人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线作业课件

5.1 　相交线 5 . 1.1 　相交线 七年级下册（人教版） 第五章 相交线与平行线 作业课件 知识点 1 ：邻补角 1 ． 下列选项中 ∠ 1 与 ∠ 2 互为邻补角的是 ( ) D 2 ．下列说法中错误的是 ( ) A ． 互为邻补角的两个角一定是互补的角 B ． 互补的两个角不一定是邻补角 C ． 相邻的两个角一定是邻补角 D ． 两条直线相交形成的四个角中 ， 一个角有两个邻补角 C 3 ． 如图 ， 直线 a 与直线 b 相交于点 O ， 则∠ 1 的度数是 ( ) A ． 64.5° B ． 55.5° C ． 40° D ． 44.5° D 4 ．如图 ， 直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O ， 则 ∠ COF 的邻补角为 ___________________________ ． ∠ DOF 与 ∠ COE 5 ． 如图 ， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE 平分∠ AOD ， 若∠ AOC ＝ 120° ， 则∠ AOE 的度数是多少？ 解：因为 ∠ AOC 与 ∠ AOD 是邻补角 ， 且 ∠ AOC ＝ 120° ， 所以 ∠ AOD ＝ 60° ， 又 OE 平分 ∠ AOD ， 所以 ∠ AOE ＝ 30° 知识点 2 ：对顶角 6 ． ( 习题 1 变式 ) 如图 ， ∠ 1 与 ∠ 2 是对顶角的是 ( ) B 7 ．下列语句正确的是 ( ) A ． 顶点相对的两个角是对顶角 B ． 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角 C ． 两条直线相交 ， 有公共顶点的两个角是对顶角 D ． 两条直线相交 ， 有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角 D 8 ． ( 练习变式 ) 如图 ， 有一个破损的扇形零件 ， 利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角度数是 ______ ， 依据是 _______________ ． 40° 对顶角相等 9 ． ( 例题 1 变式 ) 如图 ， 直线 a ， b 相交 ， ∠ 1 ＝ 135° ， 求 ∠ 2 ， ∠ 3 ， ∠ 4 的度数． 解：因为 ∠ 1 与 ∠ 2 是邻补角且 ∠ 1 ＝ 135° ， 所以 ∠ 2 ＝ 45° ， 又 ∠ 1 与 ∠ 3 ， ∠ 2 与 ∠ 4 是对顶角 ， 所以 ∠ 4 ＝ ∠ 2 ＝ 45° ， ∠ 3 ＝ ∠ 1 ＝ 135° 10 ． 如图 ， 三条直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O ， 若 ∠ 1 ＝ 2 ∠ 2 ， ∠ 3 比 ∠ 1 大 30° ， 则 ∠ 4 的度数为 ( ) A ． 65° B ． 60° C ． 50° D ． 45° B 11 ．如图 ， 已知 ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， 则下列结论： ①∠ 3 ＝ ∠ 4 ； ②∠ 3 与 ∠ 5 互补 ； ③∠ 1 ＝ ∠ 4 ； ④∠ 3 ＝ ∠ 2 ； ⑤∠ 1 与 ∠ 5 互补． 其中正确的有 ( ) A ． 5 个 B ． 4 个 C ． 3 个 D ． 2 个 A 12 ． 如图 ， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE 平分 ∠ BOC ， 若 ∠ 1 ＝ 75° ， 则 ∠ 2 ＝ _________ ， ∠ 3 ＝ _____________ ． 30° 150° 13 ．如图 ， 直线 AB 和 CD 相交于点 O. (1) 若 ∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ 50° ， 则 ∠ 3 ＝ _________ ； (2) 若 ∠ 1 ∶∠ 2 ＝ 2 ∶ 3 ， 则 ∠ 3 ＝ __________ ； (3) 若 ∠ 2 － ∠ 3 ＝ 70° ， 则 ∠ 3 ＝ __________ ． 25° 72° 55° 14 ． 如图 ， 直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O. (1) 试写出 ∠ AOC ， ∠ AOE ， ∠ EOC 的对顶角； (2) 试写出 ∠ AOC ， ∠ AOE ， ∠ EOC 的邻补角； (3) 若 ∠ AOC ＝ 50° ， 求 ∠ BOD ， ∠ BOC 的度数． 解： (1) ∠ BOD ， ∠ BOF ， ∠ FOD 　 (2) ∠ AOD 和 ∠ BOC ， ∠ AOF 和 ∠ BOE ， ∠ EOD 和 ∠ COF 　 (3) ∠ BOD ＝ 50° ， ∠ BOC ＝ 130° 15 ． 如图 ， 直线 l 1 ， l 2 ， l 3 交于点 O ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∠ 3 ∶∠ 1 ＝ 8 ∶ 1 ， 求 ∠ 4 的度数． 解：设 ∠ 1 ＝ x° ， 则 ∠ 3 ＝ 8x° ， 由 ∠ 3 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 1 ＝ 180° 可得 8x ＋ x ＋ x ＝ 180 ， 所以 x ＝ 18 ， 则 ∠ 4 ＝ 2 ∠ 1 ＝ 36° 16 ． 如图 ， 已知直线 AB ， CD ， EF 相交于点 O ， OP 平分 ∠ BOF ， ∠ BOE ＝ 90° ， ∠ 1 ＝ 56° ， 求 ∠ AOC ， ∠ EOC ， ∠ COP 的度数． 17 ． 观察以下图形 ， 寻找对顶角及邻补角． (1) 图 ① 中共有 ____ 对对顶角 ， ____ 对邻补角； (2) 图 ② 中共有 ____ 对对顶角 ， ____ 对邻补角； (3) 图 ③ 中共有 ____ 对对顶角 ， ____ 对邻补角； (4) 根据上面的规律 ， 直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有 n 条直线相交于一点 ， 则可形成 _________ 对对顶角 ， ___________ 对邻补角； (5) 若 100 条直线相交于一点 ， 则可形成 ________ 对对顶角 ， _________ 对邻补角． 2 4 6 12 12 24 n(n － 1) 2n(n － 1) 9900 19800 方法技能： 1 ． 邻补角与对顶角都是成对出现的 ， 都是研究两个角之间的位置关系和数量关系． 2 ． 互为邻补角的两个角的和为 180°. 3 ． 对顶角相等． 易错提示： 1 ． 互为邻补角的两个角互补 ， 而互补的两个角不一定互为邻补角． 2 ． 一个角的邻补角有两个 ， 但一个角的补角可以有很多个． 第五章　相交线与平行线 5.1 　相交线 5 . 1.2　垂线 第 1 课时 　 垂线 知识点 1 ：垂直的定义 1 ． 如图 ， OA ⊥ OB ， 若 ∠ 1 ＝ 55° ， 则 ∠ 2 的度数是 ( ) A ． 35° B ． 40° C ． 45° D ． 60° A 2 ．如图 ， 直线 AB 与 CD 相交于点 O ， 已知 OE ⊥ AB ， ∠ BOD ＝ 45° ， 则 ∠ COE 的度数是 ( ) A ． 