人教版八年级数学下册第十七章勾股定理教学课件

17.1 勾股定理 第十七章 勾股定理 第 1 课时 勾股定理 学习目标 1 ．了解勾股定理的发现过程。 2 ．掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理 。 重点： 勾股定理的内容及证明。 难点： 勾股定理的证明 读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1-1 称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为 《 周髀算经 》 作法时给出的 . 图 1-2 是在北京召开的 2002 年国际数学家大会（ TCM － 2002 ）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就 . 　　　　　　　 图 1-1 图 1-2 勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 问题 1 试问正方形 A 、 B 、 C 面积之间有什么样的数量关系？ A B C A B C 一直角边 2 另一直角边 2 斜边 2 + = 问题 2 图中正方形 A 、 B 、 C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ 观察右边两幅图： 填表（每个小正方形的面积为单位 1 ）： A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 ？ 怎样计算正方形 C 的面积呢？ 9 16 9 分割成若干个直角边为整数的三角形 （面积单位） 一般的直角三角形三边为边作正方形 A B C 右图 A B C 左图 把 C“ 补”成边长为 7 的正方形面积加 1 单位面积的一半 （面积单位） A B C 右图 A B C 左图 分析表中数据，你发现了什么？ A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 　　结论 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积 . 命题 1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a , b ，斜边长为 c , 那么 a 2 + b 2 = c 2 . 即：两直角边的平方和等于斜边的平方 . 由上面的几个例子，我们猜想： a b c 下面动图形象的说明命题 1 的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想 . 证明命题 1 的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。。 赵爽弦图证明勾股定理 c b a = a c 数形结合思想 等 积 变 换 b a c a b c a b c a b c a b ∵ c 2 = =b 2 -2ab+a 2 + 2ab =a 2 +b 2 ∴ a 2 +b 2 =c 2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 c 2 赵爽弦图证明勾股定理 证法 2 毕达哥拉斯证法 c a b c a b c a b c a b ∵ (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 = 2ab +c² ∴ a 2 +b 2 =c 2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 (a+b) 2 C 2 C 2 证法 3 美国第二十任总统伽菲尔德的 “ 总统证法 ”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a 2 + b 2 = c 2 . a a b b c c 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式 , 得 化简 , 得 勾 股 勾 股 弦 辉煌发现 我国早在三千多年就知道了这个定理 , 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦” . 因此就把这一定理称为 勾股定理 . 两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 勾 股 世 界 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作 《 周髀算经 》 中。 a b c c 2 = a 2 + b 2 a 2 = c 2 － b 2 b 2 = c 2 － a 2 结论变形 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； 练一练 1 、求下列图中未知数 x 、 y 的值： 解：由勾股定理可得 81+ 144= x 2 ， 解得 x =15. 解：由勾股定理可得 y 2 + 144 =169 ， 解得 y =5 2 、 在 Rt△ABC 中，∠Ｃ =90°. (1) 已知： a=6 ，ｂ =8 ，求 c ；　 (2) 已知： a=40 ， c=41 ，求 b ； (3) 已知： c=13 ， b=5 ，求 a ； (4) 已知 : a:b=3:4, c=15, 求 a 、 b. (1) 在直角三角形中 , 已知两边 , 可求第三边 ; (2) 可用勾股定理建立方程 . 