人教版八年级数学下册第十八章平行四边形作业课件

第 1 课时　平行四边形的边、角特征 第十八章 平行四边形 知识点 1 ：平行四边形的定义 1 ． ( 练习 2 变式 ) 如图 ， 两张对边平行的纸条 ， 随意交叉叠放在一起 ， 转动其中一张 ， 重合的部分构成一个四边形 ， 这个四边形是 ____________ ． 2 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中， EF ∥ BC ， GH ∥ AB ， EF ， GH 相交于点 O ，则图中共有平行四边形 ( 　 　 ) A ． 6 个 B ． 7 个 C ． 8 个 D ． 9 个 平行四边形 D 知识点 2 ：平行四边形的边、角特征 3 ． ( 2016 · 衢州 ) 如图 ， 在 ▱ ABCD 中， M 是 BC 延长线上的一点 ， 若∠ A ＝ 135° ，则∠ MCD 的度数是 ( 　 　 ) A ． 45° B ． 55° C ． 65° D ． 75° 4 ．在 ▱ ABCD 中，若∠ A∶∠B ＝ 1∶5 ，则∠ D ＝ _______ ；若∠ A ＋∠ C ＝ 140° ，则∠ D ＝ ________ ． 5 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中， BE 平分∠ ABC ， BC ＝ 6 ， DE ＝ 2 ，则 ▱ ABCD 的周长等于 _____. A 150° 110° 20 6 ． ( 例 1 变式 ) 如图 ， 在 ▱ ABCD 中， AE⊥BC 交边 BC 于点 E ，点 F 为边 CD 上一点 ， 且 DF ＝ BE. 过点 F 作 FG⊥CD ，交边 AD 于点 G. 求证： DG ＝ DC. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴∠ B ＝∠ D ， AB ＝ CD ， ∵ AE⊥BC ， FG⊥CD ， ∴∠ AEB ＝∠ GFD ＝ 90° ， 又∵ BE ＝ DF ， ∴△ AEB≌△GFD(ASA) ， ∴ AB ＝ DG ， ∴ DG ＝ DC 知识点 3 ：两平行线之间的距离 7 ． 如图 ， a ∥ b ， AB ∥ CD ， CE ⊥ b ， FG ⊥ b ， E ， G 为垂足 ， 则下列说法不正确的是 ( 　 　 ) A ． AB ＝ CD B ． EC ＝ FG C ． A ， B 两点的距离就是线段 AB 的长度 D ． a 与 b 的距离就是线段 CD 的长度 D 8 ． ( 习题 7 变式 ) 如图 ， 已知直线 a ∥ b ， 点 C ， D 在直线 a 上 ， 点 A ， B 在直线 b 上，线段 BC ， AD 相交于点 E ，写出图中面积相等的三角形： ___________________________________________ ． S △ ABC ＝ S △ ABD ， S △ AEC ＝ S △ DEB ， S △ ACD ＝ S △ BCD B C 9 ． ( 2016 · 泰安 ) 如图 ， 在 ▱ ABCD 中， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ，∠ BCD 的平分线交 AD 于点 E ，交 BA 的延长线于点 F ，则 AE ＋ AF 的值等于 ( 　 　 ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 6 10 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中， AB ＝ 4 ， BC ＝ 6 ， AC 的垂直平分线交 AD 于点 E ， 则△ CDE 的周长是 ( 　 　 ) A ． 7 B ． 10 C ． 11 D ． 12 C 11 ． 如图 ， 在平行四边形 ABCD 中 ， ∠ ABE ＝∠ AEB ， AE∥DF ， DC 是∠ ADF 的平分线 ， 下列说法：① BE ＝ CF ；② AE 是∠ DAB 的平分线；③∠ DAE ＋∠ DCF ＝ 120°. 其中正确的是 ( 　 　 ) A ．① B ．①② C ． ①②③ D ．都不正确 12 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中，用直尺和圆规作∠ BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E ，若 BF ＝ 6 ， AB ＝ 5 ，则 AE 的长为 ____ ． 8 13 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中， AC ＝ 21 cm ， BE ⊥ AC 于点 E ，且 BE ＝ 5 cm ， AD ＝ 7 cm ，则两平行线 AD 与 BC 间的距离是 ____ cm . 15 14 ． ( 2016 · 邵阳 ) 如图 ， 点 E ， F 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上的点 ， 且 BF ＝ DE. 求证： AE ＝ CF. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AD∥BC ， AD ＝ BC ， ∴∠ EDA ＝∠ FBC ， 又∵ DE ＝ BF ， ∴△ AED≌△CFB( SAS ) ， ∴ AE ＝ CF 16 ． ( 2017 · 雅安模拟 ) 如图 ， 四边形 ABCD 是平行四边形 ， P 是 CD 上一点 ， 且 AP 和 BP 分别平分∠ DAB 和∠ CBA. (1) 求∠ APB 的度数； (2) 如果 AD ＝ 5 cm ， AP ＝ 8 cm ， 求△ APB 的周长． 方法技能： 1 ． 平行四边形的定义既可当性质用 ， 又可当判定用． 2 ． 平行四边形的边、角的性质为证明线段的平行和相等、角的互补与相等提供了重要的依据．它常和三角形全等综合运用． 3 ． 平行线间的距离是指垂线段的长度 ， 平行线的位置确定了它们之间的距离是定值 ， 不随着垂线段的位置改变而改变． 4 ． “ 平行线间的距离处处相等 ” 这一性质常用来解决三角形的同底等高的面积问题． 易错提示： 已知平行四边形的内角平分线及一些线段长度 ， 求解问题时应对几何图形准确判断 ， 防止错解或漏解． 第 2 课时　平行四边形的对角线特征 知识点 1 ：平行四边形的对角线互相平分 1 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ，则下列结论不一定成立的是 ( 　 　 ) A ． BO ＝ DO B ． CD ＝ AB C ． ∠ BAD ＝ ∠ BCD D ． AC ＝ BD 2 ． ( 2016 · 丽水 ) 如图 ， ▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，已知 AD ＝ 8 ， BD ＝ 12 ， AC ＝ 6 ，则 △ OBC 的周长为 ( 　 　 ) A ． 13 B ． 17 C ． 20 D ． 26 D B 3 ．在 ▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，若 △ AOB 的面积为 3 ，则 ▱ ABCD 的面积为 ( 　 　 ) A ． 6 B ． 9 C ． 12 D ． 18 4 ． ( 练习 1 变式 ) 如图 ， ▱ ABCD 的周长为 26 cm ， AC ， BD 相交于点 O ， △ BOC 的周长比 △ AOB 的周长小 3 cm ，求 AB ， BC 的长． 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AB ＝ DC ， AD ＝ BC ， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，∵△ BOC 的周长比△ AOB 的周长小 3 cm ，∴ (AB ＋ OB ＋ OA) － (BC ＋ OC ＋ OB) ＝ 3 ，∴ AB － BC ＝ 3 ，∵ 2(AB ＋ BC) ＝ 26 ，∴ AB ＋ BC ＝ 13 ， 可求得 AB ＝ 8 cm ， BC ＝ 5 cm C 知识点 2 ：平行四边形性质的综合应用 5 ． ( 习题 15 变式 ) 如图 ， 在平行四边形 ABCD 中 ， 过对角线 BD 上一点 P 作 EF∥AB ， GH∥AD ， 与各边交点分别为点 E ， F ， G ， H ， 则图中面积相等的平行四边形的对数为 ( 　 　 ) A ． 3 对 B ． 4 对 C ． 5 对 D ． 6 对 6 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中， AC ， BD 为对角线 ， BC ＝ 6 ， BC 边上的高为 4 ，则阴影部分的面积为 ( 　 　 ) A ． 