华师版九年级数学下册第26章二次函数教学课件

26.1 二次函数 第 26 章 二次函数 九年级数学 · 华师 学习目标 1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式 . （重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题 . 3. 会列二次函数表达式解决实际问题 . （难点） 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线 . 这些曲线能否用函数关系式表示？ 导入新课 情境引入 1. 什么叫函数 ? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 . 3 . 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如 y = kx + b （ k,b 是常数， k ≠0 ）的函数叫做一次函数 . 当 b =0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数 . 2 . 什么是一次函数？正比例函数？ ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0 ) 问题 1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于 x 的关系式为 . y =6 x 2 此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值， y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数 . 讲授新课 二次函数的定义 一 探究归纳 问题 2 用总长为 20m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃 . 怎样围才能使花圃的面积最大？ 如图，设围成的矩形花圃为 ABCD ，靠墙的 一边为 AD ，垂直于墙面的两边分别为 AB 和 CD . 设 AB 长为 x m (0 ＜ x ＜ 10), 先取 x 的一些值，进而 可以求出 BC 边的长，从而可得矩形的面积 y . 将计算结果写在下表的空格中： A D B C AB 长 ( x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC 长 12 面积 ( y ) 48 单位： m 18 16 14 10 8 6 4 2 18 32 42 50 48 42 32 18 我们发现 , 当 AB 的长 ( x ) 确定后 , 矩形的面积 ( y ) 也就随之确定 , 即 y 是 x 的函数 , 试写出这个函数的关系式 . （ 0 ＜ x ＜ 10 ） 即 （ 0 ＜ x ＜ 10 ） 问题 3 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售 , 一天可售出 100 件 . 该店想通过降低售价 , 增加销售量的办法来提高利润 . 经过市场调查 , 发现这种商品单价每降低 0.1 元 , 其销售量可增加约 10 元 . 将这种商品的售价降低多少时 , 能使销售利润最大 ? 分析：销售利润 = （售价 - 进价）×销售量 . 根据题意，求出这个函数关系式 . 想一想，为什么要限定 ？ 问题 1-3 中函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示 的 y =6 x 2 想一想 （ 0 ＜ x ＜ 10 ） 二次函数的定义： 形如 y = ax ²+ bx + c ( a , b , c 是常数, a ≠ 0 )的函数叫做 二次函数 . 温馨提示： （1） 等号左边是变量 y ，右边是关于自变量 x 的整式； （2） a , b , c 为常数，且 a ≠ 0; （3） 等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 例 1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（ x 是自变量） ① y = ax 2 + bx + c ② s =3-2 t ² ③ y = x 2 ④ ⑤ y = x ²+ x ³+25 ⑥ y =( x +3)²- x ² 不一定是，缺少 a ≠0 的条件. 不是，右边是分式. 不是， x 的最高次数是 3. y =6 x +9 典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 外， 还有其特殊形式如 y = ax 2 , y = ax 2 + bx , y = ax 2 + c 等. 方法归纳 想一想 : 二次函数的一般式 y = ax ２ ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0） 与一元二次方程 ax ２ ＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠ 0） 有什么联系和区别？ 联系 ： (1) 等式一边都是 ax 2 ＋ bx ＋ c 且 a ≠ 0； (2) 方程 ax 2 ＋ bx ＋ c =0 可以看成是函数 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 中 y =0 时得到的. 区别 : 前者是函数 . 后者是方程 . 等式另一边前者是 y , 后者是 0. 二次函数定义的应用 二 例 2 （1） m 取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题 可知, 解得 （2）由题 可知, 解得 m =3 . 第 （2） 问易忽略二次项系数 a ≠0 这一限制条件，从而得出 m =3 或 -3 的错误答案，需要引起同学们的重视 . 注意 1. 