人教版九年级数学下册第二十七章相似PPT作业课件

第二十七章　相　似　　 27 ． 1 　图形的相似 1 ．下面几对图形中 ， 相似的是 ( ) 2 ．下列图形是相似图形的是 ( ) A ．两张孪生兄弟的照片 B ． 三角板的内、外三角形 C ． 行书中的“美”与楷书中的“美” D ． 同一棵树上摘下的两片树叶 C B D 24 A 7 ． 一个多边形的边长分别为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 另一个和它相似的多边形的最长边长为 24 ， 则这个多边形的最短边长为 ( ) A ． 6 B ． 8 C ． 12 D ． 10 8 ． 下列四组图形中 ， 一定相似的是 ( ) A ． 正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ． 菱形与菱形 D ．正五边形与正五边形 B D 9 ． 如图所示的两个四边形相似 ， 则∠ α 的度数是 ( ) A ． 87° B ． 60° C ． 75° D ． 120° 10 ．如图 ， 在长 8 cm ， 宽 4 cm 的矩形中截去一个矩形 ( 阴影部分 ) ， 使留下的矩形与原矩形相似 ， 那么留下的矩形的面积为 ____ cm 2 . A 8 D C B 16 ． 如图 ， G 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点 ， 作 GE⊥AD ， GF⊥AB ， 垂足分别为 E ， F. 求证：四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似． 17 ． 已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似 ， 且 AB∶BC∶CD∶AD ＝ 7∶8∶11∶14 ， 若四边形 EFGH 的周长为 80 ， 求四边形 EFGH 各边的长． 解：∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似 ， ∴ AB∶BC∶CD∶AD ＝ EF∶FG∶GH∶EH ＝ 7∶8∶11∶14. 设 EF ＝ 7x ， FG ＝ 8x ， GH ＝ 11x ， EH ＝ 14x ， 则 7x ＋ 8x ＋ 11x ＋ 14x ＝ 80 ， ∴ x ＝ 2 ， ∴ EF ＝ 14 ， FG ＝ 16 ， GH ＝ 22 ， EH ＝ 28 方法技能： 1 ． 相似图形一定要形状相同 ， 与它的位置、大小、颜色无关． 相似图形不仅仅指平面图形相似 ， 也包括立体图形相似的情况． 2 ． 利用比例性质计算常用的方法： ( 1) 结合比例式、等式、分式的性质进行变形； ( 2) 设参数 k. 3 ． 判断两个图形是否相似 ， 应从两个方面考虑：一是看对应角是否相等；二是看对应边的比是否相等 ， 二者缺一不可． 4 ． 相似比是对应线段的比值 ， 与之有关的计算常应用方程思想． 易错提示： 1 ． 判断成比例时未统一单位而出错． 2 ． 对相似图形的定义理解不透造成误判． 第二十七章　相　似　　 27．2　相似三角形 27 ． 2.1 　相似三角形的判定 第 1 课时　平行线分线段成比例 A 2 ．若△ ABC 与△ A′B′C′ 相似，一组对应边的长为 AB ＝ 2 cm ， A′B′ ＝ 4 cm ，那么△ A′B′C′ 与△ ABC 的相似比是 ____ ． 2∶1 B C 8 B C D B 12 ．如图 ， 在△ ABC 中，点 D ， E 分别为 AB ， AC 的中点 ， 连接 DE ， 线段 BE ， CD 相交于点 O ， 若 OD ＝ 2 ， 则 OC ＝ ____ ． 13 ． 在△ ABC 中 ， AB ＝ 6 ， AC ＝ 9 ， 点 D 在边 AB 所在的直线上 ， 且 AD ＝ 2 ， 过点 D 作 DE∥BC 交边 AC 所在的直线于点 E ， 则 CE 的长为 ． 