3 B ． 6 C ． 12 D ． 24 A C 7 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中， AB ＝ 4 ， BC ＝ 5 ，对角线相交于点 O ，过点 O 的直线分别交 AD ， BC 于点 E ， F ，且 OE ＝ 1.5 ，则四边形 EFCD 的周长为 ( 　 　 ) A ． 10 B ． 12 C ． 14 D ． 16 B 4 20 C 9 ． 在平行四边形 ABCD 中 ， AB ＝ 3 cm ， BC ＝ 5 cm ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 则 OA 的取值范围是 ( 　 　 ) A ． 2 cm ＜ OA ＜ 5 cm B ． 2 cm ＜ OA ＜ 8 cm C ． 1 cm ＜ OA ＜ 4 cm D ． 3 cm ＜ OA ＜ 8 cm 10 ． 如图 ， 平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ， 且 AB≠AD ， 过点 O 作 OE⊥BD 交 BC 于点 E ， 若△ CDE 的周长为 10 ， 则平行四边形 ABCD 的周长为 ____ ． 12 ． ( 2017 · 衢州模拟 ) 如图 ， 在 ▱ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 M ， N 在对角线 AC 上，且 AM ＝ CN ，求证： BM∥DN. 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形 ， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，又∵ AM ＝ CN ，∴ OA － AM ＝ OC － CN ，即 OM ＝ ON ，又∵∠ MOB ＝∠ NOD ，∴△ BMO≌△DNO( SAS ) ，∴∠ MBO ＝∠ NDO ，∴ BM∥DN 13 ．如图 ， O 为 ▱ ABCD 的对角线 AC 的中点 ， 过点 O 作一条直线分别与 AB ， CD 交于点 M ， N ，点 E ， F 在直线 MN 上，且 OE ＝ OF. (1) 图中共有几对全等三角形 ， 请把它们都写出来； (2) 求证：∠ MAE ＝∠ NCF. 解： (1) 有 4 对全等三角形 ， 分别为△ AMO≌△CNO ，△ OCF≌△OAE ，△ AME≌△CNF ，△ ABC≌△CDA 　 (2)∵OA ＝ OC ，∠ AOE ＝∠ COF ， OE ＝ OF ，∴△ OAE≌△OCF( SAS ) ， ∴∠ EAO ＝∠ FCO. 在平行四边形 ABCD 中 ， AB∥CD ， ∴∠ BAO ＝∠ DCO ， ∴∠ MAE ＝∠ NCF 14 ． 如图 ， 平行四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AC ⊥ AB ， AB ＝ 2 ， 且 AC ∶ BD ＝ 2 ∶ 3. (1) 求 AC 的长； (2) 求 △ AOD 的面积． 15 ． 实验与探究 (1) 在图① ， 图② ， 图③中 ， 给出平行四边形 ABCD 的顶点 A ， B ， D 的坐标 ， 写出图① ， 图② ， 图③中的顶点 C 的坐标 ， 它们分别是 ________ ， ___________ ， ____________ ； (2) 在图④中 ， 给出平行四边形 ABCD 的顶点 A ， B ， D 的坐标 ( 如图所示 ) ， 求出顶点 C 的坐标 (C 点坐标用含 a ， b ， c ， d ， e ， f 的代数式表示 ) ； 归纳与发现 (3) 通过对图① ， 图② ， 图③ ， 图④的观察和顶点 C 的坐标的探究 ， 你会发现：无论平行四边形 ABCD 处于直角坐标系中哪个位置 ， 当其顶点 C 坐标为 (m ， n)( 如图④ ) 时 ， 则四个顶点的横坐标 a ， c ， m ， e 之间的等量关系为 ___________ ， 纵坐标 b ， d ， n ， f 之间的等量关系为 __________ ． ( 不必证明 ) (5 ， 2) (e ＋ c ， d) (c ＋ e － a ， d) m ＋ a ＝ c ＋ e n ＋ b ＝ d ＋ f 解：分别过点 A ， B ， C ， D 作 x 轴的垂线 ， 垂足分别为 A 1 ， B 1 ， C 1 ， D 1 ， 分别过 A ， D 作 AE⊥BB 1 于点 E ， DF⊥CC 1 于点 F ， ∴∠ AEB ＝∠ DFC ＝ 90° ， 在平行四边形 ABCD 中 ， CD ＝ BA ， 又∵ BB 1 ∥CC 1 ， ∴∠ EBA ＋∠ ABC ＋∠ BCF ＝∠ ABC ＋∠ BCF ＋∠ FCD ＝ 180° ， ∴∠ EBA ＝∠ FCD.∴△BEA≌△CFD( AAS ) ， ∴ AE ＝ DF ＝ a － c ， BE ＝ CF ＝ d － b. 设 C(x ， y) ， 由 e － x ＝ a － c ， 得 x ＝ e ＋ c － a ， 由 y － f ＝ d － b ， 得 y ＝ f ＋ d － b ， ∴ C(e ＋ c － a ， f ＋ d － b) 方法技能： 1 ． 平行四边形的两条对角线将平行四边形分成两对全等的三角形 ， 对角线是把四边形转化为三角形的桥梁 ， 既可将平行四边形转化为三角形来解决 ， 也是证明两条线段互相平分的重要依据． 2 ． 若一条直线过平行四边形对角线的交点 ， 则该直线平分平行四边形的周长和面积． 3 ． 由于平行四边形的面积为定值 ， 以不同底边和对应的高表示面积 ， 从而可得到不同底边与高之间的关系 ， 再结合已知条件可求有关线段的长． 易错提示： 解决有关平行四边形对角线的问题时 ， 易将对角线长的一半误以为是对角线的长． 第 1 课时　平行四边形的判定 知识点 1 ：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 1 ． 在四边形 ABCD 中 ， AB ＝ 3 cm ， BC ＝ 5 cm ， 那么当 DC ＝ ______ ， AD ＝ ______ 时 ， 四边形 ABCD 是平行四边形． 2 ． 如图 ， 以 △ ABC 的顶点 A 为圆心 ， 以 BC 长为半径作弧 ， 再以顶点 C 为圆心 ， 以 AB 长为半径作弧 ， 两弧交于点 D ， 连接 AD ， CD. 若 ∠ B ＝ 65° ， 则 ∠ ADC 的大小为 ______ ． 3 cm 5 cm 65° 知识点 2 ：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3 ． 若 ∠ A ， ∠ B ， ∠ C ， ∠ D 为四边形 ABCD 的四个内角 ， 下列给出的是这四个内角的比值 ， 其中能使四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( 　 　 ) A ． 2 ∶ 3 ∶ 2 ∶ 3 B ． 2 ∶ 3 ∶ 3 ∶ 2 C ． 1 ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4 D ． 2 ∶ 2 ∶ 3 ∶ 3 4 ． 如图 ， 已知 ∠ B ＝ ∠ D ， 要使四边形 ABCD 成为平行四边形 ， 需要添加一个条件是 _______________ ． A ∠ A ＝ ∠ C 等 知识点 3 ：对角线互相平分的四边形是平行四边形 5 ． 小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时 ， 采用了一种方法：如图 ， 将两根木条 AC ， BD 的中点重叠 ， 并用钉子固定 ， 则四边形 ABCD 就是平行四边形 ， 这种方法的依据是 ( 　 　 ) A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 A 6 ． ( 例 3 变式 ) 如图 ， 在 ▱ ABCD 中，点 E ， F 在对角线 BD 上 ， 且 BE ＝ DF ， 求证：四边形 AECF 是平行四边形． 解：连接 AC ， 交 BD 于点 O ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AO ＝ OC ， BO ＝ DO ， 又 ∵ BE ＝ DF ， ∴ BO － BE ＝ DO － DF ， 即 EO ＝ OF ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 知识点 4 ：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 7 ． 在四边形 ABCD 中 ， AD ＝ BC ， 若四边形 ABCD 是平行四边形 ， 则还应满足 ( 　 　 ) A ． ∠ A ＋∠ C ＝ 180° B ．