人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组教学课件

8.1 二元一次方程组 1 七年级下册（人教版） 第八章 二元一次方程组 教学课件 学习目标： 1 ．认识二元一次方程和二元一次方程组 .2 ．了解二元一次方程和二元一次方程组的解 . 3. 学会根据实际问题列二元一次方程组 重点：理解二元一次方程组的解的意义 . 难点：根据实际问题列二元一次方程组 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分．某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负分别是多少？ 你会用你学过的一元一次方程解决这个问题吗？   解法一：设胜 x 场，负 (10-x) 场，则 解法二：设胜 x 场，负 y 场，则 方程中有哪些条件？设胜的场数是 x ，负的场数是 y ， 你能用方程把这些条件表示出来吗？ x+y=10 2x+y=16 2x+(10-x)=16 ① ② 含有 两个未知数（ x 和 y ）， 并且未知数的 次数都是 1 ，这样的方程叫做 二元一次方程 . 　观察：　 　　　　　 x+y=10 ① 　　　 2x+y=16 ② 　　在未知数的个数和次数与方程 　　　　 x+(10-x)=16 　　有什么不一样？ 判断下列式子哪些是二元一次方程？ (1) 3x+5y=z (5) x+y=12y (3) x=―+1 2 y (6) (2) x 2 +y=0 (4) y+―x 2 1 √ y+―x=7 2 1 (7) xy+y=12 √ 判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数； 二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为 0， 且含未知数的项的次数都是 1. 方法 含有 两个未知数 ，每个未知数的项的 次数 都是 1 ，并且 一共有两个方程 ，像这样的方程组叫做 二元一次方程组 ． 上面的问题中包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数 x ， y 必须同时满足方程 x+y= 10 和 2 x + y =16 ．把 两个方程合在一起，写成 就组成了一个 方程组 ．这个方程组含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？ 把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 二元一次方程组 . 要点： （１）方程组中只有两个未知数 　　 （２）未知数的次数都是一次． 考考你的应变能力：下列方程组中是二元一次方程组的有（　 　　　　） 3x-y=0 y=2x+1 5x-y=0 3x+z=1 x=1 y=4 x+y=3 xy+3=1 (1) (2) (3) (4) （１）（３） 满足方程 且符合实际意义的 x ， y 的值有哪些？ x y 0 1 2 3 4 5 6 8 9 10 7 　 　 x + y =10 ① 2 x + y =16 ② 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x + y =10 探究 适合一个二元一次方程的一组未知数的值 , 叫做这个 二元一次方程的一个解 . 知识要点 二元一次方程的解和一元一次方程的解有什么区别？ 一元一次方程的解 二元一次方程的解 一个 无数个 一个 未知数的值 一对 未知数的值 议一议 结论：二元一次方程有 无数个解。 11 二元一次方程组中各个方程的公共解 , 叫做这个 二元一次方程组的解 . 探究 2 　 上表中哪对 x ， y 的值还满足方程 2 x + y =16 ②？ x =6 ， x =4 还满足方程②．也就是说 , 它是方程 x+y= 10 ①与方程②的 公共解 ，记作 2. 二元一次方程组 的解是 ( ) A. B. C. D. C x + =1 ， y + x =2 1. 下列不是二元一次方程组的是 ( 　 ) A. x + y =3 ， x - y =1 B. C. D. 6 x +4 y =9 ， y =3 x +4 B x =1 ， y =1 练习 x =1 ， y =3 2 x + y =5 ， 3 x -2 y =4 x =1 ， y =2 x =2 ， y =1 x =2 ， y =-1 3. 加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件 . 现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组 . 解：设安排第一道工序为 x 人，第二道工序为 y 人 . 根据题意得 认识二元一次方程组 二元一次方程及二元一次方程组的定义 二元一次方程 及 二元一次方程 组的解 根据实际问题列二元一次方程组 课堂小结 一、每个方程都含有两个未知数 (x 和 y) ，并且未知数的次数都是 1 ，像这样的方程叫做二元一次方程 . 课堂小结 二、把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 . 三、使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 . 四、一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 . 五、二元一次方程有无穷多个解；二元一次方程组有且只有一组解 . 8.2.1 用代入法解二元一次方程组 （第 1 课时） 学习目标： 1 ．会用代入法解二元一次方程组 .2 ．初步体会解二元一次方程组的基本思想 ―― 消元 .3 ．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神 . 重点：用代入法解二元一次方程组 . 难点：探索如何用代入法将二元转化为一元的消元过程 . 问题1：什么是 二元 一次方程？ 　　含有 两个未知数 ，并且所含未知数的 项 的 次数都是1 的 整式 方程叫做二元一次方程。 问题 4 ：什么是二元一次方程组的解 ？ 问题2：什么是二元一次方程组 ？ 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起 , 就 组成 了一个二元一次方程组 。 二元一次方程组的两个方程的 公 共解 , 叫做二元 一次方程组的解 。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 , 叫做二元一次方程的解 . 问题 3 ：什么是二元一次方程 的解？ 回顾与思考 复习回顾 下列属于二元一次方程组的是 （ ） A 探究新知 　 你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？ 