 解：② -① 得 5 x -3 x =33-23 ， 解得 x =5 . 将 x =5 代入①得 15+2 y =23, 解这个方程得 y =4. 所以原方程组的解是 ① ② 3 x +2 y =23 5 x +2 y =33 ② -① 的话就只剩下一个未知数了 x =5 y =4 这样是不是更简单呢？ 解：② +① 得 7 x =14 ， 解得 x =2 . 将 x =2 代入①得 6+7 y =9, 解这个方程得 . 所以原方程组的解是 ① ② 3 x +7 y =9 ， 4 x － 7 y =5. x =5 典例精析 例 1 ： 用加减法解方程组 : 归纳总结 像上面这种解二元一次方程组的方法 , 叫做加减消元法 , 简称 加减法 . 当方程组中两个方程的某个未知数的系数 互为相反数 或 相等 时 , 可以把方程的两边分别 相加 ( 系数互为相反数 ) 或 相减 ( 系数相等 ) 来 消去这个未知数 , 得到一个 一元一次方程 , 进而求得二元一次方程组的解 . 例 2 ： 用加减法解方程组 : ① ② 对于 当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件 ． 分析： ①×3 得： 所以原方程组的解是 解： ③+④ 得 : 19 x= 144 ， x =6. 把 x =6 代入 ② ，得 30+6 y =42 ， 解得 : y ＝ 2. ②×2 得： 9 x － 12 y =30 ③ 10 x +12 y =84 ④ 归纳总结 主要步骤： 特点 : 基本思路 : 写解 求解 加减 二元 一元 加减消元 : 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出原方程组的解 同一个未知数的系数相同或互为 相反数 用加减法解二元一次方程组： 当堂练习 1. （芜湖 · 中考）方程组 的解是 ． ① ② 2. 用加减法解方程组 6 x +7 y = － 19① 6 x -5 y =17② 应用（ ） A.①-② 消去 y B.①-② 消去 x C. ②- ① 消去常数项 D. 以上都不对 B 解： ②×4 得： 所以原方程组的解为 ① 3. （青岛 · 中考）解方程组： ② ③ ① ＋③得： 7 x = 35 ， 解得： x = 5. 把 x = 5 代入②得， y = 1. 4 x -4 y =16 解二元一次方程组 基本思路“消元” 课堂小结 加减法解二元一次方程组的一般步骤 7.2 二元一次方程组的解法 第 3 课时 二元一次方程组与实际问题 学习目标 1. 能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决的简单的实际问题 . （重点） 2. 学会利用二元一次方程组解决其他类型问题 . （重点、难点） 导入新课 问题引入 小刚买了 3kg 苹果， 2kg 梨，共花了 18.8 元 小玲买了 2kg 苹果， 3kg 梨，共花了 18.2 元 你能算出苹果和梨各自的单价吗？ 讲授新课 列方程组解决简单实际问题 互动探究 问题 1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？ 未知量 ：苹果的单价，梨的单价； 问题 2 题中有哪些等量关系？ （1） 3 千克苹果和 2 千克梨共 18.8 元; （ 2 ） 2 千克苹果和 3 千克梨共 18.2 元; 设未知数： 设苹果的单价为 x 元 / 千克， 梨的单价为 y 元 / 千克 . 解：设苹果的单价为 x 元 / 千克，梨的单价为 y 元 / 千克， 根据小刚和小玲卖水果花费的费用，列方程组： 3 x 2 y 2 x 3 y 4 3.4 所以，苹果的单价为 4 元 / 千克，梨的单价为 3.4 元 / 千克 . 典例精析 例 1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分 . 市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，试问该队胜几场，平几场？ 分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数 + 平的场数 =11 ； 胜场得分 + 平场得分 =27. 胜场 平场 合计 场数 得分 x 3 x y y 11 27 解：设市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场 . 依题意可得 8 y 3 x y 3 答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场 . x 通过上述两题，总结 用二元一次方程组解 决实际问题的步骤 例 2 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨，准备加工后上市销售 . 该公司的加工能力是：每天可以精加工 6 吨或者粗加工 16 吨 . 现计划用 15 天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为 1000 元，精加工后为 2000 元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？ 分析：问题的关键是解答前一个问题，即先求出安排粗加工和精加工的天数 . 