∠ B ＋∠ D ＝ 180° C ． ∠ A ＋∠ B ＝ 180° D ．∠ A ＋∠ D ＝ 180° C 8 ． ( 2016 · 新疆 ) 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， AD∥BC ， AE⊥AD 交 BD 于点 E ， CF⊥BC 交 BD 于点 F ， 且 AE ＝ CF. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 解：∵ AD∥BC ， ∴∠ ADE ＝∠ CBF ， ∵ AE⊥AD ， CF⊥BC ， ∴∠ EAD ＝∠ FCB ＝ 90° ， 又∵ AE ＝ CF ， ∴△ ADE≌△CBF( AAS ) ， ∴ AD ＝ BC ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 B D 9 ． 下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( 　 　 ) A ． AB∥CD ， AD∥BC B ．∠ A ＝∠ C ，∠ B ＝∠ D C ． AB ＝ CD ， AD ＝ BC D ． AB∥CD ， AD ＝ BC 10 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E ， F 是对角线 AC 上的两点 ， 当 E ， F 满足下列哪个条件时 ， 四边形 DEBF 不一定是平行四边形 ( 　 ) A ． AE ＝ CF B ． DE ＝ BF C ． ∠ ADE ＝∠ CBF D ．∠ AED ＝∠ CFB 答案不唯一 ， 如 AD∥BC ， OA ＝ OC 等 11 ． ( 2016 · 邵阳 ) 如图 ， 四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ， 若 AB∥CD ， 请添加一个条件 ____________________________________( 写一个即可 ) ， 使四边形 ABCD 是平行四边形． 12 ． 一个四边形的四条边长依次是 a ， b ， c ， d ， 且满足 a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ d 2 ＝ 2ac ＋ 2bd ， 则这个四边形一定是 ____________ ， 依据是 ____________________________________ ． 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 13 ． 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， AB∥CD ， ∠ B ＝∠ D ， BC ＝ 6 ， AB ＝ 3 ， 求四边形 ABCD 的周长． 解：∵ AB∥CD ， ∴∠ B ＋∠ C ＝ 180° ， 又∵∠ B ＝∠ D ， ∴∠ D ＋∠ C ＝ 180° ， ∴ AD∥BC ， ∴四边形 ABCD 为平行四边形 ， ∴ AB ＝ CD ， BC ＝ AD ， 又∵ BC ＝ 6 ， AB ＝ 3 ， ∴四边形 ABCD 的周长为 (6 ＋ 3)×2 ＝ 18 14 ． ( 2017 · 宜宾模拟 ) 如图 ， AB ， CD 相交于点 O ， AC∥DB ， AO ＝ BO ， E ， F 分别是 OC ， OD 的中点．求证：四边形 AFBE 是平行四边形． 解：∵ AC∥DB ，∴∠ CAB ＝∠ DBA ，又∵ AO ＝ BO ，∠ AOC ＝∠ BOD ，∴△ AOC≌△BOD( ASA ) ，∴ CO ＝ DO ，∵ E ， F 分别为 OC ， OD 的中点 ， ∴ OE ＝ OF ，∴四边形 AFBE 是平行四边形 15 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中，过点 A 作 AM ⊥ BC 于点 M ，交 BD 于点 E ，过点 C 作 CN ⊥ AD 于点 N ，交 BD 于点 F ，连接 AF ， CE. 求证：四边形 AECF 为平行四边形． 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AB ∥ CD ， AB ＝ CD ， ∠ ABC ＝ ∠ ADC ， ∴∠ ABD ＝ ∠ CDB ， 又 ∵ AM ⊥ BC ， CN ⊥ AD ， ∴∠ BAM ＝ ∠ DCN ， ∴△ ABE ≌△ CDF( ASA ) ， ∴ AE ＝ CF ， ∠ AEB ＝ ∠ CFD ， ∴∠ AEF ＝ ∠ CFE ， ∴ AE ∥ CF ， ∴ 四边形 AECF 为平行四边形 16 ． 如图 ， 以△ ABC 的三边为边在 BC 的同一侧作等边△ ABP ， 等边△ ACQ ， 等边△ BCR ， 那么四边形 AQRP 是平行四边形吗？若是 ， 请证明；若不是 ， 请说明理由． 解：四边形 AQRP 是平行四边形．证明：由 SAS 可证△ ABC≌△PBR ， 得 AC ＝ PR ， 又∵ AC ＝ AQ ， ∴ AQ ＝ PR ， 同理 PA ＝ RQ ， ∴四边形 AQRP 是平行四边形 方法技能： 1 ． 平行四边形的判定方法有五种 ， 从边看有三种 ， 从角看有一种 ， 从对角线看有一种 ， 解题时应仔细观察题目条件 ， 灵活选择适合题目的判定方法． 2 ． 应用平行四边形的判定和性质时要注意它们的区别和联系． 3 ． 一组对边相等 ， 另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形． 易错提示： 不能正确选用平行四边形的判定定理而导致判断错误． 第 2 课时　三角形的中位线 知识点：三角形的中位线 1 ． ( 练习 3 变式 ) 如图 ， 为测量池塘边 A ， B 两点间的距离 ， 小明在池塘的一侧选取一点 O ， 测得 OA ， OB 的中点分别是点 D ， E ， 且 DE ＝ 14 米 ， 则 A ， B 间的距离是 ( 　 　 ) A ． 18 米 B ． 24 米 C ． 28 米 D ． 30 米 2 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， 点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点 ， ∠ A ＝ 50° ， ∠ ADE ＝ 60° ， 则 ∠ C 的度数为 ( 　 　 ) A ． 50° 　 B ． 60° 　 C ． 70° 　 D ． 80° C C 4 ．如图 ， 点 D ， E ， F 分别是 △ ABC 各边的中点 ， 连接 DE ， EF ， DF. 若 △ ABC 的周长为 10 ，则 △ DEF 的周长为 ____ ． A 5 5 ．如图 ， ▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 CD 的中点 ， △ ABD 的周长为 16 cm ，则 △ DOE 的周长是 ____ cm . 8 6 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， D ， E ， F 分别是 BC ， AC ， AB 的中点． (1) 若 DE ＝ 10 cm ， 则 AB ＝ ____ cm ； (2) 中线 AD 与中位线 EF 有什么特殊关系？ 证明你的猜想． 20 7 ． 我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形． 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， E ， F ， G ， H 分别是边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 ， 依次连接各边中点得到中点四边形 EFGH. (1) 这个中点四边形 EFGH 的形状是 ___________ ； (2) 请证明你的结论． 平行四边形 D 8 ． ( 2017 · 黑龙江模拟 ) 如图 ， 四边形 ABCD 中 ， 点 P 是对角线 BD 的中点 ， 点 E ， F 分别是 AB ， CD 的中点 ， AD ＝ BC ， ∠ PEF ＝ 30° ， 则∠ PFE 的度数是 ( 　 　 ) A ． 15° B ． 20° C ． 25° D ． 30° C 9 ．如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， R ， P 分别是 BC ， CD 上的点 ， E ， F 分别是 AP ， RP 的中点 ， 当点 P 在 CD 上从 C 向 D 移动而点 R 不动时 ， 那么下列结论成立的是 ( 　 　 ) A ． 线段 EF 的长逐渐增大 B ． 线段 EF 的长逐渐减小 C ． 