解 ：设胜 x 场，负 y 场 , 根据题意得． x + y =10 ， 2 x + y =16 ．　 问题 1 　篮球联赛中 , 每场都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 这个实际问题还可以根据等量关系列一元一次方程吗？ 解：设胜 x 场，则负 (10 － x ) 场．根据题意得： 　　 2 x + （ 10 － x ） =16 ． 问题 2 　篮球联赛中 , 每场都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 问题 3 　 对比我们所列的二元一次方程组和一元一次方程，你能发现它们之间的关系吗？ x + y =10 ， 2 x + y =16 ． 　 2 x + ( 10- x ) =16 消元和转化 y=10-x 知识点一 消元思想 1 、在方程组 中： 把方程 x ＋ y ＝ 10 ，写成 y ＝ 10-x ，把 2x+y=16 中的 y 换为 10-x ，得一元一次方程 __________=16, 解得 x=6, 把 x=6 代入 _____________, 得 y=4. 从而得到这个方程组的解 . 归纳： 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做 _________ 思想 . 2x+(10-x) y ＝ 10-x 消元 　　把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现 消元 ，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做 代入消元法 ，简称 代入法 ． 知识点二 由①，得 把 ③ 代入 ② ，得 x + y =10 ，　 ① 2 x + y =16 ．　 ② 　 把 x=6 代入③，得 ∴ 这个方程组的解是 答：这个队胜 6 场、负 4 场． 你能用刚才的分析解二元一次方程组吗？步骤怎么写？这个队到底胜了几场？负了几场？ 解 ： 设： 这个对胜 x 场，负 y 场 ． 据题意可列方程组为： ③ 1 、把 x ＋ y ＝ 10 ，写成 y ＝ ________ , 叫做用 x 含的式子表示 y 的形式； 把 x ＋ y ＝ 10 ，写成 x ＝ __________ ，叫做用含 y 的式子表示 x 的形式。 10-x 10-y 知识点三 方程变形 新知应用 例 1: 已知方程 x-2y=4 ，先用含 x 的代数式 表示 y ，再用含 y 的代数式表示 x ，并比较 哪一种形式比较简便 。 例 1 用代入法解方程组 例题精讲 x – y = 3 ① 3x - 8y =14 ② 二 元 一 次 方 程 组 x － y= 3 3 x － 8 y =14 y = － 1 x = 2 解得 y 变形 解得 x 代入 消 x 一元一次方程 3( y +3) － 8 y =14. x = y +3. 用 y +3 代替 x ，消未知数 x ． 例 1 解方程组 解： ① ② 由 ① 得： x = 3+ y ③ 把③ 代入 ② 得： 3 （ 3+y ） – 8y= 14 把 y= – 1 代入 ③，得 x = 2 1 、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；（哪个简单变哪个） 2 、用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值； 3 、把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值； 4 、写出方程组的解。 用代入法解二元一次方程组的一般步骤 变 代 求 写 x –y = 3 3x -8 y = 14 解之得： y= – 1 ∴ 方程组的解是 x =2 y = -1 例 2 学以致用 解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、 y 小瓶。 根据题意可列方程组： ③ ① 由 得 ： 把 代入 得： ③ ② 解得： x= 20000 把 x=20000 代入 得： y= 50000 ③ 答：这些消毒液应该分装 20000 大瓶和 50000 小瓶。 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（ 500g ）和小瓶装（ 250g ），两种产品的销售数量 （按瓶计算） 的比为 某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ ① ② î í ì = + = 22500000 250 500 2 5 y x y x 二元一次方程组 消去 一元一次方程 变形 代入 解得 解得 用 代替 ，消去未知数 50 000 y = 再议代入消元法 方法总结 解二元一次方程组的一般步骤 变形 选择一个未知数系数比较简单的方程，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数。 代入 将变形的方程代入到另一个方程，进行等量替换，实现消元的目的。将二元一次方程组转化为一元一次方程。 求解 解这个一元一次方程，将所求的一元一次方程的解代入到所变形的方程中，求得另一个未知数的值 写解 写出原二元一次方程组的解 练习： 1 ．把下列方程改写成用含 的式子表示 的形式： ⑴ ⑵ ； ． 2 ．用代入法解下列方组： ⑴ ⑵ 2 、 用代入法解下列方程组： ① ② （ 1 ） 解： 把①代入②，得 3x+2 （ ） =_ 解这个方程，得 x ＝ __ . 把 x ＝ 代入①，得 y= __ ∴ 原方程组的解是 2x-3 8 2 2 2 1 1 用代入法解下列方程组： （ 2 ） ① ② 解： 由①，得 y= 2x-5 … ③ 把③代入②，得 3x+4 （ 2x-5 ） = 2 解这个方程，得 x ＝ 2 把 x ＝ 2 代入③，得 y= -1 ∴ 原方程组的解是 2 -1 1 、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 基本思想 : 消元 : 二元 一元 2 、用代入法解方程组的步骤是什么？ 主要步骤： 变形 用含 一个未知数 的代数式 表示 另一个未知数 代入 消去一个 元 ( 未知数 ) 求解 分别求出 两个 未知数的值 写解 写出 方程组 的解 3 、在探究解法的过程中用到了什么思想？你还有 哪些收获？ （转化的数学思想） 8.2. 2 加减消元法 解二元一次方程组 学习目标 （ 1 ）学会使用方程变形，再用加减消元法解二元一次方程组 . （ 2 ）解决问题的一个基本思想：化归，即将“未知”化为“已知”，将“复杂”转为“简单”。 【 学习重、难点 】1 、用加减消元法解系数绝对值不相等的二元一次方程组 2 、使方程变形为较恰当的形式，然后加减消元 1. 解二元一次方程组的基本思想： 二元一次方程组 一元一次方程 消元 2. 用代入法解二元一次方程组的关键？ 