从题目信息可以得到的等量关系有： 粗加工天数 + 精加工天数 =15 ； 粗加工任务 + 精加工任务 =140. 解：设应安排 x 天粗加工 ， y 天精加工 . 依题意可得 解这个方程组，得 出售这些加工后的蔬菜一共可获利 1000×16×5+2000×6×10=200000 （元） . 答：应安排 5 天粗加工， 10 天精加工，加工后出售共可 获利 200000 元 . 解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题： 弄清题意和题目中的_________； (2)设元： 用___________表示题目中的未知数； (3)列方程组： 根据___个等量关系列出方程组； (4)解方程组： 利用__________法或___________解出未知数的值； (5)检验并答： 检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 归纳总结 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法 小试身手 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费. 甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.” 乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.” 请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？ 分析 本问题涉及的等量关系有： 总车费 =0~3km 的车费 ( 起步价 )+ 超过 3km 的车费 . 解 设出租车的起步价是 x 元，超过 3km 后每 千米收费 y 元 . 根据等量关系，得 解这个方程组 ， 得 答：这种出租车的起步价是 5 元， 超过 3km 后每千米收费 1.5 元 . 起步价 超过 3km 后的费用 合计费用 甲 乙 x x (11-3) y (23-3) y 17 35 当堂练习 1.有大小两种货车， 2 辆大车与 3 辆小车一次可以运货 15.5 吨； 5 辆大车与 6 辆小车一次可以运货 35 吨。 3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？ 解：设 1 辆大车一次运货 x 吨， 1 辆小车一次运货 y 吨，根据题意列出方程组得 2 x +3 y =15.5 5 x + 6 y = 3 5 （以下部分由同学们完成） 2.计划若干节车皮装运一批货物。如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问多少节车皮？多少吨货物？ 解：设x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得 y =15.5 x +4 y =16.5 x -8 （以下部分由同学们完成） 3. 甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，则乙走34小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用12小时可追上甲，求两人的速度及A，B两地间的距离． [ 解析 ] 设甲的速度为 x 千米 / 时，乙的速度为 y 千米 / 时，那么有右侧线段示意图． 解： 设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时 （以下部分由同学们完成） 课堂小结 二元一次方程组的应用 应用 步骤 简单实际问题 其他类型问题 审题： 弄清题意和题目中的 设元： 用_______表示题目中的未知数 列方程组： 根据___个等量关系列出方程组 解方程组 检验作答 数量关系 字母 2 代入法； 加减法； * 7.3 三元一次方程组及其解法 学习目标 1. 理解三元一次方程组的概念． 2. 能解简单的三元一次方程组 ． 导入新课 复习引入 1 、解二元一次方程组有哪几种方法？ 2 、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 二元一次方程组 代入 加减 消元 一元一次方程 化 未知 为 已知 化归转化思想 代入消元法和加减消元法 消元法 讲授新课 三元一次方程组的概念 一 在第 7.1 节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与负的场数。 在第二轮比赛中，勇士队参加了 10 场比赛，按同样的记分规则，共得 18 分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 自主探究 这个问题可以用多种方法（算术法、列出一元一次方程或 二元一次方程组）来解决。 小明同学提出了一个新的思路： 问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛中胜， 平，负的场数分别为 x ， y ， z ，又将怎样呢？ 