125° B ． 135° C ． 145° D ． 155° B 3 ． 如图 ， CD⊥EF ， ∠ 1 ＝∠ 2 ， 则 AB⊥EF. 请说明理由． ( 补全解题过程 ) 解：因为 CD⊥EF ， 所以∠ 1 ＝ _______( 垂直的定义 ) ． 因为∠ 2 ＝∠ 1 ＝ ________ ， 所以 AB____EF( 垂直的定义 ) ． 90° 90° ⊥ 知识点 2 ：画垂线 4 ． 下列说法正确的是 ( ) A ． 在同一平面内 ， 过直线外一点向该直线画垂线 ， 垂足一定在该直线上 B ． 在同一平面内 ， 过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线 ， 垂足一定在该线段或射线上 C ． 过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D ． 过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该直线垂直 A 5 ． ( 探究变式 ) 下列选项中 ， 过点 P 画 AB 的垂线 CD ， 三角板放法正确的是 ( ) C 知识点 3 ：垂线的性质 6 ． 在同一平面内 ， 下列语句正确的是 ( ) A ． 过一点有无数条直线与已知直线垂直 B ． 与一条直线垂直的直线有两条 C ． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D ． 两直线相交 ， 则一定垂直 C 7 ． ( 习题 12 变式 ) 如图 ， 如果直线 ON⊥ 直线 a ， 直线 OM⊥ 直线 a ， 那么 OM 与 ON 重合 ， 其理由是 ( ) A ． 过两点只有一条直线 B ． 在同一平面内 ， 过两点有且只有一条直线与已知直线垂直 C ． 在同一平面内 ， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D ． 两点之间 ， 线段最短 C 8 ． 如图 ， OB ⊥ CD 于点 O ， ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， 则 ∠ 2 与 ∠ 3 的关系是 ( ) A ． ∠ 2 ＝ ∠ 3 B ． ∠ 2 与 ∠ 3 互补 C ． ∠ 2 与 ∠ 3 互余 D ．不能确定 C 9 ．如图 ， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， 下列条件中 ， 不能说明 AB ⊥ CD 的是 ( ) A ． ∠ AOD ＝ 90° B ． ∠ AOC ＝ ∠ BOC C ． ∠ BOC ＋ ∠ BOD ＝ 180° D ． ∠ AOC ＋ ∠ BOD ＝ 180° C 10 ． 在直线 MN 上取一点 P ， 过点 P 作射线 PA ， PB ， 使 PA⊥PB ， 当∠ MPA ＝ 40° ， 则∠ NPB 的度数是 ( ) A ． 50° B ． 60° C ． 40° 或 140° D ． 50° 或 130° 11 ． 如图 ， OA⊥OB ， OC⊥OD ， OE 为∠ BOD 的平分线 ， ∠ BOE ＝ 17° ， 则∠ AOC 的度数为 ___________ ． D 146° 12 ．如图 ， AO ⊥ BO ， O 为垂足 ， 直线 CD 过点 O ， 且 ∠ BOD ＝ 2 ∠ AOC ， 则 ∠ BOD ＝ __________ ． 60° 13 ． 如图 ， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， 若 ∠ EOD ＝ 40° ， ∠ BOC ＝ 130° ， 那么射线 OE 与直线 AB 的位置关系是 _____________ ． 互相垂直 14 ． ( 练习 2 变式 ) 如图 ， 钝角 ∠ AOB 中 ， 点 D 在射线 OA 上． (1) 画直线 DC ⊥ OB ， 垂足为 C ； (2) 画直线 DF ⊥ OA. 解：如图 15 ． ( 原创题 ) 著名的比萨斜塔始建于 12 世纪 ， 从建立之日起就一直倾斜着 ， 目前它与地面所成的角中较小的角约为 86°. (1) 它与地面所成的较大的角是多少度？你的依据是什么？ (2) 它相比其他建筑倾斜了多少度？ 解： (1)94° ，邻补角的和是 180° 　 (2)4° 17 ． 如图 ， P 为∠ BAC 内一点 ， PE⊥AC 于 E ， PF⊥AB 于 F ， 连接 EF ， 并延长至 D ， 若∠ 1 ＝∠ 2 ， 判断∠ PFE 与∠ PEF 的大小关系 ， 并说明理由． 解：∠ PFE ＝∠ PEF ， 理由如下：因为 PE⊥AC ， PF⊥AB ， 所以∠ AFP ＝∠ AEP ＝ 90° ， 所以∠ PFE ＋∠ 3 ＝∠ PEF ＋∠ 2 ＝ 90°. 而∠ 1 ＝∠ 3 ， ∠ 1 ＝∠ 2 ， 所以∠ 2 ＝∠ 3 ， 所以∠ PFE ＝∠ PEF 方法技能： 1 ． 垂直的几何语言表达 ： 若 ∠ AOB ＝ 90° ， 则 AO ⊥ BO ， 这是垂直的定义 ； 若 AO ⊥ BO ， 则 ∠ AOB ＝ 90° ， 这是垂直的性质． 2 ． 两条直线垂直是相交的特殊情形 ， 两线垂直包含 ： ① 两线段垂直 ； ② 两直线垂直 ； ③ 线段与射线垂直 ； ④ 线段与直线垂直 ； ⑤ 射线与直线垂直等． 易错提示： 误认为垂足一定要在线段上而出错． 第五章　相交线与平行线 5.1 　相交线 5 . 1.2　垂线 第 2 课时　垂线段 知识点 1 ：垂线段的定义 1 ． 下列说法正确的是 ( ) A ． 垂线段就是垂直于已知直线的线段 B ． 垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直线相交的线段 C ． 垂线段是一条竖起来的线段 D ． 过直线外一点向该直线作垂线 ， 这一点到垂足之间的线段叫做垂线段 D 2 ． 如图 ， 下列说法不正确的是 ( ) A ． 点 B 到 AC 的垂线段是线段 AB B ． 点 C 到 AB 的垂线段是线段 AC C ． 线段 AD 是点 D 到 BC 的垂线段 D ． 线段 BD 是点 B 到 AD 的垂线段 C 知识点 2 ：垂线段的性质 3 ． 如图 ， 这是一条马路上的人行横道线 ， 即斑马线的示意图 ， 请你根据图示判断 ， 在过马路时三条线路 AC ， AB ， AD 中最短的是 ( ) A ． AC B ． AB C ． AD D ．不确定 B 4 ．如图 ， AC⊥CB 于点 C ， CD⊥AB 于点 D ， 下列关系中一定成立的是 ( ) A ． AD ＞ CD B ． CD ＞ BD C ． BC ＞ BD D ． AC ＞ BC C 5 ． 下列各种说法： ① 如图甲 ， 把弯曲的河道 BCA 改直道 BA ， 可以缩短航程 ； ② 如图乙 ， 把渠水引到水池 C 中 ， 可以在渠岸 AB 边上找到一点 D ， 使 CD⊥AB ， 沿 CD 挖水沟 ， 水沟最短 ； ③ 如图丙 ， 甲 、 乙两辆汽车分别从 A 城 、 B 城沿道路 AC ， BC 同时出发开往 C 城 ， 若它们速度相同 ， 那么甲车先到 C 城． 其中运用“垂线段最短”这个性质的是 ________ ． ( 填序号 ) ②③ 知识点 3 ：点到直线的距离的定义 6 ． 如图 ， AC⊥l 2 ， AB⊥l 1 ， 垂足分别为点 A ， B ， 则点 A 到直线 l 1 的距离是线段 ____ 的长 ， 点 C 到直线 l 2 的距离是线段 ____ 的长． AB CA 7 ． ( 2016 · 淄博 ) 如图 ， AB⊥AC ， AD⊥BC ， 垂足分别为 A ， D ， 则图中能表示点到直线距离的线段共有 ( ) A ． 