人教版八年级数学下册第十八章平行四边形教学课件

第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第 1 课时 平行四边形的边、角特征 学习目标 1. 能准确叙述平行四边形的概念和性质 . 并能用符号语言表示 . 2. 能初步应用平行四边形的概念及其性质进行计算和证明 . 重点： 平行四边形的概念和性质 难点 : 对于平行四边形性质的探索 两组对边 分别平行 的四边形叫做 平行四边形 . 定义 如图：四边形 ABCD 是平行四边形， 记作： ABCD A B C D 平行四边形的符号表示： A B D C 画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外， 它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下， 和你的猜想一致吗？ 1. 边之间的关系： 2. 角之间的关系： ∠ A=∠C ，∠ B=∠D AB=DC ， AD=BC AB ∥ DC ， AD ∥ BC ∠ A + ∠ B=180°∠C +∠D =180° ∠ A + ∠ D=180°∠B +∠C =180° 验证猜想 1 2 4 3 证明：如图，连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AD∥BC,AB∥CD, ∴∠ 1 = ， ∠ 3 = . 在△ ABC 和△ CDA 中 _____________ _____________( 公共边 ) _____________ ∴△ABC ≌ （ ） . ∴AB= ， AD= ， ∠ B= . ∵∠1+∠4_____∠2+∠3 ∴ ∠BAD= ∠BCD ∠2 ∠4 ∠1=∠2 AC=AC ∠3=∠4 △ADC ASA CD BC ∠D = 平行四边形的对边平行且相等． 平行四边形的对角相等 , 邻角互补． 平行四边形的性质 A B C D 总结归纳 平行四边形的对边平行 . ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AB ∥ CD ， BC ∥ AD. ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AB=CD ， BC=AD. 平行四边形的对边相等 . 平行四边形的 对角 相等 . ∵四边形 ABCD 是平行四边形∴∠ A=∠C ，∠ B=∠D. A B D C 知识点二 试一试 不添加辅助线直接运用平行四边形的定义证明其对角相等 . 已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形 . 求证：∠ A=∠C ， ∠ B=∠D. 证明： ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC,AB∥CD ∴∠A+∠B=180°; ∠C+∠B=180° ∴∠A=180°-∠B; ∠C=180°-∠B ∴∠A=∠C 同理∠ B=∠D 在 ABCD 中， （ 1 ）已知 AB=5 ， BC=3 ，求它的周长； 练一练 解：如图， ∵ 平行四边形对边相等 ∴ AB 的对边应是 CD ， BC 的对边应是 AD ， ∴ 平行四边形的周长 =2 x （ AB+BC ） =2 x （ 5+3 ） =16 D C A B （ 2 ）已知∠ A=38° ，求其余各内角的度数 . 解：如图， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB∥CD, 又∵ ∠ A=38° ∴ ∠D=180 °- ∠A =180°- 38° =142° 又∵平行四边形的对角相等 ∴ ∠ C= ∠A=38° ∠B= ∠D= 142° D C A B 2 、如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形。转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？ 解： AD 和 BC 的长度相等 证明：由题可知， AB//CD,AD//BC ∴ 四边形 ABCD 是 ABCD ∴AD=BC 例 1 如图，在□ ABCD 中， DE⊥AB ， BF⊥CD ，垂足分别为 E 、 F. 求证 AE=CF. 证明：∵在 ABCD 中 ∴∠ A=∠C ∴AD=BC 又∵ DE⊥AB ， BF⊥CD ∴∠AED=∠CFB=90° ∴△AED≌△CFB （ AAS ） ∴ AE=CF D F C A E B 若 a // b ， 作 AB // CD // EF ， 分别交 a 于 A 、 C 、 E ，交 b 于 B 、 D 、 F. 由平行四边形的性质得 AB = CD = EF. 由平行四边形的定义易知四边形 ABCD ， CDEF 均为平行四边形 . C B F E A D a b 结论 两条平行线之间的任何两 ________ 都相等 . 两条平行线中 ， ______________________ ， 叫做这 两条平行线之间的距离 . 平行线段 一条直线上的任意 一点到另一条直线的距离 2. 如图，直线 AE//BD ，点 C 在 BD 上，若 AE =5 ， BD =8 ， △ ABD 的面积为 16 ，则△ ACE 的面积为 . A B C D E 10 1. 如图， D 、 E 、 F 分别 在△ ABC 的边 AB 、 BC 、 AC 上，且 DE ∥ AC , DF ∥ BC , EF ∥ AB ，则图中有 _____ 个平行四边形 . 第 1 题图 第 2 题图 3 练习： 解 : ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 且∠ A=52 ° （已知 ) ∴ ∠A=∠C=52 ° （ 平行四边形的对角相等 ） 又∵ AD∥BC （ 平行四边形的对边平行 ） ∴∠A+∠B=180 ° （ 两直线平行，同旁内角互补） ∴∠B=∠D= 180 ° －∠ A= 180 º － 52 ° =128 ° 3 、在 ABCD 中 , 已知∠ A=52 ° ， 求其余三个角的度数。 A B C D 52 ° 4 、如图： 在 ABCD 中，∠ A+∠C=200° 则：∠ A= ，∠ B= . A D B C 100 ° 80 ° 解 : ∴∠B= 180 ° －∠ A= 180 º － 100 ° =80 ° 又 ∵ AD∥BC ( 平行四边形的对边平行 ) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴∠A=∠C=100 ° （ 平行四边形的对角相等 ） 且 ∠ A+∠C=200° A D C B 4 3 解： ∵ BD ⊥AD ∴ ∠ ADB=90 ° 在 Rt △ADB 中， AD=3 ， BD=4 ∴AB= = 5 （勾股定理） 又∵四边形 ABCD 为平行四边形（已知） ∴ AD=BC=3 AB=DC=5 ∴ ABCD 的周长 =2(AD+AB) =2(3+5) =16 （平行四边形对边相等） 5 、如图，已知 ABCD 中， AD=3,BD⊥AD, 且 BD=4, 你能求出平行四边形的周长吗 ? 解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形（已知） ∴ AB=CD ， BC=AD （平行四边形的对边相等） 又∵ □ ABCD 的周长为 60cm. ∴ AB + BC =30cm. 又 AB ： BC =3 ： 2 ，即 AB =1.5 BC . 则 1.5 BC + BC =30 , 解得 BC =12 (cm). 而 AB =1.5×12=18 (cm). A B D C 6 、已知：平行四边形 ABCD 的周长为 60cm ，两邻边 AB ， BC 长的比为 3 ： 2 ，求 AB 和 BC 的长度 . 通过探究，本节课你得到了哪些结论？ 在探究平行四边形的性质过程中，你有哪些认识？ 在运用平行四边形的性质解题时，你获得了什么思想和方法？ 感悟与收获 第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第 2 课时 平行四边形的对角线的特征 学习目标 1 、探索并证明平行四边形性质 3 ，并能利用性质解决问题。 2 、进一步体会合情推理和演绎推理在探索及证明性质时的作用。 重点 ： 平行四边形对角线性质的探究与应用． 难点： 经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透 转化思想， 体会图形性质探究的一般思路 . 复习 定义： 表示方法： 性质： 两组对边分别平行的四边形叫做 平 行 四边形。 平行四边形 ABCD, 记为“ □ ABCD”, 读作“平行四边形 ABCD”, 其中线段 AC, BD 称为对角线。 1. 平行四边形的两组对边分别平行 ; 2. 平行四边形的对边 相等， 3. 平行四边形的 对角相等， 相邻两角互补。 A B C D O A B D C O 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起 , 在它们的中心 O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕 O 旋转 180° ，你发现了什么 ? 实验操作，提出猜想 ● A D O C B D B O C A 看一看 结论： ABCD 绕它的中心 O 旋转 180° 后与自身重合，这时我们说 ABCD 是中心对称图形点 O 叫对称中心 　　 如图，在　 ABCD 中，连接 AC ， BD ，并设它们相交 于点 O ． OA 与 OC ， OB 与 OD 有什么关系？ D A B C O 　　猜想： 平行四边形的对角线互相平分．　 你能证明上述猜想吗？　 提出猜想 已知：如图 , □ ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证： OA = OC ， OB = OD . 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD=BC ， AD∥BC, ∴ ∠ 1=∠2 ，∠ 3=∠4, ∴ △ AOD ≌ △ COB （ ASA ） , ∴ OA=OC ， OB=OD. A C D B O 3 2 4 1 A C D B O 平行四边形的 对角线互相平分 . 平行四边形的性质 应用格式： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA=OC ， OB=OD. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形， AB=10 ， AD=8 ， AC⊥BC ，求 BC 、 CD 、 AC 、 OA 的长以及 ABCD 的面积 . 解： ∴ △ ABC 是直角三角形 又 ∵ AC⊥BC ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ BC=AD=8 ， CD=AB=10 又 ∵ OA=OC ∴ ∴ ∴ S = BC × AC=8 × 6=48 ABCD 例题 A B C D O 练习巩固： 1 、 如图，在 ABCD 中 ， BC=10cm, AC=8cm, BD=14cm, （1） △ BOC的周长是多少？ 说明理由？ （ 2） △ ABC与 △ DBC的周长哪个长， 长多少？ A B D C O 10+4+7=21 △ ABC的周长小于 △ DBC的周长小 6 2 、 如图， ABCD 的对角线 AC , BD 交于点 O . 点 O 作直线 EF , 分别交 AB , CD 于点 E ， F . 求证： OE = OF . A B C D F E O 证明 : ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴∠ ODF =∠ OBE , ∠ DFO =∠ BEO , ∴ △ DOF ≌ △ BOE （ AAS ） , ∴ AB ∥ CD , OD = OB , ∴ OE = OF . 思考 改变直线 EF 的位置， OE = OF 还成立吗 ? A B C D O E F A B C D O E F A B C D O E F 请判断下列图中， OE = OF 还成立么？ 同 2 易证明 OE = OF 还成立 . 3 、把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm 2 和12cm 2 ，求平行四边形的面积． 解：（9+12）×2 =21×2 =42（ cm 2 ） 答：平行四边形的面积是42 cm 2 ． O D B A C 4 、 如图,在 ABCD中, 对角线AC ﹑ BD相交于点O,且AC+BD=20, △ AOB的周长等于15, 则CD=______. 5 37 5 、 如图，在 ABCD 中，对角线 AC,BD 交于点 O ， AC ＝ 10 ， BD=8, 则 AD 的取值范围是 _________ . O D B A C ● 1 ＜ AD ＜ 9 38 6 、若平行四边形的一边长为５ , 则它的两条对角线长可以是 ( ) Ａ . １２和２　 Ｂ . ３和４　 Ｃ . ４和６　 Ｄ . ４和８ O D B A C D 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分． （ 1 ）本节学习了平行四边形的哪些性质？ （ 2 ）结合本节的学习，谈谈研究平行四边形性质的思 　　 想方法． A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 研究平行四边形，常常把它转化为三角形问题． 课堂小结 第十八章 平行四边形 18.1.2 平行四边形判定 第 1 课时 平行四边形的判定（ 1 ） 学习目标 1、经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，我们可以逐步掌握说理的基本方法。 2、探索并了解平行四边形的判别方法：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3 、能根据判别方法进行有关的应用。 重点： 平行四边形的判定方法及应用 难点： 平行四边形的判定定理的灵活应用 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 A B C D 四边形 ABCD 如果 AB∥CD AD∥BC B D ABCD A C B D A C O 平 行 四 边 形 的 性 质： 边 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 角 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AB=CD AD=BC ∴ AB ∥ CDAD ∥ BC 温故知新 我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？ （ 1 ）根据定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 因为 AB//CD,AD//BC; 所以四边形 ABCD 是平行四边形。 平行四边形的对边相等 . 平行四边形的对角相等 . 平行四边形的对角线互相平分 . 边： 角： 对角线： 思考 我们得到的这些逆命题是否都成立？这节课我们一起探讨一下吧 . 平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 性质 ： 已知：四边形 ABCD, 。 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 证明： 连结 AC 在△ ABC 和△ CDA 中 ∴△ABC≌△CDA （ SSS ） ∴∠1=∠2 ，∠ 3=∠4 （全等三角形的对应角相等） ∴ AB∥CD ， AD∥BC （内错角相等，两直线平行） D B A C 2 1 3 4 AB=CD （已知） AD=CB （已知） AC=CA （公共边） ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ( 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ) 1 、求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 AB=CD ， AD=BC 证一证 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的判定定理 1: 符号语言： ∵ AB=CD,AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 （两组对边分别相等的四边形是平行四边形） A B C D A D C B 2 、求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 。 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形， ∠ A=∠C ，∠ B=∠D 。 求证：四边形 ABCD 是平行四边形。 证明：∵在四边形 ABCD 中， ∠ A+∠B +∠C +∠D=360° ， 又∵∠ A=∠C ，∠ B=∠D ， ∴ ∠ A+∠B =180° ，∠ C +∠D=180° ， ∴ AD∥BC ， AB∥CD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形的判定定理 2: 符号语言： A B C D ∵∠A=∠C ，∠ B=∠D ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 （两组对角分别相等的四边形是平行四边形） 已知：四边形 ABCD 中， OA=OC ， OB=OD . 求证：四边 形 ABCD 是平行四边形 . 证明： 在△ AOB 和△ COD 中 , OA=OC ( 已知 ) ， OB=OD ( 已知 ) ， ∠ AOB= ∠ COD ( 对顶角相等 ) ， ∴ △ AOB ≌ △COD (SAS) ， ∴ ∠ BAO =∠ OCD , ∠ ABO =∠ CDO , ∴ AB∥ CD , AD∥ BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . B O D A C 3 、求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形的判定定理 3: 符号语言： ∵ OA=OC ， OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ( 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ) A B C D O 我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形。如果只考虑四边形的一组对边，他们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等，反过来一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ A B C D 求证：四边形 ABCD 是平行四边形。 证明：连接 AC ∵ AD ∥ BC ∴∠DAC=∠ACB 又∵ AD=BC ， AC=AC ， ∴ΔABC≌ΔCDA ∴∠BAC=∠ACD ∴ AB ∥ CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 已知：在四边形 ABCD 中， AD 　 BC 。 ( 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ) 你还有其他证法吗？ 4 、求证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形的判定定理 4: 符号语言： ∵AB CD ∴四边形 ABCD 是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） A B C D 例 1 ：已知：如图： E 、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF . D O A B C E F 证明：作对角线 BD ，交 AC 于点 O . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO = CO ， BO = DO ∵ AE = CF ∴ AO - AE = CO - CF 即 EO = FO 又 BO = DO ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形 大显身手 求证：四边形 BFDE 是平行四边形 D F E C B A 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD ( 平行四边形的定义 ) AD=BC( 平行四边形的对边分别相等 ) ， ∵E,F 分别是 AD,BC 的中点， ∴ED=BF, 即 ED BF. ∥ ﹦ ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形 （一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）。 ∴BE=DF( 平行四边形的对边分别相等 ) 。 例 2 、已知：如图， E,F 分别是 ABCD 的边 AD,BC 的中点。 求证： BE=DF. 2. 如图， AB =DC=EF, AD=BC ， DE=CF, 则图中有哪些互相平行的线段？ 看谁最快 AB ∥ DC∥ EF AD ∥ BC DE ∥ CF 体会.分享 说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？ 从边来判定 1 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 理一理 平行四边形的判定方法 第十八章 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第 2 课时 三角形的中位线 学习目标 1 、理解三角形中位线的概念，掌握它的性质． 2 、能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3 ．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力． 4 ．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法． 重点： 掌握和运用三角形中位线的性质． 难点： 三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法 ）． 平行四边形的 判定 边 角 对角线 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 一 组 对边 平行 且相等 的四边形是平行四边形 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形 两组对 角 分别 相等 的四边形是平行四边形 对 角线互相平 分的四边形是平行四边形 温故知新 请同学们按要求画图： 画任意△ ABC 中，画 AB 、 AC 边中点 D 、 E ， 连接 DE ． D E 定义：像 DE 这样， 连接三角形 两边中点 的 线段 叫做三角形的 中位线 ． 探究思考 问题 1 ： 一个三角形有几条中位线？ D E F 三条 问题 2 ： 三角形中位线与三角形中线有什么区别？ D E D 端点不同 探究思考 问题 3 ： 如图， DE 是△ ABC 的中位线， DE 与 BC 有怎样的关系？ D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE 与 BC 的关系 猜想： DE ∥ BC ？ 度量 一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论． 问题 4 ： 探究思考 猜想： 三角形的中位线平行于三角形的 第三边且等于第三边的一半． D E 问题 5 ：如何证明你的猜想？ 探究思考 已知，如图， D 、 E 分别是△ ABC 的边 AB 、 AC 的中点 . 求证： DE ∥ BC ， ． D E 探究思考 67 平行 角 平行四边形 或 线段相等 一条线段是另一条线段的一半 倍长短线 分析 1 ： D E 探究思考 分析 2 ： D E 互相平分 构造 平行四边形 倍长 DE 探究思考 证明： D E 延长 DE 到 F ，使 EF = DE ． 连接 AF 、 CF 、 DC ． ∵ AE = EC ， DE = EF ， ∴四边形 ADCF 是平行四边形． F ∴四边形 BCFD 是平行四边形， ∴ CF AD , ∴ CF BD , 又∵ ， ∴ DF BC ． ∴ DE ∥ BC ， ． 如图，在△ ABC 中，点 D , E 分别是 AB , AC 边的中点， 求证： 你还有其他方法吗？ 探究思考 D E 证明： 延长 DE 到 F ，使 EF = DE ． F ∴四边形 BCFD 是平行四边形． ∴△ ADE ≌ △ CFE ． ∴∠ ADE = ∠ F 连接 FC ． ∵∠ AED = ∠ CEF ， AE = CE ， 证法 2 ： ， AD = CF , ∴ BD CF ． 又∵ ， ∴ DF BC ． ∴ DE ∥ BC ， ． ∴ CF AD , 探究思考 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． D E △ ABC 中，若 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 的中点， 则 DE ∥ BC ， DE = BC ． 三角形中位线定理： 符号语言： 归纳总结 72 1. 如图， A 、 B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C ，连接 AC 和 BC ，怎样量出 A 、 B 两点间的距离？ 根据是什么？ 分别画出 AC 、 BC 中点 M 、 N ， 量出 M 、 N 两点间距离，则 AB =2 MN. N M 根据是三角形中位线定理． 学以致用 2. 如图，▱ ABCD 的周长为36，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 CD 的中点， BD =12，求△ DOE 的周长． 解：∵▱ ABCD 的周长为36， ∴ BC + CD =18． ∵点 E 是 CD 的中点， ∴ OE 是△ BCD 的中位线， DE = CD ， ∴ OE = BC ， ∴△DOE的周长为 OD + OE + DE = （ BD + BC + CD ）=15， 即△ DOE 的周长为15． 3、 如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 中点． 求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 四边形 问题 连接对角线 三角形问题 （三角形中位线定理） 4 、已知：△ ABC 的中线 BD 、 CE 交于点 O ， F 、 G 分别是 OB 、 OC 的中点． 求证：四边形 DEFG 是平行四边形． 5 、已知：如图， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点． 求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 谈一谈本节课你的收获？ 第十八章 平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第 3 课时 平行四边形的性质与判定复习 学习目标 1 、理解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质和判定 2 、熟练运用平行四边形的性质和判定进行相关计算和证明。 重点：熟练运用平行四边形的性质和判定进行相关计算和证明。 难点：选择恰当的方法解决有关平行四边形的问题。 知识点 练一练 1 、（ 1 ）在 ABCD 中，已知 AB=8 ， AO=3 ， ∠ B=50° 则 CD=________ ， AC=________ ∠A=________ ，∠ D=___________ （ 2 ）在 ABCD 中， ∠ A+ ∠C= 150° 那么∠ A=__________ ，∠ D=_________ （ 3 ）在 ABCD 中， ∠ A:∠B= 4:5 ，那么∠ B=__________ ，∠ C=_________ 8 130° 6 75° 50° 105° 80° 100° 3 、（呼和浩特）如上右图所示，已知 E ， F ， G ， H 是四边形 ABCD 各边的中点，则 S 四边形 EFGH ： S 四边形 ABCD 的值是 _________ ． 2 、如下左图所示，在四边形 ABCD 中， AB∥CD ，要使四边形 ABCD 为平行四边形，则应添加的条件是 ________ ．（添加一个即可） 4 ．能够判定四边形 ABCD 是平行四边形的题设是（ ）． A ． AB∥CD ， AD=BC B ．∠ A=∠B ，∠ C=∠D C ． AB=CD ， AD=BC D ． AB=AD ， CB=CD 5 ．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）． A ．相邻的角互补 B ．两组对角分别相等 C ．一组对边平行，另一组对边相等 D ．对角线交点是两对角线中点 6 ．如下图所示，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，下列判断正确的是（ ）． A ．若 AO=OC ，则 ABCD 是平行四边形 ; B ．若 AC=BD ，则 ABCD 是平行四边形 ; C ．若 AO=BO ， CO=DO ，则 ABCD 是平行四边形 ; D ．若 AO=OC ， BO=OD ，则 ABCD 是平行四边形 A B C D O 7 ．如图所示，在四边形 ABCD 中 AB=CD ， BC=AD ， E ， F 为对角线 AC 上的点，且 AE=CF ， 求证： BE=DF ． 证明：∵ AB=CD ， BC=AD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∴ AB∥CD ， ∴∠ BAE=∠DCF ． 又∵ AE=CE ， ∴△ ABE≌△CDF （ SAS ）， ∴ BE=EF ． 8 ．如图所示， D 为△ ABC 的边 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E ，且 AE=CE ， FC∥AB ． 求证： CD=AF ． 证明：∵ FC∥AB ， ∴∠ DAC=∠ACF ，∠ ADF=∠DFC ． 又∵ AE=CE ， ∴△ ADE≌△CFE （ AAS ）， ∴ DE=EF ． ∵ AE=CE ， ∴四边形 ADCF 为平行四边形． ∴ CD=AF ． 