线段 EF 的长不变 D ． 线段 EF 的长与点 P 的位置有关 10 ． 如图 ， EF 是△ ABC 的中位线 ， BD 平分∠ ABC 交 EF 于点 D ， 若 DE ＝ 2 ， 则 EB ＝ ____ ． 2 13 ．如图 ， M 是△ ABC 的边 BC 的中点 ， AN 平分∠ BAC ， BN⊥AN 于点 N ， 延长 BN 交 AC 于点 D ， 已知 AB ＝ 10 ， BC ＝ 15 ， MN ＝ 3. (1) 求证： BN ＝ DN ； (2) 求△ ABC 的周长． 解： (1)∵AN 平分∠ BAD ， ∴∠ 1 ＝∠ 2 ， ∵ BN⊥AN ， ∴∠ ANB ＝∠ AND ＝ 90° ， 又∵ AN ＝ AN ， ∴△ ABN≌△ADN( ASA ) ， ∴ BN ＝ DN 　 (2)∵△ABN≌△ADN ， ∴ AD ＝ AB ＝ 10 ， ∵ DN ＝ BN ， 点 M 是 BC 的中点 ， ∴ MN 是△ BDC 的中位线 ， ∴ CD ＝ 2MN ＝ 6 ， ∴△ ABC 的周长＝ AB ＋ BC ＋ CD ＋ AD ＝ 10 ＋ 15 ＋ 6 ＋ 10 ＝ 41 方法技能： 1 ． 三角形有三条中位线 ， 每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系 ， 位置关系可证明两直线平行 ， 数量关系可证明线段相等或倍分关系． 2 ． 三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形 ， 每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半． 3 ． 当题目中有中点时 ， 特别是有两个中点且都在一个三角形中 ， 可直接利用三角形中位线定理． 易错提示： 对三角形中位线的意义理解不透彻而出错． 第 1 课时　矩形的性质 知识点 1 ：矩形的性质 1 ． 如图 ， 在矩形 ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 以下说法错误的是 ( 　 　 ) A ． ∠ ABC ＝ 90° B ． AC ＝ BD C ． OA ＝ OB D ． OA ＝ AD 2 ．如图 ， 在矩形 ABCD 中 ， AB ＜ BC ， AC ， BD 相交于点 O ， 则图中等腰三角形的个数是 ( 　 　 ) A ． 8 B ． 6 C ． 4 D ． 2 D C 3 ． ( 例 1 变式 ) 在矩形 ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 若 ∠ AOB ＝ 60° ， AC ＝ 10 ， 则 AB ＝ ____. 5 5 ． 如图 ， 在矩形 ABCD 中 ， 点 E 是 BC 上一点 ， AE ＝ AD ， DF⊥AE ， 垂足为 F. 求证： DF ＝ DC. 解：∵四边形 ABCD 是矩形 ， ∴ AB ＝ DC ， AD∥BC ， ∠ B ＝ 90° ， ∵ DF⊥AE ， ∴∠ AFD ＝∠ B ＝ 90° ， ∵ AD∥BC ， ∴∠ DAF ＝∠ AEB ， 又∵ AD ＝ EA ， ∴△ ADF≌△EAB( AAS ) ， ∴ AB ＝ DF ， 又∵ AB ＝ DC ， ∴ DF ＝ DC 知识点 2 ：直角三角形斜边上的中线 6 ． 如图 ， 公路 AC ， BC 互相垂直 ， 公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开 ， 若测得 AM 的长为 1.2 km ， 则 M ， C 两点间的距离为 ( 　 　 ) A ． 0.5 km B ． 0.6 km C ． 0.9 km D ． 1.2 km 7 ．如图 ， 在 △ ABC 中 ， BD ， CE 是高 ， 点 G ， F 分别是 BC ， DE 的中点 ， 则下列结论中错误的是 ( 　 　 ) A ． GE ＝ GD B ． GF ⊥ DE C ． GF 平分 ∠ DGE D ． ∠ DGE ＝ 60° D D 8 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， AB ＝ 10 ， BC ＝ 8 ， AD 垂直平分 BC ， 垂足为 D ， 点 E 是 AC 的中点 ， 连接 DE ， 则△ CDE 的周长为 ______ ． 9 ．如图 ， 在 Rt △ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， 点 D ， E ， F 分别为 AB ， AC ， BC 的中点 ， 若 CD ＝ 5 ， 则 EF 的长为 ____ ． 14 5 D C 10 ． 如图 ， 在矩形 ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， AE⊥BD 于点 E ， 若∠ DAE∶∠BAE ＝ 3∶1 ， 则∠ EAC 的度数是 ( 　 　 ) A ． 18° B ． 36° C ． 45° D ． 72° 11 ．如图 ， 点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 ， 点 E 是 AD 的中点．若 AB ＝ 6 ， AD ＝ 8 ， 则四边形 ABPE 的周长为 ( 　 　 ) A ． 14 　 B ． 16 　 C ． 17 　 D ． 18 13 ． ( 2016 · 巴中 ) 如图 ， 延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E ， 使 CE ＝ BD ， 连接 AE ， 如果∠ ADB ＝ 30° ， 则∠ E ＝ ____ 度． 15 14 ． 如图 ， 在矩形 ABCD 中 ， 点 M ， N 分别是边 AD ， BC 的中点 ， 点 E ， F 分别是线段 BM ， CM 的中点．若 AB ＝ 8 ， AD ＝ 12 ， 则四边形 ENFM 的周长为 ______ ． 20 15 ． ( 2017 · 沈阳模拟 ) 如图 ， 点 E 为矩形 ABCD 外一点 ， AE ＝ DE ， 连接 EB ， EC 分别与 AD 相交于点 F ， G. 求证： (1)△EAB≌△EDC ； (2)∠EFG ＝∠ EGF. 解： (1) 可通过证 EA ＝ ED ， ∠ EAB ＝∠ EDC ， AB ＝ DC 来得到结论　 (2)∵△EAB≌△EDC ， ∴∠ AEF ＝∠ DEG ， ∵∠ EFG ＝∠ EAF ＋∠ AEF ， ∠ EGF ＝∠ EDG ＋∠ DEG ， ∴∠ EFG ＝∠ EGF 16 ． 如图 ， 点 E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点 ， EF ⊥ CE 交 AB 于点 F ， DE ＝ 2 ， 矩形 ABCD 的周长为 16 ， CE ＝ EF ， 求 AE 的长． 解：由 AAS 可证 △ AEF ≌△ DCE ， ∴ AE ＝ CD ， 设 AE ＝ x ， 则 2(x ＋ 2 ＋ x) ＝ 16 ， 解得 x ＝ 3 ， ∴ AE ＝ 3 17 ． ( 2016 · 扬州 ) 如图 ， AC 为矩形 ABCD 的对角线 ， 将边 AB 沿 AE 折叠 ， 使点 B 落在 AC 上的点 M 处 ， 将边 CD 沿 CF 折叠 ， 使点 D 落在 AC 上的点 N 处． (1) 求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2) 若 AB ＝ 6 ， AC ＝ 10 ， 求四边形 AECF 的面积． 解： (1) 由折叠的性质知： AM ＝ AB ， CN ＝ CD ， ∠ FNC ＝∠ D ＝ 90° ， ∠ AME ＝∠ B ＝ 90° ， ∴∠ ANF ＝ 90° ， ∠ CME ＝ 90° ， ∵四边形 ABCD 为矩形 ， ∴ AB ＝ CD ， AD∥BC ， ∴∠ FAN ＝∠ ECM ， AM ＝ CN ， ∴ AM － MN ＝ CN － MN ， 即 AN ＝ CM ， ∴△ ANF≌△CME( ASA ) ， ∴ AF ＝ CE ， 又∵ AF∥CE ， ∴四边形 AECF 是平行四边形　 (2)∵AB ＝ 6 ， AC ＝ 10 ， ∴ BC ＝ 8 ， 设 CE ＝ x ， 则 EM ＝ BE ＝ 8 － x ， CM ＝ 10 － 6 ＝ 4 ， 在 Rt △CEM 中 ， (8 － x) 2 ＋ 4 2 ＝ x 2 ， 解得 x ＝ 5 ， ∴四边形 AECF 的面积为 EC · AB ＝ 5×6 ＝ 30 方法技能： 1 ． 矩形不仅具有平行四边形的所有性质 ， 还具有它的特殊性 ， 就是四个角都是直角和对角线相等． 2 ． 矩形的对角线将矩形分为两对全等的等腰三角形 ， 在解题时常用到等腰三角形的性质． 3 ． 矩形是轴对称图形 ， 有两条对称轴． 4 ． 