华师版九年级数学下册第27章圆教学课件

27.1 圆的认识 1.圆的基本元素 九年级数学·华师 第27章 圆 1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点） 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有 关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点） 3.掌握同圆中半径相等的性质并能运用.（难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形. 骑车运动 看了此画,你有何想法? 思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？ 情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形 对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 讲授新课 探究圆的概念一 合作探究 甲 丙乙 丁 为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队， 因为圆上各点到圆心的距离都等于半径. · r O Au圆的旋转定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以 点O为圆心的圆，记作“⊙ O”，读作“圆O”. u有关概念 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一 般用r表示． 问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小． 同心圆 等圆 半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同 u确定一个圆的要素 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ． （2）到定点的距离等于定长的点都在 ． 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所 有到定点O的距离等于定长r的点的集合． O · A C E r r r r r D 定长r 同一个圆上 u圆的集合定义 想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？ 要点归纳 o• 同圆半径相等. 典例精析 例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，OB=OD. 又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD. ∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上. u弦: · CO A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是 直径. 注意 圆的有关概念二 u弧: · C O A B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一 条弧都叫做半圆． Ø劣弧与优弧 · C O A B Ø半圆 小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ; ( 大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC. ( u等圆: · CO A 能够重合的两个圆叫做等圆. · CO1 A 容易看出： 等圆是两个半径相等的圆. u等弧: 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫 做等弧. 想一想：长度相等的弧是等弧吗？ 观察AD和BC是否相等？ 例2 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; (2)请写出以点A为端点的弦及直径. 弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径. （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 . A B C EF D O 劣弧： 优弧： AF, ( AD, ( AC, ( AE. ( AFE, ( AFC, ( ADE, ( ADC. ( AF ( 要点归纳 1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”． 2.直径是圆中最长的弦. p附图解释： · CO A B 连接OC, 在△AOC中，根据三角形三边关系有 AO+OC>AC, 而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC. 例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B 、C在直径MN上，求证：OB=OC. 连OA,OD即可， 同圆的半径相等. Ⅰ Ⅱ 10？ x 2x 2 2 210x+ =即(2x) 在Rt△ABO中， 2 2 2A B B O A O+ = 算一算：设在例3中，⊙ O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 . 4 5 x xx x 变式：如图，在扇形MON中， ，半径MO=NO=10，,正方形 ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长. = 4 5M O N °Ð 解：连结OA. ∵ABCD为正方形 ∴DC=CO 设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x 又∵OA=OM=10 ∴在Rt△ABO中, 2 2 2A B B O A O+ = 2 2 2(2 ) 10x+ =即(x) 2 5AB x\ = = 圆心角三 概念学习 O A B M 1.圆心角：顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠AOB . 3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. 2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB. ⌒ 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 圆内角 圆外角 圆周角（后面会 学到） 圆心角 练一练 1.填空： （1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍． （2）图中有 条直径， 条非直径的弦， 圆中以A为一个端点的优弧有 条， 劣弧有 条． 直径 半径 一 二 四 四 当堂练习 A B C D O F E 2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧. 3． 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画 出羊的活动区域． 5m 5m O4m 5m O4m 参考答案： 圆 定 义 旋 转 定 义 要画一个确定的圆，关 键 是 确 定 圆 心 和 半 径 集 合 定 义 同 圆 半 径 相 等 有 关 概 念 弦（直径） 直径是圆中最长 的 弦 弧 半 圆 是 特 殊 的 弧 劣 弧 半 圆 优 弧 同心圆 等圆同圆 等弧 能 够 互 相 重 合 的 两 段 弧 课堂小结 圆 心 角 顶点在圆心，并且两边都和圆 周相交的角  27.1 圆的认识 2.圆的对称性 第1课时 圆的对称性 第27章 圆 九年级数学·华师 1.理解掌握圆的对称性.（重点） 2.运用圆的对称性研究圆心角、弧、弦之间的关系. （难点） 3.掌握圆心角、弧、弦之间的关系，并能加以应用. （难点） 学习目标 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 情境引入 导入新课 讲授新课 圆的对称性一 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多 少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一 条过圆心的直线. 用折叠的方法 ●O 说一说 圆是中心对称图形 . O A B 180° 观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你 得到什么结论呢？ 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ O α· u在同圆中探究 在⊙ O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有 怎样的数量关系？ ⌒ ⌒ C · O A B D 圆心角、弧、弦之间的关系二 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙ O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么， ，弦AB=弦CD 归纳 » »A B C D ·O A B 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依 然成立？为什么？ ·O ′ C D u在等圆中探究 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD， 那么，AB=CD，弦AB=弦CD. 归纳 ⌒ ⌒ 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的 弦相等． ①∠AOB=∠COD ②AB=CD ⌒ ⌒ ③AB=CD A B O D C 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 如果弧相等 那么 弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 如果弦相等 那么 弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等 如果圆心角相等 那么 圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等在 同 圆 或 等 圆 中 题设 结论 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对 的弦相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 要点归纳 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对 的弧相等． 关系结构图 × × √ 抢答题 1.等弦所对的弧相等. （ ） 2.等弧所对的弦相等. （ ） 3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ） 4. 如图，AB 是⊙ O 的直径，  BC = CD = DE ， ∠COD=35°，∠AOE = ． ·A O B C DE75° =35BOC COD DOE      ， 7 5 .  