人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数PPT教学课件

第 28 章：锐角三角函数 人教版 · 九年级下册 28.1 锐角三角函数（ 1 ） 　　意大利比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心点 2.1 m ． 1972 年比萨地区发生地震，这座高 54.5 m 的斜塔在大幅度摇摆后仍魏然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线 5.2 m ，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从 1990 年对斜塔进行维修纠偏， 2001 年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心的距离减少了 43.8 cm ． 导入新课 　　问题 1 我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角 θ ”来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角 θ 的度数吗？ 导入新课 　　在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽象成什么数学问题？ 　　答：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数”． 导入新课 　　对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？ 　　答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系． 导入新课 　　从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学内部看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起来学习“锐角三角函数” —— 锐角的正弦、余弦、正切． 导入新课 　　我们先研究有一个锐角为 30° 的直角三角形问题． 　　问题 2 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30° ，为使出水口的高度为 35 m ，那么需要准备多长的水管？ 新课讲解 　　你能用数学语言来表达这个实际问题吗？如何解决这个问题． 　　答：把上述实际问题抽象成数学问题为：在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ， ∠ A =30° ， BC =35 m ，求 AB ． 新课讲解 　　依据“直角三角形中， 30° 角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备 70 m 长的水管”． 　　在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50 m ，那么需要准备多长的水管？ 　　 答： 依据“直角三角形中， 30° 角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备 100 m 长的水管”． 新课讲解 　　对于有一个锐角为 30° 的任意直角三角形， 30° 角的对边与斜边有怎样的数量关系？ 　　 答： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 ． 新课讲解 　　问题 3 在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是 吗？例如，如图，任意画一个 Rt △ ABC ，使∠ C =90° ，∠ A =45° ，计算∠ A 的对边与斜边的比 ．由此你能得出什么结论？ 新课讲解 　　 答： 在 Rt △ ABC 中，∠ C =90° ，因为∠ A =45° ，所以 Rt △ ABC 是等腰直角三角形． 　　由勾股定理，得 AB 2 = AC 2 + BC 2 =2 BC 2 ， ． 因此 ． 　　 结论： 在一个直角三角形中，当一个锐角等于 45° 时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对角与斜边的比都等于 ． 新课讲解 　　问题 4 由上述两个结论可知，在 Rt △ ABC 中，∠ C =90° ，当∠ A =30° 时，∠ A 的对边与斜边的比都等于 ，它是一个固定值；当∠ A =45° 时，∠ A 的对边与斜边的比都等于 ，它也是一个固定值．由此你能猜想出什么一般的结论呢？ 新课讲解 　　答： 在 Rt △ ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，∠ A 的对边与斜边的比都是一个固定值． 　　问题 5 如图，任意画 Rt △ ABC 和 Rt △ A'B'C' ，使得∠ C = ∠ C' =90° ，∠ A = ∠ A' = α ，那么 与 有什么关系？你能解释吗？ 新课讲解 解： = ；因为∠ C = ∠ C' =90° ，∠ A = ∠ A' = α ，所以 Rt △ ABC ∽ Rt △ A'B'C' ． 所以 ，即 ． 