分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写 成方程组的形式，得 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 在这个方程组中， x+y+z= 10 和 x=y+z 都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 ，这样的方程叫做 三元一次方程 . （ linear equation with three unknowns ） 总结归纳 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做 三元一次方程组 . 三元一次方程组的解 二 三元一次方程组中各个方程的公共解， 叫做这个 三元一次方程组的解 . 怎样解三元一次方程组呢？ 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 解方程组 解：将③分别代入①②③得 2 y + z =22 ④ 3 y - z =18 ⑤ 解由 ④ ⑤组成的二元一次方程组，得 y =3, z =2 把 y =3, z =2 代入 ③ ，得 x =5. 所以原方程的解是 x =5 ， y =3 ， z =2. 典例精析 例 1 ： 解方程组 解：由方程②得 x = y +1 ④ 把④分别代入①③得 2 y + z =22 ⑤ 3 y - z =18 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 y =8, z =6 把 y =8 代入④，得 x =9 所以原方程的解是 x =9 y =8 z =6    例 2 ： 解方程组 解：③ － ②得 3 x +6 z = － 24 即 x +2 z = － 8 ④ ①× 3+ ②× 4 ，得 17 x － 17 z =17 即 x - z =1 ⑤ 联合 ④ ⑤组成二元一次方程组，得 x +2 z = － 8 x - z =1 解得 x = － 2 ， z = － 3 . 将 x = － 2 ， z = － 3 代入方程 ②，得 y = 0 . 所以原方程的解是 x = － 2, y = 0 , z = － 3 . 总结归纳 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 当堂练习 1. 解方程组 , 则 x ＝ _____ ， y ＝ ______ ， z ＝ _______. x ＋ y － z ＝ 11 ， y ＋ z － x ＝ 5 ， z ＋ x － y ＝ 1. ① ② ③ 【 解析 】 通过观察未知数的系数，可采取① +② 求出 y ， ② + ③ 求出 z ，最后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可 . 6 8 3 2. 若 x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 10 ， 4 x ＋ 3 y ＋ 2 z ＝ 15 ，则 x ＋ y ＋ z 的值为（ D ） A.2 B.3 C.4 D.5 解析 : 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得， 5 x +5 y +5 z =25 ，所以 x + y + z =5. 3. 在等式 y=ax 2 ＋ bx ＋ c 中 , 当 x = － 1 时 , y =0; 当 x =2 时 , y =3; 当 x =5 时 , y =60. 求 a , b , c 的值 . 解 : 根据题意，得三元一次方程组 a － b ＋ c = 0 ， ① 4 a ＋ 2 b ＋ c =3 ， ② 25 a ＋ 5 b ＋ c =60. ③ ② －①， 得 a ＋ b =1 ④ ③ －①，得 4 a ＋ b =10 ⑤ ④ 与⑤组成二元一次方程组 a ＋ b =1 ， 4 a ＋ b =10. a =3 ， b =-2. 解这个方程组，得 把 代入①，得 a =3 ， b =-2 c =-5, a =3 ， b =-2 ， c =-5. 因此 三元一次方程组 三元一次方程组的概念 课堂小结 三元一次方程组的解法 7.4 实践与探索 学习目标 1. 学会用二元一次方程组（或三元一次方程组）来解决实际问题 . （难点） 导入新课 问题引入 要用 20 张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身 2 个，或者做盒底盖 3 个 . 如果一个盒身和 2 个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？ 讲授新课 三元一次方程组的概念 一 合作探究 问题 1 ： 要用 20 张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身 2 个，或者做盒底盖 3 个 . 如果一个盒身和 2 个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？ 