4 6 或 12 方法技能： 利用平行线分线段成比例或证三角形相似的基本思路： ( 1) 从较复杂的几何图形中分离出基本图形： “ 型 ” 或 “ 型 ” ， 得到相应的比例式或相似三角形； ( 2) 平行是前提条件 ， 没有平行线可以添加辅助线 ， 一般从分点或中点出发作平行线． 第二十七章　相　似　　 27．2　相似三角形 27 ． 2.1 　相似三角形的判定 第 2 课时　相似三角形的判定 ( 一 ) A C 3 ． ( 习题 3 变式 ) 如图 ， 4×4 的正方形网格中 ， 小正方形的边长均为 1 ， 三角形的顶点都在格点上 ， 则与△ ABC 相似的三角形所在的网格图形是 ( ) B 4 ． ( 练习 1 变式 ) 依据下列各组条件 ， 说明△ ABC 和△ A′B′C′ 是否相似： (1)AB ＝ 12 ， BC ＝ 15 ， AC ＝ 24 ， A′B′ ＝ 25 ， B′C′ ＝ 40 ， A′C′ ＝ 20 ； (2)AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， AC ＝ 5 ， A′B′ ＝ 12 ， B′C′ ＝ 16 ， A′C′ ＝ 22 ； (3)△A′B′C′ 是△ ABC 的三条中位线组成的三角形． 5 ．如图 ， 已知△ ABC ，则下列 4 个三角形中 ， 与△ ABC 相似的是 ( ) C B B 9 ． 如图 ， 等边△ ABC 中 ， 点 E 是 AB 的中点 ， 点 D 在 AC 上 ， 且 DC ＝ 2DA ， 则 ( ) A ． △ AED∽△BED B ． △ AED∽△CBD C ． △ AED∽△ABD D ． △ BAD∽△BCD 10 ． 一个钢筋三脚架三边长分别是 20 cm ， 50 cm ， 60 cm . 现在再做一个与其相似的钢筋三脚架 ， 而只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋 ， 要求以其中一根为一边 ， 从另一根上截出两段 ( 允许有余料 ) 作为两边 ， 则下列截法： ① 将 30 cm 截出 5 cm 和 25 cm ； ② 将 50 cm 截出 10 cm 和 25 cm ； ③ 将 50 cm 截出 12 cm 和 36 cm ； ④ 将 50 cm 截出 20 cm 和 30 cm . 其中正确的有 ( ) A ． 1 种　　　 B ． 2 种　　　 C ． 3 种　　　 D ． 4 种 B B 15 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ 6 cm ， BC ＝ 8 cm ， 动点 P 从点 B 出发 ， 在 BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动 ， 同时动点 Q 从点 C 出发 ， 在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运动 ， 运动时间为 t s (0 ＜ t ＜ 2) ， 连接 PQ. 当 t 为何值时 ， △ BPQ 与△ ABC 相似？ 方法技能： 1 ． 利用三边对应成比例判定两个三角形相似的 “ 三步骤 ” ： ( 1) 将三角形的边按大小顺序排列； ( 2) 分别计算它们对应边的比值； ( 3) 通过比值是否相等判断两个三角形是否相似． 2 ． 利用两边及其夹角判定两个三角形相似的 “ 三点注意 ” ： ( 1) 当两个三角形有公共角或对顶角时常用这种方法； ( 2) 角：相等的角必是两组对应边的夹角； ( 3) 边：夹角的两边要注意对应． 易错提示： 当边的对应关系不明确时 ， 注意分类讨论． 第二十七章　相　似　　 27．2　相似三角形 27 ． 2.1 　相似三角形的判定 第 3 课时　相似三角形的判定 ( 二 ) 1 ．在△ ABC 和△ A′B′C′ 中，∠ A ＝ 68° ，∠ B ＝ 40° ， ∠ A′ ＝ 68° ，∠ C′ ＝ 72° ，则这两个三角形 ( ) A ．全等　　　　　　　　 B ．相似 C ．不相似 D ．无法确定 2 ．下列各组图形中有可能不相似的是 ( ) A ． 