人教版八年级数学下册期末复习课件

小结与复习 第十六章 二次根式 二次根式 我们将数的范围扩大到实数的同时，代数式中也就随之引进了根式．根式的研究使我们初步了解了无理数的性质，数与式相辅相成，相互促进，体现了代数知识紧密的联系性，因此，根式问题不但是初中阶段常规试题和竞赛试题的重点和难点之一，同时，对高中乃至更深层的数学学习都有深远的意义． 知识点归纳 知识点归纳 典题精讲 二次根式的意义 典题精讲 —— 实数的大小比较 数的大小比较秘决 ： 1 、正数＞零＞负数；对于两个负数，绝对值大的反而小，这是比较法则． 2 、大小比较的常用方法： ①作差法； ②倒数法； ③作比法． 典题精讲 —— 实数的大小比较 分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现．因此可考虑倒数法． 典题精讲 —— 实数的大小比较 分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现．因此可考虑倒数法． A 典题精讲 —— 实数的大小比较 计算： 解： 典题精讲 —— 二次根式的运算及应用 二次根式的化简与求值 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数式变形的重点，也是难点，这类内容包括了整式，分式，二次根式等众多知识，且往往联系着分解变形、整体代换等重要的数学思想方法，其解题的基本思路： 1 ． 直接代入 ：直接将已知条件代入到待化简求值的式子中； 2 ． 变形代入 ：适当的条件，适当的结论，同时变形条件与结论，再代入求值． 二次根式的化简与求值 二次根式的化简与求值 二次根式的化简与求值 对一些有关二次根式的代数式求值问题，我们不能孤立地看待已知与已知、已知与未知，而应从整体的角度去分析已知与已知、已知与未知的关系，然后采取相应的措施，如做一些必要的运算变形、恒等变形、整体代入求值等． 二次根式的化简与求值 二次根式的化简与求值 构造 方程与方程组 【 点评 】 复合二次根式的化简，一般是将二次根式中的被开方数配成完全平方式，然后再求解的方法，这也叫用配方法．配方时有时需要通过几次拼凑方可达到目的． 配方法主要用来解竞赛中经常出现的复合二次根式的化简问题和需要用完全平方公式解决的问题． 复合二次根式 的化简 二次根式中的数学方法 数学方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思想方法，才能真正地学好数学知识，将知识转化为能力。初中数学竞赛中渗透了不少数学思想方法，下面本章的有关赛题为例，说明数学竞赛中常用的数学方法。 换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用． 对于一些复杂的根式运算，通过换元，将其转化为有理式的运算，可以使得运算简便． 例 1 ． 二次根式中的数学方法 一换元法 点评： 本例运用换元法变形整理，换元的主要目的是 化繁为简，化无理式为有理式 ，再求代数式的值． 二次根式中的数学方法 一换元法 二次根式中的数学方法 一换元法 分母有理化 二次根式运算经常涉及到分母有理化．其基本方法为“ 分子、分母同乘以分母的有理化因式 ”．其实分母有理化还有其它方法，下面以部分赛题为，针对题目的特征，介绍几种分母有理化妙招，以开拓思路，提高大家的数学素质． 分母有理化 ： 分母有理化 一巧用因式分解法 分母有理化 第十七章 勾股定理 小结与复习 学习目标 ： 　 1 ．回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构； 　 2 ．思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用 . 学习重点、难点： 勾股定理及其逆定理的综合应用． 勾 股 定 理 发现 应用 勾股 定理 证明 赵爽弦图 毕达哥拉斯 美国总统 在数轴上表示某些无理数 生活应用 旗杆、梯子、河水深度等问题 勾股定理的逆定理 内容 应用 已知三角形的三边长，判断是否是直角三角形 综合应用 折纸中的勾股定理 路程最短问题 拼图加面积法 猜想 直角三角形，已知两边，求第三边 勾股数 分类思想 特殊例子 用割、补法求图形面积 1. 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C =90° . （ 1 ）如果 a =3 ， b =4 ， 则 c = 　　　　 ； （ 2 ）如果 a =12 ， c =20 ， 则 b = 　　　　 ； （ 3 ）如果 c =13 ， b =12 ， 则 a = 　　　　 ； （ 4 ）已知 b =3 ， ∠ A =30° ， 求 a ， c . 答案 : （ 4 ） a = ， c = . 5 16 5 基础训练　巩固知识 2 、在 Rt △ ABC 中，已知 a = 1 ， b = 3 ，∠ B = 90 ° ，则第三边 c 的长为 　　　　 ． 