新课讲解 　　在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比都是一个固定值．这个固定值随锐角 A 的度数的变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门名称． 　　如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C =90° ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的 正弦 （ sine ），记作 sin A ，即 新课讲解 sin A = ． 当∠ A =30° 时，∠ A 的正弦为多少？∠ A =45° 呢？ 答： sin 30°= ， sin 45°= ． 注意：正弦的三种表示方式： sin A （省去角的符号）， sin 30° ， sin ∠ DEF ． 新课讲解 问题 6 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C =90° ，当∠ A 确定时，∠ A 的对边与斜边的比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？ 新课讲解 所以 ，即 ； ，即 ． 　　答： 当∠ A 确定时，∠ A 的邻边与斜边的比、∠ A 的对边与邻边的比都是确定的． 　　 证明： 如图，因为∠ C = ∠ C' =90° ，∠ A = ∠ A' = α ，所以 Rt △ ABC ∽ Rt △ A'B'C' ． 新课讲解 　　我们把∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的 余弦 （ cosine ），记作 cos A ，即 cos A = ； 　　把∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的 正切 （ tangent ），记作 tan A ，即 tan A = ． 　　∠ A 的正弦、余弦、正切都是∠ A 的 锐角三角函数 （ trigonometric function of acute angle ）． 新课讲解 例 1 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ，求 sin A 和 sin B 的值． 分析：求 sin A 就是要确定 ∠ A 的对边与斜边的比；求 sin B 就是要确定 ∠ B 的对边与斜边的比． 新课讲解 解： 如图（ 1 ），在 Rt△ ABC 中，由勾股定理，得 ． 因此 ， ． 如图（ 2 ），在 Rt△ ABC 中，由勾股定理，得 ． 因此 ， ． 新课讲解 例 2 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ， AB =10 ， BC =6 ，求 sin A ， cos A ， tan A 的值． 解： 由勾股定理，得 ． 因此 ， ， ． 新课讲解 1 ．在△ ABC 中，若三边 BC 、 CA 、 AB 满足 BC ︰ CA ︰ AB =5︰12︰13 ，则 cos B = （ ）． A ．　 B ． C ． D ． C 巩固练习 2 ．在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ， a =3 ， c =5 ，求 sin A 和 tan A 的值． 解：在 Rt△ ABC 中，∵ a =3 ， c =5 ， ∴ ． ∴ sin A = ， tan A = ． 巩固练习 1 ．正弦、余弦、正切的定义 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c ． （ 1 ）正弦：锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作 sin A ，即 sin A = ． 课堂小结 （ 2 ）余弦：锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作 cos A ，即 cos A = ； （ 3 ）正切：锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作 tan A ，即 tan A = ． 2 ．锐角三角函数的定义 ∠ A 的正弦、余弦、正切都是∠ A 的锐角三角函数，即 sin A ， cos A ， tan A 都叫做锐角 A 的三角函数． 课堂小结 第 28 章：锐角三角函数 人教版 · 九年级下册 28.1 锐角三角函数（ 2 ） 1 ．什么是正弦、余弦、正切？ 2 ．含 30° ， 45° 角的直角三角形有哪些性质？ 3 ．还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？ sin 30°= ， sin 45°= ． 4 ．你还能推导出 sin 60° 的值及 30° ， 45° ， 60° 角的其他三角函数值吗？ 导入新课 问题 1 分别画出含有 30° ， 45° ， 60° 角的直角三角形，并求出 sin 30° ， sin 45° ， sin 60° 的值，以此类推求出 30° ， 45° ， 60° 角的所有三角函数值． 解： 新课讲解 问题 2 求出下列各角的三角函数值： （ 1 ） sin 37°24′ ；（ 2 ） cos 21°28′30″ ； （ 3 ） tan 52°45′ ． 