方法小结 3 ．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm, 则 正方形 A ， B ， C ， D 的面积之和为 ___________cm 2 。 49 A B C D 4. 在  ABC 中 , ∠C=90°,AC=6,CB=8, 则  ABC 面积为 _____, 斜边为上的高为 ______. 24 4.8 A B D 5. 在 Rt△ABC 中，若 a=5 ， b=12 ， 则 c =___________. 分析：当 c 是斜边时， c 2 = a 2 +b 2 当 b 是斜边时， b 2 = a 2 +c 2 13 或√ 119 课堂小结 勾股定理： 内容 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°,a,b 为直角边， c 为斜边，则有 a²+b²=c². 注意： 1 、在直角三角形中 2 、看清哪个角是直角 3 、已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 公式变形： 17.1 勾股定理 第十七章 勾股定理 第 2 课时 勾股定理在实际生活中的应用 学习目标 1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题 . 2. 能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长 . c a b 勾股定理及其数学语言表达式 : 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 C A B 知识回顾 练习反馈 1.在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=_______； ②若a=15，c=25，则b=______； ③若c=61，b=60，则a=__________； 2. 一直角三角形的斜边长比其中的一条直角边长大2，另一条直角边长为6，求斜边长为 。 B A C 2 、在直角三角形中 , 如果有两边为 3 ， 4 ，那么另一边为 ________ 。 5 或 要考虑哪个长度为斜边 例 1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m, 宽 2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过 ? 为什么 ? 2m 1m A B D C 解：在 Rt △ ABC 中，根据勾股定理， AC 2 = AB 2 + BC 2 =1 2 +2 2 =5 因为 AC 大于木板的宽 2.2m, 所以木板能从门框内通过 . 分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着 . 门框 AC 的长度是斜着能通过的最大长度，只要 AC 的长大于木板的宽就能通过 . A B D C O 解：在 Rt △ ABC 中 ， 根据勾股定理得 OB 2 = AB 2 - OA 2 =2.6 2 -2.4 2 =1 ， ∴ OB =1. 在 Rt △ COD 中 ， 根据勾股定理得 OD 2 = CD 2 - OC 2 =2.6 2 -(2.4-0.5) 2 =3.15, ∴ 梯子的顶端沿墙下滑 0.5m 时，梯子底端并不是也外移 0.5m ，而是外移约 0.77m. 例 2 如图，一架 2.6m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m, 那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗 ? 思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 　　已知：如图，在 Rt△ ABC 和 Rt△ A ′ B ′ C ′ 中，∠ C =∠ C ′ =90° ， AB = A ′ B ′ ， AC = A ′ C ′ ． 　　求证：△ ABC ≌ △ A ′ B ′ C ′ ． A B C A B C ′ ′ ′ 　　证明：在 Rt△ ABC 和 Rt△ A ′ B ′ C ′ 中， ∠ C =∠ C ′ =90° ， 根据勾股定理得 A B C A B C ′ ′ ′ ∴ 尝试应用 1 、 已知如图所示，池塘边有两点 A，B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20 m，你能求出A，B两点间的距离吗（结果保留整数）？ 在 RtΔABC 中，根据勾股定理： AB 2 ＝ BC 2 -AC 2 ＝ 60 2 -20 2 ＝ 3200 所以， AC ＝ ≈ 57 A ， B 两点间的距离约为 57 2 .如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米) 第 5 题图 A B C 1 、一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部 底面直径为 5㎝ ，高为 12㎝ ，吸管放进杯里， 杯口外面露出 5㎝ ，问吸管要做多长？ 