各有一个角是 45° 的两个等腰三角形 B ． 各有一个角是 60° 的两个等腰三角形 C ． 各有一个角是 105° 的两个等腰三角形 D ． 两个等腰直角三角形 B A A C D B 4 10 ． ( 2016 · 齐齐哈尔 ) 如图 ， 在△ ABC 中 ， AD⊥BC ， BE⊥AC ， 垂足分别为 D ， E ， AD 与 BE 相交于点 F. 求证：△ ACD∽△BFD. 解：∵ AD⊥BC ， BE⊥AC ， ∴∠ BDF ＝∠ ADC ＝∠ BEC ＝ 90° ， ∴∠ C ＋∠ DBF ＝ 90° ， ∠ C ＋∠ DAC ＝ 90° ， ∴∠ DBF ＝∠ DAC ， ∴△ ACD∽△BFD A A 14 ． 如图 ， 正方形 ABCD 中 ， M 为 BC 上一点 ， F 是 AM 的中点 ， EF⊥AM ， 垂足为 F ， 交 AD 的延长线于点 E ， 交 DC 于点 N. (1) 求证：△ ABM∽△EFA ； (2) 若 AB ＝ 12 ， BM ＝ 5 ， 求 DE 的长． 15 ． 如图 ， 四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 F ， 点 E 是 BD 上一点 ， 且∠ BAC ＝∠ BDC ＝∠ DAE. (1) 求证：△ ABE∽△ACD ； (2) 若 BC ＝ 2 ， AD ＝ 6 ， DE ＝ 3 ， 求 AC 的长． 方法技能： 要找三角形相似的条件 ， 关键抓住以下几点： ( 1) 已知角相等时 ， 找两对对应角相等 ， 若只能找一对对应角相等 ， 判断相等的角的两夹边是否对应成比例； ( 2) 无法找到角相等时 ， 判断三边是否对应成比例； ( 3) 除此之外 ， 也可考虑平行线分线段成比例的基本事实及相似三角形的传递性． 易错提示： 对三角形相似的情况考虑不全面造成漏解． 第二十七章　相　似　　 27．2　相似三角形 27．2.2　相似三角形的性质 A 8 ∶ 9 4 ． ( 2016 · 重庆 ) △ ABC 与△ DEF 的相似比为 1∶4 ， 则△ ABC 与△ DEF 的周长比为 ( ) A ． 1∶2 B ． 1∶3 C ． 1∶4 D ． 1∶16 5 ． 如果两个三角形相似 ， 且它们的最大边长分别为 6 cm 和 8 cm ， 它们的周长之和为 35 cm ， 则较小的三角形的周长为 ____ cm . C 15 6 ． 如图 ， 在 Rt △ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， ∠ A ＝ 30° ， CD⊥AB 于点 D. 求△ BCD 与△ ABC 的周长之比． 解：∵∠ B ＝∠ B ，∠ BDC ＝∠ BCA ＝ 90° ， ∴△ BCD∽△BAC. 在 Rt △ABC 中， ∠ A ＝ 30° ，∴ AB ＝ 2BC ，∴ C △BCD ∶C △BAC ＝ BC∶AB ＝ 1∶2 C D 9 ． ( 2016 · 随州 ) 如图 ， D ， E 分别是△ ABC 的边 AB ， BC 上的点 ， 且 DE∥AC ， AE ， CD 相交于点 O ， 若 S △DOE ∶S △COA ＝ 1∶25 ， 则 S △BDE 与 S △CDE 的比是 ( ) A ． 1∶3 B ． 1∶4 C ． 1∶5 D ． 1∶25 B D D 13 ． 如图 ， 在 Rt △ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， D 是 AC 边上一点 ， ∠ CBD ＝∠ A ， 点 E ， F 分别是 AB ， BD 的中点．若 AB ＝ 5 ， AC ＝ 4 ， 则 CF∶CE ＝ ____ ． 14 ． ( 2016 · 梅州 ) 如图 ， 在平行四边形 ABCD 中 ， 点 E 是边 AD 的中点 ， EC 交对角线 BD 于点 F ， 若 S △DEC ＝ 3 ， 则 S △BCF ＝ ____ ． 3∶4 4 15 ． 