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 . 知识回顾 等式两边加（或减） 同一个数（或式子） ，结果仍相等 . 如果 a ＝ b ，那么 a ± c ＝ b ± c 还记得等式的性质 1 吗？ 除了用代入法求解外，还有其他方法吗？ 这两个方程中， y 的系数有什么关系？ 两个方程中 y 的系数相等 用 ② － ① 可消去未知数 y 吗 ? 解： ② － ① ，得 － ( ) － 解得 : x ＝ 6 把 x ＝ 6 代入 ① 得 : y ＝ 4 所以这个方程组的解是： ① － ② 也能消去未知数 y , 求出 x 吗 ? 探究 1 联系刚才的解法，想一想怎样解方程组： 未知数 y 的系数互为相反数,由① ＋ ②,可消去未知数 y ,从而求出未知数 x 的值. 解：① ＋ ②，得 18 x ＝ 10.8 x ＝ 0.6 把 x ＝ 0.6 代入 ① ，得 3×0.6 ＋ 10 y ＝ 2.8 y ＝ 0.1 所以这个方程组的解是： 等式的性质 1 3 x ＋ 10 y ＋ ( 15 x － 10 y ) ＝ 2.8 ＋ 8 这一步的依据是什么？ 探究 2 你能归纳刚才的解法吗？ 加减消元法的概念 从上面方程组中的解法可以看出：当二元一次方程组中的两个方程中同一未知数的系数 相反或相等 时，把这两个方程的两边分别 相加或相减 ，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做 加减消元法 ，简称加减法。 探究 3 如何用加减消元法 消去未知数 x ，求出未知数 y ? 解：（ 1 ） ① － ② ，得 x ＋ 3 y － ( x ＋ 2 y ) ＝ 13 － 10 y ＝ 3 （ 2 ） ① ＋ ② ，得 2 x － 5 y ＋ ( 4 y － 2 x ) ＝－ 6 ＋ 4 － y ＝－ 2 未知数 x 的系数 相反 未知数 x 的系数 相同 y ＝ 2 练习 1 练习 2 用加减消元法解方程组： 把 x ＝ 2 代入 ① ， 得： 解： ( 1 ) ① ＋ ② ，得： 所以这个方程组的解是： 2 ＋ 2 y ＝ 9 4 x ＝ 8 x ＝ 2 利用 加减消元法 解方程组时 , 在方程组的两个方程中 : (1) 某个未知数的系数互为相反数，则可以直接 消去这个未知数 ; (2) 如果某个未知数系数相等，则可以直接 消去这个未知数 把这两个方程中的两边分别相加， 把这两个方程中的两边分别相减 , 你来说说： 分别相加 y 1. 已知方程组 x+3y=17 2x-3y=6 两个方程 就可以消去未知数 分别相减 2. 已知方程组 25x-7y=16 25x+6y=10 两个方程 就可以消去未知数 x 填空题： 只要两边 只要两边 ② ② 小试牛刀 选择题 1. 用加减法解方程组 6x+7y=-19① 6x-5y=17② 应用（ ） A.①-② 消去 y B.①-② 消去 x C. ②- ① 消去常数项 D. 以上都不对 B 2. 方程组 3x+2y=13 3x-2y=5 消去 y 后所得的方程是（ ） B A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18 ② 思考 ：解方程组 3x + 4y = 16 5x - 6y = 33 解： ① × 3 得 : 19x = 114 把 x = 6 代入 ①得 原方程组的解为 即 x = 6 18 + 4y = 16 9x + 12y = 48 ② × 2 得 : 10x - 12y = 66 ③ + ④ 得 : y = x = 6 1 2 即 y = 1 2 ④ ③ ① ② 当方程组中两方程不具备上述特点时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件 ． 2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5各小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收麦多少公顷？ 应用题 解析：若设 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷，那么 2 台大收割机和 5 台小收割机同时工作 1 小时共收割小麦 ______ 公顷， 3 台大收割机和 2 台小收割机同时工作 1 小时共收割小麦 ______ 公顷； （ 2x+5y ） （ 3x+2y ） 解：设 1 台大型收割机和 1 台小型收割机工作 1 小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷，根据题意可得 2(2x+5y) ＝ 3.6  5(3x+2y) ＝ 8 解得 x=0.4 y=0.2 ． 答： 1 台大型收割机工作 1 小时收割小麦 0.4 公顷， 1 台小型收割机工作 1 小时收割小麦 0.2 公顷． ｛ ｛ 课本 96 页书后练习 1 、 2 、 3. 练习： 主要步骤： 特点 : 基本思路 : 写解 求解 加减 二元 一元 加减消元 : 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出原方程组的解 同一个未知数的 系数相同 或互为 相反数 ； 当未知数系数的绝对值不同时，先利用等式的 性质将其化为相同即可 . 用加减法解二元一次方程组： 课堂小结 8.3 实际问题与二元一次方程组 第一课时 学习目标 1. 使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用 2. 通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性 3. 体会列方程组比列一元一次方程容易学习重、难点 1 、能根据题意列二元一次方程组； 2 、正确发找出问题中的两个等量关系 . 复习回顾 1. 解下列方程组： 2. 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审、设、列、解、验、答 例 1 养牛场原有 30 只大牛和 15 只小牛，一天约需用饲料 675 kg ； 一周后又购进 12 只大牛和 5 只小牛，这时一天约需用饲料 940kg ． 探索新知 我估计每只大牛 1 天约需用饲料 18 ～ 20 kg, 每只小牛 1 天约需用饲料 7 ～ 8 kg ． 李大叔 你能通过计算检验他的估计吗？ 问题 1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？ 未知量 : 每头大牛1天需用 的 饲料 ; 每头小牛1天需用 的 饲料 . 问题 2 题中有哪些等量关系？ ( 1 ) 30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg; (2)( 30+12 ) 只大牛和 ( 15+5 ) 只小牛一天需用饲料为940kg . 