练习 35 2 、做一个长、宽、高分别为 50 厘米、 40 厘米、 30 厘米的木箱，一根长为 70 厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。 9 米 12 米 B A c 3. 台风袭击中，一棵大树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离树根底部 12 米处。这棵树原来有多高？ 4 、矩形 ABCD 如图折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB= 8 ， BC= 10 ，求折痕 AE 的长。 A B C D F E 10 10 8 4m 5m 5 、如图是 6 级台阶侧面的示意图，如果要在台阶上铺地毯，那么至少要买地毯多少米？ 1 、有一个圆柱 , 它的高等于 12 厘米，底面半径等于 3 厘米 , 在圆柱下底面上的 A 点有一只蚂蚁，它想从点 A 爬到点 B ， 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (π 的值取 3) A B 拓广探索 40 B A 高 12cm B A 长 18cm (π 的值取 3) 9cm ∵ AB 2 =9 2 +12 2 =81+144=225= ∴ AB=15(cm) 蚂蚁爬行的最短路程是 15 厘米 . 15 2 2 、在 长 30cm 、宽 50 cm 、高 40 cm 的木箱 中，如果在箱内的 A 处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到 B 处，至少要爬多远？ C D A . B . 30 50 40 图① 30 50 40 C D A . B . A D C B 30 50 40 C C D A . B . A C B D 图② 30 40 50 30 40 50 C C D A . B . 图③ 50 A D C B 40 30 30 40 50 A 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 1 4 5 3 、如图，在平面直角坐标系中有两点 A (-3,5), B (1,2) 求 A , B 两点间的距离 . y O x 3 B C 解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线 , 过点 B 作 x , y 轴的垂线 . 相交于点 C , 连接 AB . ∴ AC =5-2=3 ， BC =3+1=4 ， 在 Rt △ ABC 中，由勾股定理得 ∴ A , B 两点间的距离为 5. 方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点 1. 本节课你又那些收获？ 2 你还有那些疑惑？ 3. 你认为本节还有哪些需要注意的地方？ 课堂总结 17.1 勾股定理 第十七章 勾股定理 第 3 课时 利用勾股定理作图或计算 学习目标 1. 会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决 网格问题 . （重点） 2. 灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理 解决相应的折叠问题 . （难点） 0 1 2 3 4 步骤： l A B C 1 、在数轴上找到点 A, 使 OA=3; 2 、作直线 l⊥OA, 在 l 上取一点 B ，使 AB=2; 3, 以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴交于 C 点，则点 C 即为表示 的点。 你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？ ∴ 点 C 即为表示 的点 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 探究 1: 0 1 2 3 4 l A B C 你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？ √ √ 0 1 2 3 4 A B C 在数学中也有这样一幅美丽的 “ 海螺型 ” 图案 由此可知 , 利用勾股定理 , 可以作出长为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第七届国际数学 教育大会的会徽 1 数学海螺图： 你能在数轴上表示出 的点吗？ 的线段 . -1 0 1 2 3 你能在数轴上表示出 的点吗？ 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 探究 1: √ √ 1 、 已知 : 如图 , 等边△ ABC 的边长是 6 . (1) 求高 AD 的长 ; (2) 求 S △ABC . A B C D 练习 3 6 ? 变式训练 已知 : 如图 , 等边△ ABC 的高 AD 是 . (1) 求边长 ; (2) 求 S △ABC . A B C D 1 、 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点 A 、 B 、 C 都在格点上，求 AB 边上的高 . 解：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D . 此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高 . 