已知 : ， m 取什么值时， y 是 x 的二次函数？ 解：当 =2 且 k+2≠0 ，即 k=-2 时 , y 是 x 的二次函数 . 变式训练 解： 由题意得： ∴m≠±3 解： 由题意得： 【解题小结】 本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 例 3 ： 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 ( 最低档次 ) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件． (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 ( 其中 x 为正整数，且 1≤ x ≤10) ，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解： ∵ 第一档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每提高一个档次，每件利润加 2 元，但一天产量减少 5 件， ∴ 第 x 档次，提高了 ( x － 1) 档，利润增加了 2( x － 1) 元． ∴ y ＝ [6 ＋ 2( x － 1)][95 － 5( x － 1)] ， 即 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400( 其中 x 是正整数，且 1≤ x ≤10) ； (2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次． 解：由题意可得 － 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ＝ 1120 ， 整理得 x 2 － 18 x ＋ 72 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 6 ， x 2 ＝ 12( 舍去 ) ． 所以，该产品的质量档次为第 6 档． 【方法总结】 解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型． 思考： 1. 已知二次函数 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 , 自变量 x 的取值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？ 【总结】 二次函数自变量的取值范围一般是 全体实数 ，但是在实际问题中，自变量的取值范围应 使实际问题有意义 . 二次函数的值 三 例 4 一个二次函数 . （ 1 ）求 k 的值 . （ 2 ）当 x = 0.5 时， y 的值是多少？ 解： （ 1 ）由题意，得 解得 （ 2 ）当 k = 2 时， . 将 x = 0.5 代入函数关系式中， . 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量指数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将 x 的值代入其中，求出 y 的值 . 归纳总结 当堂练习 2. 函数 y =( m - n ) x 2 + mx + n 是二次函数的条件是 ( ) A . m , n 是常数 , 且 m ≠0 B . m , n 是常数 , 且 n ≠0 C . m , n 是常数 , 且 m ≠ n D . m , n 为任何实数 C 1 . 把 y=(2-3 x )(6+ x ) 变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 3 ． 下列函数是二次函数的是 ( ) A ． y ＝ 2 x ＋ 1 B ． C ． y ＝ 3 x 2 ＋ 1 D ． C -3 x 2 -16 12 4. 已知函数 y=3x 2m-1 － 5 ① 当 m= ＿＿时， y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m= ＿＿时， y 是关于 x 的反比例函数； ③ 当 m= ＿＿时， y 是关于 x 的二次函数 . 1 0 5. 若函数 是二次函数，求： （ 1 ）求 a 的值 . (2) 求函数关系式 . （ 3 ）当 x = - 2 时， y 的值是多少？ 解： （ 1 ）由题意，得 解得 （ 2 ）当 a =- 1 时，函数关系式为 . （ 3 ）将 x = - 2 代入函数关系式中，有 6. （ 1 ） n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ （ 2 ）假 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x, 一年到期后 , 银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存 . 如果存款是 10 （万元） , 那么请你写出两年后的本息和 y( 万元 ) 的表达式 ( 不考虑利息税 ). y=10(x+1)²=10x²+20x+10. 7. 矩形的周长为 16cm , 它的一边长为 x （ cm), 面 积为 y （ cm 2 ). 求 （ 1 ） y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； （ 2 ） 当 x =3 时矩形的面积 . 解 ：(1) y ＝(8－ x ) x ＝－ x 2 ＋8 x (0＜ x ＜8)； (2) 当 x ＝3 时 ， y ＝－3 2 ＋8×3＝15 cm 2 . 课堂小结 二次函数 定 义 y = ax 2 + bx +c( a ≠0 ， a , b , c 是常数 ） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠0. 