9 ．如图所示，在 ABCD 中， EF∥AB 且交 BC 于点 E ，交 AD 于点 F ，连接 AE ， BF 交于点 M ，连接 CF ， DE 交于点 N ，求证： MN∥AD 且 MN= AD ． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形． ∴ AB ∴四边形 BDCE 是平行四边形． ∵ DC∥BF ，∴∠ CDF=∠F ． 同理，∠ BDM=∠DMC ． ∵ BD=BF ，∴∠ BDF=∠F ． ∴∠ CDF=∠CMD ，∴ CD=CM ． DC 又∵ BE=AB ， ∴ BE DC ， 10 、如图所示，在△ ABC 中， E 为 AB 的中点， CD 平分∠ ACB ， AD⊥CD 于点 D ．试说明：（ 1 ） DE∥BC ．（ 2 ） DE= （ BC-AC ）． 解：延长 AD 交 BC 于 F ． （ 1 ）∵ AD⊥CD ， ∴∠ ADC=∠FDC=90° ． ∵ CD 平分∠ ACB ，∴∠ ACD=∠FCD ． 在△ ACD 与△ FCD 中， ∠ ADC=∠FDC ， DC=DC ，∠ ACD=∠FCD ． ∴△ ACD≌△FCD ，∴ AC=FC ， AD=DF ． 又∵ E 为 AB 的中点，∴ DE∥BF ，即 DE∥BC ． （ 2 ）由（ 1 ）知 AC=FC ， DE= ∴ DE= BF ． （ BC-FC ） = （ BC-AC ）． 11 、如图所示，在△ ABC 中，∠ BAC=90° ， AD⊥BC 于 D ， BE 平分∠ ABC 交 AD 于 E ， EF∥BC 交 AC 于 F ，那么 AE 与 CF 相等吗？请验证你的结论． 解： AE=CF ． 理由：过 E 作 EG∥CF 交 BC 于 G ， ∴∠ 3=∠C ． ∵∠ BAC=90° ， AD⊥BC ， ∴∠ ABC+∠C=90° ，∠ ABD+∠BAD=90° ． ∴∠ C=∠BAD ，∴∠ 3=∠BAD ． 又∵∠ 1=∠2 ， BE=BE ， ∴△ ABE≌△GBE （ AAS ），∴ AE=GE ． ∵ EF∥BC ， EG∥CF ， ∴四边形 EGCF 是平行四边形，∴ GE=CF ， ∴ AE=CF ． 第十八章 平行四边形 18.2.1 矩 形 第 1 课时 矩形的性质 学习目标 1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系； 2. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题； 3. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用 . 重点 ：理解矩形的概念，掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用 . 难点 ：会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题 . 两组对边分别平行的四边形 是平行四边形 A B C D 四边形 ABCD 如果 AB∥CD AD∥BC B D ABCD A C 平行四边形的性质： 边 平行四边形的对边 平行 ； 平行四边形的对边 相等 ； 角 平行四边形的对角 相等 ； 平行四边形的邻角 互补 ； 对角线 平行四边形的对角线 互相平分 ； 温故知新 平行四边形的判定： 边 两组对边分别 平行 的四边形； 两组对边分别 相等 的四边形； 角 两组对角分别 相等 的四边形； 对角线 对角线 互相平分 的四边形； 一组对边 平行 且 相等 的四边形； 平行四边形的判定定理： 定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半 中位线定理 ： 温故知新 活动 1 ： 利用一个活动的平行四边形教具演示 , 使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察 . 新课讲解 矩形 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 . 定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 也叫做长方形 . 平行四边形不一定是矩形 . 找一找 你能在教室里找出矩形吗？ 具备平行四边形所有的性质 A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形的一般性质 ： 探索新知 : 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ 猜想 1 ： 矩形的四个角都是直角． 猜想 2 ： 矩形的对角线相等． A B C D 求证：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形 求证：∠ A=∠B=∠C=∠D=90° A B C D 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ ∠A=90° 又 矩形 ABCD 是平行四边形 ∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D ∠A +∠B = 180° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即 矩形的四个角都是直角 已知：如图 , 四边形 ABCD 是矩形 求证： AC = BD A B C D 证明：在矩形 ABCD 中 ∵∠ABC = ∠DCB = 90° 又 ∵ AB = DC ， BC = CB ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC = BD 即 矩形的对角线相等 求证 : 矩形的对角线相等 矩形特殊的性质 矩形的四个角都是直角． 矩形的两条对角线相等． 从角上看： 从对角线上看： 矩形的 两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角 矩形 的 两条对角线相等 边 对角线 角 数学语言 ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ AD = BC ， CD = AB ∴ AD ∥ BC ， CD ∥ AB ∴ AC= BD A B C D O ∴ AO= CO ， OD = OB 矩形的性质 思考：矩形 ABCD 是轴对称图形吗？ 它的对称轴有几条？ 矩形是中心对称图形吗？对称中心是？ A B C D E F G H . 直角三角形性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 考考大家： 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，则 OC=OB=OD 成立吗？ △ BCD 中，∵∠ BCD=90° ， O 是 BD 上的中点 ∴ CO = BD 例 1 ： 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ，∠ AOB=60°,AB=4, 求矩形对角线的长？ 解：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ OA=OB ∵∠AOB=60° ∴△AOB 是等边三角形 ∴ OA=AB=4 ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8 D C B A O P53 练习 2 ：已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ，∠ AOD=120° ， AC=8cm ，求矩形的边长 . （精确到 0.01 ㎝ ） A B O C D 解： 在矩形 ABCD 中， ∵ ∠AOD=120° ∴ ∠AOB=60° ∵OA=OB ∴ △AOB 为等边三角形 ∴AB=OA= AC=4cm 在 Rt△ABC 中， ≈6.93 （ cm ） BC= = = 方法小结 : 如果矩形两对角 线的夹角是 60° 或 120°, 则其中必有等边三角形 . 3 、已知：如图 BE 、 CF 是△ ABC 的两条高， M 为 BC 的中点，分别连 ME 、 MF 求证： (1)ME= BC (2)ME=MF C M A B F E 分析： FM 为 Rt△BFC 的斜边上的中线， EM 为 Rt△BEC 的斜边上的中线 练一练 D C B A ┓ 1 、在 Rt△ABC 中 ,∠ABC=90 0 ,BD 是斜边 AC 上的中线 . (1) 若 BD=3㎝, 则 AC ＝ ___ ㎝; (2) 若∠ C=30°,AB ＝ 5㎝, 则 AC ＝ ____ ㎝, BD ＝ ____ ㎝. 6 5 10 2 、在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 已知 AC=8 ， ∠ DOC=120 0 , 则 AD=______ , AB=________ D A B C 120 0 4 4 3 、在矩形 ABCD 中， AE⊥BD 于 E ，若 BE=OE=1 ， 则 AC=___, AB ＝ ____. B C D E A O 4 2 4. 矩形的一个角的平分线分矩形的一边为 1cm 和 3cm 两部分 , 则这个矩形的面积为 . B A C D E 3 1 B A C D E 1 3 12cm 2 或 4cm 2 返回 解 :∵ O 是矩形 ABCD 对角线交点∴ OA=OB=OC=OD 又∵∠ AOD=120 0 ∴∠OBC=30 0 ,△AOB 为正三角形即 OA=OB=AB∵ AE 平分 ∠ BAD, 且四边形 ABCD 为矩形 ∴∠ BAE=∠DAE=∠AEB=45 0 ∴AB=BE ∴∠BEO=∠BOE=75 0 ∵∠AOE=∠AOB+∠BOE, ∠OAE=∠OAB-∠BAE∴∠AOE=135 0 ,∠OAE=15 0 在△ AOE 中 ,∠AEO=180 0 -∠AOE-∠OAE=30 0 例 4 已知如图， O 是矩形 ABCD 对角线交点， AE 平分 , 求 的度数 . 