归纳 D ∵ ∵ ∵ 1 、 如图为 4×4 的正方形网格 , 以格点与点 A 为端点 , 你能 画出几 条边长 为 的线段 ? A 练习 & 1 ☞ 练习 1. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A 、 B 都是格点，则线段 AB 的长度为（ ） A.5 B.6 C.7 D.25 A 2. 小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点 D ，然后点 D 做一条垂直于数轴的线段 CD ， CD 为3个单位长度，以原点为圆心，以到点 C 的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（　　） A . 2和3之间 B . 3和4之间 C . 4和5之间 D . 5和6之间 B 3. 如图，网格中的小正方形边长均为1，△ ABC 的三个顶点均在格点上，则 AB 边上的高为 _______. 4 、 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若 AB =8cm ， BC =10cm ，求 EC 的长 . D A B C E F 解：在 Rt△ ABF 中 , 由勾股定理 得 BF 2 = AF 2 － AB 2 =10 2 － 8 2 =36 ， ∴ BF = 6cm.∴ CF = BC － BF = 4. 设 EC = x cm ，则 EF = DE =(8－ x ) cm ， 在 Rt△ ECF 中 , 根据勾股定理 得 x 2 + 4 2 = ( 8－ x ) 2 ， 解得 x =3. 即 EC 的长为 3cm. 要用到方程思想 5 、 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B ′ 处，点 A 的对应点为 A ′ ，且 B ′ C ＝ 3 ，求 AM 的长 . 解：连接 BM ， MB ′. 设 AM ＝ x ， 在 Rt△ ABM 中， AB 2 ＋ AM 2 ＝ BM 2 . 在 Rt△ MDB ′ 中， MD 2 ＋ DB ′ 2 = MB ′ 2 . ∵ MB ＝ MB ′ ， ∴ AB 2 ＋ AM 2 ＝ MD 2 ＋ DB ′ 2 ， 即 9 2 ＋ x 2 ＝ (9 － x ) 2 ＋ (9 － 3) 2 ， 解得 x ＝ 2. 即 AM ＝ 2. 6 、 如图，四边形 ABCD 中∠ A =60°，∠ B =∠ D =90°， AB =2， CD =1，求四边形 ABCD 的面积． 解：如图，延长 AD 、 BC 交于 E ． ∵∠ B =90°，∠ A =60°， ∴∠ E =90°－60°=30°， 在Rt△ ABE 和Rt△ CDE 中， ∵ AB =2， CD =1， ∴ AE =2 AB =2×2=4， CE =2 CD =2×1=2， 由勾股定理得 E D C B A 补形法求面积 本节课你有什么收获？ 1 、在数轴上表示出无理数的点 2 、利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算 通常用到方程思想 17.2 勾股定理的逆定理 第十七章 勾股定理 第 1 课时 勾股定理的逆定理 学习目标 （ 1 ）理解勾股定理的逆定理 . （ 2 ）了解互逆命题、互逆定理。 （ 3 ）能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判 断一个三角形是直角三角形 . 重点：勾股定理的逆定理证明及简单应用； 难点：能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形 . 　　 勾股定理 　如果直角三角形的两条直角边长分别为 a ， b ，斜边长为 c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 ． 　　题设（ 条件 ）： 直角三角形 的 两直角边长为 a ， b ，斜边长为 c ． 　　结论： a 2 + b 2 = c 2 ． 一、 　回忆勾股定理的内容． 形 数 反过来，如果一个三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 a 2 + b 2 = c 2 . 那么这个三角形的形状怎样？ 古埃及人曾用下面的方法得到直角 实验观察 问题2：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 用 13 个等距的结 , 把一根绳子分成等长的 12 段 , 然后以 3 个结， 4 个结， 5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是 直角 。 实验观察 3 4 5 追问： 这个三角形的三条边有什么关系吗 ? 3 2 4 2 5 2 + = 实验观察 （ 1 ）下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位： cm ）画三角形： 　　 ① 2.5 ， 6 ， 6.5 ；② 4 ， 7.5 ， 8.5. 动手画一画 （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数. （3）想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想. 