设未知数： 设每 头 大牛和每 头 小牛平均1天各需用 饲料为 x kg和 y kg， 合作与交流 规范解题 解：设每只大牛和每只小牛 1 天各约需用饲料 x kg 和 y kg ， 根据题意，得， 解这个方程组，得 答：每只大牛和每只小牛 1 天各约需饲料 20kg 和 5kg. 饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高 . 解题步骤 审 ：理解题意，明确题目所求 设 ：定未知量，设未知数 列 ：根据题意找等量关系，列方程组 解 ：求方程组的解 验 ：检验未知数值是否正确，是否符合实际意义 答 ：写出答案 巩固训练 练习 1 ： 长 18 米的钢材，要锯成 10 段，而每段的长只能取“ 1 米 或 2 米”两种型号之一，小明估计 2 米的有 3 段，你们认为他估计的是否 正确？为什么呢？那 2 米和 1 米的各应多少段？ 解：设 2 米的 x 段， 1 米的 y 段 , 根据题意，列方程组 解方程组，得 答：小明估计不正确 .2 米钢材 8 段， 1 米钢材 2 段 . 巩固训练 练习 2 ： 食堂有一批粮食，若每天用去 140 千克，按预计天数 计算就少 50 千克；若每天用去 120 千克，那么到期后还可剩余 70 千克 . 估计食堂现有存量 700 ～ 800 千克，可供应一周 . 通过计算检验估计是 否正确？ 解：设预计天数为 x 天 , 共有粮食存量 y 吨， 根据题意，列方程组 解方程组，得 答：共有粮食 790 千克，可供应 6 天 . 对粮食存量估计正确，对可供应时间估计偏高 . 巩固训练 练习 3 ：某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅，经过测试：同时开放 1 个大餐厅和 2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅和 1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐 . （ 1 ）求 1 个大餐厅和 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐？ （ 2 ）若 7 个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的 5300 名学生就餐？请说明理由 . 解 : (1) 设 1 个大餐厅和 1 个小餐厅分别可供 x 名 ,y 名学生就餐， x+2y=1680 2x+y=2280 解得 : x=960 y=360 (2) 若 7 个餐厅同时开放，则有 5×960+2×360=5520 答 ： (1) 1 个大餐厅和 1 个小餐厅分别可供 960 名 ,360 名学生就餐 . (2) 若 7 个餐厅同时开放，可以供应 全校的 5300 名学生就餐 . 5520>5300 依题意得 4 、 某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费. 甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.” 乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.” 请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？ 分析 本问题涉及的等量关系有： 总车费 =0 ～ 3km 的车费 ( 起步价 )+ 超过 3km 的车费 . 解 设出租车的起步价是 x 元 , 超过 3km 后每千米收费 y 元 . 根据等量关系 , 得 解这个方程组 ， 得 答：这种出租车的起步价是 5 元， 超过 3km 后每千米收费 1.5 元 . 起步价 超过 3km 后的费用 合计费用 甲 乙 x x （ 11-3 ） y （ 23-3 ） y 17 35 谈谈你的收获 1. 本节课主要学习利用二元一次方程组解决实际问题 . 2. 主要思想方法是方程思想：将实际问题转化为二元 一次方程组 . 3. 解题步骤： 审 题， 设 元， 列 方程组， 解 方程组，检 验 ， 答 . 4. 注意的问题 : (1) 注意审题，用语言或式子表示题目中的数量关系； (2) 解方程组时选择适当的方法； (3) 按要求写出答案 . 作业布置 1. 教科书 101 页习题 8.3 第 1 、 2 、 3 题 . 2. 预习 实际问题与二元一次方程组（第二课时） . 8.3 实际问题与二元一次方程组（ 2 ） 学习目标 1 、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型； 2 、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组； 做一做： 1 、把长方形纸片折成面积相等的 两个小长方形，有哪些折法？ 2 、把长方形纸片折成面积之比为 1 ： 2 的两个小长方形，又有哪些折法？ ● ● ● ● 按面积分割长方形的问题可转化为分割边长的问题。 归纳 : 把一块长 200m ，宽 100 的长方形土地分成面积比为 2:3 的两块小长方形土地，应如何分？ 想一想 : 200m 100m A B C D x y ┓ E 解：设 AE 为 x 米 , BE 为 y 米，由题意得： x + y ＝ 200 100 x: 100 y ＝ 2 :3 解这个方程组得： x =80 y =120 答： 过长方形土地的长边上离一端 80 米处 , 把这块地分为两个长方形 . 导学提纲 1 、自学课本 P114 探究 2 并完成课本中的分析。 2 、思考： （ 1 ）“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1 ： 2” 是什么意思？ （ 2 ）“甲、乙两种作物的总产量的比是 3 ： 4” 是什么意思？ （ 3 ）本题中有哪些等量关系？ 例 1 ：据资料统计 , 甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1:2, 现要在一块长 200m, 宽 100m 的长方形土地 , 分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物 , 怎样把这块土地 , 使甲、乙两种作物的总产量的比是 3 : 4? 应用数学、解决实际问题 A B C D 甲种作物的总产量 = 甲的单位面积产量 × 甲的种植面积 乙种作物的总产量 = 乙的单位面积产量 × 乙的种植面积 解：设 AE 为 x 米 ,BE 为 y 米，由题意得： x + y ＝ 200 100 x: （ 2×100 y ）＝ 3:4 A B C D ● E ┓ x y 解得 : x ＝ y ＝ 答： 过长方形土地的长边上离一端 120 米处 , 把这块地分为两个长方形 . 较大一块地种甲种作 物 , 较小一块地种乙种作物 . A B C D ● E ┓ y x 解：设 CE 为 x 米 ,BE 为 y 米，由题意得： x + y ＝ 100 200 x: （ 2×200 y ） ＝ 3:4 解方程组得 : x ＝ y ＝ 答： 过长方形土地的短边上离一端 60 处 , 把这块地分为两个长方形 . 