本课小结 矩形的四个角都是直角 . ※ 矩形的性质定理 1 矩形的对角线相等 . ※ 矩形的性质定理 2 ※ 推 论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 矩形定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 第十八章 平行四边形 18.2.1 矩 形 第 2 课时 矩形的判定 学习目标 1 ． 掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条 件，选取适当的定理进行推理计算； 2 ． 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗 透类比思想，体会类比学习和图形判定探 究的一般思路． 重点： 矩形判定的探索、证明． 难点： 能应用矩形的判定解决简单的证明题 和计算题 复习回顾 四边形 平行 四边形 两组对边 分别平行 一个角 是直角 ∟ 矩形 四边形集合 平行四边形集合 矩形集合 定义：有一个角是 直角 的 平行四边形 叫做矩形。 边 对角线 角 A B C D O 矩形的性质： 矩形对边 平行 且 相等 ； 矩形的四个角都是 直角 ； 矩形的对角线 相等 且 平分 ； 直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ． 你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？ 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形 . 你还有其它的判定方法吗？ ABCD ∠A=90 0 四边形 ABCD 是矩形 师傅是怎样知道窗户是矩形的呢 ? 除度量角度之外 , 木工师傅度量什么也能知道做好的门框是矩形呢 ? 能证明它的正确性吗 ? 命题 ：对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：平行四边形 ABCD ， AC=BD. 求证：四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 证明 : ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB （ SSS ） ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ ∠ABC=∠DCB 对角线相等的平行四边形是矩形 . 矩形的判定方法： 几何语言： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 AC=BD ∴ 四边形 ABCD 是矩形 （ 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 . ） A B C D O （或 OA=OC=OB=OD ） 探究： 命题： 有三个角是直角的四边形是矩形。 证明 ： 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90 °; 已知 : 四边形ABCD是矩形. 求证 : ∵∠A=∠B=90 ° ∴∠A+∠B=180 ° ∴ AD ∥ BC, 同理：AB ∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 又 ∵∠A=90 ° ∴四边形ABCD是矩形。 D A C B 矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形 . A B C D ∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形 ABCD 是矩形 几何语言： 你能 归纳矩形的几种判定方法吗？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形 . 对角线相等的平行四边形是矩形 . （ 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 . ） 有三个角是直角的四边形是矩形 . 方法 1 ： 方法 2 ： 方法 3 ： 例 1 、 如图，在 　 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，且 OA = OD ，∠ OAD =50° ．求∠ OAB 的度数． 　 A 　 B 　 C 　 D 　 O 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC ， OB = OD = BD . 又 ∵ OA = OD ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ BAD= 90 ° . 又 ∵ ∠ OAD =50° ， ∴ ∠ OAB =40°. 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形 . 1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （ 1 ）对角线相等的四边形是矩形； （ 2 ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ 3 ）有一个角是直角的四边形是矩形； （ 5 ）有三个角是直角的四边形是矩形； （ 6 ）四个角都相等的四边形是矩形； （ 7 ）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ 4 ）有三个角都相等的四边形是矩形 ; × × × × √ √ √ √ （ 8 ）一组对角互补的平行四边形是矩形 . 练习 : 2 、八年级（ 3 ）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛。计划用红花摆成两条对角线。如果一条对角线用了 38 盆红花，还 需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了 49 盆呢？为什么？ 3 、已知：平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于 O ，△ AOB 是等边三角形， AB=4cm, 求这个平行四边形的面积。 A B C O D ∵ △ ABC 是等边三角形 ∴ OA=OB 解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴四边形 ABCD 是矩形。 在 Rt△ABC 中 ∵ AB=4, AC=2AO=8 ∴ AO= AC ， BO= BD 则 AC=BD 则∠ ABC=90° 4. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形 , 对角线 AC,BD 相交于点 O, 且∠ 1= ∠2. 四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形 . 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO = CO , DO = BO . 又 ∵ ∠1= ∠2 ， ∴ AO = BO ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 5 、 已知：如图．矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，且 E 、 F 、 G 、 H 分别是 AO 、 BO 、 CO 、 DO 的中点，求证四边形 EFGH 是矩形． 证明 ： ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AC=BD 即 AO=BO=CO=DO ∵ E 、 F 、 G 、 H 分别是 AO 、 BO 、 CO 、 DO 的中点 ∴ OE=OF=OG=OH ∴四边形 EFGH 是平行四边形 又∵ EO+OG=FO+OH 即 EG=FH ∴四边形 EFGH 是矩形。 6 、如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的高， AE 是 △ BAC 的外角平分线， DE ∥ AB 交 AE 于点 E ，求证：四边形 ADCE 是矩形． 证明： ∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ， BD ＝ DC . ∵ AE 是 ∠ BAC 的外角平分线， ∴∠ FAE ＝ ∠ EAC . ∵∠ B ＋ ∠ ACB ＝ ∠ FAE ＋ ∠ EAC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ＝ ∠ FAE ＝ ∠ EAC ， ∴ AE ∥ CD . 又 ∵ DE ∥ AB ， ∴ 四边形 AEDB 是平行四边形， ∴ AE 平行且相等 BD . 又 ∵ BD ＝ DC ， ∴ AE 平行且等于 DC ， 故四边形 ADCE 是平行四边形 . 又 ∵∠ ADC ＝ 90° ， ∴ 平行四边形 ADCE 是矩形． 通过本节课的学习，我们知道了矩形的三种判定方法： （1） 有一个角是直角的 平行 四边形是平行四边形； （2） 对角线相等的 平行 四边形是矩形； （3） 有三个角是直角的 四边形 是矩形。 这节课你学到了什么？ 第十八章 平行四边形 18.2.2 菱 形 第 1 课时 菱形的性质 学习目标： 1 、了解菱形的概念及其与平行四边形的关系 . 2 、能说出菱形的概念和性质；　 3 、会证明菱形的性质，会应用菱形的性质解 决简单的问题。 重难点：菱形性质的探索、证明和应用． 平行四边形的性质： 边 平行四边形的对边 平行 ； 平行四边形的对边 相等 ； 角 平行四边形的对角 相等 ； 平行四边形的邻角 互补 ； 对角线 平行四边形的对角线 互相平分 ； 温故知新 矩形的性质 矩形的四个角都是 直角 矩形的 对角线相等 1 、在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？ 平行四边形 有一组邻边相等 的平行四边形叫做菱形 菱形 邻边相等 自学探究　 2 、举出日常具有菱形形象的例子，如： 菱形铁丝网 菱形衣架 画上菱形图案的衣服 菱形图案工艺玻璃 美丽的中国结 他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可 . 你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 合作探究　 　 画出菱形的两条折痕 , 并通过折叠手中的图形回答以下问题： １、菱形是轴对称图形吗？ 