解：（ 1 ）求 sin 37°24′ 的值，利用计算器的 键，再输入角度值 37°24′ ，得到结果： sin 37°24′ ≈ 0.6074 ．注意：输入度数时，用 键或用小数度数． 新课讲解 （ 2 ） cos 21°28′30″ ≈ 0.9306 ；（ 3 ） tan 52°45′ ≈ 1.315 ． 问题 3 已知下列锐角三角函数值，求出其对应的锐角的度数． （ 1 ） sin B =0.9759 ；（ 2 ） cos B =0.7859 ； （ 3 ） tan B =0.7355 ． 解：（ 1 ）依次按键 ，然后输入函数值 0.9759 ，得到∠ B ≈ 77°23′44″ 或 77.4° ； 新课讲解 （ 2 ）∠ B ≈ 38°12′ 或 38.20° ； （ 3 ）∠ B ≈ 36°20′ 或 36.33° ． 注意： 1 ．按“度分秒”键就可以转换成用度分秒表示的角； 2 ．已知三角函数值求角的度数需要用第二功能键． 新课讲解 例 1 求下列各式的值： （ 1 ） ； （ 2 ） ． =1 ； 解： （ 1 ） （ 2 ） =0 ． 新课讲解 例 2 （ 1 ）如图（ 1 ），在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ， ， ，求 ∠ A 的度数． （ 2 ）如图（ 2 ）， AO 是圆锥的高， OB 是底面半径， ，求 的度数． 新课讲解 分析： 要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求该锐角的某一个三角函数值，如果这个值是一个特殊值，那么我们就可以求出这个角的度数． 解： （ 1 ）在图（ 1 ）中， ∵ ， ∴ ． （ 2 ）在图（ 2 ）中， ∵ ， ∴ ． 新课讲解 1 ．计算： sin 2 30°+cos 2 30° - tan 2 45° ． 解：原式 = ． 巩固练习 注意：当 A 、 B 均为锐角时，若 A ≠ B ，则 sin A ≠sin B ， cos A ≠cos B ， tan A ≠tan B ． 1 ．计算： sin 2 30°+cos 2 30° - tan 2 45° ． 解：原式 = ． 巩固练习 2 ．用计算器求下列三角函数的值 ( 结果精确到 0.0001 ) ． （ 1 ） sin 46°25′40″ ；（ 2 ） cos 56°40′ ； （ 3 ） tan 46°35′20″ ． 解：（ 1 ） sin 46°25′40″ ≈ 0.7245 ； （ 2 ） cos 56°40′ ≈ 0.5495 ； （ 3 ） tan 46°35′20″ ≈ 1.0571 ． 巩固练习 3 ．已知下列锐角三角函数值，求出其对应锐角的度数． （ 1 ） sin A =0.2046 ；（ 2 ） cos A =0.7958 ； （ 3 ） tan A =3.280 ． 解：（ 1 ）∠ A ≈ 11.81° 或 11°48′22″ ； （ 2 ）∠ A ≈ 37.27 ° 或 37°16′9″ ； （ 3 ）∠ A ≈ 73.04 ° 或 73°2′41″ ． 巩固练习 　　 30° ， 45° ， 60° 角的三角函数值如下表： 　　对于锐角 A ， sin A 与 tan A ，角度越大，函数值越大；对于 cos A ，角度越大，函数值越小． 课堂小结 第 28 章：锐角三角函数 人教版 · 九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用（ 1 ） 导入新课 意大利比萨斜塔在 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线 2 . 1 m ． 1972 年比萨地区发生地震，这座高 54 . 5 m 的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至 5 . 2 m ，而且还以每年增加 1 cm 的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从 1990 年起对斜塔进行维修纠偏， 2001 年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了 43 . 8 cm ． 导入新课 A B C 塔身中心线 垂直中心线 Ө 如果要求你根据上述信息，用 “塔身中心线与垂直中心线所成的角 Ө ” （如图）来描述比萨斜塔的倾斜程度，你能完成吗？ 导入新课 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C= 90° ， BC= 5 . 2 m ， AB= 54 . 5 m ． 因此 ． 所以 ≈ 5 ° 28′ ． 也可以求出 2001 年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角． A B C Ө 比萨斜塔倾斜程度的问题， 1972 年的情形： 导入新课 上述实际问题抽象为数学问题， 就是已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数 ． A B C Ө 在 Rt △ ABC 中，你还能求出其他未知的边和角吗？ 