较大一块地种甲 种作物 , 较小一块地种乙种作物 . 例 2 ： 8 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 ? （单位 cm ） 60 x + y =60 x =3 y 解 : 设小长方形地砖的长为 x , 宽为 y , 由题意 , 得 解此方程组得： x =45, y =15. 答 : 小长方形地砖的长为 45cm, 宽为 15cm. 练一练： 小龙在拼图时，发现 8 个一样大的小长方形，恰好可以拼成一个大长方形，如图甲所示，陈晔看见了说“我来试一试”，结果陈晔七拼八凑，拼成一个如图乙的正方形，中间留下一个洞，恰好是边长 2mm 的小正方形，你能算出小长方形的长和宽吗？ 甲 乙 甲 乙 解：设小长方形的长为 xmm ，宽为 ymm ，依题意，得 解得： 答：小长方形的长为 10mm ，宽为 6mm 。 2mm 例 3 ： 一个长方形，它的长减少 4cm ，宽增加 2cm ，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽。 解：设长方形的长为 xcm ，宽为 ycm ， 由题意得： X-4 4 y 2 Ⅰ Ⅱ 课堂小结 二元一次方程组的应用 应用 步骤 简单实际问题 审题 ： 弄清题意和题目中的 设元 ： 用_____表示题目中的未知数 列方程组 : 根据__个等量关系列出方程组 解方程组 检验作答 数量关系 字母 2 代入法； 加减法 . 几何问题 8.3 实际问题与二元一次方程组 (3) 学习目标 1 、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型； 2 、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组； 3 、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值．学习重、难点 1 、借助列表分问题中所蕴含的数量关系。 2 、用列表的方式分析题目中的各个量的关系。 1 、公路的运价为 1.5 元 /( 吨 · 千米 ) ， 里程为 10km, 货物重量为 200 吨， 则公路运费 = . 1.5×10×200 2 、铁路的运价为 1.2 元 /( 吨 · 千米 ) ， 原料重量为 100 吨，里程为 20km ， 则铁路运费 = . 1.2×20×100 展示一下身手！ 探究： 长青化工厂 用汽车 从 A 地购买一批 原料 运回工厂，制成 产品 后 用火车 运到 B 地。工厂与 A 地相距 80 千米， 与 B 地相距 150 千米。公路运价为 1.5 元 / （吨 · 千米），铁路运价为 1.2 元 / （吨 · 千米）， 这两次运输支出公路运费 15000 元 ，铁路运费 97200 元 。 求工厂从 A 地购得的原料有多少吨？制成的产品有多少吨？ 分析：题中的量很多，并且相互关联，这时，我们可画一张示意图，把题中的条件在图中标出来，这样比较直，能帮助我们比较顺利地找出题中的相等关系。 A 地 B 地 长青化工厂 公路 80km 铁路 150km 原料 产品 1.5 元 / （吨 · 千米） 1.2 元 / （吨 · 千米） 公路运费： 15000 元 铁路运费： 97200 元 长青化工厂 用汽车 从 A 地购买一批 原料 运回工厂，制成 产品 后 用火车 运到 B 地。工厂与 A 地相距 80 千米， 与 B 地相距 150 千米。公路运价为 1.5 元 / （吨 · 千米），铁路运价为 1.2 元 / （吨 · 千米）， 这两次运输支出公路运费 15000 元 ，铁路运费 97200 元 。 求工厂从 A 地购得的原料有多少吨？制成的产品有多少吨？ 探究： 探究： 长青化工厂 用汽车 从 A 地购买一批 原料 运回工厂，制成 产品 后 用火车 运到 B 地。工厂与 A 地相距 80 千米， 与 B 地相距 150 千米。公路运价为 1.5 元 / （吨 · 千米），铁路运价为 1.2 元 / （吨 · 千米）， 这两次运输支出公路运费 15000 元 ，铁路运费 97200 元 。 求工厂从 A 地购得的原料有多少吨？制成的产品有多少吨？ 解：制成的产品为 x 吨，设购得的原料为 y 吨， 根据题意得 ｛ 1.5 × 80 × y =15000 1.2×150 × x =97200 解得： ｛ x=540 y=125 答：购得的原料为 125 吨， 制成的产品为 540 吨。 画 示意图 是解决道路运输问题的手段之一。 如图，长青化工厂与 A ， B 两地有公路、铁路相连。这家工厂从 A 地购买一批 原料 运回工厂，制成 产品 运到 B 地。 公路运价为 1.5 元 / （吨 · 千米） ， 铁路运价为 1.2 元 / （吨 · 千米） ， 这两次运输共支出公路运费 15000 元 ，铁路运费 97200 元 。 探究 问 (1) 购得的原料有多少吨？ 制成的产品有多少吨？ 试一试：你能自己设计一个表格，显示题中各个量吗？ 设产品重 x 吨，原料重 y 吨。根据题中数量关系填写下表： 产品 x 吨 原料 y 吨 合计 公路运费（元） 铁路运费（元） 1.5 y · 10 1.5 x · 20 1.2 y · 120 1.2 x · 110 15000 97200 列表分析是解决道路运输问题的另一手段。 解：设产品重 x 吨，原料重 y 吨，则 1.5× （ 10y+20x ） =15000 1.2× （ 120y+110x ） =97200 ｛ 解这个方程组，得 ｛ x = 300 y = 400 答：购得的原料重 400 吨，制成的产品重 300 吨。 如图，长青化工厂与 A ， B 两地有公路、铁路相连。这家工厂从 A 地购买一批 原料 运回工厂，制成 产品 运到 B 地。公路运价为 1.5 元 / （吨 · 千米） ， 铁路运价为 1.2 元 / （吨 · 千米） ， 这两次运输共支出公路运费 15000 元 ，铁路运费 97200 元 。 变式 (2) 若原料每吨 1000 元，制成的产品每吨 8000 元， 这批产品的销售款比原料费与运输费的和 多 多少元？ ___ ___ ___ 设产品重 x 吨，原料重 y 吨，则 8000x －（ 1000y+15000+97200 ） =8000 × 300 －（ 1000×400+15000+97200 ） =1887800 （元） 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1887800 元。 （ 2 ） 销售款 －（原料费 + 运输费） = 列方程组解决行程问题 三 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路 . 假设他始终保持平路每分钟走 60m ，下坡路每分钟走 80m ，上坡路每分钟走 40m ，则他从家里到学校需 10min ，从学校到家里需 15min. 