如图 ， 在△ ABC 中 ， BC>AC ， 点 D 在 BC 上 ， 且 DC ＝ AC ， ∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F ， 点 E 是 AB 的中点 ， 连接 EF. (1) 求证： EF∥BC ； (2) 若四边形 BDFE 的面积为 6 ， 求△ ABD 的面积． 方法技能： 1 ． 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 ， 一定要找准“对应”． 其实相似三角形中任何对应线段的比都等于相似比 ， 而且可以推广到相似多边形． 2 ． 相似三角形的周长比等于相似比 ， 面积比等于相似比的平方． 易错提示： 在求相似三角形的面积比时易与周长比相混淆 ， 相似比不平方而出错． 27 ． 2.3 　相似三角形应用举例 知识点 ❶ ：利用相似测量高度 1 ． ( 练习 1 变式 ) 小明在测量楼高时 ， 先测出楼房落在地面上的影长 BA 为 15 米 ( 如图 ) ， 然后在 A 处树立一根高 2 米的标杆 ， 测得标杆的影长 AC 为 3 米 ， 则楼高为 ( ) A ． 10 米 B ． 12 米 C ． 15 米 D ． 22.5 米 2 ． 如图 ， 李明打网球时 ， 球恰好打过网 ， 且落在离网 4 m 的位置上 ， 则网球的击球高度 h 为 ______ m . A 1.4 8 3 ． ( 习题 10 变式 ) 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 ， 点 P 处放一水平的平面镜 ， 光线从点 A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处 ， 已知 AB ⊥ BD ， CD ⊥ BD ， 且测得 AB ＝ 1.2 米 ， BP ＝ 1.8 米 ， PD ＝ 12 米 ， 那么该古城墙的高度是 ____ 米． ( 平面镜的厚度忽略不计 ) 4 ． 如图 ， 某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度 ， 他们通过调整测量位置 ， 使斜边 DF 与地面保持平行 ， 并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上 ， 已知 DE ＝ 0.5 米 ， EF ＝ 0.25 米 ， 目测点 D 到地面的距离 DG ＝ 1.5 米 ， 到旗杆的水平距离 DC ＝ 20 米 ， 求旗杆的高度． C 知识点 ❷ ：利用相似测量宽度 5 ．如图 ， 为了测量一池塘的宽 DE ，在岸边找到一点 C ，测得 CD ＝ 30 m ，在 DC 的延长线上找一点 A ，测得 AC ＝ 5 m ，过点 A 作 AB ∥ DE 交 EC 的延长线于点 B ，测出 AB ＝ 6 m ，则池塘的宽 DE 为 ( ) A ． 25 m 　　　 B ． 30 m 　　　 C ． 36 m 　　　 D ． 40 m 6 ． ( 例 5 变式 ) 如图 ， 一条河的两岸有一段是平行的 ， 在河的南岸边每隔 5 米有一棵树 ， 在北岸边每隔 60 米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15 米的点 P 处看北岸 ， 发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住 ， 并且在这两棵树之间还有三棵树 ， 则河宽为 _____ 米． 30 7 ． ( 复习题 7 变式 ) 如图 ， 已知零件的外径为 25 mm ， 现用一个交叉卡钳 ( 两条尺长 AC 和 BD 相等 ， OC ＝ OD) 测量零件的内孔直径 AB. 若 OC ∶ OA ＝ 1 ∶ 2 ， 量得 CD ＝ 10 mm ， 则零件的厚度 x ＝ ______ mm . 2.5 知识点 ❸ ：相似三角形在实际问题中的其他应用 8 ．如图 ， 放映幻灯片时 ， 通过光源 ， 把幻灯片上的图形放大到屏幕上 ， 若光源到幻灯片的距离为 20 cm ，到屏幕的距离为 60 cm ，且幻灯片中的图形的高度为 6 cm ，则屏幕上图形的高度为 ____ cm . 