2 条 B ． 3 条 C ． 4 条 D ． 5 条 D 8 ． 直线 m 外有一点 P ， 它到直线 m 上三点 A ， B ， C 的距离分别是 6 cm ， 3 cm ， 5 cm ， 则点 P 到直线 m 的距离为 ( ) A ． 3 cm B ． 5 cm C ． 6 cm D ．不大于 3 cm D 9 ． 如图 ， AD⊥BD 于点 D ， DC⊥BC 于点 C ， AB ＝ a cm ， BC ＝ b cm ， 则 BD 的取值范围是 ( ) A ． 大于 a cm B ． 小于 b cm C ． 大于 a cm 或小于 b cm D ． 大于 b cm 且小于 a cm D 10 ． ( 原创题 ) 如图 ， 有三条公路 ， 其中 AC 与 AB 垂直 ， 小明和小亮分别沿 AC ， BC 同时出发骑车到 C 城 ， 若他们同时到达 ， 则下列判断中正确的是 ( ) A ． 小明骑车的速度快 B ． 小亮骑车的速度快 C ． 两人一样快 D ． 因为不知道公路的长度 ， 所以无法判断他们速度的快慢 B 11 ． ( 练习变式 ) 如图 ， BC⊥AC ， AB ＝ 5 cm ， BC ＝ 4 cm ， AC ＝ 3 cm ， 则点 B 到 AC 的距离为 ____ cm ， 点 A 到 BC 的距离为 ____ cm ， 点 C 到 AB 的距离为 ____ cm ， 此时 ， AC ＋ BC ＞ AB 的数学依据是 ____________________ ， AB ＞ BC 的数学依据是 ____________ ． 12 ． 直线 a 与直线 b 相交于点 A ， 则直线 b 上到直线 a 的距离等于 2 cm 的点有 ____ 个． 4 3 两点之间，线段最短 垂线段最短 2 13 ． ( 习题 10 变式 ) 如图 ， 小云参加跳远比赛 ， 他从地面跳板 P 处起跳落到沙坑中 ， 两脚印分别为 A ， B 两点 ， 人未站稳 ， 一只手撑到沙坑 C 点．请你画出小云跳远成绩所在的垂线段 ， 并说明理由． 解：过点 C 作直线 l 的垂线 ， 垂足为 D ， 则 CD 为小云跳远成绩所在的垂线段 ， 因为跳远时以身体落地最近点到跳板所在直线的距离来计成绩 14 ． ( 思考变式 ) 小明从家 A 点去外婆家 B 点拿渔具 ， 然后去河边钓鱼 ， 怎样走路线最短？请画出出行路线并说明理由． 解：连接 AB ， 过点 B 作河的垂线 BC ， 垂足为 C. 小明去外婆家拿渔具 ， 沿线段 AB 走 ， 因为“两点之间 ， 线段最短”；从外婆家去河边钓鱼沿 BC 走 ， 因为“垂线段最短” 15 ． 如图 ， 平原上有 A ， B ， C ， D 四个村 ， 为了解决当地缺水问题 ， 政府准备投资修建一个蓄水池． (1) 不考虑其他因素 ， 请你在图中确定蓄水池 H 的位置 ， 使它与四个村庄的距离之和最小； (2) 计划把河中的水引入蓄水池 H 中 ， 怎样挖渠可使渠道最短？并说明理由． 解： (1) 如图 ， 连接 AD ， BC 交于点 H ， 则点 H 为所求蓄水池的位置 (2) 过点 H 作 HR ⊥ EF 于 R ， 沿 HR 挖渠可使渠道最短 ， 理由是垂线段最短 方法技能： 1 ． 垂线段是一个几何图形 ， 没有数量关系 ， 而垂线段的长度才是点到直线的距离． 2 ． 两点之间的距离是连接两点之间的线段的长度 ； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度． 易错提示： 垂线段与点到直线的距离区别不清而出错． 第五章　相交线与平行线 5.1 　相交线 5 . 1.3　同位角、内错角、同旁内角 知识点 1 ：同位角 1 ． 如图 ， 在所标识的角中 ， 同位角是 ( ) A ． ∠ 1 和∠ 2 B ． ∠ 1 和∠ 3 C ． ∠ 1 和∠ 4 D ． ∠ 2 和∠ 3 C 2 ． 下列图形中 ， ∠ 1 和∠ 2 是同位角的有 ( ) D A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 知识点 2 ：内错角 3 ． 如图 ， 两只手的食指和大拇指在同一个平面内 ， 它们构成的一对角可看成是 ___________ ． 内错角 4 ．如图 ， 与∠ 1 是内错角的是 ( ) A ． ∠ 2 B ．∠ 3 C ．∠ 4 D ．∠ 5 B 5 ． 下列图形中 ， ∠ 1 和∠ 2 不是内错角的是 ( ) C 知识点 3 ：同旁内角 6 ． 如图 ， 直线 AB ， CD 被直线 EF 所截 ， 则∠ 3 的同旁内角是 ( ) A ． ∠ 1 B ．∠ 2 C ．∠ 4 D ．∠ 5 B 7 ．如图 ， 和∠ A 是同旁内角的角有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 D 8 ． 如图 ， 如果∠ 1 ＝ 40° ， ∠ 2 ＝ 100° ， 则∠ 3 的同旁内角等于 _________ ． 100° 9 ． ( 2016 · 福州 ) 如图 ， 直线 a ， b 被直线 c 所截 ， ∠ 1 与∠ 2 的位置关系是 ( ) A ． 同位角 B ．内错角 C ． 同旁内角 D ．对顶角 B 10 ．如图 ， 下列说法错误的是 ( ) A ． ∠ 1 和∠ 3 是同位角 B ．∠ 1 和∠ 5 是同位角 C ． ∠ 1 和∠ 2 是同旁内角 D ．∠ 5 和∠ 6 是内错角 B 11 ． 如图 ， 根据图形填空： (1)∠1 和∠ 2 是直线 ___________ 被直线 ____ 所截形成的 ____ 角； (2)∠1 和∠ 3 是直线 ___________ 被直线 ____ 所截形成的 ____ 角； (3)∠1 和∠ 4 是直线 __________ 被直线 ________ 所截形成的 _________ 角． AB ， CD EF 内错 EF ， EG CD 同位 EF ， EG CD 同旁内 12 ． 如图 ， 与∠ 1 是同位角的是 _________ ， 与∠ 2 是内错角的是 ________ ， 与∠ A 是同旁内角的是 _________________ ． ∠B ∠A ∠B 和∠ ACB 13 ． ( 例题 2 变式 ) 如图 ， 三条直线两两相交 ， 请指出∠ 1 与其他有标号的角构成什么角？ 解：∠ 1 与∠ 2 是邻补角 ， ∠ 1 与∠ 3 是对顶角 ， ∠ 1 与∠ 4 是邻补角 ， ∠ 1 与∠ 5 是同旁内角 ， ∠ 1 与∠ 6 是内错角 ， ∠ 1 与∠ 7 是同旁内角 ， ∠ 1 与∠ 8 是同位角 14. 如图 ， (1) 指出直线 AB ， CD 被 AC 所截形成的内错角； (2) 指出直线 AB ， CD 被 BE 所截形成的同位角； (3) 找出图中∠ 1 的所有同旁内角． 解： (1)∠3 和∠ 4 (2)∠B 和∠ DCE (3)∠4 ， ∠ D ， ∠ ACE 15 ． ( 练习 2 变式 ) 如图 ， ∠ A 与哪个角是内错角？∠ B 与哪个角是同位角？它们分别是哪两条直线被哪条直线所截形成的？ 解：∠ ACD ， ∠ ACE ；∠ ACE ， ∠ DCE ；∠ A 与∠ ACD 是直线 AB 和 CD 被直线 AC 所截形成的内错角 ， ∠ A 与∠ ACE 是直线 AB 和 BE 被直线 AC 所截形成的内错角 ， ∠ B 与∠ ACE 是直线 AB 和 AC 被直线 BE 所截形成的同位角 ， ∠ B 与∠ DCE 是直线 AB 和 CD 被直线 BE 所截形成的同位角 16 ． 