特殊形式 y = ax 2 ； y = ax 2 + bx ； y = ax 2 + c ( a ≠0 ， a , b , c 是常数） . 第 26 章 二次函数 1. 二次函数 y = ax 2 的图象与性质 26.2 二次函数的图象与性质 九年级数学 · 华师 学习目标 1. 正确理解抛物线的有关概念 . （重点） 2. 会用描点法画出二次函数 y=ax ² 的图象，概括出图象的特点 . （难点） 3. 掌握形如 y=ax ² 的二次函数图象的性质，并会应用 . （难点） 导入新课 情境引入 讲授新课 二次函数 y = ax 2 的图象 一 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x 2 …               …   例 1 画出二次函数 y = x 2 的图象 . 9 4 1 0 1 9 4 典例精析 1. 列表： 在 y = x 2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2. 描点： 根据表中 x , y 的数值在坐标平面中描点 （ x,y ） 3. 连线： 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x 2 的图象． -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数 y = x 2 的图象如下： x y 二次函数 y = x 2 的图象形如物体抛射时所经过的路线 , 我们把它叫做 抛物线 . 这条抛物线关于 y 轴对称 , y 轴就是它的对称轴 . 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的 顶点 . 练一练： 画出函数 y =- x 2 的图象 . y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =- x 2 … -9   -4   -1   0   -1   -4   -9   …   根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数 y=x 2 的图象有哪些性质，并与同伴交流 . x o y = x 2 议一议 1 .y ＝ x 2 是一条抛物线 ; 2. 图象开口向上 ; 3. 图象关于 y 轴对称 ; 4. 顶 点（ 0 ， 0 ） ; 5. 图象 有最低点． y 说说二次函数 y =- x 2 的图象有哪些性质 , 与同伴交流 . o x y y =- x 2 1 .y ＝ - x 2 是一条抛物线 ; 2. 图象开口向下 ; 3. 图象关于 y 轴对称 ; 4. 顶 点（ 0 ， 0 ） ; 5. 图象 有最高点． 1. 顶点都在 原点 ; 3. 当 a >0 时，开口向 上 ； 当 a 2 0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标 （ 0 ， -3 ） . 能力提升 6. 对于二次函数 y =( m +1) x m 2 - m +3, 当 x >0 时 y 随 x 的增大而增大，则 m =____. 7. 已知二次函数 y =( a -2) x 2 + a 2 -2 的最高点为（ 0 ， 2 ）则 a =____. 8. 抛物线 y = ax 2 + c 与 x 轴交于 A （ -2,0 ） ﹑ B 两点，与 y 轴交于点 C (0 ， -4), 则三角形 ABC 的面积是 _______. 9. 二次函数 y=ax 2 +c 与一次函数 y = ax + c 的图象在同一坐标系中的是 ( ) x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 A B C D 2 -2 8 B 课堂小结 二次函数 y = ax 2 + k （ a ≠0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax 2 的关系 开口方向由 a 的符号决定； k 决定顶点位置； 对称轴是 y 轴 . 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 . 平移规律： k 正向上； k 负向下 . 2. 二次函数 y = ax 2 + bx+c 的图象与性质 第 2 课时 二次函数 y = a ( x - h ) 2 的图象与性质 26.2 二次函数的图象与性质 第 26 章 二次函数 九年级数学 · 华师 情境引入 学习目标 1. 会画二次函数 y = a ( x - h ) 2 的图象 . （重点） 2. 掌握二次函数 y = a ( x - h ) 2 的性质 .( 难点） 3. 比较函数 y = ax 2 与 y = a ( x - h ) 2 的联系 . 导入新课 复习引入 a ,c 的符号 a>0, c> 0 a>0,c< 0 a 0 a 0 时，向上平移 c 个单位长度得到 . 当 c < 0 时，向下平移 - c 个单位长度得到 . 问题 3 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？ 答：应该可以 . 讲授新课 二次函数 y = a （ x - h ） 2 的图象和性质 一 互动探究 引例： 在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y 轴 x =2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 想一想： 通过上述例子，函数 y = a ( x-h ) 2 的性质是什么？ 