问小华家离学校多远？ 分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路， 一段为下坡路 . 平路： 60 m/min 下坡路： 80 m/min 上坡路： 40 m/min 走平路的时间+走下坡路的时间=________， 走上坡路的时间+走平路的时间= _______． 路程 = 平均速度×时间 10 15 方法一（直接设元法） 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 解：设小华家到学校平路长 x m，下坡 路 长 y m. 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所以，小明家到学校的距离为 700m. 方法二（间接设元法） 平路 距离 坡路距离 上学 放学 解：设小华下坡路所花时间为 x min, 上坡路所花时间为 y min . 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所以，小明家到学校的距离为 700m. 故 平路距离 ： 60× （ 10-5 ） =300 （ m ） 坡路距离： 80×5=400 （ m ） 例 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺钉或 2 000 个螺母 . 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？ 分析： 将题中出现的量在表格中呈现 产品类型 所需人数 生产总量 螺钉 x 螺母 y 螺母总产量是螺钉的 2 倍 人数和为 22 人 1200 x 2000 y 解：设生产螺钉的 x 人，生产螺母的 y 人 . 依题意，可列方程组 ： 解方程组，得 答：设生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人 . 解决配套问题要弄清： （ 1 ）每套产品中各部分的比例； （ 2 ）生产各部分的工人数之和 = 工人总数 . 练习 . 一个工厂共 42 名工人 , 每个工人平均每小时生产圆形铁片 120 片或长方形铁片 80 片 . 已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶 . 你认为如何安排工人的生产 , 才能使每天生产的铁片正好配套 ? 解：设生产圆形铁片的工人 x 人，生产长方形铁片的工人 y 人，根据题意列出方程组得 解得 答 ：生产圆形铁片的工人 24 人，生产长方形铁片的工人 18 人 . 实际问题 设未知数、找等量关系、列方程（组） 数学问题 [ 方程(组) ] 解方程（组） 数学问题的解 双检验 实际问题的答案 总结归纳 1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助 列方程组的方法 来处理这些问题 . 　 3. 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用 . 通过本课时的学习，需要我们掌握： 课堂小结 2. 这种处理问题的过程可以进一步概括 为： 8.4 三元一次方程组及其解法 学习目标： 1 ．知道什么是三元一次方程组，掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路，进一步熟悉三元一次方程组的一般解法． 2 ．培养我们分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象； 3 ．能解决三元一次方程组的变形问题．学习重点及难点 1. 会解简单的三元一次方程组； 2. 针对方程组的特点，选择最好的解法 . （ 1 ）回顾解二元一次方程组的思路。 二元一次方程组 一元一次方程 消元 （ 2 ）消元方法： ① 代入法（代入消元法） ② 加减法（加减消元法） 回顾旧知 小明手头有 12 张面额分别为 1 元、 2 元、 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍 . 求 1 元、 2 元、 5 元纸币各多少张 . 问题中含有几个未知数？有几个相等关系？ 小明手头有 12 张面额分别为 1 元、 2 元、 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍 . 求 1 元、 2 元、 5 元纸币各多少张 . 分析 1 元纸币张数＋ 2 元纸币张数＋ 5 元纸币张数＝ 12 张， 1 元纸币的张数＝ 2 元纸币的张数的 4 倍， 1 元的金额＋ 2 元的金额＋ 5 元的金额＝ 22 元 . 三 三 （ 1 ）这个问题中包含有 个未知数 ： （ 2 ）这个问题中包含有 个相等关系： 1 元、 2 元、 5 元纸币的张数 . 设 1 元、 2 元、 5 元的纸币分别为 x 张、 y 张、 z 张 . 根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=12 x=4y x+2y+5z=22 ① ② ③ 你能根据等量关系列出方程吗 ? x+y+z=12 x=4y x+2y+5z=22 ① ② ③ 观察方程①、③你能得出什么？ 都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 ，像这样的整式方程叫做 三元一次方程 . 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 x+y+z=12 ， x=4y ， x+2y+5z=22. 由三个一次方程组成的含三个未知数方程组，叫做 三元一次方程组 . 判断下列方程组是不是三元一次方程组 ? 方程个数一定是 三个 方程中含有未知数的 个数 是 三个 × × ① ② 判一判 ③ × 方程中含有未知数的项的 次数 都是 一次 √ 方程组中一共有 三个 未知数 x+y =20 y+z=19 x+z=21 ④ 判一判 三元一次方程组 一元一次方程 二元一次方程组 1. 化“三元”为“二元” 总结 消元 消元 三元一次方程组求法步骤： 2. 化“二元”为“一元” 怎样解三元一次方程组？ （也就是消去一个未知数） 观察方程组： 仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含 y ， z 的方程 ① ② ③ 试一试 解方程组 2 x +2 z =2 　 ①＋② ， 得 　　　　　　　 　 ④ 1 . 化“三元”为“二元” 考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个 ? ） 2. 化“二元”为“一元” 。 