或 4 、分别以下列四组数为一个三角形的边长： ①3 ， 4 ， 5 ；② 5 ， 12 ， 13 ；③ 8 ， 15 ， 17 ；④ 4 ， 5 ， 6 ． 其中能构成直角三角形的有 　　　 ． ①② ③　　 3 、在 Rt △ ABC 中，已知 a = 1 ， b = 3 ，则第三边 c 的长为 ． 5. 如图 ， 已知在 △ ABC 中 ， ∠ B =90° ， 若 BC ＝ 4 ， A B ＝ x ， AC =8 - x ， 则 AB = , AC = . 6. 在 Rt △ AB C 中 , ∠ B =90° ， b =34 , a : c =8:15 , 则 a = , c = . 3 5 16 30 要树立方程思想 1 ．证明线段相等 . 已知：如图 ， AD 是 △ ABC 的高 ， AB =10 ， AD =8 ， BC =12 . 求证： △ ABC 是等腰三角形 . 证明：∵ AD 是△ ABC 的高， ∴∠ ADB =∠ ADC =90°. ∵ 在 Rt △ ADB 中， AB =10 ， AD =8 ， ∴ BD =6 . ∵ BC =12, ∴ DC =6. ∵ 在 Rt △ ADC 中， AD =8 ， ∴ AC =10 ， ∴ AB = AC. 即△ ABC 是等腰三角形 .   分析： 利用勾股定理求出线段 BD 的长，也能求出线段 AC 的长，最后得出 AB = AC ，即可 . 综合运用　解决问题 2 ．解决折叠的问题 . 已知如图，将长方形的一边 BC 沿 CE 折叠， 使得点 B 落在 AD 边的点 F 处，已知 AB =8 ， BC =10, 求 BE 的长 . 【 思考 】1 、 由 AB =8 ， BC =10, 你可以知道哪些线段长？ 2 、在 Rt△ DFC 中，你可以求出 DF 的长吗？ 3 、由 DF 的长，你还可以求出哪条线段长？ 4 、设 BE = x ，你可以用含有 x 的式子表示出哪些线段长？ 已知如图，将长方形的一边 BC 沿 CE 折叠， 使得点 B 落在 AD 边的点 F 处，已知 AB =8 ， BC =10, 求 BE 的长 . 解 : 设 BE = x ，折叠，∴△ BCE ≌△ FCE ， ∴ BC = FC =10. 令 BE=FE=x ，长方形 ABCD ， ∴ AB=DC =8 ， AD=BC =10 ，∠ D =90° ， ∴ DF =6, AF =4 ，∠ A =90°, AE =8- x ， ∴ ， 解得 x = 5 .∴ BE 的长为 5. 3. 做高线 ， 构造直角三角形 . 已知：如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ B =45° ， ∠ C =60° ， AB =2 . 求（ 1 ） BC 的长 ； （ 2 ） S △ ABC  . 分析 ：由于本题中的△ ABC 不是直角三角形，所以添加 BC 边上的高这条辅助线，就可以求得 BC 及 S △ ABC  . 解 : 过点 A 作 AD ⊥ BC 于 D ,∴∠ ADB =∠ ADC =90°. 在△ ABD 中，∠ ADB =90° ， ∠ B =45° ， AB =2 ，∴ AD=BD = .∵ 在△ ABD 中，∠ ADC =90° ，∠ C =60° ， AD = ， ∴ CD = ,∴ BC = ， S △ ABC  = 解：当高 AD 在△ ABC 内部时，如图①. 在Rt△ ABD 中，由勾股定理， 得 BD 2 ＝ AB 2 － AD 2 ＝20 2 －12 2 ＝16 2 ， ∴ BD ＝16 . 在Rt△ ACD 中，由勾股定理， 得 CD 2 ＝ AC 2 － AD 2 ＝15 2 －12 2 ＝81， ∴ CD ＝9.∴ BC ＝ BD ＋ CD ＝25， ∴△ ABC 的周长为25＋20＋15＝60. 在△ ABC 中， AB ＝20， AC ＝15， AD 为 BC 边上的高，且 AD ＝12，求△ ABC 的周长． 4. 分类讨论思想 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ ABC 外的情形． 当高 AD 在△ ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD ＝16， CD ＝9. ∴ BC ＝ BD － CD ＝7， ∴△ ABC 的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ ABC 的周长为42或60. 