2 、菱形有几条对称轴？ 3 、对称轴之间有什么关系？ 4 、你能看出图中哪些线段和角相等？ 合作探究 　 　 相等的线段： 相等的角： 等腰三角形有： 直角三角形有： 全等三角形有： 菱形 ABCD 中 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD ∠ DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA ∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 △ ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD A B C D O 1 2 3 4 5 6 7 8 合作探究 　 　 探究菱形的性质 菱形的两条 对角线 互相垂直， 并且每一条 对角线 平分一组对角。 菱形的四条 边 相等 菱形是 轴对称 图形，也是 中心对称 图形 已知 : 如图四边形 ABCD 是菱形 求证 : 菱形的 四条边 相等 菱形的两条 对角线 互相垂直， 并且每一条 对角线 平分一组对角。 A B C D O 证明 (1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ∴ DA=DC( 菱形的定义 ) ∵DA=BC,AB=DC ∴ AB=BC=DC=DA (2) 在△ DAC 中 , 又∵ AO=CO ∴ DB⊥AC ， DB 平分∠ ADC （三线合一） 同理： DB 平分∠ ABC ； AC 平分∠ DAB 和∠ DCB (1) AB=BC=CD=DA (2)AC⊥BD AC 平分∠ DAB 和∠ DCB BD 平分∠ ADC 和∠ ABC 求证 : A B C D O （ 1 ）菱形具有平行四边形的一切性质； （ 2 ）菱形的四条边都相等； （ 3 ）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角； 菱形的性质 知识归纳 　 　 　 你能由两条 对角线的长度 求出它的面积吗？ ∵ Rt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA A B C D O ∴ S △ ABC =4× OA · OB 菱形 ABCD =4 S = AC · BD 四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， 且 AB=5 ， AO=4. 求 AC 和 BD 的长 . 练一练 O 解 : ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ OA = OC ， OB = OD, AC ⊥ BD. ∵ Rt △AOB 中 , OB 2 +OA 2 =AB 2 , AB =5cm ， AO =4cm, ∴ OB =3cm. ∴ BD =2 OB =6cm, AC =2 OA =8cm. 例：如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m ， ∠ ABC ＝ 60° ，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位） . ∵ 练一练： 菱形 ABCD 的 两条对角线 BD 、 AC 长分别是 6 和 8 ，求菱形的周长和面积 . C B D A O 解： ∴ C 菱形 ABCD = 4×5=20 ∵ 四边形 ABCD 是菱形， 且 BD=6 ， AC=8 ∴AC⊥BD AO= AC=4 ， BO= BD=3. ∴AB= =5. 1 个定义 2 个公式 3 个特性 ：有一组 邻边相等 的 平行四边形 叫菱形 ： S 菱形 = 底 × 高 S 菱形 = 对角线乘积的一半 ：特在“ 边、对角线、对称性 ” 知识归纳 对自己说我有哪些收获？ 对老师说你还有哪些困惑？ 对同学有哪些温馨提示？ 自我反思 第十八章 平行四边形 18.2.2 菱 形 第 2 课时 菱形的判定 学习目标 1 、理解并掌握菱形的定义及两个判定方法。 2 、能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算 。 3. 经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会研究图形判定的一般思路． 重点：菱形判定条件的探索、证明和应用． 矩形 菱形 定义 有一角是 直角 的平行四边形叫做矩形 . 有一组 邻边相等 的平行四边形叫做菱形 . 平行四边形的性质 性质 边 角 对角线 四个角都是直角 相等 互相垂直且平分每一组对 角 判定 有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形 四条边都相等 菱形的 判定方法 1 ： 一组 邻边相等 的 平行四边形 是菱形； AB=BC A B C D □ ABCD A B C D 菱形 ABCD AB = BC □ ABCD 四边形 ABCD 是菱形 类比学习平行四边形和矩形的判定过程，研究菱形性质定理的逆命题 , 你能找到菱形判定的其他方法吗？ 猜想 1 ：对角线互相垂直 的平行四边形是菱形 猜想 2 ：四条边都相等 的四边形是菱形 探索新知 命题： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . A B C D 已知：在 □ ABCD 中， AC ⊥ BD 求证： □ ABCD 是菱形 证明： ∴ □ ABCD 是菱形 又∵ AC ⊥ BD; ∵四边形 ABCD 是 □ ∴ OA=OC ∴ BA=BC O 例 1 如图， ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AB =5 ， AO =4 ， BO =3. 求证：四边形 ABCD 是菱形 . A B C D O 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ OA =4, OB =3, AB =5 ， 证明： 即 AC ⊥ BD ， ∴ AB 2 = OA 2 + OB 2 ， ∴ △ AOB 是直角三角形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 求证： 有四条边相等的 四边形 是菱形。 已知：在四边形 ABCD 中 ,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形 ABCD 是菱形 D A B C 证明： ∵ AB=CD,AD=BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形 又∵ AB=AD, ∴四边形 ABCD 是菱形 文字语言 图形语言 符号语言 判定一 判定 法二 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定法三 四边相等的四边形是菱形 菱形的判定： A B C D ∵ AB=BC=CD=DA ∴四边形 ABCD 是菱形 ∵在 □ ABCD 中 AC⊥BD ∴四边形 ABCD 是菱形 ∵在 □ ABCD 中 AB=AD ∴四边形 ABCD 是菱形 A B C D O A B C D 一组邻边相等的平行四边形是菱形 理由是： 如图，四边形 ABCD 是平行四边 形， AB=9 ， BD=12 ， AC= ∵ AO= AC= BO= BD=6 ∴ = + ∴ 三角形 AOB 是直角三角形 ∴ AC BD ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形 答： 是菱形 练一练 一个平行四边形的一条边长是 9 ，两条对角线的长分别是 12 和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积 . A B C D O ⊥ S= AC × BD= × 12 × = A D C B ∟ ∟ E F 把两张 等宽 的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分 ABCD 的形状吗？ 思考 : 请你动脑筋 1 、判断题，对的画“√”错的画“ ×” (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形（ ） (2) 一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ） (3) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ） (4) 对角线相等的四边形是菱形（ ） (5) 对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．（ ） (6) 两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．（ ） × √ × × √ √ 证明： ∵ ∠ 1= ∠ 2, 又∵ AE = AC , AD = AD , ∴ △ ACD ≌ △ AED (SAS). 同理△ ACF ≌ △ AEF (SAS) . ∴ CD = ED , CF = EF . 又∵ EF = ED ,∴ CD = ED = CF = EF , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 2 2 、 如图 ,在△ ABC 中 , AD 是角平分线 , 点 E 、 F 分别在 AB 、 AD 上 , 且 AE = AC , EF = ED . 求证：四边形 CDEF 是菱形 . A C B E D F 1 3 、 如图，在 △ ABC 中， ∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 6cm ， BC ＝ 8cm. 将 △ ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm ，得到 △ DEF ， A ， B ， C 的对应点分别是 D ， E ， F ，连接 AD . 求证：四边形 ACFD 是菱形． 