通过试验发现： 1 张白卡纸能做 0 个盒子； 2 张白卡纸能做 1 个盒子， 1 张做盒身， 1 张做盒底盖； 3 张白卡纸能做 2 个盒子， 1 张做盒身， 2 张做盒底盖； 4 张白卡纸能做 3 个盒子， 2 张做盒身， 2 张做盒底盖； 5 张白卡纸能做 4 个盒子， 2 张做盒身， 3 张做盒底盖； 6 张白卡纸能做 5 个盒子， 2 张做盒身， 4 张做盒底盖； 7 张白卡纸能做 6 个盒子， 3 张做盒身， 4 张做盒底盖； 第 8 张和第 1 张情况类似； 第 9 张和第 2 张情况类似 ------ 归纳： 用 n 表示纸的张数，若 n=7k+1(k 是自然数），情况和 1 张的情况相同；，若 n=7k+2(k 是自然数），情况和 2 张的情况相同； ---- ，若 n=7k+ 6(k 是自然数），情况和 6 张的情况相同；若 n=7k (k 是自然数），盒子的数量是 64k. 由上述归纳可知： 20 张卡纸， 20=7×2+6 ，余数是 6 ，因此和 6 张相似，可以做 5 个盒子， 14 张纸可以做 6×2=12 个盒子，因此 20 张白卡纸可以做 17 个盒子。 那么还有没有其他的简 便方法呢？ 解：设用 x 张白卡纸做盒身，用 y 张白卡纸做盒底盖，由题意得 所以可做 16 个包装盒 . 解得 想一想： 如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒盖，那么，又怎样分这些白卡纸，才能既使做出的盒身和盒盖配套，又能充分地利用白卡纸？ 用 8 张做盒身， 11 张做盒底盖，另一张套裁出 1 个盒身 ， 1 个盒底盖，则共可做盒身 17 个，盒底盖 34 个，正好陪成 7 个包装盒，较充分利用材料。 问题 1 ： 小明在拼图时 , 发现 8 个一样大小的长方形如图那样 , 恰好拼成一个大长方形 . 小红看见了 , 说 :“ 我来试一试。”结果七拼八凑，拼成如图那样的正方形。咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为 2 的 小正方形！ 2 你能求出这些长方形的长和宽吗？ 3 x =5 y 2 y = x +2 解：设每个小长方形的长为 x , 宽为 y , 则有 解方程组，得 x =10 y =6 { { 典例精析 例 1 ： 小芳和小亮各自买了同样数量的信纸和同样数量的信封，他们各自用自己买的信纸写了一些信。小芳每封信都是一张信纸，小亮每封信都用了三张信纸。结果小芳用掉了所有的信封但余下 20 张信纸，而小亮用掉了所有的信纸但余下 50 个信封，那他们每人买的信纸为多少张？信封为多少个？ 解：设他们买了 x 张信纸， y 封信封，根据题意，则： 解得 x =105 ， y =85. 答：他们买了 105 张信纸， 85 封信封 . 当堂练习 1. 泉州是个美丽的城市。 30 名工人一共种植了 1360 平方米草坪，已知一名男工人种植 50 平方米草坪，一名女工人种植 30 平方米草坪，各有男、女工人多少人？ 解： 设有男工人 x 人 ，女工人 y 人 ，根据题意，则： 解得 x =23 ， y =7. 答： 有男工人 23 人 ，女工人 7 人 . 2. 如图，用 8 块相同的小长方形地砖拼成一个大的长方形图案，已知大长方形的周长为 200cm ，那么每个小长方形地砖的面积是多少？ 解： 设小长方形的长为 x cm ，宽为 y cm ， 根据题意，则： 解得 x =30 ， y =10. 答：每个小长方形的面积为 300cm 2 . 所以每个小长方形的面积等于 30×10=300cm 2 . 课堂小结 1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助 列方程组的方法 来处理这些问题 .   2. 这种处理问题的过程可以进一步概括为：   3. 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用 . 通过本课时的学习，需要我们掌握： 小结与复习 一、二（三）元一次方程组的有关概念 1. 二元一次方程的概念： 含有 ______ 未知数的 _____ 方程，叫做二元一次方程 . 2. 二元一次方程组的概念： 由两个 ______ 方程组成的含有 ______ 未知数的方程组叫做二元一次方程组 . 3. 二元一次方程组的解： 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解 . 4. 三元一次方程组的概念： 由三个 _____ 方程组成的含有 _______ 未知数的方程组叫做三元一次方程组 . 两个 一次 一次 两个 一次 三个 要点梳理 二、二元一次方程组的解法 （ 1 ） 代入法 ：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它 “ 代入 ” 另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法 . （ 2 ） 加减法 ：把方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法 . 五、三元一次方程组的解法 消元法 ：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组 . 1. 列方程组的应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数 . 列：根据题意 寻找等量关系 列方程． 解：解方程（组）． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 ( 包括单位 ) ． [ 注意 ] 审题是基础，找等量关系是关键 . 