方法总结 5 、整体思想 （ 1 ）已知 Rt△ABC 中，∠ C=90° ，若 a+b=14 ， c=10 ，则 Rt△ABC 的面积是 _______ 24 10 cm 解析：（ a+b ） ²=a²+b²+2ab=c²+2ab 所以 ab=48 （ 2 ）一个直角三角形的周长为 24cm ，面积为 24cm² ，则斜边长为 _____ C 如图，一条河同一侧的两村庄 A 、 B ，其中 A 、 B 到河岸最短距离分别为 AC=1km ， BD=2km ， CD=4km ，现欲在河岸上 M 处建一个水泵站向 A 、 B 两村送水，当 M 在河岸上何处时，到 A 、 B 两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 A M B A′ D E 1 2 4 1 1 4 5 6 、勾股定理与最短距离问题 2 、如图，将一根 25cm 长的细木棍放入长，宽高分别为 8cm 、 6cm 、和 cm 的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？ A B C D E 8 6 25 10 20 5 1 、如图，四边形 ABCD 中，∠ B ＝ 90 0 ， AB ＝ 20 ， BC ＝ 15 ， CD ＝ 7 ， AD ＝ 24, 求证 ∠ A+ ∠ C=180 0 。 7 、割补图形 25 转化思想 2 、如图所示是一块地，已知 AD=8 米， CD=6 米，∠ D=90 0 ， AB=26 米， BC=24 米，求这块地的面积 8 、 格点三角形 ∠ BCD 是直角吗 感悟与反思 1 、通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 2 、对这节课的学习，你还有什么想法吗？ 第十八章 平行四边形 复习 一、 几种特殊四边形的性质 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 二、几种特殊四边形的常用判定方法： 1. 定义：两组对边分别平行 2. 两组对边分别相等 3. 两组对角分别相等 4. 对角线互相平分 5. 一组对边平行且相等 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形 2. 对角线相等的平行四边形 3. 有 三个角是直角的四边形 1. 定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2. 对角线互相垂直的平行四边形 , 3. 四条边都相等的四边形 1. 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2. 有一组邻边相等的矩形 3. 有一个角是直角的菱形 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或 对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 四、其他重要概念及性质 1. 两条平行线之间的距离： 2. 三角形的中位线定理： 两条平行线中， 一条直线上任意一点到另一条直线的距离 叫做两条平行线之间的距离 . 三角形的中位线 平行于第三边 ，并且 等于第三边的一半 . 3. 直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 . 五、注意： 四边形中常见的基本图形 1 、如图，▱ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AB ⊥ AC ，若 AB=4 ， AC=6 ，则 BD 的长是多少？ =5 ， 解：∵▱ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∴ BO=DO ， AO=CO ， ∵ AB⊥AC ， AB=4 ， AC=6 ， ∴ BO= ∴ BD=2BO=10 ， 2 、如图，▱ ABCD 中， ∠ ABC=60° ， E 、 F 分别在 CD 和 BC 的延长线上， AE ∥ BD ， EF ⊥ BC ， EF= ， 则 AB 的长是多少？ 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ DC ， AB=CD ， ∵ AE ∥ BD ， ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形， ∴ AB=DE=CD ， 即 D 为 CE 中点， ∵ EF ⊥ BC ， ∴∠ EFC=90° ， ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ DCF= ∠ ABC=60° ， ∴∠ CEF=30° ， ∵ EF= ∴ CE=2 ∴ AB=1 ， 3 、在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少 . 解：如图，∵在平行四边形 ABCD 中， AB = CD ， AD = BC ， AD ∥ BC ， ∴∠ AEB =∠ CBE ． 