证明：由平移变换的性质得 CF ＝ AD ＝ 10cm ， DF ＝ AC . ∵∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 6cm ， BC ＝ 8cm ， ∴ AC ＝ DF ＝ AD ＝ CF ＝ 10cm ， ∴ 四边形 ACFD 是菱形． H G F E D C B A 证明：连接 AC 、 BD . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD . ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = HE ， ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 4 、 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH ，求证：四边形 EFGH 是菱形 . C A B D E F G H 5 、 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 E F G H 是什么四边形？ 解：四边形 EFGH 是菱形 . 又∵ AC = BD , ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = HE ， ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 理由如下：连接 AC 、 BD 6 、 如图，在△ ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点， BE ＝2 DE ，延长 DE 到点 F ，使得 EF ＝ BE ，连接 CF . (1)求证：四边形 BCFE 是菱形； (1)证明：∵ D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点， ∴ DE ∥ BC 且2 DE ＝ BC . 又∵ BE ＝2 DE ， EF ＝ BE ， ∴ EF ＝ BC ， EF ∥ BC ， ∴四边形 BCFE 是平行四边形． 又∵ EF ＝ BE ， ∴四边形 BCFE 是菱形； (2)解：∵∠ BCF ＝120°， ∴∠ EBC ＝60°， ∴△ EBC 是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . (2)若 CE ＝4，∠ BCF ＝120°，求菱形 BCFE 的面积． 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 归纳 三个角是直 角　 四条边都相 等　　 一个角是直 角　 对角线相 等　　 一组邻边相 等　　 对角线互相垂 直　　　 两组对边分别平 行　 一组对边平行且相等 两组对边分别相等　 两组对角分别相等 对角线互相平分　 四边形 　 平行四边形 　 矩形 　 菱形 　 课堂小结 第十八章 平行四边形 18.2.3 正方形 1 、掌握正方形的概念、性质和判定。 2 、理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别 学习目标 3 、会运用正方形的性质和判定条件进行有关的论证和计算 重难点：正方形的性质和判定条件进行有关的论证和计算。 探究 矩 形 〃 〃 正方形 邻边 相等 〃 〃 发现： 一组邻边相等的矩形叫正方形 菱 形 一个角 是直角 正方形 ∟ 发现： 一个角为直角的菱形叫正方形 正方形定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 正方形的定义： 菱形 正方形 有一个角是直角 正方形即是特殊的矩形 又是特殊的菱形。 正方形具有矩形性质，同时也具有菱形形性质。 正方形 矩形 有一组邻边相等 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 正方形的性质 = 菱形性质 矩形性质 正方形是轴对称图形，它的对称轴是什么？ 快速抢答 正 方 形 的 性 质 边 角 对角线 对称性 图形语言 文字语言 符号语言 A C D \ B A C D B A C D B \ \ \ ∟ ∟ ∟ ∟ O \ \ \ \ ∟ 对边平行， 四条 边都相等 四 个 角 都是直角 对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠ A=∠B=∠C=∠D=90° ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴ AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD 轴对称图形 中心对称图形 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 1 、 正方形 菱形 2 、 一内角是直角 正方形的判定方法： （可从平行四边形、矩形、菱形为基础） 定义法 菱形法 矩形 3 、 一组邻边相等 正方形 矩形法 例 1 求证 : 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 . 已知 : 如图 , 四边形 ABCD 是正方形 , 对角线 AC 、 BD 相 交于点 O . 求证 : △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 是全等的 等腰直角三角形 . 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴ AC = BD , AC ⊥ BD , AO = BO = CO = DO . ∴ △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 都 是等腰直角三角形 , 并且 △ ABO ≌ △ BCO ≌ △ CDO ≌ △ DAO . A D C B O 正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系： 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等 且 有一个角是直角 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 平行四边形 矩形 四边形 菱形 正 方 形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系 1. （ 1 ）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁 出正方形纸片 . 为什么？ （ 2 ）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木 板呢？ 解：由已知，对折后可得：所得的四边形有三个 直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方 形纸片。 解：在长方形最长的两边，截取长度等于“长方形的短边的长度”， 这样就可以截出面积最大的正方形 课堂练习 2. 如图， ABCD 是一块正方形场地 . 小华和小芳在 AB 边上取定了一点 E ，测量知， EC= 30m ， EB=10m. 这块场地的面积和对角线分别是多少？ 解： 根据勾股定理： BC 2 = EC 2 - EB 2 = 30 2 – 10 2 = 800 ∴BC= ∴ 这块场地的面积 = = 800 对角线 AC = = 40 30 10 3 、满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （ 1 ）对角线互相垂直且相等的平行四边形； （ 2 ）对角线互相垂直的矩形； （ 3 ）对角线相等的菱形； （ 4 ）对角线互相垂直平分且相等的四边形 . 解： (1)根据正方形的判定可知，是正方形 (2)根据正方形的判定可知，是正方形 (3)根据正方形的判定可知，是正方形 (4)根据正方形的判定可知，是正方形 4 、 在正方形 ABCD 中，点 E 、 F 、 M 、 N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN ．四边形 EFMN 是正方形吗 ? 为什么 ? 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD = DA ， ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90 ° . ∵ AE = BF = CM = DN ， ∴ AN = BE = CF = DM . 分析：由已知可证 △ AEN ≌ △ BFE ≌ △ CMF ≌ △ DNM ，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可 . A D C B O 在△ AEN 、△ BFE 、△ CMF 、△ DNM 中， AE = BF = CM = DN , ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D , AN = BE = CF = DM , ∴△ AEN ≌ △ BFE ≌ △ CMF ≌ △ DNM , ∴ EN = FE = MF = NM ， ∠ ANE =∠ BEF , ∴ 四边形 EFMN 是菱形， ∠ NEF =180° －（∠ AEN +∠ BEF ） =180° －（∠ AEN +∠ ANE ） =180° － 90°=90°. ∴ 四边形 EFMN 是正方形 . A D C B O 5 、如图，在正方形 ABCD 中， P 为 BD 上一点， PE⊥BC 于 E ， PF ⊥ DC 于 F . 试说明： AP = EF . 解 : 连接 PC ， AC . 又 ∵ PE ⊥ BC ， PF ⊥ DC , ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴∠ FCE =90°, AC 垂直平分 BD , ∴ 四边形 PECF 是矩形 , ∴ PC = EF . ∴ AP = PC . ∴ AP = EF . A B C D P E F 6 、已知：如图，△ ABC 中，∠ C=90° ， CD 平分∠ ACB ， DE⊥BC 于 E ， DF⊥AC 于 F ． 求证：四边形 CFDE 是正方形． 