三、用一次方程组解决实际问题 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间的关系： ① 路程＝速度 × 时间； ②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ③ 追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ④流水问题： v 顺 ＝ v 静 ＋ v 水 ， v 逆 ＝ v 静 － v 水． （ 2 ）等积变形问题中基本量之间的关系： ① 原料面积 = 成品面积； ② 原料体积 = 成品体积 . （ 4 ）销售问题中基本量之间的关系： ① 实际售价 - 进价（成本） = 利润； ② 利润 ÷进价× 100%= 利润率； ③ 进价×（ 1+ 利润率） = 售价；标价×折扣数 ÷ 10= 进价 . （ 3 ）储蓄问题中基本量之间的关系： ① 本金×利率×年数 = 利息； ② 本金 + 利息 = 本息和 . 考点讲练 考点一 方程（组）的有关概念 例 1 . 若 (a-3) x+y |a|- 2 ＝ 9 是关于 x,y 的二元一次方程， 则 a 的值为 ________ ． 【 解析 】 由题意，未知数 x 的系数为 a -3, 所以 a -3 0. 由未知数 y 的次数为 | a |-2, 所以 | a |-2=1, 即 a = 3. 但 a 3. 所以 a =-3. － 3 针对训练 1. 若 x m - y n+2 = 3 是二元一次方程，则 mn 的值为 ________ ． － 1 考点二 二（三）元一次方程组的解法 例 2 解下列方程组  ② 解：由  得， x = 3+2 y. ③ 将 ③ 代入 ② 中， 3(3+2 y )-8 y =13 解得 y =-2. 将 y =-2 代入 ③ 中，得 x =-1. 所以原方程组的解为 解：原方程组可化简为 由  × 2+ ②， 得 11 x =22, 所以 x =2. 将 x =2 代入  中 ， 得 8- y =5 ， 解得 y =3. 所以原方程组的解为  ② 解：设 解得 所以 即 解得 则原方程组可化为 方程组中有分数形式，这 类方程组可以利用设参数 的方法进行消元 .  ② ③ 解：  + ③× 4 ，得 17x+5y=85.④ ③× 3- ② , 得 7x-y=35.⑤ 解由 ④⑤ 组成的方程组，得 x=5,y=0. 把 x=5,y=0 代入③中，得 15-z=18 ，即 z=-3. 所以，原方程组的解为 针对训练 解：将 ②代入  中，得 1+y+2y=10, 解得 y=3. 将 y=3 代入 ②中，得 所以，原方程的解为 2 解下列方程组  ②  ② 解：设 得 x=2k,y=3k,z=4k. 将其代入方程②中，得 2k+3k+4k=45. 即 k=5. 所以，原方程组的解为 考点三 实际问题与一次方程（组） 例 3 . 已知现有含盐20%与含盐8%的盐水，若需配置含盐15%的盐水300千克，求这两种盐水各需多少千克？ 解：配置 300 千克含盐 15% 的盐水，需含盐 20% 的盐水 x 千克，需含盐 8% 的盐水 y 千克 . 相等关系：含盐 20% 的盐水质量 + 含盐 8% 的盐水质量 =300 . 两种盐水中的含盐量之和 =300×15%. 依题意得 解方程组得： x=175,y=125. 答：需含盐 20% 的盐水 175 千克，需含盐 8% 的盐水 125 千克 . 针对训练 3. 某学校去年有学生 1000 人，今年比去年总的人数增加 3.4% ，其中寄宿生增加了 6% ，走读生减少了 20% ，问该校去年寄宿生与走读生各是多少人？ 解：设该校去年寄宿生 x 人，走读生 y 人 . 相等关系：去年寄宿生人数 + 去年走读生人数 =1000 . 寄宿生增加的人数 - 走读生减少的人数 = 增加的人数 . 依题意得 解方程组得： x=900,y=100. 答：该校去年寄宿生 900 人，走读生 100 人 . 例 4 . 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制成盒身25个，或制盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 解：设用 x 张制盒身， y 张制盒底，可使盒身与盒底正号配套 . 相等关系：制作盒身的铁皮 + 制作盒底的铁皮 =36 . 盒底的数量 =2× 盒身的数量 . 依题意得 解方程组得 答：用 16 张制盒身， 20 张制盒底，可使盒身与盒底正号配套 . 针对训练 4. 某工地需要派 48 人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土 5 方或运土 3 方，那么应该怎样安排人员，正好能使挖的土及时运走？ 解：设用 x 人挖土， y 人运土，正好使挖的土及时运走 . 相等关系：挖土的人员 + 运土的人员 =48 . 挖土的数量 = 运土的数量 . 依题意得 解方程组得 答：设用 18 人挖土， 30 人运土，正好使挖的土及时运走 . 课堂小结 一次方程与方程组 概念与性质 应用 一元一次方程 等式的性质 二元一次方程 一元一次方程组 一元一次方程组 方程的解 性质 1 性质 2 性质 3 性质 4 解 方程 方程 ( 组 ) 的解 二元一次方程组 一元一次方程 实际问题 方程 ( 组 ) 消元 代入法 加减法