x - z = 4 　 ③ 　　　　　　　 ④ 解法一 ：消去 y ① ③ ② 例题解析 ① ③ ② 解法二 ：消去 x 由③得， x=z+4 ④ 把④代入①、②得， 2z+y=-2 ⑦ 2z-y =-4 ⑧ （ z+4)+y+z=2 ⑤ (z+4)-y+z=0 ⑥ 化简得， 例题解析 解：　 ①＋②， 得 2x+2z=2 , 化简，得 x+z=1 　 ④ ③ +④, 得 ① ③ ② 把　　　 代入 ③， 得 x = 2x=5 x-z=4 ③ x+z= 1 ④ ∴ , 把 代入 ②， 得 y=1 所以，原方程组的解是 例题解析 分析： 方程① 中只含 x,z, 因此，可以由②③消去 y ，得到一个只含 x ， z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组 解方程组 3x ＋ 4z=7 ① 2x ＋ 3y ＋ z=9 ② 5x － 9y ＋ 7z=8 ③ ｛ 解：② ×3 ＋③ ，得 11x ＋ 10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x ＋ 4z=7 11x ＋ 10z=35 ｛ 解这个方程组，得 X=5 Z=-2 ｛ 把 x ＝ 5 ， z ＝ -2 代入②，得 y= 因此，三元一次方程组的解为 X=5 Y= Z=-2 ｛ 例题解析 在等式 y=ax 2 ＋ bx ＋ c 中 , 当 x=-1 时 ,y=0; 当 x=2 时 ,y=3; 当 x=5 时 ,y=60. 求 a,b,c 的值 . 解：根据题意，得三元一次方程组 a － b ＋ c= 0 ， ① 4a ＋ 2b ＋ c=3 ， ② 25a ＋ 5b ＋ c=60. ③ ②－①， 得 a ＋ b=1 ④ ③－①，得 4a ＋ b=10 ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 a ＋ b=1 ， 4a ＋ b=10. a=3 ， b=-2. 解这个方程组，得 把 代入①，得 a=3 ， b=-2. c=-5 a=3 ， b=-2 ， c=-5. 因此 例题解析 ① ③ ② 1 . 化“三元”为“二元” 解：② － ③ ，得 ④ ④ ① 2. 化“二元”为“一元” 解方程组 原方程组中有哪个方程还没有用到？ 可不可以不用①？ 解方程组 ① ③ ② 解 : ② - ③ ，得 ① + ④ ，得 ∴ ④ 所以 , 原方程组的解是 把 x=1 代入方程①、③，分别得 还有其他方法吗 也可以这样解 : ① +②+③, 得 即， ⑤－① , 得 ⑤－② , 得 ① ③ ② ⑤－③，得 所以，原方程组的解是 ⑤ ④ 2. 三元一次方程组的解法 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 通过本课时的学习，需要我们掌握： 1 、三元一次方程组的概念 1.解二元一次方程组的基本思路: 解二元一次方程组 消元转化 ( 代入 消元、 加减 消元) 解一元一次方程 2 . 解三元一次方程组也通过 消元 将 三元 转化 为 二元 再 转化 为 解 一元一次方程 1. 解方程组 则 x ＝ _____ ， y ＝ ______ ， z ＝ _______. x ＋ y － z ＝ 11 ， y ＋ z － x ＝ 5 ， z ＋ x － y ＝ 1. ① ② ③ 【 解析 】 通过观察未知数的系数，可采取① +② 求出 y ， ② + ③ 求出 z ，最后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可 . 【 答案 】6 8 3 当堂练习 2. 若 x ＋ 2y ＋ 3z ＝ 10 ， 4x ＋ 3y ＋ 2z ＝ 15 ，则 x ＋ y ＋ z 的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【 解析 】 选 D. 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得， 5x+5y+5z=25 ，所以 x+y+z=5. 第八章 二元一次方程组 小结与复习 数学问题的解 （二元或三元一次 方程组的解） 实际问题 设未知数，列方程组 数学问题 （二元或三元一次方程组） 解方程组 检验 实际问题 的答案 代入法 加减法 （消元） 知识网络 一、知识要点回顾 1 、什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？ 2 、怎么表示二元一次方程和二元一次方程组的解？ 2 、解二元一次方程组的思想是：（ ） 3 、解二元一次方程组的方法有： （ 1 ） 步骤： （ 2 ） 什么时候用加法？什么时候用减法？（需要注意什么） 4 、什么时候用代入法？什么时候用加减法？ 5 、需要化简的方程，化简到什么程度？ 【 例 1】 若 x 2 m - 1 +5 y 3 n -2 m =7 是二元一次方程，则 m = ， n = . 由二元一次方程的定义可得： 2 m - 1=1 ， 3 n - 2 m =1 ， 解得： m =1 ， n =1 . 解析 ： 专题一 二元一次方程与二元一次方程组 1 1 【 迁移应用 1 】 已知方程 ( m - 3) + ( n +2) =0 是关于 x 、 y 的二元一次方程，求 m 、 n 的值 . 解：由题可得 ： | n | - 1=1 ， m ≠3 ， m 2 - 8 = 1 ， n ≠ - 2. 解得： m = - 3, n =2 . 【 归纳拓展 】 首先理解二元一次方程或二元一次方程组定义的几大因素，并且通过定义得到需要的等式，由等式得到最后的求解 . 【 例 2 】 已知 x =1, y = - 2 是二元一次方程组 的 解，求 a,b 的值 . ax - 2 y =3 x - by =4 解： 把 x =1, y = - 2 代入二元一次方程组得 a +4=3 ， 1+2 b =4 ， 解得： a = - 1, b =1.5. 专题二 二元一次方程与二元一次方程组的解 【 归纳拓展 】 一般情况下，提到二元一次方程（组）的解，须先把解代入二元一次方程（组），得到解题需要的关系式，然后解关系式，即可解决问题 . 【 迁移应用 2 】 已知 x =1, y = - 2 满足 （ ax - 2 y - 3) 2 + | x - by +4 |=0, 求 a + b 的值 . 解：由题意可得： 把 x = 1 , y =-2 代入方程组 可得： 解得： a = - 1, b = - 2.5, 则 a + b = - 3.5. ax - 2 y - 3=0 ， x - by +4=0. a +4=3 ， 1+2 b = - 4 ， 【 例 3 】 用代入法消元法解方程组 3 x - y =7 ， 5 x +2 y =8. 解 ： 3 x-y =7 ， ① 5 x +2 y =8 ，② 由①可得 y =3 x -7 ， ③ 将 ③ 代入 ② 得 5 x +2(3 x -7)=8 ， 解得 x =2, 把 x =2 代入 ③ 得 y =-1. 由此可得二元一次方程组的解是 x =2 ， y =-1. 专题三 代入消元法与加减消元法 【 例 4 】 用加减消元法解方程组 3( x -1) =4( y - 4) ， 5( y - 1)=3( x +5). 