两条直线被第三条直线所截 ， ∠ 1 和∠ 2 是同旁内角 ， ∠ 3 和∠ 2 是内错角． (1) 根据上述条件 ， 画出符合题意的示意图； (2) 若∠ 1 ＝ 3∠2 ， ∠ 2 ＝ 3∠3 ， 求∠ 1 ， ∠ 2 的度数． 17 ． (1) 如图 1 ， 两条水平的直线被一条直线所截 ， 同位角有 ____ 对 ， 内错角有 ____ 对 ， 同旁内角有 ____ 对； (2) 如图 2 ， 三条水平的直线被一条直线所截 ， 同位角有 ____ 对 ， 内错角有 ____ 对 ， 同旁内角有 ____ 对； (3) 根据以上探究的结果 ， n(n 为大于 1 的整数 ) 条水平直线被一条直线所截 ， 同位角有 ____________ 对 ， 内错角有 __________ 对 ， 同旁内角有 ____________ 对． ( 用含 n 的式子表示 ) 4 2 2 12 6 6 2n(n － 1) n(n － 1) n(n － 1) 方法技能： 1 ． 同位角 、 内错角 、 同旁内角的判断主要是根据两条直线被第三条直线所截而得到的角的位置特点来区分 ， 要注意分清是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的． 2 ． 两条直线被第三条直线所截得到的 8 个角中 ， 有 4 对同位角 ， 2 对内错角 ， 2 对同旁内角． 易错提示： 识别同位角 、 内错角 、 同旁内角的关键是看两个角有没有一条边在同一直线 ( 截线 ) 上 ， 如果没有 ， 就不是这三种角． 第五章　相交线与平行线 5．2　平行线及其判定 5 . 2.1　平行线 知识点 1 ：平行线 1 ． 下列生活实例： ① 交通路口的斑马线 ； ② 天上的彩虹 ； ③ 百米跑道线 ； ④ 一段平直的火车铁轨线． 其中属于平行线的有 ________ ． ①③④ 2 ． 在同一平面内 ， ____________ 的两条直线叫做平行线．如图 ， AB 平行于 CD ， 可表示为 _____________ ． 不相交 AB∥CD 3 ． ( 思考变式 ) 在同一平面内 ， 直线 a 与 b 满足下列条件 ， 写出其对应的位置关系： (1)a 与 b 没有公共点 ， 则 a 与 b___________ ； (2)a 与 b 有且只有一个公共点 ， 则 a 与 b_________ ； (3)a 与 b 有两个公共点 ， 则 a 与 b___________ ． 4 ． 在同一平面内 ， 不重合的两条直线的位置关系可能是 ( ) A ． 平行 B ．垂直或平行 C ． 相交或平行 D ．相交或垂直 平行 相交 重合 C 5 ． 下列说法正确的是 ( ) A ． 同一平面内没有公共点的两条线段平行 B ． 两条不相交的直线是平行线 C ． 同一平面内没有公共点的两条直线平行 D ． 同一平面内没有公共点的两条射线平行 C 6 ． ( 习题 9 变式 ) 如图 ， 完成下列各题： (1) 用直尺在网格中完成：①画出直线 AB 的一条平行线 ， ②经过点 C 画直线垂直于 CD ； (2) 用符号表示上面① ， ②中的平行、垂直关系． 解：略 知识点 2 ：平行线的基本事实及推论 7 ． 过一点画已知直线的平行线 ， 则 ( ) A ． 有且只有一条 B ．可能有两条 C ． 不存在 D ．不存在或只有一条 8 ． 若直线 a∥b ， b∥c ， 则 a∥c 的依据是 ( ) A ． 平行线的基本事实 B ． 等量代换 C ． 等式的性质 D ． 平行于同一条直线的两条直线平行 D D 9 ． 如图 ， PC∥AB ， QC∥AB ， 则点 P ， C ， Q 在一条直线上．理由是 _______________________________________________________ ． 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 10 ．如图 ， P ， Q 分别是直线 EF 外两点 ， 画图并回答问题： (1) 过点 P 画直线 AB∥EF ， 过点 Q 画直线 CD∥EF ； (2)AB 与 CD 有怎样的位置关系？为什么？ 解： (1) 图略　 (2)AB∥CD. 理由：因为 AB∥EF ， CD∥EF ， 所以 AB∥CD( 如果两条直线都与第三条直线平行 ， 那么这两条直线也互相平行 ) 11 ． 如图 ， 经过直线 a 外一点 O 的 4 条直线中 ， 与直线 a 相交的直线至少有 ( ) A ． 4 条 B ． 3 条 C ． 2 条 D ． 1 条 B 12 ．如图 ， 若 AB∥CD ， 经过点 E 可画 EF∥AB ， 则 EF 与 CD 的位置关系是 __________ ， 其理由是 __________________________________________________________ ． 平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 13 ． 观察如图所示的正方体 ， 用符号表示下列两棱的位置关系： AA 1 ____AB ； BB 1 ____DD 1 ； A 1 C 1 ____AC ； AD 1 ____BC 1 ； CC 1 ____A 1 C 1 ； B 1 C 1 ____C 1 D 1 . ⊥ ∥ ∥ ∥ ⊥ ⊥ 14 ． ( 思考变式 ) 如图，直线 AB ， CD 是一条河的两岸，并且 AB∥CD ，点 E 为直线 AB ， CD 外一点，若要过点 E 作河岸 CD 的平行线，则只需过点 E 作河岸 AB 的平行线即可，其理由是什么？这样的直线能作多少条？为什么？ 解：其理由是：如果两条直线都与第三条直线平行 ， 那么这两条直线也互相平行；这样的直线只能作 1 条 ， 因为经过直线外一点 ， 有且只有一条直线与这条直线平行 15 ． 如图 ， 将一张长方形硬纸片对折 ， MN 是折痕 ， 把面 ABNM 平放在桌面上 ， 另一个面 CDMN 任意改变位置 ， 试探索 AB 与 CD 的位置关系 ， 并说明理由． 解：因为 MN 为长方形纸片对折折痕，所以 MN∥AB ， MN∥CD ，所以 AB∥CD ，理由：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 16 ． ( 练习变式 ) 如图 ， 在∠ AOB 的内部有一点 P ， ∠ AOB ＝ 60°. (1) 过点 P 作 PC∥OA ， PD∥OB ； (2) 量出∠ CPD 的度数 ， 说出它与∠ AOB 的关系． 解： (1) 画图略　 (2)∠CPD ＝ 60° 或 120° ，它与∠ AOB 相等或互补 17 ． 在同一平面内 ， 三条直线有多少个交点？ 甲：在同一平面内 ， 三条直线有 0 个交点 ， 因为 a∥b∥c ， 如图①； 乙：在同一平面内 ， 三条直线只有 1 个交点 ， 因为 a ， b ， c 交于同一点 ， 如图② . 以上说法谁对谁错？为什么？ 方法技能： 1 ． 在同一平面内 ， 不相交的两条直线互相平行． 2 ． 在同一平面内 ， 不重合的两条直线只有两种位置关系 ： 相交和平行． 3 ． 经过直线外一点 ， 有且只有一条直线与这条直线平行． 4 ． 如果两条直线都与第三条直线平行 ， 那么这两条直线也互相平行． 易错提示： 在同一平面内 ， 不重合的两条直线只有两种位置关系 ， 其中 “ 在同一平面内 ” 这一条件不能少． 第五章　相交线与平行线 5．2　平行线及其判定 5 . 2.2　平行线的判定 知识点 1 ：同位角相等 ， 两直线平行 1 ． ( 2016 · 百色 ) 如图 ， 直线 a ， b 被 c 所截 ， 下列条件能使 a∥b 的是 ( ) A ． ∠ 1 ＝∠ 6 B ．