解： ∵ ∠ C=90° ， DE⊥BC 于 E ， DF⊥AC 于 F ∴四边形CEDF有三个直角， 它是矩形 又∵ CD 平分∠ ACB 根据角平分线上的点都两边的距离相等，可知DE=DF，所以 矩形CEDF有一组邻边相等 根据正方形的判定方法，知四边形CEDF是正方形 本节课你有什么收获？ 边 对角线 角 正方形的性质 正方形对边平行 四边相等 正方形的四个角都是直角 正方形的对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 A B C D O 正方形是 中心对称图形， 它也是 轴对称图形 正方形是一个完美的图形 1 、直接用正方形的定义判定； 2 、先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是 _______ ，那么这个四边形是正方形； 3 、先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是 ________ ，那么这个四边形是正方形 . 菱形 矩形 正方形的判定 第十八章 平行四边形 复习 一、 几种特殊四边形的性质 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 二、几种特殊四边形的常用判定方法： 1. 定义：两组对边分别平行 2. 两组对边分别相等 3. 两组对角分别相等 4. 对角线互相平分 5. 一组对边平行且相等 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形 2. 对角线相等的平行四边形 3. 有 三个角是直角的四边形 1. 定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2. 对角线互相垂直的平行四边形 , 3. 四条边都相等的四边形 1. 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2. 有一组邻边相等的矩形 3. 有一个角是直角的菱形 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或 对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 四、其他重要概念及性质 1. 两条平行线之间的距离： 2. 三角形的中位线定理： 两条平行线中， 一条直线上任意一点到另一条直线的距离 叫做两条平行线之间的距离 . 三角形的中位线 平行于第三边 ，并且 等于第三边的一半 . 3. 直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 . 五、注意： 四边形中常见的基本图形 1 、如图，▱ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AB ⊥ AC ，若 AB=4 ， AC=6 ，则 BD 的长是多少？ =5 ， 解：∵▱ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∴ BO=DO ， AO=CO ， ∵ AB⊥AC ， AB=4 ， AC=6 ， ∴ BO= ∴ BD=2BO=10 ， 2 、如图，▱ ABCD 中， ∠ ABC=60° ， E 、 F 分别在 CD 和 BC 的延长线上， AE ∥ BD ， EF ⊥ BC ， EF= ， 则 AB 的长是多少？ 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ DC ， AB=CD ， ∵ AE ∥ BD ， ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形， ∴ AB=DE=CD ， 即 D 为 CE 中点， ∵ EF ⊥ BC ， ∴∠ EFC=90° ， ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ DCF= ∠ ABC=60° ， ∴∠ CEF=30° ， ∵ EF= ∴ CE=2 ∴ AB=1 ， 3 、在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少 . 解：如图，∵在平行四边形 ABCD 中， AB = CD ， AD = BC ， AD ∥ BC ， ∴∠ AEB =∠ CBE ． 又∠ ABE =∠ CBE , ∴∠ ABE =∠ AEB , ∴ AB = AE ． （1）当 AE =2时，则平行四边形的周长=2 ( 2+5 ) =14． （2）当 AE =3时，则平行四边形的周长=2 ( 3+5 ) =16． 4 、如图， ABCD 为平行四边形， E 、 F 分别为 AB 、 CD 的中点，①求证： AECF 也是平行四边形；②连接 BD ，分别交 CE 、 AF 于 G 、 H ，求证： BG = DH ；③连接 CH 、 AG ，则 AGCH 也是平行四边形吗？ 解： ❶：根据已知可知： AE∥FC 且 AE=FC AD=BC DF=EB ∠ABC=∠ADC ∴△ADF≌△CBE (SAS) ∴AF=CE ∠DAF=∠ECB ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 ❸ ：是平行四边形 ∵ DH=BG AD=BC ∠HDA=∠GBC ∴△AHD≌△CBG(ASA) ∴AH=CG ∴ 同理可证得 CH=AG ∴ 四边形 AGCH 是平行四边形 ❷：∵ AD∥BC ∴∠ADH=∠CBG ∴ ∠ ADH=∠CBG ∠DAF=∠ECB AD=BC ∴△ADH≌△CBG(ASA) ∴DH=BG 5 、如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′ 处，若 AE=2 ， DE=6 ， ∠ EFB=60° ，则矩形 ABCD 的面积是多少？ 解：在矩形 ABCD 中， ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DEF= ∠ EFB=60° ， ∵ 把矩形 ABCD 沿 EF 翻折点 B 恰好落在 AD 边的 B′ 处， ∴∠ DEF= ∠ EFB=60° ， ∠ B= ∠ A′B′F=90° ， ∠ A= ∠ A′=90° ， AE=A′E=2 ， AB=A′B′ ， 在 △ EFB′ 中， ∵∠ DEF= ∠ EFB= ∠ EB′F=60° ∴△ EFB′ 是等边三角形， Rt △ A′EB′ 中， ∵∠ A′B′E=90°﹣60°=30° ， 即 AB=2 ∵ AE=2 ， DE=6 ， ∴ AD=AE + DE=2 + 6=8 ， ∴ 矩形 ABCD 的面积 =AB • AD =16 ． ∴ A′B′=2 ∴ B′E=2A′E ，而 A′E=2 ， ∴ B′E=4 ， 6 、以锐角△ ABC 的边 AC 、 AB 为边向外作正方形 ACDE 和正方形 ABGF ，连结 BE 、 CF ，试探索 BE 和 CF 长度的关系？并证明。 分析：（ 1 ）由正方形 ACDE 和正方形 ABGF 可得 AF=AB ， AE=AC ，∠ FAB=∠EAC=90° ，即可得到∠ FAC=∠BAE ，从而证得△ FAC≌△BAE ，结论得证； 1 、∵正方形 ABGF ，正方形 ACDE ，∴ AF=AB ， AE=AC ，∠ FAB=∠EAC=90° ，∵∠ FAC=∠FAB+∠BAC ，∠ BAE=∠EAC+∠BAC ，∴∠ FAC=∠BAE ，∴△ FAC≌△BAE ，∴ BE=CF ； 7 、 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为 O ，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影部分的面积． 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA = OC ， OB = OD . ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ EAO =∠ HCO . 又 ∵ ∠ AOE ＝∠ COH ， ∴△ AEO ≌ △ CHO （ASA）， 同理可得△ OAQ ≌ △ OCG ，△ OPD ≌ △ OFB ， ∴ S 阴影 = S △ BCD ， 则 S △ BCD = S 平行四边形 ABCD = ×6×4=12． E H Q G F P 8 、 如图， △ ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN ∥ BC ，设 MN 交 ∠ BCA 的平分线于点 E ，交 ∠ BCA 的外角 ∠ ACG 的平分线于点 F ，连接 AE 、 AF . (1) 求证： ∠ ECF ＝ 90° ； (2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请 说明理由； (1) 证明： ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ ECF ＝ ×180° ＝ 90°. (2) 解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形．理由如下： ∵ MN ∥ BC ， ∴∠ OEC ＝ ∠ BCE ， ∠ OFC ＝ ∠ GCF . 又 ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ OCE ＝ ∠ OEC ， ∠ OCF ＝ ∠ OFC ， ∴ EO ＝ CO ， FO ＝ CO ， ∴ OE ＝ OF . 又 ∵ 当点 O 运动到 AC 的中点时， AO ＝ CO ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵∠ ECF ＝ 90° ， ∴ 四边形 AECF 是矩形 . 解：当点 O 运动到 AC 的中点时， 且满足 ∠ ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形． ∵ 由 (2) 知当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形， 已知 MN ∥ BC ， 当 ∠ ACB ＝ 90° ， 则 ∠ AOF ＝ ∠ COE ＝ ∠ COF ＝ ∠ AOE ＝ 90° ， 即 AC ⊥ EF ， ∴ 四边形 AECF 是正方形． (3)在(2)的条件下，△ ABC 应该满足 什么 条件时， 四边形 AECF 为正方形．