在直角三角形中 ， 当遇到斜边上的中点时 ， 常连接斜边中线 ， 利用直角三角形的性质将问题转化为等腰三角形的问题来解决． 易错提示： 1 ． 对矩形的性质理解不透彻而出错． 2 ． 对题意理解不透彻导致漏解． 第 2 课时　矩形的判定 知识点 1 ：有一个角是直角的平行四边形是矩形 1 ． 如图 ， 要使平行四边形 ABCD 成为矩形 ， 需添加的条件是 ( 　 　 ) A ． AB ＝ BC B ． AC ⊥ BD C ． ∠ ABC ＝ ∠ BAD D ． ∠ 1 ＝ ∠ 2 2 ．如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， 已知 AB ∥ DC ， AB ＝ DC. 在不添加任何辅助线的前提下 ， 要想该四边形成为矩形 ， 只需再加上的一个条件是 ______________________ ． ( 填一个即可 ) C ∠ A ＝ 90°( 答案不唯一 ) 3 ．如图 ， 点 E 是 ▱ ABCD 的边 AB 的中点 ， 且 EC ＝ ED. 求证：四边形 ABCD 是矩形． 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AD ＝ BC ， AD∥BC ，∵ AE ＝ BE ， ED ＝ EC ，∴△ AED≌△BEC( SSS ) ，∴∠ A ＝∠ B ，又∵ AD∥BC ，∴∠ A ＋∠ B ＝ 180° ，∴∠ A ＝∠ B ＝ 90° ，∴四边形 ABCD 是矩形 知识点 2 ：对角线相等的平行四边形是矩形 4 ． 如图 ， 四边形 ABCD 的对角线互相平分 ， 要使它变为矩形 ， 需要添加的条件是 ( 　 　 ) A ． AB ＝ CD B ． AD ＝ BC C ． AB ＝ BC D ． AC ＝ BD D 5 ． 如图 ， 矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， 点 E ， F ， G ， H 分别是 AO ， BO ， CO ， DO 的中点 ， 请问四边形 EFGH 是矩形吗？请说明理由． 解：四边形 EFGH 是矩形．理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴ AC ＝ BD ， AO ＝ BO ＝ CO ＝ DO ， ∵ 点 E ， F ， G ， H 分别是 AO ， BO ， CO ， DO 的中点 ， ∴ EO ＝ FO ＝ GO ＝ HO ， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 ， ∵ EO ＋ GO ＝ FO ＋ HO ， 即 EG ＝ FH ， ∴ 四边形 EFGH 是矩形 知识点 3 ：有三个角是直角的四边形是矩形 6 ． ( 练习 1 变式 ) 在数学活动课上 ， 老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形 ， 下面是某学习小组的四位同学拟订的方案 ， 其中正确的是 ( 　 　 ) A ． 测量对角线是否相互平分 B ． 测量两组对边是否分别相等 C ． 测量一组对角线是否垂直 D ． 测量其内角是否有三个直角 D 7 ．如图 ， 直角∠ AOB 内的任意一点 P 到这个角的两边的距离之和为 6 ，则图中四边形的周长为 _______ ． 12 8 ．如图 ， ▱ ABCD 的四个内角的平分线分别交于点 E ， F ， G ， H. 求证：四边形 EFGH 是矩形． B 9 ． 如图 ， 四边形 ABCD 为平行四边形 ， 延长 AD 到点 E ， 使 DE ＝ AD ， 连接 EB ， EC ， DB ， 添加一个条件 ， 不能使四边形 DBCE 成为矩形的是 ( 　 　 ) A ． AB ＝ BE B ． BE⊥DC C ． ∠ ADB ＝ 90° D ． CE⊥DE 10 ．如图 ， 顺次连接四边形 ABCD 各边的中点 ， 若得到的四边形 EFGH 为矩形 ， 则四边形 ABCD 一定满足 ( 　 　 ) A ． AB ＝ CD B ． AC ＝ BD C ． AC⊥BD D ． AD∥BC 11 ．已知 ▱ ABCD 的对角线相交于点 O ，分别添加下列条件：①∠ ABC ＝ 90° ；② AC⊥BD ；③ AC ＝ BD ；④ OA ＝ OD ，使 ▱ ABCD 是矩形的条件的序号是 ___________ ． C ①③④ 12 ．如图 ， M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点 ， P 为 BC 上一点 ， PE⊥MC ， PF⊥MB ，当 AB ， BC 满足条件 ____________ 时 ， 四边形 PEMF 为矩形． 13 ．如图 ， 将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起 ， 恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH ， 若 EH ＝ 3 ， EF ＝ 4 ， 则边 AD 的长是 ____ ． BC ＝ 2AB 5 14 ． 如图 ， 在 ▱ ABCD 中， E ， F 为边 BC 上两点 ， 且 BE ＝ CF ， AF ＝ DE ，四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ 解：四边形 ABCD 是矩形．理由：易证△ ABF≌△DCE ，∴∠ B ＝∠ C ，∵在 ▱ ABCD 中，∠ B ＋∠ C ＝ 180° ，∴∠ B ＝∠ C ＝ 90° ，∴四边形 ABCD 是矩形 15 ． ( 2017 · 宜兴模拟 ) 如图 ， 在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点 ， E 是 AD 的中点 ， 过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ，且 AF ＝ BD ，连接 BF. (1) 求证： BD ＝ CD ； (2) 如果 AB ＝ AC ，试判断四边形 AFBD 的形状 ， 并证明你的结论． 解： (1) 易证△ AEF≌△DEC ，∴ AF ＝ CD ，又∵ AF ＝ BD ，∴ BD ＝ CD 　 (2) 四边形 AFBD 矩形．证明：∵ AF 綊 BD ，∴四边形 AFBD 是平行四边形 ， 又 AB ＝ AC ， BD ＝ CD ， ∴ AD⊥BD ， ∴四边形 AFBD 是矩形 16 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， 点 O 是边 AC 上一个动点 ， 过 O 作直线 MN∥BC. 设 MN 交∠ ACB 的平分线于点 E ， 交∠ ACB 的外角平分线于点 F. (1) 求证： OE ＝ OF ； (2) 若 CE ＝ 12 ， CF ＝ 5 ， 求 OC 的长； (3) 当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时 ， 四边形 AECF 是矩形？并说明理由． 方法技能： 1 ． 矩形有三种判定方法：一是有三个角是直角的四边形是矩形；二是有一个角是直角的平行四边形是矩形；三是对角线相等的平行四边形是矩形．后两种判定一定要满足两个条件：一是这个四边形是平行四边形 ， 这个条件不能漏掉；二是一个角为直角或对角线相等． 2 ． 对角线相等的四边形不一定是矩形 ， 但是对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 易错提示： 对矩形的判定方法理解不透彻而出错． 第 1 课时　菱形的性质 知识点 1 ：菱形的性质 1 ． (2016· 无锡 ) 下列性质中 ， 菱形具有而矩形不一定具有的是 ( 　 　 ) A ． 对角线相等 B ．对角线互相平分 C ． 对角线互相垂直 D ．邻边互相垂直 2 ． 如图 ， 在菱形 ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 下列结论： ① AC ⊥ BD ； ② OA ＝ OB ； ③∠ ADB ＝ ∠ CDB ； ④△ ABC 是等边三角形 ， 其中一定成立的是 ( 　 　 ) A ． ①② B ． ③④ C ． ②③ D ． ①③ D C 3 ． ( 2016 · 扬州 ) 如图 ， 菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 点 E 为 AD 的中点 ， 若 OE ＝ 3 ， 则菱形 ABCD 的周长为 ______ ． 4 ． 如图 ， 菱形 ABCD 的边长为 6 ， ∠ ABC ＝ 60° ， 则对角线 AC 的长是 ____ ． 