又∠ ABE =∠ CBE , ∴∠ ABE =∠ AEB , ∴ AB = AE ． （1）当 AE =2时，则平行四边形的周长=2 ( 2+5 ) =14． （2）当 AE =3时，则平行四边形的周长=2 ( 3+5 ) =16． 4 、如图， ABCD 为平行四边形， E 、 F 分别为 AB 、 CD 的中点，①求证： AECF 也是平行四边形；②连接 BD ，分别交 CE 、 AF 于 G 、 H ，求证： BG = DH ；③连接 CH 、 AG ，则 AGCH 也是平行四边形吗？ 解： ❶：根据已知可知： AE∥FC 且 AE=FC AD=BC DF=EB ∠ABC=∠ADC ∴△ADF≌△CBE (SAS) ∴AF=CE ∠DAF=∠ECB ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 ❸ ：是平行四边形 ∵ DH=BG AD=BC ∠HDA=∠GBC ∴△AHD≌△CBG(ASA) ∴AH=CG ∴ 同理可证得 CH=AG ∴ 四边形 AGCH 是平行四边形 ❷：∵ AD∥BC ∴∠ADH=∠CBG ∴ ∠ ADH=∠CBG ∠DAF=∠ECB AD=BC ∴△ADH≌△CBG(ASA) ∴DH=BG 5 、如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′ 处，若 AE=2 ， DE=6 ， ∠ EFB=60° ，则矩形 ABCD 的面积是多少？ 解：在矩形 ABCD 中， ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DEF= ∠ EFB=60° ， ∵ 把矩形 ABCD 沿 EF 翻折点 B 恰好落在 AD 边的 B′ 处， ∴∠ DEF= ∠ EFB=60° ， ∠ B= ∠ A′B′F=90° ， ∠ A= ∠ A′=90° ， AE=A′E=2 ， AB=A′B′ ， 在 △ EFB′ 中， ∵∠ DEF= ∠ EFB= ∠ EB′F=60° ∴△ EFB′ 是等边三角形， Rt △ A′EB′ 中， ∵∠ A′B′E=90°﹣60°=30° ， 即 AB=2 ∵ AE=2 ， DE=6 ， ∴ AD=AE + DE=2 + 6=8 ， ∴ 矩形 ABCD 的面积 =AB • AD =16 ． ∴ A′B′=2 ∴ B′E=2A′E ，而 A′E=2 ， ∴ B′E=4 ， 6 、以锐角△ ABC 的边 AC 、 AB 为边向外作正方形 ACDE 和正方形 ABGF ，连结 BE 、 CF ，试探索 BE 和 CF 长度的关系？并证明。 分析：（ 1 ）由正方形 ACDE 和正方形 ABGF 可得 AF=AB ， AE=AC ，∠ FAB=∠EAC=90° ，即可得到∠ FAC=∠BAE ，从而证得△ FAC≌△BAE ，结论得证； 1 、∵正方形 ABGF ，正方形 ACDE ，∴ AF=AB ， AE=AC ，∠ FAB=∠EAC=90° ，∵∠ FAC=∠FAB+∠BAC ，∠ BAE=∠EAC+∠BAC ，∴∠ FAC=∠BAE ，∴△ FAC≌△BAE ，∴ BE=CF ； 7 、 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为 O ，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影部分的面积． 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA = OC ， OB = OD . ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ EAO =∠ HCO . 又 ∵ ∠ AOE ＝∠ COH ， ∴△ AEO ≌ △ CHO （ASA）， 同理可得△ OAQ ≌ △ OCG ，△ OPD ≌ △ OFB ， ∴ S 阴影 = S △ BCD ， 则 S △ BCD = S 平行四边形 ABCD = ×6×4=12． E H Q G F P 8 、 如图， △ ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN ∥ BC ，设 MN 交 ∠ BCA 的平分线于点 E ，交 ∠ BCA 的外角 ∠ ACG 的平分线于点 F ，连接 AE 、 AF . (1) 求证： ∠ ECF ＝ 90° ； (2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请 说明理由； (1) 证明： ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ ECF ＝ ×180° ＝ 90°. (2) 解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形．