解： ∵ 例1 如图，AB是⊙ O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． ·A O B C DE 关系定理及推论的运用三 » » »= =B C C D D E， » » »= =BC CD DE， 典例精析 证明： ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 例2 如图，在⊙ O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. · A B C O ⌒ ⌒ 温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键. ∵AB=CD，⌒ ⌒ 填一填： 如图，AB、CD是⊙ O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么___________，____________． （2）如果 ，那么____________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ · C A B D E F O AB=CD AB=CD , , 1 1, .2 2 . , R t R t . . O E A B O F C D A E A B C F C D A B C D A E C F O A O C A O E C O F O E O F                       又 ＝   , ＝     又 ＝     ≌     AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( AB=CD ( ( 解：OE=OF. 理由如下： 1．如果两个圆心角相等，那么 （ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于  . D 60 ° 当堂练习 3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ）⌒ ⌒ A A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>CD ⌒ ⌒ C. ABCD,即CD＜2AB. ⌒ ⌒ »C D »A B »C E »A B»C D»D E A B C D EO 圆心角 弦、弧、圆心角的关系 定 理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 应 用 提 醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 课堂小结 27.2 圆的对称性 2.圆的对称性 第2课时 垂径定理 第27章 圆 九年级数学·华师 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的 计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 学习目标 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径 吗？ 导入新课 情境引入 问题：如图,AB是⊙ O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有 那些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合， 点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重 合． ⌒ ⌒⌒ ⌒ ·O A B D E C 讲授新课 垂径定理及其推论一 u垂径定理 ·O A B C D E 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所 对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD. u推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才 能运用自如. 归纳总结 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有 垂直 是 不是，因为CD没有 过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E Ø垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 D O A BE C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 如图，AB是⊙ O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） ·O A B C D E ⌒AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.⌒ ⌒ ⌒⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. 证明举例 ⌒ ⌒ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对 的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. u垂径定理的推论 ·OA B C D Ø特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙ O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm. ·O A BE解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 一 垂径定理及其推论的计算二 ∴ 2 2 2 210 6 8 AE OA OE     cm. 典例精析 例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm， 求半径OC的长. ·O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 1 1 8 4 (cm)2 2AD AB    设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理 ，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 例3：已知：⊙ O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于 弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 归纳总结 试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半 径的问题吗? 垂径定理的实际应用三 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB 交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点， CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m. 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m. =18.52+(R-7.23)2 ∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23. 2 2 2OA AD OD Q ， 练一练：如图a、b,一弓形弦长为   cm，弓形所在的圆的半径为7cm， 则弓形的高为＿＿＿____＿. 64 C D C B O A DO A B 图a 图b 2cm或12cm 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距 离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心 距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下 关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 2 2 2 2 ar d       d+h=r O A BC · 归纳总结 1.已知⊙ O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的 半径为 . 5cm 2.⊙ O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 10 3 cm 3.（分类讨论题）已知⊙ O的半径为10cm，弦MN∥EF,且 MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 . 14cm或2cm 当堂练习 4.如图，在⊙ O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于 D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D ·O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD. . A C D B O E 注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是 一种常用辅助线的添法． 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心), 其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段 弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 1 1 6 0 0 3 0 0 ( m ).2 2C F C D     2 2 2 ,O C C F O F    22 23 0 0 9 0 .R R   设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. 拓展提升： 如图，⊙ O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的 取值范围 . 3cm≤OP≤5cm BA O P 垂径定理 内 容 推 论 辅 助 线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直 径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中 两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 弦 , 并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧 两 条 辅 助 线 ： 连 半 径 ， 作 弦 心 距 构造Rt△利用勾股定理计算或 建立方程. 基本图形及变式 图 形 课堂小结 27.1 圆的认识 3. 圆周角 九年级数学·华师 第27章 圆 学习目标 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问 题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点） 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC. 导入新课 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点. 复习引入 C A E D B 思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处 的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员 应选择从哪一点的位置射门更有利？ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 讲授新课 圆周角的定义一 · C O AB · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2）（1） （3） （5） （6） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交√ √√ 想一想 如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么， ∠ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？ ·OA C B 解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形. ∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. 又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°. ∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°. 圆周角和直径的关系 u圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°. 知识要点 典例精析 例1 如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小. O CA B 解：∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等 于90°.） ∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB =180°-90°-80°=10°. 如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的 数量关系. 1 2BAC BOC   圆周角定理及其推论二 测量与猜测 圆心O 在∠BAC的 内 部 圆心O在∠BAC的一边 上 圆心O在∠BAC 的外部 推导与论证 n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 1 2BAC BOC   O A B D O A C D O A B C D n圆心O在∠BAC的内部 O A C D O A B D BAD BOD1 2    DAC DOC1 2    BAC BAD DAC BOD DOC BOC1 1( )2 2              DAC DOC1 2 O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D n圆心O在∠BAC的外部 圆周角定理的推论三 问题1 如图，OB，OC都是⊙ O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由. D 互动探究 Q BAC BOC1 ,2    1 ,2B D C B O C   ∴∠BAC=∠BDC 相等 D A B O C E F 问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？ » ¼ ，C D E F » ¼Q ，CD EF 相等 .C O D E O F    Q ， ，A COD B EOF1 1 2 2       .A B    想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？» ¼C D E F (2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？ u圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所 对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧也相等. 圆周角定理 A1 A2 A3 要点归纳 推论1：90°的圆周角所对的 弦是直 径. 试一试： 1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧 ，∠BAC=35º. (1)∠BOC= º，理由 是 ; (2)∠BDC= º，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 (1)完成下列填空： ∠1= . ∠2= . ∠3= . ∠5= . 2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的 对角线. ∠4 ∠8 ∠6 ∠7 A B C D O1 ((( ( ( ( ( ( 23 4 5 6 7 8 例2 如图，分别求出图中∠x的大小. 60° x 30° 20° x 解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°. A D B E C (2)连接BF， F ∵同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°. ∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°. 例3：如图，⊙ O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙ O于B, 求AB、 BC的长． B 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， 2 2 2 21 0 6 8;D C A C A D     在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2)∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. ∵BD平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB. 又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC . ∴ ∠BAC=∠ACB, ∴AB=BC. 2 2 10 5 2 (cm ).2 2A B B C A C      B 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角 三角形来求解. 归纳 如图，BD是⊙ O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(  ) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：∵BD是⊙ O的直径， ∴∠BCD＝90°. ∵∠CBD＝30°， ∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C. 方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构 造直角三角形解题． 练一练 C 例4 如图,AB是⊙ O的直径,弦CD交AB于点P, ∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数. . OA D C P B 解:连接BC,则∠ACB=90°, ∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝ 90°－60°=30°. 又∵∠BAD=∠DCB=30°, ∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边 形的外接圆.这个多边形叫做圆的内接多边形. 圆内接四边形三 如图，四边形ABCD为⊙ O的内接四边形，⊙ O为四边形 ABCD的外接圆. u探究性质 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？ ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， 证明猜想 归纳总结 推论：圆的内接四边形的对角互补. C O D B A ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， E 延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 想一想 图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ 归纳总结 推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它 的内对角. C O D B A E 1．四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则 ∠C= ，∠D= . 2．⊙ O的内接四边形ABCD中，∠A∶ ∠B∶ ∠C=1∶ 2∶ 3 ，则 ∠D= . 70º 100º 90º 练一练 例5：如图，AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E，交⊙ O于D，AF交⊙ O于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙ O，∴∠FGD＝ ∠ACD. 又∵AB为⊙ O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直 平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据． 如图，在⊙ O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么 ∠BCD是(  ) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°， 故选A. 练一练 A 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x， 例6 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数. ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°， ∠D=180°-67.5°=112.5°. 1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 当堂训练 2.已知△ABC的三个顶点在⊙ O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= ． BA C O 166° 3.如图，已知BD是⊙ O的直径，⊙ O的弦AC⊥BD于点E，若 ∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° A 【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆 周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理. AB C D O 4.如图，四边形ABCD内接于⊙ O,如果 ∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（ ） A 115° B 130° C 65° D 50° 5.如图，等边三角形ABC内接于⊙ O，P是AB上的 一点，则∠APB= . A B C P C 120° 6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= ，∠ADB= . D A O C B 130° 50° 7.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙ O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙ O的半径是 . C A B O 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2. 