实验操作 提出猜想 问题 2 由上面几个例子你发现了什么吗 ? 请以命题的形式说出你的观点 ! 命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足 那么这个三角形是直角三角形。 a 2 + b 2 = c 2 实验操作 提出猜想 思考：上节课的命题 1 和本节课的命题 2 的题设、结论分别是什么？ 互逆命题的定义： 如果两个命题的 题设和结论正好相反 ，那么这样的两个命题叫做互逆命题。　　 如果把其中一个叫做 原命题 ，那么另一个叫做 它的逆命题 。 怎样得到一个命题的逆命题？ 把一个命题的题设和结论交换一下，即可得到它的逆命题 (1) 两条直线平行，内错角相等． (2) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 ． (3) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． (4) 全等三角形的对应角相等． 说出下列命题的逆命题．并判断这些命题的 逆命题成立吗 ? 逆命题 : 内错角相等，两条直线平行 . 成立 逆命题 : 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 . 不成立 逆命题 : 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等 . 不成立 逆命题 : 对应角相等的两个三角形是全等三角形 . 不成立 巩固新知 感悟 : 原命题成立时 , 逆命题有时成立 , 有时不成立 一个 命题 是真命题 , 它逆命题却 不一定 是真命题 . 已知 : 在△ ABC 中， AB=c BC=a CA=b 且 a 2 +b 2 =c 2 求证 :△ ABC 是直角三角形 . 证明 : 画一个△ A’B’C’, 使 ∠ C’=90 ° ,B’C’=a, C’A’=b ∴ A’B’ =c ∴ A’B’ 2 =c 2 ∵ a 2 +b 2 =c 2 ∵ ∠ C / =90 0 ∴ A’B’ 2 = a 2 +b 2 勾股定理逆定理的证明 在△ ABC 和△ A’B’C’ 中 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’ AB=c=A’B’ ∴ △ ABC ≌△ A’B’C’ （ SSS ） ∴ ∠ C= ∠ C /= 90 ° 则 △ ABC 是直角三角形（直角三角形的定义） a b B' C ' A' 勾股定理的逆定理是直角三角形的 判定定理 ，即已知三角形的三边长，且满足两条 较小边 的平方和等于 最长边 的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ， 最长边所对应的角为直角 . 特别说明： 在△ ABC 和△ A’B’C’ 中 BC=a=B’C’ CA=b=C’A’ AB=c=A’B’ ∴ △ ABC ≌△ A’B’C’ （ SSS ） ∴ ∠ C= ∠ C /= 90 ° 则 △ ABC 是直角三角形（直角三角形的定义） 勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 勾股定理（性质定理） 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 那么这个三角形是直角三角形。 a 2 + b 2 = c 2 互逆命题 逆定理 定理 （判定定理） 定理与逆定理 如果一个 定理 的逆命题经过证明是真命题 , 那么它是一个 定理 , 这两个定理称为 互逆定理 , 其中一个定理称另一个定理的 逆定理 . 回想一下：我们学过哪几对互逆定理？ 想一想 : 互逆命题与互逆定理有何关系 ? 互逆定理 一定是 互逆命题，但是互逆命题 不一定是 互逆定理。 我们已经学习了一些互逆的定理,如: (1) 勾股定理及其逆定理； (2) 两直线平行,内错角相等; (3) 内错角相等,两直线平行. (4) 角的平分线的性质与判定； (5) 线段的垂直平分线的性质与判定. (1) a ＝ 15 , b ＝ 8 , c ＝ 17 (2) a ＝13 , b ＝14 , c ＝15 分析： 根据勾股定理的逆定理，一个三角形中两条较小边长的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 例 1 判断由 a 、 b 、 c 组成的三角形是不是直角三角形： 定理应用 解 （ 1 ） 15 2 ＋ 8 2 ＝ 225 ＋ 64 ＝ 289 17 2 ＝ 289 ∴ 15 2 ＋ 8 2 ＝ 17 2 ∴ 这个三角形是直角三角形 （ 2 ） 13 2 +14 2 =169+196=365 15 2 =225 因为 13 2 +14 2 ≠15 2 ， 根据勾股定理，这个三角形不是三角形 . 定理应用 勾股数 ：像 15 、 8 、 17 这样 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 常见勾股数： 3 ， 4 ， 5 ； 5 ， 12 ， 13 ； 6 ， 8 ， 10 ； 7 ， 24 ， 25 ； 8 ， 15 ， 17 ； 9 ， 40 ， 41 ； 10 ， 24 ， 26 等等 . 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数 ) ，得到一组新数，这组数同样是勾股数 . 