导入新课 解直角三角形的概念： 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 新课讲解 归纳： （ 1 ）在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一条边），就可以求出其余的三个元素． （ 2 ）定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （ 3 ）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和一个锐角；④已知一条直角边和一个锐角． 新课讲解 例 1 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ， ， ，解这个直角三角形． 解： ∵ ， ∴ ， ， ． 新课讲解 例 2 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ， ∠ B =35° ， b =20 ，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 解： ∠ A =90° - ∠ B =90° - 35°=55° ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 新课讲解 1 ．在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ， BC = ， AC = ， 则∠ A = （ ）． A ． 90° B ． 60° C ． 45° D ． 30° 2 ．如图，在 △ ABC 中， AD ⊥ BC ，垂足为 D ，∠ B =60° ，∠ C =45° ． （ 1 ）求∠ BAC 的度数； （ 2 ）若 AC =2 ，求 AD 的长． D 巩固练习 解：（ 1 ）∠ BAC =180° - 60° - 45°=75° ． （ 2 ）∵ AD ⊥ BC ，∴△ ADC 是直角三角形． ∵∠ C =45° ， ∴ AD = AC · sin C =2×sin 45°= ． 巩固练习 1 ．解直角三角形的概念 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2 ．解直角三角形的类型及方法 （ 1 ）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和一个锐角；④已知一条直角边和一个锐角． 课堂小结 （ 2 ）在解直角三角形时，可以用勾股定理确定直角三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系．在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切），宁乘勿除，尽量采用原始数据． 课堂小结 第 28 章：锐角三角函数 人教版 · 九年级下册 28.2 解直角三角形及其应用（ 2 ） 　　观看视频： 2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接． 　　这是让所有中国人骄傲的伟大的科研成果，其中就含有关于解直角三角形的相关问题，那么解直角三角形的依据是什么呢？ 　　答：（ 1 ）勾股定理；（ 2 ）直角三角形的两锐角互余；（ 3 ）在直角三角形中，应用锐角三角函数的知识． 新课讲解 　　把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的实际问题了，这节课我们就学习“解直角三角形的应用”． 新课讲解 　　例 1 2012 年 6 月 18 日， “ 神舟 ” 九号载人航天飞船与 “ 天宫 ” 一号目标飞行器成功实现交会对接． “ 神舟 ” 九号与 “ 天宫 ” 一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少 ( 地球半径约为 6 400 km ， π 取 3.142 ，结果取整数 ) ？ 新课讲解 （ 1 ）如何理解从组合体中能直接看到的地球表面的最远点？ 答：是视线与地球相切时的切点． 新课讲解 （ 2 ）你能根据题意画出示意图吗？ 答：如图， FQ 切⊙ O 于点 Q ， FO 交⊙ O 于点 P ． （ 3 ）如上图，最远点 Q 与 P 点的距离是线段 PQ 的长吗？为什么？ 新课讲解 答：不是，地球是圆的，最远点 Q 与 P 点的距离是 的长． （ 4 ）上述问题实质是已知什么？要求什么？ 答：已知 Rt △ FOQ 中的 FO 和 OQ ，求∠ FOQ ，并进而求⊙ O 中 的长． 新课讲解 ∴ ． 解：设 ∠ POQ = α ，在图中， FQ 是 ⊙ O 的切线， △ FOQ 是直角三角形． ∵ ， ∴ 的长为 ． 由此可知，当组合体在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2 051 km ． 新课讲解 例 2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30° ，看这栋楼底部的俯角为 60° ，热气球与楼的水平距离为 120 m ，这栋楼有多高（结果取整数）？ 新课讲解 　　如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 仰角 ，视线在水平线下方的角叫做 俯角 ． 新课讲解 （ 1 ）如何根据题意画出示意图？ 解：如下图． 新课讲解 （ 2 ）“热气球与楼的水平距离”如何表示？ 