∠ 2 ＝∠ 6 C ． ∠ 1 ＝∠ 3 D ．∠ 5 ＝∠ 7 B 2 ．如图 ， 若∠ 1 ＝∠ 2 ， 则 ( ) A ． a∥b B ． c∥d C ． a∥b 或 c∥d D ．以上都不对 B 3 ． ( 思考变式 ) 如图 ， 是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图 ， 画图的原理是 ________________________ ． 同位角相等，两直线平行 知识点 2 ：内错角相等 ， 两直线平行 4 ． 如图 ， 下列推理错误的是 ( ) A ． ∵∠ 1 ＝∠ 2 ， ∴ c∥d B ．∵∠ 3 ＝∠ 4 ， ∴ c∥d C ． ∵∠ 1 ＝∠ 3 ， ∴ a∥b D ．∵∠ 1 ＝∠ 4 ， ∴ a∥b C 5 ． 如图 ， 已知∠ 1 ＝∠ 2 ， 则图中互相平行的线段是 ______________. AB∥CD 6 ．如图 ， 将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起 ， 观察图形 ， 在线段 AB ， AC ， AE ， ED ， EC ， BC 中 ， 相互平行的线段有 ____ 组． 3 知识点 3 ：同旁内角互补 ， 两直线平行 7 ． 如图 ， 下列条件中能判断直线 l 1 ∥l 2 的是 ( ) A ． ∠ 1 ＝∠ 2 B ．∠ 1 ＝∠ 5 C ． ∠ 1 ＋∠ 3 ＝ 180° D ．∠ 3 ＝∠ 5 C 8 ．如图 ， 下列条件中不能得出两直线平行的是 ( ) A ． ∠ 2 ＝∠ 6 B ．∠ 3 ＋∠ 5 ＝ 180° C ． ∠ 4 ＋∠ 6 ＝ 180° D ．∠ 1 ＝∠ 4 D 9 ．如图，∠ 1 ＝ 120° ，∠ C ＝ 60° ，判断 AB 与 CD 是否平行？为什么？ 解： AB∥CD. 理由：∵∠ 1 ＝ 120° ， ∴∠ 2 ＝∠ 1 ＝ 120° ， ∵∠ C ＝ 60° ， ∴∠ 2 ＋∠ C ＝ 180° ， ∴ AB∥CD 10 ． 如图 ， 在下列条件中 ， 能判断 AD∥BC 的是 ( ) A ． ∠ DAC ＝∠ BCA B ． ∠ DCB ＋∠ ABC ＝ 180° C ． ∠ ABD ＝∠ BDC D ． ∠ BAC ＝∠ ACD A 11 ．对于图中标记的各角 ， 下列条件能够推理得到 a∥b 的是 ( ) A ． ∠ 1 ＝∠ 2 B ．∠ 2 ＝∠ 4 C ． ∠ 3 ＝∠ 4 D ．∠ 1 ＋∠ 4 ＝ 180° D 12 ． 如图 ， 下列条件中不能判断直线 l 1 ∥l 2 的是 ( ) A ． ∠ 1 ＝∠ 3 B ．∠ 2 ＝∠ 3 C ． ∠ 4 ＝∠ 5 D ．∠ 2 ＋∠ 4 ＝ 180° B 13 ．如图 ， 完成下面的推理： ∵∠ A ＝ 75° ， ∠ 1 ＝ 75°( 已知 ) ， ∴∠ A ＝ _______(_____________) ， ∴ _______∥________(_____________________________) ． ∵∠ 2 ＝∠ 1(___________________) ， ∠ 3 ＝ 105°( 已知 ) ， ∴ ________ ＋∠ 3 ＝ 180° ， ∴ ____∥____(_______________________________) ． ∠1 等量代换 AM EN 同位角相等，两直线平行 对顶角相等 ∠2 AB CD 同旁内角互补，两直线平行 14 ．如图，已知∠ ACD ＝ 70° ，∠ ACB ＝ 60° ，∠ ABC ＝ 50° ，试说明： AB∥CD. 解：∵∠ ACD ＝ 70° ， ∠ ACB ＝ 60° ， ∴∠ BCD ＝∠ ACD ＋∠ ACB ＝ 70° ＋ 60° ＝ 130°.∵∠ABC ＝ 50° ， ∴∠ BCD ＋∠ ABC ＝ 130° ＋ 50° ＝ 180° ， ∴ AB∥CD 15 ． ( 2016· 淄博 ) 如图，一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案，其中∠ 1 ＝ 50° ，∠ 2 ＝ 50° ，∠ 3 ＝ 130° ，找出图中的平行线，并说明理由． 解： OA∥BC ， OB∥AC. 理由：∵∠ 1 ＝ 50° ， ∠ 2 ＝ 50° ， ∴∠ 1 ＝∠ 2 ， ∴ OB∥AC.∵∠3 ＝ 130° ， ∴∠ 2 ＋∠ 3 ＝ 180° ， ∴ OA∥BC 16 ． 如图 ， 直线 EF 分别与直线 AB ， CD 相交于点 P ， Q ， PG 平分∠ APQ ， QH 平分∠ DQP ， 且∠ 1 ＝∠ 2 ， 找出图中的平行线 ， 并说明理由． 17 ． 如图 ， ∠ B ＝ 45° ， ∠ BED ＝ 75° ， ∠ D ＝ 30° ， 猜想 AB 与 CD 有怎样的位置关系？并说明理由． 解： AB∥CD. 理由：在∠ BED 内作∠ BEF ＝ 45° ， 则∠ B ＝∠ BEF ＝ 45° ， ∴ AB∥EF.∵∠BED ＝ 75° ， ∴∠ FED ＝∠ BED －∠ BEF ＝ 75° － 45° ＝ 30° ， ∴∠ FED ＝∠ D ＝ 30° ， ∴ EF∥CD ， ∴ AB∥CD 方法技能： 平行线的判定方法 ： (1) 定义 ： 在同一平面内 ， 不相交的两条直线互相平行 ； (2) 如果两条直线都与第三条直线平行 ， 那么这两条直线也互相平行 ； (3) 同位角相等 ， 两直线平行 ； (4) 内错角相等 ， 两直线平行 ； (5) 同旁内角互补 ， 两直线平行． 易错提示： 1 ． 对 “ 三线八角 ” 理解错误导致说明两直线平行时出错． 2 ． 用错或用混两直线平行的判定条件． 第五章　相交线与平行线 5．3　平行线的性质 5 . 3.1　平行线的性质 知识点 1 ：两直线平行 ， 同位角相等 1 ． (2016 · 黄冈 ) 如图 ， 直线 a∥b ， ∠ 1 ＝ 55° ， 则∠ 2 ＝ ( ) A ． 35° B ． 45° C ． 55° D ． 65° C 2 ． ( 2016 · 吉林 ) 如图 ， AB∥CD ， 直线 EF 分别交 AB ， CD 于 M ， N 两点 ， 将一个含有 45° 角的直角三角尺按如图所示的方式摆放 ， 若∠ EMB ＝ 75° ， 则∠ PNM 等于 ____ 度． 30 知识点 2 ：两直线平行 ， 内错角相等 3 ． ( 2017 · 桂林模拟 ) 如图 ， 直线 a∥b ， c 是截线 ， 则∠ 1 的度数是 ( ) A ． 55° B ． 75° C ． 110° D ． 125° A 4 ． ( 2016 · 随州 ) 如图 ， 直线 a∥b ， 直线 c 分别与 a ， b 相交于 A ， B 两点 ， AC⊥AB 于点 A ， 交直线 b 于点 C. 已知∠ 1 ＝ 42° ， 则∠ 2 的度数是 ( ) A ． 38° B ． 42° C ． 48° D ． 58° C 知识点 3 ：两直线平行 ， 同旁内角互补 5 ． ( 2016 · 荆州 ) 如图 ， AB∥CD ， 射线 AE 交 CD 于点 F ， 若∠ 1 ＝ 115° ， 则∠ 2 的度数是 ( ) A ． 55° B ． 65° C ． 75° D ． 85° B 6 ． ( 2016 · 大连 ) 如图 ， 直线 AB∥CD ， AE 平分∠ CAB ， AE 与 CD 相交于点 E ， ∠ ACD ＝ 40° ， 则∠ BAE 的度数是 ( ) A ． 40 ° B ． 70 ° C ． 80 ° D ． 140 ° B 知识点 4 ：平行线的性质与判定的综合运用 7 ． 