24 6 5 ． ( 2016 · 广安 ) 如图 ， 四边形 ABCD 是菱形 ， CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E ， CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F ， 求证： DF ＝ BE. 解：连接 AC ， ∵四边形 ABCD 是菱形 ， ∴ AC 平分∠ DAE ， CD ＝ BC ， ∵ CE⊥AB ， CF⊥AD ， ∴ CE ＝ CF ， ∠ CFD ＝∠ CEB ＝ 90° ， ∴ Rt △CDF≌ Rt △CBE( HL ) ， ∴ DF ＝ BE 知识点 2 ：菱形的面积 6 ． ( 练习 2 变式 ) 菱形的两条对角线长分别是 5 和 12 ， 则此菱形的边长是 ______ ， 面积是 ______ ． 6.5 30 B 9 ． 如图 ， 在菱形 ABCD 中 ， ∠ BAD ＝ 80° ， AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F ， 垂足为点 E ， 连接 DF ， 则∠ CDF 等于 ( 　 　 ) A ． 50° B ． 60° C ． 70° D ． 80° A B 12 ．如图 ， 四边形 ABCD 是菱形 ， O 是两条对角线的交点 ， 过点 O 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分 ， 当菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 时 ， 阴影部分的面积为 ______ ． 13 ． 如图 ， 在菱形 ABCD 中 ， 点 A 在 x 轴上 ， 点 B 的坐标为 (8 ， 2) ， 点 D 的坐标为 (0 ， 2) ， 则点 C 的坐标为 ________ ． 12 (4 ， 4) 14 ． 如图 ， 点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点 ， DE∥AC ， CE∥BD ， 连接 OE. 求证： OE ＝ BC. 解：∵ DE∥AC ， CE∥BD ， ∴四边形 OCED 是平行四边形 ， ∵四边形 ABCD 是菱形 ， ∴ AC⊥BD ， ∴∠ DOC ＝ 90° ， ∴四边形 OCED 是矩形 ， ∴ OE ＝ CD ， ∵四边形 ABCD 是菱形 ， ∴ CD ＝ BC ， ∴ OE ＝ BC 15 ． ( 2017 · 贵阳模拟 ) 如图 ， 在菱形 ABCD 中 ， F 是 BC 上任意一点 ， 连接 AF 交对角线 BD 于点 E ， 连接 EC. (1) 求证： AE ＝ EC ； (2) 当∠ ABC ＝ 60° ， ∠ CEF ＝ 60° 时 ， 点 F 在线段 BC 上的什么位置？说明理由． 16 ． 在菱形 ABCD 中 ， ∠ B ＝ 60° ， 点 E 在边 BC 上 ， 点 F 在边 CD 上． (1) 如图① ， 若 E 是 BC 的中点 ， ∠ AEF ＝ 60° ， 求证： BE ＝ DF ； (2) 如图② ， 若∠ EAF ＝ 60° ， 求证：△ AEF 是等边三角形． 方法技能： 1 ． 菱形除了具备平行四边形所有的性质外 ， 还是有它的特殊性 ， 就是四条边相等 ， 对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角． 2 ． 菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形 ， 由于菱形的对角线互相垂直 ， 所以许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中得以解决． 3 ． 当菱形有一个角为 60° 或 120° 时 ， 可连接菱形的对角线 ， 得到两个等边三角形 ， 有助于问题的解决． 4 ． 菱形是轴对称图形 ， 对称轴是两条对角线所在的直线． 5 ． S 菱形 ＝底 × 高＝对角线乘积的一半． 易错提示： 利用对角线计算菱形的面积时 ， 易记错面积公式． 第 2 课时　菱形的判定 知识点 1 ：一组邻边相等的平行四边形是菱形 1 ．如图 ， 要使 ▱ ABCD 成为菱形 ， 则需添加的一个条件是 ( 　 　 ) A ． AC ＝ AD B ． BA ＝ BC C ． ∠ ABC ＝ 90° D ． AC ＝ BD 2 ．如图 ， 在 △ ABC 中 ， AD 平分 ∠ BAC 交 BC 于点 D ， DE ∥ AC 交 AB 于点 E ， DF ∥ AB 交 AC 于点 F ， 则四边形 AEDF 是 _____ ． 菱形 B 3 ． 如图 ， 矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， DE∥AC ， CE∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形． 解：∵ DE∥AC ， CE∥BD ， ∴四边形 OCED 是平行四边形 ， ∵四边形 ABCD 是矩形 ， ∴ OC ＝ OD ， ∴四边形 OCED 是菱形 知识点 2 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4 ． 能判定一个四边形是菱形的是 ( 　 　 ) A ． 对角线相等的四边形是菱形 B ． 对角线互相垂直的四边形是菱形 C ． 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D ． 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C 5 ． 如图 ， 四边形 ABCD 的对角线互相垂直 ， 且 OB ＝ OD ， 请你添加一个适当的条件 _________________________________________________ ，使四边形 ABCD 成为菱形． ( 只需添加一个即可 ) 答案不唯一 ， 如 OA ＝ OC 或 AD ＝ BC 或 AD ∥ BC 或 AB ＝ BC 等 6 ．如图 ， ▱ ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD ， BC 分别交于点 E ， F. 求证：四边形 AFCE 是菱形． 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AE∥CF ，∴∠ CAE ＝∠ ACB ， 又∵∠ AOE ＝∠ COF ， OA ＝ OC ，∴△ AOE≌△COF( ASA ) ，∴ AE ＝ CF ，∴四边形 AFCE 是平行四边形 ， 又∵ EF⊥AC ，∴ ▱ AFCE 是菱形 D 知识点 3 ：四条边相等的四边形是菱形 7 ．下列命题中 ， 正确的是 ( 　 　 ) A ．有一个角是 60° 的平行四边形是菱形 B ． 有一组邻边相等的四边形是菱形 C ． 有两边相等的平行四边形是菱形 D ． 四条边相等的四边形是菱形 B 8 ． ( 2016 · 河池 ) 如图 ， 将 △ ABC 沿 BC 方向平移得到 △ DCE ， 连接 AD ， 下列条件能判定四边形 ACED 为菱形的是 ( 　 　 ) A ． AB ＝ BC B ． AC ＝ BC C ． ∠ B ＝ 60° D ． ∠ ACB ＝ 60° 9 ． 依次连接一个矩形四条边的中点得到的图形 _______ 是菱形． ( 填 “ 一定 ” 或 “ 不一定 ” ) 一定 10 ． 若四边形的两条对角线分别平分两组对角 ， 则该四边形一定是 ( 　 ) A ． 平行四边形 B ．矩形 C ． 菱形 D ．以上都有可能 11 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， 点 D 是 BC 的中点 ， 点 E ， F 分别在线段 AD 及其延长线上 ， 且 DE ＝ DF. 下列条件可以使四边形 BECF 成为菱形的是 ( 　 　 ) A ． BE⊥CE B ． BF∥CE C ． BE ＝ CF D ． AB ＝ AC C D 12 ．已知 ▱ ABCD 的对角线交于点 O ，分别添加下列条件：①∠ ABC ＝ 90° ；② AC⊥BD ；③ AB ＝ BC ；④ AC 平分∠ BAD ；⑤ AO ＝ DO. 能使得 ▱ ABCD 是菱形的序号是 _________ ． 13 ． 如图 ， 点 E ， F ， G ， H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD ， BD ， BC ， CA 的中点 ， 当四边形 ABCD 的边至少满足 _________ 时 ， 四边形 EFGH 是菱形． ②③④ AB ＝ CD 14 ． ( 习题 6 变式 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， AD 平分∠ BAC ， 将△ ABC 折叠 ， 使点 A 与点 D 重合 ， 展开后折痕分别交 AB ， AC 于点 E ， F ， 连接 DE ， DF. 