练习 1 、下列四组数中：① 1 、 、 2 ；② 3 2 ， 4 2 ， 5 2 ；③ 9 ， 40 ， 41 ；④ 3k 、 4k 、 5k （ k 为正整数） . 属于勾股数的有 ____________( 填序号 ). 2 、直角三角形一条直角边与斜边分别为 8 c m 和 10 c m. 则斜边上的高等于     c m. 3 、已知两条线段的长为 3 c m 和 4 c m, 当第三条线段的长为      c m 时 , 这三条线段能组成一个直角三角形 . ③、④ 4.8 5 或 √ 7 4 、判断由线段 a 、 b 、 c 组成的三角形是不是直角三角形： （ 1 ） a=7 ， b=24 ， c=25 ； （2）a= ，b=4，c=5； 解： (1)因为 a 2 + b 2 =49+576=625， c 2 =252=625 a 2 + b 2 = c 2 所以，根据勾股定理的逆定理， a 、 b 、 c 组成的三角形是直角三角形 (2)因为b 2 +c 2 =16+25=41， a 2 =41 b 2 + c 2 = a 2 所以，根据勾股定理的逆定理， a 、 b 、 c 组成的三角形是直角三角形 （3） a = ， b= 1， c = （4） a =40， b =50， c =60. 解： (3)因为 c 2 + b 2 = ， a 2 = c 2 + b 2 = a 2 所以，根据勾股定理的逆定理， a 、 b 、 c 组成的三角形是直角三角形 (4)因为 a 2 + b 2 =1600+2500=4100， c 2 =3600 ， a 2 + b 2 ≠ c 2 所以，根据勾股定理的逆定理， a 、 b 、 c 组成的三角形不是直角三角形 小结： 1 、勾股定理的逆定理 2 、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题、 互逆定理 . 4 、勾股定理与勾股定理的逆定理的 区别与联系： 区别： （ 1 ）二者的题设和结论正好相反；（ 2 ）前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理；（ 3 ）二者的作用不同。 联系：二者互为逆定理 3 、已学过的直角三角形的判定方法： （ 1 ）直角三角形的定义；（ 2 ）勾股定理的逆定理 17.2 勾股定理的逆定理 第十七章 勾股定理 第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用 学习目标 1. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题 . （重点） 2 ．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 3. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问 题 . （难点） 一、温故知新 2. 你能用勾股定理及其逆定理解决哪些问题？ 1. 我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？ 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 a 2 + b 2 = c 2 那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理的内容和作用是什么？ 判定直角三角形 作用： 逆定理 : 1. 两军舰同时从港口 O 出发执行任务，甲舰以 30 海里 / 小时的速度向西北方向航行，乙舰以 40 海里 / 小时的速度向西南方向航行，问 1 小时后两舰相距多远？ 甲 (A) 西 东 北 南 O 乙 (B) ┏ 甲 (A) 西 东 北 南 O 乙 (B) ┏ 2. 两军舰同时从港口 O 出发执行任务，甲舰以 30 海里 / 小时的速度向西北方向航行，乙舰以一定的速度向西南方向航行，它们离开港口 2 小时后测得两船的距离为 100 千米，求轮船 B 的速度是多少？ 二、例题教学 例 1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile ，“海天”号每小时航行 12 n mile ．它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q ， R 处，且相距 30 n mile ．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 问题 1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的 问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5=24 12×1.5=18 30 “ 远航 ” 号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图 . 问题 2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航向所成角 . 勾股定理逆定理 解：根据题意得 PQ =16×1.5=24( 海里 ), PR =12×1.5=18( 海里 ), QR =30 海里 . ∵24 2 +18 2 =30 2 ，即 PQ 2 + PR 2 = QR 2 ,∴ ∠ QPR =90 ° . 