答：过点 A 作 BC 的垂线段 AD ，则线段 AD 的长即为 120 m ． （ 3 ）结合示意图，问题已知什么？要求什么？ 答：已知 α =30° ， β =60° ， AD =120 m ，求 BC 的长． （ 4 ）你能用不同方法解决这个问题吗？ 答：方法 1 ：利用正切先求出 BD 的长，再求 CD 的长；方法 2 ：先求出 AB ， AC 的长，再利用勾股定理求出 BC 的长． 新课讲解 （ 5 ）联系例 1 ，例 2 在图形上有何变化？ 答： 例 1 中只有一个直角三角形，而例 2 中有两个直角三角形，且这两个直角三角形在公共的直角边的两侧． 新课讲解 ∴ (m) ． 解： 如图， α =30° ， β =60° ， AD =120 ． ∵ ， ， ∴ BD = AD · tan α =120×tan30° ， CD = AD · tan β =120×tan60° ． 因此，这栋楼高约为 277 m ． 新课讲解 例 3 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处．这时， B 处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？ 新课讲解 　　 分析： 方向角通常是以南北方向线为主，一般习惯说成“南偏东（西）”或“北偏东（西）”；观测点不同，所得的方向角也不同． 解：如图，在 Rt△ APC 中， PC = PA · cos(90° - 65°) =80×cos25° ≈ 72.505 ． 新课讲解 在 Rt△ BPC 中， ∠ B =34° ， ∵ ， ∴ ． 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 130 n mile ． 新课讲解 例 4 如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD ，斜面坡度 i =1︰1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i =1︰3 是指 DE 与 CE 的比．根据图中数据，求：（ 1 ）坡角 α 和 β 的度数； （ 2 ）斜坡 AB 的长（结果保留小数点后一位）． 新课讲解 　　如下图， BC 表示水平面， AB 表示坡面，我们把水平面 BC 与坡面 AB 所形成的∠ ABC 称为 坡角 ． 　　一般地，线段 BC 的长度称为斜坡 AB 的水平宽度，线段 AC 的长度称为斜坡 AB 的铅直高度．坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的 坡度 （或坡比），用 i 表示，记作 i = h ︰ l ， 坡度通常写成 h ︰ l 的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α ． 新课讲解 于是 =tan α ．显然，坡度越大， α 越大． 注意：（ 1 ）坡度 i 不是坡角的度数，它是坡角 α 的正切值，即 i =tan α ； （ 2 ）坡度 i 也叫坡比，即 ，一般写成 1︰ m 的形式． 新课讲解 解： （ 1 ）由已知，得 ， ． 故 α ≈ 33°41′24″ ， β ≈ 18°26′6″ ． （ 2 ）在 Rt △ ABF 中，因为 ， 所以 (m) ． 新课讲解 1 ．如图，某拦水坝的横断面为等腰梯形 ABCD ，坝顶宽 BC 为 6 m ，坝高为 3.2 m ，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高 2 m ，并保持坝顶宽度不变，但背水坡的坡度由原来的 1∶2 变成 1∶2.5 （有关数据在图上已注明），求加高后的坝底 HD 的长为多少？ 巩固练习 解： 由题意，得 MN = EF =3.2+2=5.2 ， NF =6. 在 Rt△ HNM 与 Rt△ EFD 中， MN ∶ HN =1∶2.5 ， EF ∶ FD =1∶2 ， ∴ HN =13 ， DF =10.4 ． ∴ HD = HN + NF + FD =29.4 ． 因此加高后的坝底 HD 的长为 29.4 米． 巩固练习 2 ．如图，某船向正东方向航行，在 A 处望见某岛 C 在北偏东 60° 方向，前进 6 海里到 B 点，测得该岛在北偏东 30° 方向．已知该岛周围 6 海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由（参考数据： ≈ 1.732 ）． 巩固练习 解： 该船继续向东行驶，有触礁的危险． 过点 C 作 CD 垂直 AB 的延长线于点 D ， ∵∠ CAB =30° ， ∠ CBD =60° ， ∴∠ BCD =30°. 设 CD 的长为 x ，则 tan∠ CBD = ， ∴ BD = ． 巩固练习 ∴tan∠ CAB =tan 30°= ， ∴ x = ． 而 x ≈ 5.2 ＜ 6 ， ∴ 继续向东行驶，有触礁的危险． 巩固练习 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （ 1 ）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （ 2 ）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （ 3 ）得到数学问题的答案； （ 4 ）得到实际问题的答案． 课堂小结