如图 ， ∠ 1 ＝∠ 2 ， ∠ A ＝ 75° ， 则∠ ADC ＝ _________ ． 105° 8 ．如图 ， 已知直线 c⊥a ， c⊥b ， 直线 b ， c ， d 交于一点 ， 若∠ 1 ＝ 50° ， 则∠ 2 等于 ( ) A ． 60° B ． 50° C ． 40° D ． 30° B 9 ． ( 例题 1 变式 ) 如图，已知∠ 1 ＝ 120° ，∠ 2 ＝ 120° ，∠ 3 ＝ 100° ，求∠ 4 的度数． 解：∵∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 120° ， ∴ a∥b ， ∴ ∠ 3 ＋∠ 5 ＝ 180°.∵∠4 ＝∠ 5 ， ∴∠ 3 ＋∠ 4 ＝ 180°.∵∠3 ＝ 100° ， ∴∠ 4 ＝ 80° 10 ． 如图 ， 已知 BE∥CF ， 若要 AB∥CD ， 则需使 ( ) A ． ∠ 1 ＝∠ 3 B ．∠ 2 ＝∠ 4 C ． ∠ 1 ＝∠ 4 D ．∠ 3 ＝∠ 4 D 11 ． ( 2016 · 十堰 ) 如图 ， AB∥EF ， CD⊥EF 于点 D ， 若∠ ABC ＝ 40° ， 则∠ BCD ＝ ( ) A ． 140° B ． 130° C ． 120° D ． 110° B 12 ． ( 习题 1 变式 ) 如图 ， 一条公路修到湖边时 ， 需拐弯绕湖而过 ， 如果第一次的拐角∠ A ＝ 120° ， 第二次的拐角∠ B ＝ 150° ， 第三次的拐角是∠ C ， 这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行 ， 则∠ C 的度数是 ( ) A ． 120° B ． 130° C ． 150° D ． 165° 13 ． 已知∠ 1 的两边分别与∠ 2 的两边平行 ， 若∠ 1 ＝ 40° ， 则∠ 2 ＝ ___________________ ． C 40° 或 140° 15 ．如图，已知 AD⊥BC 于点 D ， GE⊥BC 于点 E ，∠ 1 ＝∠ G ，试说明： AD 平分∠ BAC. 解： ∵ AD⊥BC ，∴∠ ADB ＝ 90° ，∵ GE⊥BC ，∴∠ GEB ＝ 90° ，∴∠ ADB ＝∠ GEB ＝ 90° ，∴ AD∥EG ，∴∠ 1 ＝∠ BAD ，∠ G ＝∠ CAD.∵∠1 ＝∠ G ，∴∠ BAD ＝∠ CAD ，∴ AD 平分∠ BAC 16 ．如图，∠ 1 ＝∠ 3 ，∠ B ＝∠ C ，试说明：∠ A ＝∠ D. 解： ∵∠ 1 ＝∠ 3 ，∠ 2 ＝∠ 3 ，∴∠ 1 ＝∠ 2 ，∴ AF∥DE ，∴∠ D ＝∠ CFA ，又∵∠ B ＝∠ C ，∴ AB∥CD ，∴∠ A ＝∠ CFA ，∴∠ A ＝∠ D 17 ．如图，∠ 1 ＋∠ 2 ＝ 180° ，∠ 3 ＝∠ B ，试判断∠ AED 与∠ C 的大小关系，并说明你的理由． 解： ∠ AED ＝∠ C. 理由：∵∠ 1 ＋∠ 2 ＝ 180° ，∠ 1 ＋∠ 4 ＝ 180° ，∴∠ 2 ＝∠ 4 ，∴ EF∥AB ，∴∠ 3 ＝∠ ADE ，又∵∠ 3 ＝∠ B ，∴∠ ADE ＝∠ B ，∴ DE∥BC ，∴∠ AED ＝∠ C 方法技能： 1 ． 在解决含有平行线的问题时 ， 通常利用平行线的性质来进行角度的转化与计算． 2 ． 平行线的性质 ： ① 两直线平行 ， 同位角相等 ； ② 两直线平行 ， 内错角相等 ； ③ 两直线平行 ， 同旁内角互补． 易错提示： 误认为只要是同位角 、 内错角就相等 ， 同旁内角就互补 ， 而忽视了 “ 两直线平行 ” 这一前提条件． 第五章　相交线与平行线 5．3　平行线的性质 5 . 3.2　命题、定理、证明 知识点 1 ：命题 1 ． 下列语句不是命题的是 ( ) A ． 两条直线相交只有一个交点 B ． 对顶角相等 C ． 不是对顶角不相等 D ． 作∠ AOB 的平分线 2 ． 下列语句： ① 两点之间 ， 线段最短 ； ② 画线段 AB ＝ 3 cm ；③ 直角都相等 ； ④ 如果 a ＝ b ， 那么 a 2 ＝ b 2 ； ⑤ 同旁内角互补 ， 两直线平行吗 ？ 其中是命题的有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 D C 知识点 2 ：命题的结构 3 ． 命题“同角的余角相等”的题设是 ( ) A ． 两个角是同角 B ． 两个角是余角 C ． 两个角是同角的余角 D ． 两个角相等 4 ． 命题“邻补角相等”的题设是 _________________________ ， 结论是 __________________ ． 5 ． 把命题“同旁内角互补”写成“如果 …… 那么 …… ” 的形式为 ________________________________________________________ ． C 两个角互为邻补角 这两个角相等 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补 知识点 3 ：命题的真假 6 ． 命题“相等的角是对顶角”是 ____ 命题． ( 填“真”或“假” ) 7 ． 下列各命题中 ， 属于假命题的是 ( ) A ． 若 a － b ＝ 0 ， 则 a ＝ b ＝ 0 B ． 若 a － b ＞ 0 ， 则 a ＞ b C ． 若 a － b ＜ 0 ， 则 a ＜ b D ． 若 a － b≠0 ， 则 a≠b 假 A 8 ． 下列命题： ① 两直线平行 ， 同位角相等 ； ② 如果 x 2 ＝ 4 ， 那么 x ＝ 2 ；③ 经过一点有且只有一条直线平行于已知直线 ； ④ 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直． 其中假命题有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 B 知识点 4 ：定理与证明 9 ． “垂线段最短”有下列说法： ① 是命题 ； ② 是假命题 ； ③ 是真命题 ； ④ 是定理． 其中正确的说法有 ( ) A ． ①②③ B ．①③④ C ． ②③④ D ．①②④ B 10 ． 在下面的括号内 ， 填上推理的根据： (1) 如图① ， 已知 AB∥CD ， BE∥CF ， 求证：∠ B ＋∠ C ＝ 180°. 证明：∵ AB∥CD( 已知 ) ， ∴∠ B ＝∠ BGC(__________________________________) ． ∵ BE∥CF( 已知 ) ， ∴∠ BGC ＋∠ C ＝ 180°(___________________________________) ， ∴∠ B ＋∠ C ＝ 180°(_________________) ． 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 (2) 如图② ， 已知 AD⊥BC 于点 D ， DE∥AB ， ∠ 1 ＝∠ 3 ， 求证： FG⊥B C . 证明：∵ DE∥AB( 已知 ) ， ∴∠ 1 ＝∠ 2(_____________________________________) ． 又∵∠ 1 ＝∠ 3( 已知 ) ， ∴∠ 2 ＝∠ 3(______________) ， ∴ AD∥FG(________________________________) ， ∴∠ BGF ＝∠ BDA(_______________________________) ． ∵ AD⊥BC( 已知 ) ， ∴∠ BDA ＝ 90°(__________________) ， ∴∠ BGF ＝ 90°(_________________) ， ∴ FG⊥BC(___________________) ． 