由“远航”号沿东北方向航行可知∠ 1=45 ° . ∴ ∠ 2=45 °，即 “ 海天 ” 号沿西北方向航行 . 归纳 : 解决实际问题的步骤：  构建几何模型 ( 从整体到局部 ) ；  标注有用信息 , 明确已知和所求；  应用数学知识求解 . N E P Q R 1 2 1 、 A 、 B 、 C 三地的两两距离如图所示， A 地在 B 地的正东方向， C 地在 B 地的什么方向？ 三、练习 解： ∵ BC 2 +AB 2 =5 2 +12 2 =169 AC 2 =13 2 =169 ∴BC 2 +AB 2 =AC 2 即△ ABC 是直角三角形 ∠ B=90° 答： C 在 B 地的正北方向． 2 、小明向东走 80m 后，又向某一方向走 60m 后，再沿第三个方向又走 100m 回到原地．小明向东走 80m 后又向哪个方向走的？ 北 东 O 80 m 60 m 100 m 60 m 100 m 小明向东走 80m 后 又向 正南方向 走的 或又向 正北方向 走的 A B C D 3 、已知：如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13, ∠B＝90 0 ，求四边形ABCD的面积? 解：连接 AC ∵ ∠B＝90 ° AB＝3，BC＝4， ∴AC= =5 在△ ACD 中， AC²+CD²=25+144=169=AD² ，∴△ ACD 是直角三角形，∴∠ ACD=90° ； ∴S 四边形 ABCD = S △ABC + S △ACD =36 ． 1 2 1 2 4. 如图 , 点 A 是一个半径为 400 m 的圆形森林公园的中心 , 在森林公园附近有 B .C 两个村庄 , 现要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通 , 经测得 ∠ B=60°,∠C=30°, 问此公路是否会穿过该森林公园 ? 请通过计算说明 . A B C 400 1000 60° 30° D 5 、甲、乙两只捕捞船同时从 A 港出海捕鱼．甲船以 15 km/h 的速度沿北偏西 60° 方向前进，乙船以 15km/h 的速度沿东北方向前进．甲船航行 2 小时到达 C 处时发现渔具丢在乙船上，于是快速（匀速）沿北偏东 75° 方向追赶，结果两船在 B 处相遇． （ 1 ）甲船从 C 处追赶上乙船用了多少时间？ （ 2 ）甲船追赶乙船的速度是多少千米 / 时？ 北 东 A 60° 45° 北 东 C 75° B 15° 30° 30° 45° C D 30 30 30° 60 甲船追赶乙船用了 2 小时， 速度是 千米 / 时． 乙船 甲船 甲船 已知 a 、 b 、 c 为△ ABC 的三边 , 且 满足 a 2 +b 2 +c 2 +338=10a+24b+26c. 试判断△ ABC 的形状 . 分析：先 变形 后根据非负性性质求出 a ， b ， c 的值，最后根据 勾股定理的逆定理判断 。 应用拓展： 通过这节课的学习，你有什么收获？你还有什么困惑？ 四、小结 第十七章 勾股定理 小结与复习 学习目标 ： 　 1 ．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构； 　 2 ．思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用 . 学习重点、难点： 勾股定理及其逆定理的综合应用． 勾 股 定 理 发现 应用 勾股 定理 证明 赵爽弦图 毕达哥拉斯 美国总统 在数轴上表示某些无理数 生活应用 旗杆、梯子、河水深度等问题 勾股定理的逆定理 内容 应用 已知三角形的三边长，判断是否是直角三角形 综合应用 折纸中的勾股定理 路程最短问题 拼图加面积法 猜想 直角三角形，已知两边，求第三边 勾股数 分类思想 特殊例子 用割、补法求图形面积 1. 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C =90° . （ 1 ）如果 a =3 ， b =4 ， 则 c = 　　　　 ； （ 2 ）如果 a =12 ， c =20 ， 则 b = 　　　　 ； （ 3 ）如果 c =13 ， b =12 ， 则 a = 　　　　 ； （ 4 ）已知 b =3 ， ∠ A =30° ， 求 a ， c . 答案 : （ 4 ） a = ， c = . 5 16 5 基础训练　巩固知识 2 、在 Rt △ ABC 中，已知 a = 1 ， b = 3 ，∠ B = 90 ° ，则第三边 c 的长为 　　　　 ． 或 4 、分别以下列四组数为一个三角形的边长： ①3 ， 4 ， 5 ；② 5 ， 12 ， 13 ；③ 8 ， 15 ， 17 ；④ 4 ， 5 ， 6 ． 其中能构成直角三角形的有 　　　 ． ①② ③　　 3 、在 Rt △ ABC 中，已知 a = 1 ， b = 3 ，则第三边 c 的长为 ． 5. 如图 ， 已知在 △ ABC 中 ， ∠ B =90° ， 若 BC ＝ 4 ， A B ＝ x ， AC =8 - x ， 则 AB = , AC = . 6. 在 Rt △ AB C 中 , ∠ B =90° ， b =34 , a : c =8:15 , 则 a = , c = . 3 5 16 30 要树立方程思想 1 ．证明线段相等 . 已知：如图 ， AD 是 △ ABC 的高 ， AB =10 ， AD =8 ， BC =12 . 