试一试： 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· － 2 － 4.5 － 2 0 0 － 2 － 2 － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 － 4.5 0 x y － 8 x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x =- 1 ( - 1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1 , 0) 二次函数 y = a ( x-h ) 2 （ a ≠ 0 ）的性质 y = a ( x-h ) 2 a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=h 直线 x=h 顶点坐标 （ h , 0 ） （ h , 0 ） 最值 当 x = h 时， y 最小值 = 0 当 x = h 时， y 最大值 = 0 增减性 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 知识要点 若抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的图象上的三个点， A ( － 3 ， y 1 ) ， B ( － 1 ， y 2 ) ， C (0 ， y 3 ) ，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 ________________ ． 解析： ∵ 抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的对称轴为 x ＝－ ， a ＝ 3 ＞ 0 ， ∴ x ＜－ 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞－ 时， y 随 x 的增大而增大． ∵ 点 A 的坐标为 ( － 3 ， y 1 ) ， ∴ 点 A 在抛物线上的对称点 A ′ 的坐标为 ( ， y 1 ) ． ∵ － 1 ＜ 0 ＜ ， ∴ y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 故答案为 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 练一练 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 向右平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a ( x - h ) 2 的关系 二 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 向左平移 1 个单位 知识要点 二次函数 y = a （ x - h ) 2 的图象 与 y = ax 2 的图象的关系 可以看作互相平移得到 . 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变 . y = a ( x - h ) 2 当向 左 平移 ︱ h ︱ 时 y = a ( x + h ) 2 当向 右 平移 ︱ h ︱ 时 y = ax 2 例 1. 抛物线y＝ ax 2 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数 y ＝ ax 2 的图象向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为 y ＝ a ( x － 3) 2 ， 把 x ＝－ 1 ， y ＝ 4 代入，得 4 ＝ a ( － 1 － 3) 2 ， ， ∴ 平移后二次函数关系式为 y ＝ ( x － 3) 2 . 方法总结： 根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后， a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 将二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象平移后，可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象，平移的方法是 (    ) A ．向上平移 1 个单位   B ．向下平移 1 个单位 C ．向左平移 1 个单位   D ．向右平移 1 个单位 解析：抛物线 y ＝－ 2 x 2 的顶点坐标是 (0 ， 0) ，抛物线 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的顶点坐标是 ( － 1 ， 0) ．则由二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象向左平移 1 个单位即可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象．故选 C. 练一练 C 1. 把抛物线 y =- x 2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 2. 二次函数 y =2( x - ) 2 图象的对称轴是直线 __ __ ，顶点是 ________. 3 . 若 （ - ， y 1 ）（ - ， y 2 ）（ ， y 3 ）为二次函数 y =( x -2) 2 图象上的三点，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 _______________. 当堂练习 y =-( x +3) 2 或 y =-( x -3) 2 y 1 ＞ y 2 ＞ y 3 4. 指出下列函数图象的开口方向 , 对称轴和顶点坐标 . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 ( 3 , 0 ) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2 , 0 ) ( 1 , 0) 5. 