18 9 ． 如图 ， 现要对△ ABC 空地进行绿化 ， 中位线 MN 把△ ABC 空地分割成两部分 ， 其中△ AMN 部分种植红花 ， 四边形 BCNM 部分种植绿草 ， 已知红花的种植面积是 20 m 2 ， 则绿草的种植面积为 __ __ m 2 . 60 10 ． 如图 ， 某超市在一楼至二楼之间安装有电梯 ， 天花板与地面平行．张强扛着箱子 ( 人与箱子的总高度约为 2.2 m ) 乘电梯刚好完全通过 ， 请你根据图中数据回答 ， 两层楼之间的高约为 ( ) A ． 5.5 m 　　 B ． 6.2 m 　　 C ． 11 m 　　 D ． 2.2 m 11 ． 如图 ， 一油桶高 0.8 m ， 桶内有油 ， 一根木棒长 1 m ， 从桶盖小口斜插入桶内 ， 一端到桶底边缘 ， 另一端刚好到小口 ， 抽出木棒 ， 量得棒上浸油部分长 0.8 m ， 则桶内油的高度为 ______ m . A 0.64 12 ． 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示 ， 其中木杆 AB ＝ 2 m ， 它的影子 BC ＝ 1.6 m ， 木杆 PQ 的影子有一部分落在了墙上 ， PM ＝ 1.2 m ， MN ＝ 0.8 m ， 则木杆 PQ 的长度为 ______ m . 2.3 14 ． 如图① ， 小红家阳台上放置了一个晒衣架 ， 如图②是晒衣架的侧面示意图 ， 立杆 AB ， CD 相交于点 O ， B ， D 两点立于地面 ， 经测量 ， AB ＝ CD ＝ 136 cm ， OA ＝ OC ＝ 51 cm ， OE ＝ OF ＝ 34 cm ， 现将晒衣架完全稳固张开 ， 扣链 EF 成一条直线 ， 且 EF ＝ 32 cm . (1) 求证： AC∥BD ； (2) 小红的连衣裙挂在衣架上的总长度达到 122 cm ， 垂直挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由． 方法技能： 利用相似三角形解决实际问题的方法： ( 1) 利用太阳光线平行构造相似 ， 利用同一时刻物高与影长成比例构造比例式 ， 画数学图形找相似解决实际问题； ( 2) 对于不易测量的长度或高度 ， 可以用易测量的对应线段通过成比例来计算． 易错提示： 利用阳光下的影子测量物体的高度时 ， 易列错物高与影长的关系式． 27 ． 3 　位　似 第 1 课时　位似图形的概念及画法 知识点 ❶ ：位似图形的概念和性质 1 ．已知 △ ABC ∽△ A′B′C′ ，下列图形中 ， △ ABC 与 △ A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( ) D A 2 ．如图的两个三角形是位似图形 ， 它们的位似中心是 ( ) A ． 点 P B ． 点 O C ． 点 M D ． 点 N 3 ． 下列关于位似图形的表述： ① 相似图形一定是位似图形 ， 位似图形一定是相似图形； ② 位似图形一定有位似中心； ③ 如果两个图形是相似图形 ， 且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点 ， 那么这两个图形是位似图形； ④ 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比． 其中正确命题的序号是 ( ) A ． ②③　　　 B ．①②　　　 C ．③④　　　 D ．②③④ A 5 ． ( 2016 · 十堰 ) 如图 ， 以点 O 为位似中心 ， 将△ ABC 缩小后得到△ A′B′C′ ， 已知 OB ＝ 3OB′ ， 则△ A′B′C′ 与△ ABC 的面积比为 ( ) A ． 1∶3 B ． 1∶4 C ． 1∶5 D ． 1∶9 A D 6 ． ( 练习 1 变式 ) 如图 ， △ OAB 和 △ OCD 是位似图形 ， 则位似中心是 ______ ，图中 AB 与 CD 的关系是 ____________. 