求证： △ ABC 是等腰三角形 . 证明：∵ AD 是△ ABC 的高， ∴∠ ADB =∠ ADC =90°. ∵ 在 Rt △ ADB 中， AB =10 ， AD =8 ， ∴ BD =6 . ∵ BC =12, ∴ DC =6. ∵ 在 Rt △ ADC 中， AD =8 ， ∴ AC =10 ， ∴ AB = AC. 即△ ABC 是等腰三角形 .   分析： 利用勾股定理求出线段 BD 的长，也能求出线段 AC 的长，最后得出 AB = AC ，即可 . 综合运用　解决问题 2 ．解决折叠的问题 . 已知如图，将长方形的一边 BC 沿 CE 折叠， 使得点 B 落在 AD 边的点 F 处，已知 AB =8 ， BC =10, 求 BE 的长 . 【 思考 】1 、 由 AB =8 ， BC =10, 你可以知道哪些线段长？ 2 、在 Rt△ DFC 中，你可以求出 DF 的长吗？ 3 、由 DF 的长，你还可以求出哪条线段长？ 4 、设 BE = x ，你可以用含有 x 的式子表示出哪些线段长？ 已知如图，将长方形的一边 BC 沿 CE 折叠， 使得点 B 落在 AD 边的点 F 处，已知 AB =8 ， BC =10, 求 BE 的长 . 解 : 设 BE = x ，折叠，∴△ BCE ≌△ FCE ， ∴ BC = FC =10. 令 BE=FE=x ，长方形 ABCD ， ∴ AB=DC =8 ， AD=BC =10 ，∠ D =90° ， ∴ DF =6, AF =4 ，∠ A =90°, AE =8- x ， ∴ ， 解得 x = 5 .∴ BE 的长为 5. 3. 做高线 ， 构造直角三角形 . 已知：如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ B =45° ， ∠ C =60° ， AB =2 . 求（ 1 ） BC 的长 ； （ 2 ） S △ ABC  . 分析 ：由于本题中的△ ABC 不是直角三角形，所以添加 BC 边上的高这条辅助线，就可以求得 BC 及 S △ ABC  . 解 : 过点 A 作 AD ⊥ BC 于 D ,∴∠ ADB =∠ ADC =90°. 在△ ABD 中，∠ ADB =90° ， ∠ B =45° ， AB =2 ，∴ AD=BD = .∵ 在△ ABD 中，∠ ADC =90° ，∠ C =60° ， AD = ， ∴ CD = ,∴ BC = ， S △ ABC  = 解：当高 AD 在△ ABC 内部时，如图①. 在Rt△ ABD 中，由勾股定理， 得 BD 2 ＝ AB 2 － AD 2 ＝20 2 －12 2 ＝16 2 ， ∴ BD ＝16 . 在Rt△ ACD 中，由勾股定理， 得 CD 2 ＝ AC 2 － AD 2 ＝15 2 －12 2 ＝81， ∴ CD ＝9.∴ BC ＝ BD ＋ CD ＝25， ∴△ ABC 的周长为25＋20＋15＝60. 在△ ABC 中， AB ＝20， AC ＝15， AD 为 BC 边上的高，且 AD ＝12，求△ ABC 的周长． 4. 分类讨论思想 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ ABC 外的情形． 当高 AD 在△ ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD ＝16， CD ＝9. ∴ BC ＝ BD － CD ＝7， ∴△ ABC 的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ ABC 的周长为42或60. 方法总结 5 、整体思想 （ 1 ）已知 Rt△ABC 中，∠ C=90° ，若 a+b=14 ， c=10 ，则 Rt△ABC 的面积是 _______ 24 10 cm 解析：（ a+b ） ²=a²+b²+2ab=c²+2ab 所以 ab=48 （ 2 ）一个直角三角形的周长为 24cm ，面积为 24cm² ，则斜边长为 _____ C 如图，一条河同一侧的两村庄 A 、 B ，其中 A 、 B 到河岸最短距离分别为 AC=1km ， BD=2km ， CD=4km ，现欲在河岸上 M 处建一个水泵站向 A 、 B 两村送水，当 M 在河岸上何处时，到 A 、 B 两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 A M B A′ D E 1 2 4 1 1 4 5 6 、勾股定理与最短距离问题 2 、如图，将一根 25cm 长的细木棍放入长，宽高分别为 8cm 、 6cm 、和 cm 的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？ A B C D E 8 6 25 10 20 5 1 、如图，四边形 ABCD 中，∠ B ＝ 90 0 ， AB ＝ 20 ， BC ＝ 15 ， CD ＝ 7 ， AD ＝ 24, 求证 ∠ A+ ∠ C=180 0 。 7 、割补图形 25 转化思想 2 、如图所示是一块地，已知 AD=8 米， CD=6 米，∠ D=90 0 ， AB=26 米， BC=24 米，求这块地的面积 8 、 格点三角形 ∠ BCD 是直角吗 感悟与反思 1 、通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 2 、对这节课的学习，你还有什么想法吗？