两直线平行，内错角相等 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 垂直的性质 等量代换 垂直的定义 11 ． 下列说法正确的是 ( ) A ． 互补的两个角是邻补角 B ． 两直线平行 ， 内错角互补 C ． “平行于同一条直线的两直线平行”不是命题 D ． “相等的两个角是对顶角”是假命题 12 ． 已知命题 A ：任何偶数都是 8 的整数倍．在下列选项中 ， 可以作为“命题 A 是假命题”的反例的是 ( ) A ． 2k B ． 15 C ． 24 D ． 42 D D 13 ． 已知三条不同的直线 a ， b ， c 在同一平面内 ， 下列四个命题： ① 如果 a∥b ， a ⊥ c ， 那么 b ⊥ c ； ② 如果 b ∥ a ， c ∥ a ， 那么 b∥c ；③ 如果 b⊥a ， c ⊥ a ， 那么 b ⊥ c ；④ 如果 b⊥a ， c ⊥ a ， 那么 b ∥ c. 其中真命题是 ____________.( 填序号 ) ①②④ 14 ． ( 练习 1 变式 ) 分别指出下列命题的题设和结论 ， 并判断命题的真假： (1) 两条直线被第三条直线所截 ， 同位角相等； (2) 个位数是 3 的整数一定能被 3 整除； (3) 对顶角的平分线在同一条直线上． 解： (1) 题设：两条直线被第三条直线所截 ， 结论：同位角相等 ， 是假命题　 (2) 题设：个位数是 3 的整数 ， 结论：一定能被 3 整除 ， 是假命题　 (3) 题设：对顶角的平分线 ， 结论：在同一条直线上 ， 是真命题 15 ． ( 练习 2 变式 ) 分别指出下列命题的题设和结论 ， 并判断是真命题还是假命题 ， 如果是假命题 ， 请举一个反例说明． (1) 同旁内角互补 ， 两直线平行； (2) 如果 a 2 ＝ b 2 ， 那么 a ＝ b ； (3) 如果 ac ＝ bc ， 那么 a ＝ b ； (4) 互补的两个角一定是一个为锐角 ， 另一个为钝角． 解： (1) 题设：同旁内角互补 ， 结论：两直线平行 ， 是真命题　 (2) 题设： a 2 ＝ b 2 ， 结论： a ＝ b ， 是假命题．例如： ( － 2) 2 ＝ 2 2 ， 但－ 2≠2 　 (3) 题设： ac ＝ bc ， 结论： a ＝ b ， 是假命题．例如： 3×0 ＝ 2×0 ， 但 3≠2 　 (4) 题设：两个角互补 ， 结论：一个为锐角 ， 一个为钝角 ， 是假命题．例如：两个直角互补 16 ． ( 习题 13 变式 ) 如图 ， 已知∠ ABC ＝∠ ACB ， BD 平分∠ ABC ， 交 AC 于点 D ， CE 平分∠ ACB ， 交 AB 于点 E ， ∠ DBF ＝∠ F ， 求证： EC∥DF. 17 ． 已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截 ， 那么一对内错角的平分线互相平行”． (1) 写出命题的题设和结论； (2) 画出符合命题的几何图形； (3) 用几何符号表述这个命题； (4) 说明这个命题是真命题的理由． 方法技能： 1 ． 判断一个命题是真命题 ， 可以从公理或定理出发 ， 用逻辑推理的方法证明． 2 ． 判断一个命题是假命题 ， 只要举出一个例子 ， 说明该命题不成立就可以了 ， 这种方法称为举反例． 易错提示： 命题必须是一个完整的句子且必须具有判断作用． 第五章　相交线与平行线 5.4　平移 知识点 1 ：平移的定义 1 ． 下列现象中 ， 属于平移的是 ( ) A ． 乒乓球比赛中乒乓球的运动 B ． 空中放飞的风筝的运动 C ． 推拉窗的窗扇在滑道上的滑行运动 D ． 温度计中水银柱上下移动 C 2 ．小明读了“子非鱼焉知鱼之乐乎”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，则右图中所示的图案通过平移后得到的图案是 ( ) D 3 ．下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是 ( ) C 知识点 2 ：平移的性质 4 ． 通过平移得到的图形中的每一个点与原图形中的对应点所连线段 ( ) A ． 平行 B ． 在同一条直线上 C ． 相等 D ． 平行 ( 或在同一条直线上 ) 且相等 5 ． 如图 ， 三角形 ABC 平移得到三角形 DEF ， 下列结论：① AD∥BE ；② BE∥CF ；③ AD ＝ BE ；④ BE ＝ CF ， 其中正确的是 ( ) A ． ①②③④ B ．①③ C ． ②④ D ．①② D A 6 ． ( 2016 · 台州 ) 如图 ， 把三角板的斜边紧靠直尺平移 ， 一个顶点从刻度“ 5” 平移到刻度“ 10” ， 则顶点 C 平移的距离 CC′ ＝ ____. 5 7 ．如图 ， 将三角形纸板 ABC 沿直线 AB 向右平行移动 ， 使顶点 A 到达顶点 B 的位置 ， 若∠ CAB ＝ 50° ， ∠ ABC ＝ 100° ， 则∠ EBD ＝ ____° ， ∠ EDB ＝ ____°. 50 100 知识点 3 ：平移作图 8 ． 在 6×6 方格中 ， 将图①中的图形 N 平移后位置如图②所示 ， 则图形 N 的平移方法中 ， 正确的是 ( ) D A ． 向下移动 1 格 B ．向上移动 1 格 C ． 向上移动 2 格 D ．向下移动 2 格 9 ．如图，将箭头 ABCD 在网格中平移，当点 A 移动到点 P 位置时，点 C 移到的位置为点 ____ ． R 10 ． ( 例题变式 ) 作图：平移 △ ABC ， 使点 A 移动到点 D ， 画出平移后的 △ DEF. 解：画图略 11 ． 下列图形中 ， 周长最长的是 ( ) B 12 ． ( 2016 · 济宁 ) 如图 ， 将三角形 ABE 向右平移 2 cm 得到三角形 DCF ， 如果三角形 ABE 的周长是 16 cm ， 那么四边形 ABFD 的周长是 ( ) A ． 16 cm B ． 18 cm C ． 20 cm D ． 21 cm C 13 ．如图 ， 直角三角形 AOB 的周长为 100 ， 在其内部有 6 个小直角三角形 ， 则 6 个小直角三角形的周长和为 _________ ． 100 14 ． 如图 ， 方格纸中有一条美丽可爱的小鱼． (1) 若方格的边长为 1 ， 则小鱼的面积为 ____ ； (2) 画出小鱼向左平移 9 格后的图形． ( 不要求写作图步骤和过程 ) 16 解：画图略 15 ． ( 习题 4 变式 ) 如图 ， 将直角三角形 ABC 沿 AB 方向平移得到直角三角形 DEF ， 已知 BE ＝ 6 ， EF ＝ 8 ， CG ＝ 3 ， 求阴影部分的面积． 16 ． 白云宾馆在装修时 ， 准备在主楼梯上铺上红地毯 ， 已知这种地毯每平方米售价 30 元 ， 主楼梯宽 2 m ， 其侧面如图所示 ， 则购买这种地毯至少需要多少元？ 解：由平移的性质可知：铺设主楼梯所需红地毯的长至少为 5.8 ＋ 2.6 ＝ 8.4( m ) ， 由主楼梯宽为 2 m ， 得地毯面积至少为 8.4×2 ＝ 16.8( m 2 ) ， 所以购买这种地毯至少需要 16.8×30 ＝ 504( 元 ) 17 ． ( 习题 6 变式 )(1) 如图①是将线段 AB 向右平移 1 　个单位长度 ， 如图②是将线段 AB 折一下再向　右平移 1 个单位长度 ， 请在图③中画出一条有　两个折点的折线向右平移 1 个单位长度的图形； (2) 若长方形的长为 a ， 宽为 b ， 请分别写出三个图形中去掉阴影部分后剩余部分的面积； (3) 如图④ ， 在宽为 10 m ， 长为 40 m 的长方形菜地上有一条弯曲的小路 ， 小路宽为 1 m ， 求这块菜地的面积． 