在同一坐标系中，画出函数 y ＝ 2 x 2 与 y ＝ 2( x -2) 2 的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 解：图象如图 . 函数 y =2( x -2) 2 的图象由函数 y =2 x 2 的图象向右平移 2 个单位得到 . y O x y = 2 x 2 2 复习 y = ax 2 + k 探索 y = a ( x-h ) 2 的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线 x = h （ h ,0 ） a >0, 开口向上 a 0 , 开口向上；当 a 0 a h 时， y 随着 x 的增大而减小 . x = h 时 , y 最小 = k x = h 时 , y 最大 = k 抛物线 y = a ( x - h ) 2 + k 可以看作是由抛物线 y = ax 2 经过平移得到的 . 顶点坐标 对称轴 最值 y =-2 x 2 y =-2 x 2 -5 y =-2( x +2) 2 y =-2( x +2) 2 -4 y =( x -4) 2 +3 y =- x 2 + 2 x y =3 x 2 + x -6 (0,0) y 轴 0 (0,-5) y 轴 -5 (-2,0) 直线 x =-2 0 (-2,-4) 直线 x =-2 -4 (4,3) 直线 x =4 3 ? ? ? ? ? ? 讲授新课 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 一 探究归纳 我们 已经 知道 y = a ( x - h ) 2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题 1 怎样将 化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式？ 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“ 提”：提出二次项系数； ( 2 ) “ 配”：括号内配成完全平方； ( 3 )“化”：化成顶点式. 提示 : 配方后的表达式通常称为 配方式 或 顶点式 . 问题 2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x =6 , 顶点坐标是 （ 6 ， 3 ） . 问题 3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法 1 ： 先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的； 平移方法 2 ： 先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的 . 问题 4 如何用描点法画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 解 : 先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象如右图 . O 问题 5 结合 二次函数 的图象，说出其性质 . 5 10 x y 5 10 x =6 当 x 6 时， y 随 x 的增大而增大 . O 例 1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质 . x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· - 6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解 : 函数 通过配方可得 ， 先列表： 典例精析 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下图 . 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x ＜ 1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大； 当 x ＞ 1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 当 x =1 时，函数取得最大值，最大值 y =-2. 求二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图象的对称轴和顶点坐标 . 因此，二次函数 y =2 x 2 -8 x +7 图象的对称轴是直线 x= 2 ， 顶点坐标为 (2,-1). 解： 练一练 将一般式 y = ax 2 + bx + c 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k 二 我们如何用配方法将一般式 y = ax 2 + bx + c （ a ≠0) 化成顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k ？ y = ax ² + bx + c 归纳总结 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 1. 一般地， 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 可以通过配方化成 y = a ( x - h ) 2 + k 的形式，即 因此，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 归纳总结 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质 (1) (2) x y O x y O 如果 a >0, 当 x < 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > 时， y 随 x 的增大而增大 . 如果 a 时， y 随 x 的增大而减小 . 