求证：四边形 AEDF 是菱形． 解： ( 方法不唯一 ) 由折叠性质知： AE ＝ DE ， AF ＝ DF ， ∴∠ DAE ＝∠ EDA ， ∠ ADF ＝∠ FAD ， ∵∠ DAE ＝∠ FAD ， ∴∠ DAE ＝∠ ADF ， ∠ DAF ＝∠ EDA ， ∴ DF∥AE ， DE∥AF ， ∴四边形 AEDF 是平行四边形 ， ∵ AE ＝ DE ， ∴四边形 AEDF 是菱形 15 ． ( 2016 · 青岛 ) 如图 ， 在 ▱ ABCD 中， E ， F 分别是边 AD ， BC 上的点 ， 且 AE ＝ CF ，直线 EF 分别交 BA 的延长线、 DC 的延长线于点 G ， H ，交 BD 于点 O. (1) 求证：△ ABE≌△CDF ； (2) 连接 DG ，若 DG ＝ BG ，则四边形 BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由． 解： (1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AB ＝ CD ， ∠ BAE ＝∠ DCF ， 又∵ AE ＝ CF ， ∴△ ABE≌△CDF( SAS ) 　 (2) 四边形 BEDF 是菱形 ， 理由如下：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AD∥BC ， AD ＝ BC ， ∵ AE ＝ CF ， ∴ DE ＝ BF ， ∴四边形 BEDF 是平行四边形 ， ∴ OB ＝ OD ， ∵ DG ＝ BG ， ∴ EF 垂直平分 BD ， ∴四边形 BEDF 是菱形 16 ． 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， AB ＝ AD ， CB ＝ CD ， E 是 CD 上一点 ， BE 交 AC 于点 F ， 连接 DF. (1) 求证：∠ BAC ＝∠ DAC ， ∠ AFD ＝∠ CFE ； (2) 若 AB∥CD ， 试证明四边形 ABCD 是菱形； (3) 在 (2) 的条件下 ， 试确定 E 点的位置 ， 使得∠ EFD ＝∠ BCD ， 并说明理由． 解： (1) 先证 △ ABC ≌△ ADC( SSS ) ， ∴∠ BAC ＝ ∠ DAC ， 再证 △ BAF ≌△ DAF( SAS ) ， ∴∠ AFD ＝ ∠ AFB ， 又 ∵∠ AFB ＝ ∠ CFE ， ∴∠ AFD ＝ ∠ CFE 　 (2) ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ BAC ＝ ∠ ACD ， 又 ∵∠ BAC ＝ ∠ DAC ， ∴∠ ACD ＝ ∠ DAC ， ∴ AD ＝ CD ， ∵ AB ＝ AD ， CB ＝ CD ， ∴ AB ＝ CB ＝ CD ＝ AD ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形　 (3) 当 EB ⊥ CD 时 ， ∠ EFD ＝ ∠ BCD. 理由： ∵ 四边形 ABCD 是菱形 ， ∴ BC ＝ CD ， ∠ BCF ＝ ∠ DCF ， 又 CF ＝ CF ， ∴△ BCF ≌△ DCF( SAS ) ， ∴∠ CBF ＝ ∠ CDF ， 又 BE ⊥ CD ， ∴∠ BEC ＝ ∠ DEF ＝ 90° ， ∴∠ EFD ＝ ∠ BCD 方法技能： 1 ． 用对角线判定一个四边形是菱形 ， 必须满足两个条件：一是平行四边形；二是对角线互相垂直 ， 也就是说 “ 两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形 ” ， 必须加上 “ 平行四边形 ” 这个条件 ， 它才是菱形． 2 ． 用边判定一个四边形是菱形有两种方法：一是先证明四边形是平行四边形 ， 再证明四边形有一组邻边相等；二是直接证明四边形的四条边相等． 易错提示： 对菱形判定方法理解不透彻而出错． 18 ． 2.3 　正方形 知识点 1 ：正方形的性质 1 ． 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( 　 　 ) A ． 对角线互相平分 B ．对角线相等 C ． 对角线互相垂直 D ．对角线平分一组对角 2 ． ( 例 5 变式 ) 如图 ， 在正方形 ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 则图中的等腰直角三角形有 ( 　 　 ) A ． 4 个 B ． 6 个 C ． 8 个 D ． 10 个 C B 4 ． 如图 ， 在正方形 ABCD 的外侧 ， 作等边△ ADE ， 则∠ BED 的度数是 ______ ． B 45° 5 ． 如图 ， 已知正方形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， 点 E ， F 分别是 OB ， OC 上的动点．当动点 E ， F 满足 BE ＝ CF 时． (1) 写出所有以点 E 或 F 为顶点的全等三角形； ( 不得添加辅助线 ) (2) 求证： AE⊥BF. 解： (1)△ABE≌△BCF ， △ AOE≌△BOF ， △ ADE≌△BAF 　 (2) 延长 AE 交 BF 于点 M ， 易证△ ABE≌△BCF ， ∴∠ BAE ＝∠ CBF ， ∵∠ CBF ＋∠ ABF ＝ 90° ， ∴∠ BAE ＋∠ ABF ＝ 90° ， ∴∠ AMB ＝ 90° ， ∴ AE⊥BF 知识点 2 ：正方形的判定 6 ． ( 2016 · 内江 ) 下列命题中 ， 真命题是 ( 　 　 ) A ． 对角线相等的四边形是矩形 B ． 对角线互相垂直的四边形是菱形 C ． 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D ． 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7 ． 已知四边形 ABCD 是平行四边形 ， 下列条件： ① AB ＝ BC ； ②∠ ABC ＝ 90° ； ③ AC ＝ BD ； ④ AC ⊥ BD. 选两个作为补充条件 ， 使得四边形 ABCD 是正方形 ， 其中错误的选法是 ( 　 　 ) A ． ①② B ． ②③ C ． ①③ D ． ③④ C B 8 ． 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， 若不增加任何字母与辅助线 ， 要使四边形 ABCD 是正方形 ， 则还需增加一个条件是 ___________________________________ ． 答案不唯一 ， 如 AC ＝ BD 或 AB⊥BC 等 9 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 为 BC 边的中点 ， 过点 D 作 DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， 垂足分别为 E ， F. (1) 求证： △ BED ≌△ CFD ； (2) 若 ∠ A ＝ 90° ， 求证：四边形 DFAE 是正方形． 解： (1) ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝ ∠ C ， ∵ DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， ∴∠ BED ＝ ∠ CFD ＝ 90° ， ∵ D 为中点 ， ∴ BD ＝ CD ， ∴△ BED ≌△ CFD( AAS ) 　 (2) ∵∠ A ＝ ∠ DEA ＝ ∠ DFA ＝ 90° ， ∴ 四边形 DFAE 是矩形 ， 由 (1) 知 △ BED ≌△ CFD ， ∴ DE ＝ DF ， ∴ 四边形 DFAE 是正方形 C ①②④⑤ 13 ． 如图 ， 点 O 是线段 AB 上的一点 ， OA ＝ OC ， OD 平分∠ AOC 交 AC 于点 D ， OF 平分∠ COB ， CF⊥OF 于点 F. (1) 求证：四边形 CDOF 是矩形； (2) 当∠ AOC 为多少度时 ， 四边形 CDOF 是正方形？并说明理由． 解： (1) 证四边形 CDOF 的三个角都为直角　 (2)∠AOC ＝ 90° 时 ， 四边形 CDOF 是正方形 ， 理由：易得 AD ＝ DC ， ∵∠ AOC ＝ 90° ， ∴ OD ＝ DC ， 由 (1) 知四边形 CDOF 是矩形 ， ∴四边形 CDOF 是正方形 14 ． ( 2017 · 宁夏模拟 ) 如图 ， 正方形 ABCD 的边长为 3 ， E ， F 分别是 AB ， BC 边上的点 ， 且∠ EDF ＝ 45° ， 将△ DAE 绕点 D 逆时针旋转 90° ， 得到△ DCM. (1) 求证： EF ＝ FM ； (2) 当 AE ＝ 1 时 ， 求 EF 的长． 