解： 化简整理得 3 x - 3=4 y - 16 ， ① 3 x +15=5 y - 5 ， ② 由 ② - ① 得 18= y +11, 解得 y =7, 把 y =7 代入 ① 得 3 x =28 - 16+3, 解得 x = 5 . 由此可得二元一次方程组的解为 x =5 ， y =7. 【 归纳拓展 】 ① 代入消元法 是将其中的一个方程写成 “ y = ” 或 “ x = ” 的形式，并把它代入另一个方程，得到一个关于 x 或 y 的一元一次方程求得 x 或 y 值 . ② 加减消元法 是通过两个方程两边相加（或相减）消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程 . 【 迁移应用 3 】 已知 - 4 x m+n y m - n 与 - 2 x 7 - m y 1 +n 是同类项，求 m,n 的值 . 解：由题意得 m =3 ， n =1. m+n =7- m ， m-n =1+ n . 解得 【 迁移应用 4 】 已知方程组 的解为 则求 6 a - 3 b 的值 . 解：将 代入原方程组得 解得 所以 6 a - 3 b = 6 × 3-3 × 1=15. a =3 ， b =1. ax - by = 4 ， ax + by =8 x =2 ， y =2 ， x =2 ， y =2 2 a- 2 b =4 ， 2 a+ 2 b =8. 【 例 5 】 某汽车运输队要在规定的天数内运完一批货物，如果减少 6 辆汽车则要再运 3 天才能完成任务；如果增加 4 辆汽车，则可提前一天完成任务，那么这个汽车运输队原有汽车多少辆？原规定运输的天数是多少？ 分析：等量关系式： ①减少 6 辆汽车后运输的货物 = 原规定运输货物； ②增加 4 辆汽车后运输的货物 = 原规定的货物。 专题四 二元一次方程组的实际应用 解：设这个汽车运输队原有汽车 x 辆，原规定完成的天数为 y 天，每辆汽车每天的运输量为 1. 根据题意可得 化简整理得： ( x -6)( y +3)= xy ， ( x +4)( y -1)= xy. 3 x -6 y =18, ① - x +4 y =4 ，② 由 ② 可得 x =4 y -4 ，③ 把 ③ 代入 ① 可得 3(4 y -4)-6 y =18 ， 解得 y =5. 把 y =5 代入 ③ 得 x =16. 由此可得 x =16 ， y =5. 答：原有汽车 16 辆，原规定完成的天数为 5 天 . 【 归纳拓展 】 利用方程的思想解决实际问题时， 1. 首先要找准 等量关系式 ，找等量关系式时要注意题干 中提到的等量关系的语句， 2. 根据等量关系列得方程 , 主要步骤是 “ 找 ”“ 设 ”“ 列 ”“ 解 ”“ 答 ”， 一步 都不能少 . 解：设该年级寄宿学生有 x 人，宿舍有 y 间 . 根据题意可 得 解得 6 y +4= x ， 7( y - 11 - 1)= x - 3 ， x =514 ， y =85. 答：设该年级寄宿学生有 514 人，宿舍有 85 间 . 【 迁移应用 5 】 某校七年级安排宿舍，若每间宿舍住 6 人，则有 4 人住不下，若每间住 7 人，则有 1 间只住 3 人，且空余 11 间宿舍，求该年级寄宿学生有多少人？宿舍有多少间？ 四、常考题型 2、若方程 是二元一次方程，则mn= 。 1、如果 是一个二元一次方程，那么数 a - b= 。 题型一： 题型二： 1、已知5x+y=12， （1）用含x的式子来表示y： ； 用含y的式子表示x: 。 （2）当x=1时，y= ； （3）写出该方程的两组正整数解 。 题型三： 1.方程x+3y=9 的正整数解是______________。 2. 二元一次方程 4x+y=20 的正整数解是 _____________ 。 3 、已知 是方程 3x-3y=m 和 5x+y=n 的公共 解，则 m 2 -3n= . 246 1.若 ，则x= ,y= . 2 .若x、y互为相反数，且（x+y+3)(x-y-2）=6，则x=________． 题型四： 题型五： 用适当的方法解下列的方程组： 题型六 题型七 方程组 求当 m 为何值时， 3x-5y=2m 2x+7y=m+18 的解互为相反数？并求方程组的解。 5x+2y=25-m ① 3x+4y=15-3m ② 已知方程组 x-y=6, 求 m 的值 . 的解适合方程 题型八 但由于看错了系数 题型九 应用题 一、（分配调运问题） 某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽 9 人到乙厂，则两厂的人数 相同；如果从乙厂抽 5 人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的 2 倍，到两个工厂的人 数各是多少？ 二、（行程问题） 甲、乙二人相距 12km ，二人同向而行，甲 3 小时可追上乙；相向而行， 1 小时 相遇。二人的平均速度各是多少？ 三、（百分数问题） 某市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8 ％，农村人口增加工厂 1.1 ％ , 这样全市人口将增加 1 ％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？ 四、（分配问题） 某幼儿园分萍果，若每人 3 个，则剩 2 个，若每人 4 个，则有一个少 1 个，问幼儿园有几个小朋友？ 五、（浓度分配问题） 要配浓度是 45% 的盐水 12 千克，现有 10% 的盐水与 85% 的盐水，这 两种盐水各需多少？ 六、（金融分配问题） 需要用多少每千克售 4.2 元的糖果才能与每千克售 3.4 元的糖果混合 成每千克售 3.6 元的杂拌糖 200 千克？ 七、（几何分配问题） 如图：用 8 块相同的长方形拼成一个宽为 48 厘米的大长方形，每块小长方 形的长和宽分别是多少？ 八、（材料分配问题） 一张桌子由桌面和四条脚组成， 1 立方米的木材可制成桌面 50 张或制作桌 脚 300 条，现有 5 立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配 套？ 九、（和差倍问题） 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5 ，如果把十位上的数字与 个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9 ，求这个两位数？ 十、（分配调运） 一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已 知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示，现租用该公司 5 辆甲 种货车和 6 辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，问这批货物有多少 吨？