例 2 已知二次函数 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c ，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A ． b ≥ － 1 B ． b ≤ － 1 C ． b ≥1 D ． b ≤1 解析： ∵ 二次项系数为 －1 ＜ 0 ，∴ 抛物线开口向下，在对称轴右侧， y 的值随 x 值的增大而减小，由题设可知，当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小， ∴ 抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴应在直线 x =1 的左侧而抛物线 y = － x 2 ＋2 bx ＋ c 的对称轴 ，即 b ≤1 ，故选择 D . D 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y =- x 2 + 2 x y =-2 x 2 - 1 y = 9 x 2 + 6 x -5 ( 1 , 3 ) x =1 最大值 1 (0,- 1 ) y 轴 最大值 -1 最小值 -6 ( , -6 ) 直线 x = 二次函数字母系数与图象的关系 三 合作探究 问题 1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y = k 1 x + b 1 x y O y = k 2 x + b 2 y = k 3 x + b 3 k 1 ___ 0 b 1 ___ 0 k 2 ___ 0 b 2 ___ 0 ＞ ＞ ＜ ＜ k 3 ___ 0 b 3 ___ 0 ＜ ＞ x y O 问题 2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a 1 ___ 0 b 1 ___ 0 c 1 ___ 0 a 2 ___ 0 b 2 ___ 0 c 2 ___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上， a ＞ 0 对称轴在 y 轴左侧， x ＜ 0 对称轴在 y 轴右侧， x ＞ 0 x =0 时 ， y = c . x y O a 3 ___ 0 b 3 ___ 0 c 3 ___ 0 a 4 ___ 0 b 4 ___ 0 c 4 ___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下， a ＜ 0 对称轴是 y 轴， x= 0 对称轴在 y 轴右侧， x ＞ 0 x =0 时 ， y = c . 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 a 、 b 、 c 的关系 字母符号 图象的特征 a ＞ 0 开口 _____________________ a ＜ 0 开口 _____________________ b= 0 对称轴为 _____ 轴 a 、 b 同号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 a 、 b 异号 对称轴在 y 轴的 ____ 侧 c= 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于 _____ 半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 知识要点 例 3 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象如图所示，下列结论： ① abc ＞ 0 ； ②2 a － b ＜ 0 ； ③4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ； ④ ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 . 其中正确的个数是 (    ) A ． 1     B ． 2      C ． 3     D ． 4 D 由图象上横坐标为 x ＝－ 2 的点在第三象限可得 4 a － 2 b ＋ c ＜ 0 ，故 ③ 正确； 由图象上 x ＝ 1 的点在第四象限得 a ＋ b ＋ c ＜ 0 ，由图象上 x ＝－ 1 的点在第二象限得出 a － b ＋ c ＞ 0 ，则 ( a ＋ b ＋ c )( a － b ＋ c ) ＜ 0 ，即 ( a ＋ c ) 2 － b 2 ＜ 0 ，可得 ( a ＋ c ) 2 ＜ b 2 ，故 ④ 正确． 【解析】 由图象开口向下可得 a ＜ 0 ，由对称轴在 y 轴左侧可得 b ＜ 0 ，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c ＞ 0 ，则 abc ＞ 0 ，故 ① 正确； 由对称轴 x > － 1 可得 2 a － b ＜ 0 ，故 ② 正确； 练一练 二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ） 解析：由二次函数的图象得知： a ＜ 0 ， b ＞ 0 . 故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限 . 即正确答案是 C . C 1. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 x 、 y 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A .y 轴 B. 直线 x = C. 直线 x =2 D. 直线 x = 则该二次函数图象的对称轴为 ( ) D 当堂练习 O y x –1 –2 3 2. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的图象如图所示，则下列结论： （ 1 ） a 、 b 同号； （ 2 ） 当 x =–1 和 x =3 时，函数值相等； （ 3 ） 4 a + b =0 ； （ 4 ） 当 y =–2 时， x 的值只能取 0 ； 其中正确的是 . 直线 x =1 （ 2 ） 3. 如图是二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a≠ 0) 图象的一部分， x =-1 是对称轴，有下列判断： ① b -2 a =0；②4 a -2 b + c y 2 .其中正确的是（ ） A ．①②③    B ．①③④ C ．①②④   D ．②③④ x y O 2 x =-1 B 4. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线 x =3 直线 x =8 直线 x =1.25 直线 x = 0.5 课堂小结 顶点： 对称轴： y = ax 2 + bx + c （ a ≠0) ( 一般式 ) 配方法 公式 法 ( 顶点式 ) 26.2 二次函数的图象与性质 第 5 课时 图形面积的最大值 2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与性质 第 26 章 二次函数 九年级数学 · 华师 学习目标 1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系 . （难点） 2. 能应用二次函数的性质求出图形面积的最大值 . （重点） 导入新课 复习引入 y = ax 2 + bx + c a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 当 x 位于对称轴左侧 时， y 随 x 的增大而减小； x 位于对称轴右侧 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x 位于对称轴右侧 时， y 随 x 的增大而减小； x 位于对称轴左侧 时， y 随 x 的增大而增大 . 直线 直线 做一做 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值 . （ 1 ） y = x 2 -4 x -5; ( 配方法 ) (2) y =- x 2 -3 x +4. ( 公式法 ) 解：（ 1 ）开口方向：向上；对称轴： x =2 ； 顶点坐标：（ 2 ， -9 ）；最小值： -9 ； （2）开口方向：向下；对称轴： x = ； 顶点坐标：（ ， ）；最大值： . 求二次函数的最大（或最小）值 一 讲授新课 合作探究 问题 1 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由 a 及自变量的取值范围决定 . 问题 2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 的最值是多少？ 当 a ＞ 0 时，有 ，此时 . 当 a ＜ 0 时，有 ，此时 . 问题 3 当自变量 x 有限制时，二次函数 的最值如何确定？ 例 1 求下列函数的最大值与最小值 x 0 y 解： - 3 1 （ 1 ） 当 时， 当 时， 典例精析 解： 0 x y 1 -3 （ 2 ） 即 x 在对称轴的右侧 . 当 时， 函数的值随着 x 的增大而减小 . 当 时， 方法归纳 当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1. 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴 . 2. 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明 x 的取值范围 . 3. 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系 . 根据二次函数的性质，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值 . 然后根据 x 的值，求出函数的最值 . 例 2 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框 . 窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为 x m ，则高为 m. 这里应有 x ＞ 0 ， 故 0 ＜ x ＜ 2. 矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是： 几何图形的最大面积 二 即 配方得 所以，当 x =1 时，函数取得最大值，最大值 y =1.5. x =1 满足 0 ＜ x ＜ 2 ，这时 因此，所做矩形窗框的宽为 1 m 、高为 1.5 m 时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m 2 . 例 1 用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化 . 当 l 是多少时，场地的面积 S 最大？ 问题 1 矩形面积公式是什么？ 典例精析 问题 2 如何用 l 表示另一边？ 问题 3 面积 S 的函数关系式是什么？ 例 1 用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化 . 当 l 是多少时，场地的面积 S 最大？ 解 : 根据题意得 S = l (30- l ), 即 S =- l 2 +30 l (0 2 -1 x >-1 讲授新课 利用两个函数图象求方程或方程组的解 一 合作探究 x y k 2 k 1 已知二次函数 的图象如图所示： 通过观察以下图象，一元二次方程 的解是 _______________. x 1 = k 1 ， x 2 = k 2 二次函数的图象与 x 轴的交点 . y =0 ( x 2 , h ) x y k 2 k 1 问题 1 二次函数 的图象与 x 轴（直线 y =0 ）的交点的横坐标是一元二次方程 的根，那么，二次函数 与直线 y = h 的交点的横坐标是否也是某一个一元二次方程的根呢？ 