点 O AB ∥ CD 知识点 ❷ ：位似图形的画法 7 ．分别画出图中的每组位似图形的位似中心． 　　 解：图略 8 ． ( 习题 2 变式 ) 如图 ， 把图中的四边形 ABCD 以点 O 为位似中心 ， 沿 AO 方向放大到原来的 2 倍． 解：图略 9 ． 如图 ， △ ABO 与 △ A′B′O 是位似图形 ， 其中 AB ∥ A′B′ ， 则 A′B′ 的长 y 与 AB 的长 x 之间函数关系的图象大致是 ( ) C 10 ． 如图 ， 以点 O 为位似中心将四边形 ABCD 放大后得到四边形 A′B′C′D′ ， 若 OA ＝ 4 ， OA′ ＝ 8 ， 则四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′ 的周长的比为 ______ ． 1∶2 2∶3 12 ． 如图 ， 在 10 × 10 的正方形网格中 ， 点 A ， B ， C ， D 均在格点上 ， 以点 A 为位似中心画四边形 AB′C′D′ ， 使它与四边形 ABCD 位似 ， 且相似比为 2. (1) 在图中画出四边形 AB′C′D′ ； (2) 填空： △ AC′D′ 是 __________ 三角形． 解：图略 等腰直角 14 ． 如图 ， △ OAB 与 △ ODC 是位似图形 ， 试问： (1)AB 与 CD 平行吗？请说明理由； (2) 如果 OB ＝ 3 ， OC ＝ 4 ， OD ＝ 3.5 ， 试求 △ OAB 与 △ ODC 的相似比及 OA 的长． 解： (1)AB ∥ CD. 理由： ∵△ OAB 与 △ ODC 是位似图形 ， ∴△ OAB ∽△ ODC ， ∴∠ D ＝ ∠ A ， ∴ AB ∥ CD 　 (2) 由题意得点 O 是位似中心 ， 则 △ OAB 与 △ ODC 的相似比为 OB ∶ OC ＝ 3 ∶ 4. ∵ OB ∶ OC ＝ OA ∶ OD ， 即 3 ∶ 4 ＝ OA ∶ 3.5 ， ∴ OA ＝ 2.625 15 ． 如图 ， 用下面的方法可以画△ AOB 的内接等边三角形 ， 阅读后证明相应问题． 画法：①在△ AOB 内画等边△ CDE 使点 C 在 OA 上 ， 点 D 在 OB 上；②连接 OE 并延长 ， 交 AB 于点 E′ ， 过点 E′ 作 E′C′∥EC ， 交 OA 于点 C′ ， 作 E′D′∥ED ， 交 OB 于点 D′ ；③连接 C′D′ ， 则△ C′D′E′ 是△ AOB 的内接等边三角形． 求证：△ C′D′E′ 是等边三角形． 证明： ∵ E′C′ ∥ EC ， E′D′ ∥ ED ， ∴△ OCE ∽△ OC′E′ ， △ ODE ∽△ OD′E′ ， ∴ CE ∶ C′E′ ＝ OE ∶ OE′ ， DE ∶ D′E′ ＝ OE ∶ OE′ ， ∠ CEO ＝ ∠ C′E′O ， ∠ DEO ＝ ∠ D′E′O ， ∴ CE ∶ C′E′ ＝ DE ∶ D′E′ ， ∠ CED ＝ ∠ C′E′D′ ， ∴△ CDE ∽△ C′D′E′ ， ∵△ CDE 是等边三角形 ， ∴△ C′D′E′ 是等边三角形 方法技能： 1 ． 位似图形的性质： ( 1) 位似图形一定相似 ， 具有相似图形的所有性质； ( 2) 位似图形的对应点连线交于位似中心； ( 3) 位似图形对应线段平行 ( 或在同一直线上 ) ． 2 ． 确定位似中心的方法：确定两组对应点 ， 连接这两组对应点 ， 其交点即为位似中心． 易错提示： 画位似图形时要注意是放大还是缩小． 27 ． 3 　位　似 第 2 课时　位似图形的坐标变化规律 2 ． 如图 ， 在边长为 1 的小正方形组成的网格中 ， 建立平面直角坐标系 ， △ ABO 与 △ A′B′O′ 是以点 P 为位似中心的位似图形 ， 它们的顶点均在格点 ( 网格线的交点 ) 上 ， 则点 P 的坐标为 ( ) A ． (0 ， 0) B ． (0 ， 1) C ． ( － 3 ， 2) D ． (3 ， － 2) C D A 5 ． ( 习题 3 变式 ) △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1 ， 2) ， B(2 ， 3) ， C(0 ， 4) ，以原点 O 为位似中心 ， 将△ ABC 放大后得到的△ DEF 与△ ABC 对应边的比为 2∶1 ，这时△ DEF 各个顶点的坐标分别是多少？ 