15 ． 如图 ， 在 Rt △ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， 过点 C 的直线 MN∥AB ， D 为 AB 边上一点 ， 过点 D 作 DE⊥BC ， 交直线 MN 于点 E ， 垂足为 F ， 连接 CD ， BE. (1) 求证： CE ＝ AD ； (2) 当 D 在 AB 中点时 ， 四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； (3) 若 D 为 AB 中点 ， 则当∠ A 的大小满足什么条件时 ， 四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由． 解： (1) 由两边平行证四边形 ADEC 是平行四边形即可得到 CE ＝ AD 　 (2) 四边形 BECD 是菱形．理由： ∵ D 为 AB 中点 ， ∴ AD ＝ BD ， 又由 (1) 得 CE ＝ AD ， ∴ BD ＝ CE ， 又 ∵ BD ∥ CE ， ∴ 四边形 BECD 是平行四边形 ， ∵∠ ACB ＝ 90° ， D 为 AB 中点 ， ∴ CD ＝ BD ， ∴ 四边形 BECD 是菱形　 (3) 当 ∠ A ＝ 45° 时 ， 四边形 BECD 是正方形 ， 理由： ∵∠ ACB ＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， ∴∠ ABC ＝ ∠ A ＝ 45° ， ∴ AC ＝ BC ， ∵ D 为 BA 中点 ， ∴ CD ⊥ AB ， ∴∠ CDB ＝ 90° ， ∵ 四边形 BECD 是菱形 ， ∴ 四边形 BECD 是正方形 方法技能： 1 ． 正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质 ， 因此 ， 正方形四个角都是直角 ， 四条边都相等 ， 对角线互相垂直平分且相等 ， 每条对角线平分一组对角 ， 正方形是轴对称图形 ， 有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直和角相等提供了重要的依据． 2 ． 判定一个四边形是正方形 ， 一般有两种思路：一种是先证四边形是菱形 ， 再证明它有一个角是直角或对角线相等；另一种是先证明四边形是矩形 ， 再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直． 3 ． 正方形的面积＝边长的平方＝对角线乘积的一半． 易错提示： 1 ． 将特殊平行四边形的判定相混淆而出错． 2 ． 判定特殊平行四边形的条件不足而出错． 综合训练 ( 三 ) 　平行四边形 一、选择题 1 ． 如图 ， 四边形 ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 ( 　 　 ) A ． AB ∥ CD ， AD ∥ BC B ． AB ＝ DC ， AD ＝ BC C ． AO ＝ CO ， BO ＝ DO D ． AB ∥ DC ， AD ＝ BC 2 ． 矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( 　 　 ) A ． 对角线相等 B ．对角线互相平分 C ． 对角线平分一组对角 D ．对角线互相垂直 D B C 3 ． 如图 ， 在 △ ABC 中 ， 点 E ， D ， F 分别在边 AB ， BC ， CA 上 ， 且 DE ∥ CA ， DF ∥ BA. 下列四个判断中 ， 不正确的是 ( 　 　 ) A ． 四边形 AEDF 是平行四边形 B ． 如果 ∠ BAC ＝ 90° ， 那么四边形 AEDF 是矩形 C ． 如果 AD 平分 ∠ BAC ， 那么四边形 AEDF 是矩形 D ． 如果 AB ＝ AC ， 且 AD ⊥ BC ， 那么四边形 AEDF 是菱形 4 ．若顺次连接四边形 ABCD 四边的中点 ， 得到的图形是一个矩形 ， 则四边形 ABCD 一定是 ( 　 　 ) A ． 矩形 B ． 对角线相等的四边形 C ． 菱形 D ． 对角线互相垂直的四边形 D D B B 二、填空题 8 ． 如图 ， 要使平行四边形 ABCD 是矩形 ， 则应添加的条件是 __________________________________ ． ( 添加一个条件即可 ) 9 ．如图 ， ▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别是线段 AO ， BO 的中点．若 AC ＋ BD ＝ 24 cm ， △ OAB 的周长是 18 cm ，则 EF ＝ ____ cm . ∠ ABC ＝ 90° 或 AC ＝ BD( 答案不唯一 ) 3 AB ＝ AC 或 ∠ B ＝ ∠ C 或 10 ．如图 ， 在 △ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ，点 E ， F 分别是 AB ， AC 边的中点 ， 连接 DE ， EF ， FD ， 当 △ ABC 满足条件 ____________________ _______________________ 时 ( 至少填两种 ) ， 四边形 AEDF 是菱形． 11 ． (2016· 杭州 ) 在菱形 ABCD 中 ， ∠ A ＝ 30° ， 在同一平面内 ， 以对角线 BD 为底边作顶角为 120° 的等腰三角形 BDE ， 则 ∠ EBC 的度数为 _______________ ． BD ＝ CD 或 AD 平分 ∠ BAC 45° 或 105° 5 13 ． 如图 ， 正方形 ABCD 的边长为 4 ， 点 P 在 DC 边上 ， 且 DP ＝ 1 ， 点 Q 是 AC 上一动点 ， 则 DQ ＋ PQ 的最小值为 ____ ． 14 ．如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， AD ＝ DC ， ∠ ADC ＝∠ ABC ＝ 90° ， DE⊥AB ， 若四边形 ABCD 面积为 16 ， 则 DE 的长为 ____ ． 4 三、解答题 15 ．如图 ， 在 ▱ ABCD 中， E ， F 为对角线 AC 上的两点 ， 且 AE ＝ CF ，连接 DE ， BF. (1) 写出图中所有的全等三角形； (2) 求证： DE∥BF. 解： (1)△ADE≌△CBF ，△ ABC≌△CDA ，△ ABF≌△CDE 　 (2)( 方法不唯一 ) 连接 BE ， DF ， BD ， BD 交 AC 于点 O.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，∵ AE ＝ CF ，∴ OE ＝ OF ，∴四边形 BEDF 为平行四边形 ， ∴ DE∥BF 17 ． ( 2016 · 扬州 ) 如图 ， 将 ▱ ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠 ， 使点 D 落到 AB 边上的点 D′ 处 ， 折痕 l 交 CD 边于点 E ，连接 BE. (1) 求证：四边形 BCED′ 是平行四边形； (2) 若 BE 平分 ∠ ABC ，求证： AB 2 ＝ AE 2 ＋ BE 2 . 解： (1) 由题意得 ∠ DAE ＝ ∠ D′AE ， ∠ DEA ＝ ∠ D′EA ， ∵ DE ∥ AD′ ， ∴∠ DEA ＝ ∠ EAD′ ， ∴∠ DAE ＝ ∠ EAD′ ＝ ∠ DEA ＝ ∠ D′EA ， ∴∠ DAD′ ＝ ∠ DED′ ， ∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形 ， ∴ DE ＝ AD′ ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ AB 綊 DC ， ∴ CE 綊 D′B ， ∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形　 (2) ∵ BE 平分 ∠ ABC ， ∴∠ CBE ＝ ∠ EBA ， ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DAB ＋ ∠ CBA ＝ 180° ， ∵∠ DAE ＝ ∠ BAE ， ∴∠ EAB ＋ ∠ EBA ＝ 90° ， ∴∠ AEB ＝ 90° ， ∴ AB 2 ＝ AE 2 ＋ BE 2 19 ． ( 复习题 14 变式 ) 如图 ， 在正方形 ABCD 中，边长 AB ＝ 3 ，点 E 是 BC 边上任意一点 ( 与 B ， C 不重合 ) ， EA ＝ EF ， ∠ AEF ＝ 90°. (1) 求证： CF 是正方形 ABCD 的外角平分线； (2) 当 ∠ BAE ＝ 30° 时 ， 求 CF 的长．