理由如下： ∵ MN ∥ BC ， ∴∠ OEC ＝ ∠ BCE ， ∠ OFC ＝ ∠ GCF . 又 ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ OCE ＝ ∠ OEC ， ∠ OCF ＝ ∠ OFC ， ∴ EO ＝ CO ， FO ＝ CO ， ∴ OE ＝ OF . 又 ∵ 当点 O 运动到 AC 的中点时， AO ＝ CO ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵∠ ECF ＝ 90° ， ∴ 四边形 AECF 是矩形 . 解：当点 O 运动到 AC 的中点时， 且满足 ∠ ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形． ∵ 由 (2) 知当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形， 已知 MN ∥ BC ， 当 ∠ ACB ＝ 90° ， 则 ∠ AOF ＝ ∠ COE ＝ ∠ COF ＝ ∠ AOE ＝ 90° ， 即 AC ⊥ EF ， ∴ 四边形 AECF 是正方形． (3)在(2)的条件下，△ ABC 应该满足 什么 条件时， 四边形 AECF 为正方形． 第十九章一次函数复习 知识要点 : 1. 函数 , 变量 , 常量 ; 2. 函数的三种表示法 ; 3. 正比例函数 : 定义 , 图象 , 性质 ; 4. 一次函数 : 定义 , 图象 , 性质 ; 5. 一次函数的应用 . 6. 一次函数与一元一次方程 , 一元一次不等式 , 二元一次方程组的关系 . 一 . 常量、变量： 在一个变化过程中 , 数值发生变化的量叫做 变量 ； 数值始终 不变的量叫做 常量 ； 返回引入 二、函数的概念： 函数的定义： 一般的，在一个变化过程中 , 如果有 两个 变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个 确定 的值， y 都有 唯一确定 的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数． 三、函数中自变量取值范围的求法： （ 1 ） . 用 整式 表示的函数，自变量的取值范围是 全体实数。 （ 2 ）用 分式 表示的函数，自变量的取值范围是 使分母不为 0 的一切实数。 （ 3 ）用 奇次根式 表示的函数，自变量的取值范围是 全体实数。 用 偶次根式 表示的函数，自变量的取值范围是使 被开方数为非负数 的一 切实数。 （ 4 ）若解析式由上述几种形式 综合而成， 须先求出 各部分的取值范围 ，然后再求其 公共范围 ，即为自变量的取值范围。 （ 5 ）对于与 实际问题 有关系的，自变量的取值范围应 使实际问题有意义。 四 . 函数图象的定义： 一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 下面的２个图形中，哪个图象中 y 是关于 x 的函数． 　图１　 　　 图２ 　 　　 1 、列表 （ 表 中 给出一些自变量的值及其对应的函数值。） 2 、描点 ：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3 、连线 ：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。 五 、 用描点法画函数的图象的一般步骤： 注意： 列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。 （ 1 ）解析式法 （ 2 ）列表法 （ 3 ）图象法 正方形的面积 S 与边长 x 的函数关系为： S=x 2 ( x ＞ 0) 六、函数有三种表示形式： 七、正比例函数与一次函数的概念： 一般地，形如 y=kx (k 为常数，且 k≠0 ) 的函数叫做正比例函数 . 其中 k 叫做比例系数。 当 b =0 时 ,y=kx+b 即为 y=kx , 所以 正比例函数，是一次函数的特例 . 一般地，形如 y=kx+b (k,b 为常数，且 k≠0 ) 的函数叫做一次函数 . （ 1) 图象 : 正比例函数 y = kx ( k 是常数， k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为 直线 y = kx 。 (2) 性质 : 当 k >0 时 , 直线 y = kx 经过第三，一象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大； 当 k 0 时，图象过一、三象限； y 随 x 的增大而增大。 　　当 k0 b>0 k>0 b