2 A O B C ∴∠ACB=2∠BAC 证明： 8. 如图，OA，OB，OC都是⊙ O的半径，∠AOB= 2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. Q A C B A O B1 ,2    1 ,2BAC BOC   ∠AOB=2∠BOC， 9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一 点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区 域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时，即船位于 暗礁区域外（即⊙ O外） ，与两个灯 塔的夹角∠α小于“危险角”. 拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证： .» »B D D E A B CD E ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD. ∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD， （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）. 解:BD=CD.理由是:连接AD, » »B D D E  圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推 论 课堂小结 在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆周角相等，都等 于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等. 1.90°的圆周角所对的弦 是直径； 2.圆内接四边形的对角互 补. 1.顶点在圆上，2. 两边都与圆相交的 角（二者必须同时 具备） 圆周角与直 线的关系 半圆或直径所对的 圆周角都相等，都 等于90°（直角）. 27.2 与圆有关的位置关系 1.点和圆的位置关系 九年级数学·华师 第27章 圆 1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点） 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 学习目标 导入新课 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上 不同位置的成绩是如何计算的吗？ 情境引入 想一想 问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ .o. C . ... B . .A. 点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. 点和圆的位置关系一 问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位 置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 点P在⊙ O内 点P在⊙ O上 点P在⊙ O外 d d d r P d Pr d P r d ＜ r r = ＞ r 反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、 12cm，则点A、B、C与⊙ O的位置关系是：点A在 ；点B 在 ；点C在 . 练一练： 圆内 圆上 圆外 2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点 P在（ ） A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外 3 o D 要点归纳 r P d Pr d P r d R r P 点P在⊙ O内 dr 点P在圆环内 r≤d≤R 数形结合： 位置关系 数量关系 例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙ A，则点B、C、D与⊙ A的位置关系如何 ？ 解：AD=4=r，故D点在⊙ A上 AB=3r，故C点在⊙ A外 （2）若以A点为圆心作⊙ A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至 少有一点在圆外，求⊙ A的半径r的取值范围？（直接写出答案） 3 r rd ∟ rd ∟ r d 数形结合： 位置关系 数量关系 （用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分） o o o 公共点个 数 要点归纳 1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ： （3）若d=8cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. （2）若d=6cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. （1）若d=4cm ,则直线与圆   , 直线与圆有____个公共点. (3)若AB和⊙ O相交,则 . 2.已知⊙ O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件 填写d的范围: (1)若AB和⊙ O相离, 则 ; (2)若AB和⊙ O相切, 则 ; 相交 相切 相离 d > 5cm d = 5cm 0cm≤d < 5cm 2 1 0 练一练： B C A 4 3 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为 半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ (1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm． 分析：要了解AB与⊙ C的位置关系，只要知道圆心C到AB 的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d. D 典例精析 解：过C作CD⊥AB，垂足为D. 在△ABC中， AB= 2 2A C B C  2 23 4  5. 根据三角形的面积公式有 1 1 .2 2C D A B A C B C   ∴ 3 4 2 .4 ( c m ) ,5 A C B CC D A B     即圆心C到AB的距离d=2.4cm. 所以 (1)当r=2cm时, 有d >r, 因此⊙ C和AB相离. B C A 4 3 Dd 记住：斜边上的高等于 两直角边的乘积除以斜 边. （2）当r=2.4cm时,有d=r. 因此⊙ C和AB相切. B C A 4 3 D d （3）当r=3cm时，有d r 相 切 : d = r 相 交 : d < r 0 个 ： 相 离 ； 1 个 ： 相 切 ； 2 个 ： 相 交 d > r ： 相 离 d = r : 相 切 d < r ： 相 交 见《学练优》本课时练习 课后作业 27.2 与圆有关的位置关系 第1课时 切线的性质与判定 3. 切线 九年级数学·华师 第27章 圆 学习目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点） 导入新课 情境引入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方 向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学 完这节课，你就都会明白. Ｏ A B C 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径 有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ 切线的判定定理一 O 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. Ｏ A B C 切线的判定定理 应用格式 O 要点归纳 判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. l A O. l A B A O l (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂 直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条 件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说 这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半 径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线. l A l O l rd 要点归纳 例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的 直径，点A,且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 例2 已知：直线AB经过⊙ O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直 线AB是⊙ O的切线. 分析：由于AB过⊙ O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.  ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙ O的半径, ∴ AB是⊙ O的切线. 例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙ O 与AB 相切 于E.求证：AC 是⊙ O 的切线． B O C E A分析：根据切线的判定定理，要证明AC 是⊙ O的切线，只要证明由点O向AC所作 的垂线段OF是⊙ O的半径就可以了，而 OE是⊙ O的半径，因此只需要证明 OF=OE. F 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙ O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ，   O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙ O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙ O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. 如图，已知直线AB经过⊙ O上的点C，并且 OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙ O的切线. C BA O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙ O的直径 为6. 求证：直线AB是⊙ O的切线. C BA O 对比思考 作垂直连接 方法归纳 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 要点归纳 思考：如图，如果直线l是⊙ O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O ∵直线l是⊙ O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 切线的性质定理二 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直. （1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂 足为M, （2）则OM