解： (1) 画图略　 (2) 三个图形中剩余面积均为 ab － b 　 (3)390 m 2 方法技能： 1 ． 平移不改变图形的形状和大小 ， 只改变位置． 2 ． 平移后的图形与原图形的各组对应点的连线平行 ( 或在同一条直线上 ) 且相等． 易错提示： 把握不准平移的方向和距离而出错． 第五章　相交线与平行线 综合训练(一)　相交线与平行线 一、选择题 1 ． P 为直线 l 上一点 ， Q 为直线 l 外一点 ， 下面画图可行的是 ( ) A ． 由 P 画 l 的垂线过 Q 点 B ． 由 Q 画 l 的垂线过 P 点 C ． 连接 PQ ， 使 PQ⊥l D ． 过点 P 或 Q 作 l 的垂线 2 ． 下列命题是真命题的有 ( ) ① 过直线外一点 ， 有且只有一条直线平行于已知直线 ； ② 同位角相等 ， 两直线平行 ； ③ 内错角相等 ； ④ 平面内垂直于同一直线的两直线平行． A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 D C 3 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， D ， E ， F 分别在边 AB ， BC ， AC 上 ， 且 EF∥AB ， 要使 DF∥BC ， 只需添加下列条件中的 ( ) A ． ∠ 1 ＝∠ 2 B ．∠ 1 ＝∠ DFE C ． ∠ 1 ＝∠ AFD D ．∠ 2 ＝∠ AFD B 4 ． ( 2016 · 张家界 ) 如图 ， 将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果 ∠ 1 ＝ 50° ， 那么 ∠ 2 的度数是 ( ) A ． 30° B ． 40° C ． 50° D ． 60° B 5 ． (2016 · 盐城 ) 如图 ， 已知 a ， b ， c ， d 四条直线 ， a∥b ， c∥d ， ∠ 1 ＝ 110° ， 则∠ 2 等于 ( ) A ． 50° B ． 70° C ． 90° D ． 110° B 6 ．如果 ∠ A 和 ∠ B 是两条平行线中的同旁内角 ， 且 ∠ A 比 ∠ B 的 2 倍少 30° ， 那么 ∠ B 的度数是 ( ) A ． 30° B ． 70° C ． 110° D ． 30° 或 70° 7 ． 如图 ， 图中的小三角形可以由三角形 ABC 平移得到的有 ( ) A ． 3 个 B ． 4 个 C ． 5 个 D ． 6 个 B C 8 ． 如图 ， 已知直线 AC⊥HC ， AC⊥AF ， 下面判断错误的是 ( ) A ． 由∠ 1 ＝∠ 2 ， 得 AB∥CD B ． 由∠ 3 ＝∠ 4 ， 得 AB∥CD C ． 由∠ 5 ＝∠ 6 ， ∠ 3 ＝∠ 4 ， 得 AB∥CD D ． 由∠ SAB ＝∠ SCD ， 得 AB∥CD B 9 ．如图 ， AB ∥ CD ∥ EF ， 则下列式子正确的是 ( ) A ． ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ 180° B ． ∠ 1 ＋ ∠ 2 － ∠ 3 ＝ 180° C ． ∠ 2 ＋ ∠ 3 － ∠ 1 ＝ 180° D ． ∠ 1 － ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ 180° B 二、填空题 10 ． 把命题“邻补角的平分线互相垂直”改写成“如果 …… 那么 …… ” 的形式是 ___________________________________________________ ． 11 ． (2016 · 南宁 ) 如图 ， 平行线 AB ， CD 被直线 AE 所截 ， ∠ 1 ＝ 50° ， 则∠ A ＝ __________ ． 如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直 50° 12 ．如图 ， 已知 AB∥CD ， AE 平分∠ BAC ， CE 平分∠ ACD ， 则∠ E ＝ __________ ． 90° 13 ． 如图 ， 直线 AB∥CD ， EF⊥CD ， F 为垂足 ， 如果∠ GEF ＝ 20° ， 那么∠ 1 的度数是 __________ ． 70° 14 ．如图 ， a∥b ， ∠ 1 ＝ 65° ， ∠ 2 ＝ 140° ， 则∠ 3 的度数是 _________ ． 105° 15 ． ( 2016 · 菏泽 ) 如图 ， 将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放 ， 两个三角板的一直角边重合 ， 含 30° 角的直角三角板的斜边与纸条一边重合 ， 含 45° 角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上 ， 则∠ 1 的度数是 ___________ ． 15° 16 ．如图 ， 边长为 4 cm 的正方形 ABCD 先向右平移 1 cm ， 再向上平移 2 cm ， 得到正方形 A′B′C′D′ ， 则阴影部分的面积为 ____ cm 2 . 6 三、解答题 17 ． 如图 ， 在正方形网格中 ， 每个小正方形的边长均为 1 个单位长度 ， △ ABC 的三个顶点的位置如图所示 ， 现将△ ABC 平移 ， 使点 A 变换为点 A′ ， 点 B′ ， C′ 分别是 B ， C 的对应点． (1) 请画出平移后的△ A′B′C′ ， 并求△ A′B′C′ 的面积； (2) 若连接 AA′ ， CC′ ， 则这两条线段之间的关系是 _______________ ． 解： (1) 画图略 ， S △A′B′C′ ＝ 3.5 平行且相等 18 ． 如图 ， 直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE 把∠ BOD 分成两部分． (1) 直接写出图中∠ AOC 的对顶角为 ____________ ， ∠ BOE 的邻补角为 _____________ ； (2) 若∠ AOC ＝ 70° ， 且∠ BOE∶∠EOD ＝ 2∶3 ， 求∠ AOE 的度数． ∠BOD ∠AOE 19 ． 如图 ， 已知 AD⊥BC ， EF⊥BC ， ∠ 4 ＝∠ C. 求证：∠ 1 ＝∠ 2. 解：∵ AD⊥BC ， EF⊥BC ， ∴ AD∥EF ， ∴∠ 3 ＝∠ 1. 又∵∠ 4 ＝∠ C.∴DH∥AC.∴∠2 ＝∠ 3 ， ∴∠ 1 ＝∠ 2 20. 如图 ， DB∥FG∥EC ， A 是 FG 上的一点 ， ∠ ADB ＝ 60° ， ∠ ACE ＝ 36° ， AP 平分∠ DAC ， 求∠ PAG 的度数． 21 ． 如图 ， 已知长方形的长是 10 cm ， 宽是 5 cm ， 点 E ， F 分别是 AD ， BC 的中点 ， 求图中阴影部分的面积． 解：通过平移可知阴影部分的面积等于正方形 ABFE 的面积 ， ∴图中阴影部分的面积为 5 2 ＝ 25( cm 2 ) 22 ． 如图 ， CB∥OA ， ∠ C ＝∠ OAB ＝ 120° ， E ， F 在 CB 上 ， 且满足∠ FOB ＝∠ FBO ， OE 平分∠ COF. (1) 求∠ EOB 的度数； (2) 若向右平行移动 AB ， 其他条件不变 ， 那么∠ OBC∶∠OFC 的值是否发生变化？若变化 ， 找出其中的规律 ， 若不变 ， 求出这个比值．