解： (2 ， 4) ， (4 ， 6) ， (0 ， 8) 或 ( － 2 ，－ 4) ， ( － 4 ，－ 6) ， (0 ，－ 8) 知识点 ❷ ：坐标系内的位似作图 6 ．如图 ， 在网格图中 ， 已知△ ABC 和点 M(1 ， 2) ． (1) 以点 M 为位似中心 ， 相似比为 2 ， 在第一象限画出将△ ABC 放大后得到的△ A′B′C′ ； (2) 写出△ A′B′C′ 的各顶点坐标． 解： (1) 图略　 (2)A′(3 ， 6) ， B′(5 ， 2) ， C′(11 ， 4) B 8 ．某学习小组在讨论“变化的鱼”时 ， 知道大鱼与小鱼是位似图形 ( 如图 ) ， 则小鱼上的点 (a ， b) 对应大鱼上的点 ( ) A ． ( － 2a ， － 2b) B ． ( － a ， － 2b) C ． ( － 2b ， － 2a) D ． ( － 2a ， － b) A D ( － 8 ， － 3) 或 (4 ， 3) 6 13 ． ( 习题 5 变式 ) 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 以点 A 为位似中心 ， 把正方形 ABCD 缩小为原来的一半 ， 得正方形 A′B′C′D′ ， 画出图形并写出 B′ ， C′ ， D′ 的坐标． 解：图略 ， 有两种情况： ① B′(2 ， 0) ， C′(2 ， 1) ， D′(1 ， 1) ； ② B′(0 ， 0) ， C′(0 ， － 1) ， D′(1 ， － 1) 14 ． 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， △ ABC 的三个顶点坐标分别为 A( － 2 ， 1) ， B( － 1 ， 4) ， C( － 3 ， 2) ． (1) 画出△ ABC 关于 y 轴对称的图形△ A 1 B 1 C 1 ， 并直接写出 C 1 点坐标； (2) 以原点 O 为位似中心 ， 相似比为 1∶2 ， 在 y 轴的左侧 ， 画出△ ABC 放大后的图形△ A 2 B 2 C 2 ， 并直接写出 C 2 点坐标； (3) 如果点 D(a ， b) 在线段 AB 上 ， 请直接写出经过 (2) 的变化后点 D 的对应点 D 2 的坐标． 解： (1) 图略 ， C 1 点坐标为 (3 ， 2) 　 (2) 图略 ， C 2 点坐标为 ( － 6 ， 4) 　 (3)D 2 点坐标为 (2a ， 2b) 方法技能： 1 ． 以原点为位似中心的两个图形 ， 其中一个图形上点的坐标是另一个图形上对应点的坐标的 k( 或－ k) 倍． 2 ． 当位似中心不为原点时可依据位似图形的性质确定对应点的坐标． 易错提示： 作位似图形时因考虑不全面而出错． 易错课堂 ( 二 ) 　相　似 一、对相似多边形的概念理解不透而出错 【 例 1 】 如图 ， 在四边形 ABCD 与四边形 EFGH 中 ， ∠ A ＝ 100° ， ∠ B ＝ 90° ， ∠ C ＝ 120° ， ∠ F ＝ 90° ， ∠ G ＝ 120° ， ∠ H ＝ 50° ， 则四边形 ABCD 与四边形 EFGH___________ ． ( 填“一定相似”或“不一定相似” ) 分析： 四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的对应角相等 ， 而对应边的比值不能确定相等 ， 根据相似多边形的定义即可得出结论． 不一定相似 [ 对应训练 ] 1 ． 