这个点的坐标有几种表示方式？ 方程 的实数根 . x y x 1 x 2 问题 2 如图，二次函数 的图象与一次函数 的图象交于两点，观察以下图象，你能得到哪些信息？ x 1 , x 2 可以看做是方程 的解 . ( x 1 ， y 1 ), ( x 2 ， y 2 ) 也可以看做是方程组 的解 . 2 x y -2 0 4 -2 -4 -4 -6 -8 典例精析 例 1 利用二次函数的图象求一元二次方程 x 2 +2 x - 1=3 的近似根 . 解： (1) 原方程可变形为 x 2 +2 x - 4=0 ； (3) 观察估计抛物线 y = x 2 +2 x - 4 和 x 轴的交点的横坐标； (2) 用描点法作二次函数 y = x 2 +2 x - 4 的图象； 由图象可知 , 它们有两个交点 , 其横坐标一个在 -4 与 -3 之间 , 另一个在 1 与 2 之间 , 分别约为 -3.2 和 1.2. （ 4 ）由此可知 , 一元二次方程 x 2 +2 x - 1=3 的近似根为： x 1 ≈3.2, x 2 ≈1.2. 想一想： 还有没有别的办法求这个方程的近似根？ (1) 用描点法作二次函数 y = x 2 +2 x - 1 的图象； (3) 观察估计抛物线 y = x 2 +2 x - 1 和直线 y =3 的交点的横坐标； (2) 作直线 y =3 ； 方法二： 2 x y 2 4 4 -2 -4 0 -2 -4 由图象可知 , 它们有两个交点 , 其横坐标一个在 -4 与 -3 之间 , 另一个在 1 与 2 之间 , 分别约为 -3.2 和 1.2. （ 4 ）由此可知 , 一元二次方程 x 2 +2 x - 1=3 的近似根为 x 1 ≈3.2, x 2 ≈1.2. 方法三： (1) 作二次函数 y = x 2 的图象； (2) 作一次函数 y = - 2 x +4 的图象 ； (3) 观察估计抛物线 y = x 2 +2 x - 1 和直线 y =3 的交点的横坐标； 由图象可知 , 它们有两个交点 , 其横坐标一个在 -4 与 -3 之间 , 另一个在 1 与 2 之间 , 分别约为 -3.2 和 1.2. （ 4 ）由此可知 , 一元二次方程 x 2 +2 x -1=3 的近似根为 x 1 ≈3.2, x 2 ≈1.2. 2 x y 2 4 4 -2 -4 o -2 两个函数图象的交点坐标就是对应函数解析式所组成的方程组的解. 函数解析式对应方程的根，就是该函数图象与 x 轴交点的横坐标； 归纳总结 利用两个函数图象求不等式的解集 二 例 2 已知抛物线 ( a ＞ 0 ）与直线 相交于点 O （ 0,0 ） 和点 A （ 3,2 ），求不等式 的解集 . 分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的解析式 . 因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集 . 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 由图可知，不等式 的解集为 或 . 方法归纳 已知函数 y 1 ＝ x 2 与函数 的图象大致如图，若 y 1 ＜ y 2 ，则自变量 x 的取值范围是 ( ) 做一做 A. C. B. 或 D. 或 C 解析：先根据方程 算出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案 . 当堂练习 1. 若二次函数 y = x 2 +bx 的图象的对称轴是经过点（ 2,0 ） 且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 x 2 + bx =5 的解为（ ） A. x 1 =0, x 2 =4 B. x 1 =1, x 2 =5 C. x 1 =1, x 2 =-5 D. x 1 =-1, x 2 =5 2. 若二次函数 y = ax 2 +bx+c ( a ＜ 0 ） 的图象经过点（ 2,0 ）， 且其对称轴为 x =-1 ，则使函数值 y ＞ 0 成立的 x 的取值范围是 （ ） A. x ＜ -4 或 x ＞ 2 B.-4 ≤ x ≤2 C. x ≤ -4 或 x ≥ 2 D.-4 ＜ x ＜ 2 D D 3. 二次函数 y = ax 2 +bx+c ( a ≠0 ， a,b,c 为常数） 的图象如图所示，则方程 ax 2 +bx+c=m 有实数根的条件 是 （ ） A. m ≥- 2 B. m ≥ 5 C. m ≥ 0 D. m ≥ 4 解析： 方程 ax 2 +bx+c=m 有实数根，即表示二次函数 y = ax 2 +bx+c 的图象与直线 y=m 有交点 . A 4. 如图，一次函数 y 1 =kx +1 与二次函数 y 2 = ax 2 +bx -2 交于 A 、 B 两点，且 A （ 1,0 ），抛物线的对称轴是 . （ 1 ） 求 k 和 a 、 b 的值； （ 2 ）求不等式 kx +1 ＞ ax 2 +bx -2 的解集 . x y A O B 解：（ 1 ） y 1 =kx +1 经过点 A （ 1,0 ），则 0= k +1 ，得 k= -1. y = ax 2 +bx -2 经过点 A （ 1,0 ），则 0= a+b -2 ① ， 抛物线的对称轴是 ，故 ② ， 联立 ① ②， 解得 （ 2 ）根据对称性，可知 y 2 道与 x 轴的另一个交点为（ -4,0 ）， 根据图象可以看出， kx +1 ＞ ax 2 +bx -2 的解集为 -4 ＜ x ＜ 1. x y A O B 课堂小结 变 形 函数图象交点的横坐标 变 形 函数图象交点的横坐标 变 形 变 形 解集是抛物线图象在直线下方的点的横坐标所组成的取值范围 解集是抛物线图象在直线上方的点的横坐标所组成的取值范围