在研究相似问题时 ， 甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3 ， 4 ， 5 的三角形按图 ① 的方式向外扩张 ， 得到新三角形 ， 它们的对应边间距为 1 ， 则新三角形与原三角形相似； 乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 ② 的方式向外扩张 ， 得到新的矩形 ， 它们的对应边间距均为 1 ， 则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点 ， 下列说法正确的是 ( ) A ． 两人都对　　　　　　 B ．两人都不对 C ． 甲对 ， 乙不对 D ．甲不对 ， 乙对 A 不一定相似 D 三、确定相似三角形时考虑不周 ， 导致漏解 【 例 3 】 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， AD ∥ BC ， ∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 12 ， AD ＝ 4 ， BC ＝ 9 ， 点 P 是 AB 上一动点．若 △ PAD 与 △ PBC 是相似三角形 ， 求 AP 的长． 分析： 由于 ∠ PAD ＝ ∠ PBC ＝ 90° ， 故要使 △ PAD 与 △ PBC 相似 ， 分两种情况讨论： ①△ APD ∽△ BPC ， ②△ APD ∽△ BCP ， 这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 AP 的长． D 四、求关于某点位似的图形时容易漏解 【 例 4 】 在平面直角坐标系中 ， 已知点 E( － 4 ， 2) ， F( － 2 ， － 2) ， 以原点 O 为位似中心 ， 相似比为 1∶2 ， 把△ EFO 缩小 ， 则点 E 的对应点 E′ 的坐标是 ___________________ ． 分析： 在作位似图形时 ， 要考虑两图形在位似中心同侧或异侧两种情况 ， 以免造成漏解． [ 对应训练 ] 4 ． 已知 A(3 ， 0) ， B(2 ， 3) ， 将△ OAB 以原点 O 为位似中心 ， 相似比为 2∶1 ， 放大得到△ OA′B′ ， 则顶点 B 的对应点 B′ 的坐标为 ___________________ ． ( － 2 ， 1) 或 (2 ， － 1) ( － 4 ， － 6) 或 (4 ， 6) 综合训练 ( 二 ) 　相　似 一、选择题 1 ． 下列各组中的四条线段成比例的是 ( ) A ． a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， c ＝ 2 ， d ＝ 4 B ． a ＝ 4 ， b ＝ 6 ， c ＝ 5 ， d ＝ 10 C ． a ＝ 2 ， b ＝ 4 ， c ＝ 3 ， d ＝ 6 D ． a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， c ＝ 4 ， d ＝ 1 C C 4 ． 如图 ， 线段 CD 两个端点的坐标分别为 C(1 ， 2) ， D(2 ， 0) ， 以原点为位似中心 ， 将线段 CD 放大得到线段 AB ， 若点 B 的坐标为 (5 ， 0) ， 则点 A 的坐标为 ( ) A ． (2 ， 5) B ． (2.5 ， 5) C ． (3 ， 5) D ． (3 ， 6) D B A C D C 90 12 ． 如图 ， 已知 ∠ 1 ＝ ∠ 2 ， 若再增加一个条件就能使结论 “ AB · DE ＝ AD · BC ” 成立 ， 则这个条件可以是 ______________________ ． ( 只填一个即可 ) 13 ． 如图 ， 以点 O 为位似中心 ， 将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 A′B′C′D′E′ ， 已知 OA ＝ 10 cm ， OA′ ＝ 20 cm ， 则五边形 ABCDE 的周长与五边形 A′B′C′D′E′ 的周长的比值是 _______ ． ∠ B ＝ ∠ D 或 ∠ C ＝ ∠ AED 1∶2 8 三、解答题 16 ． 如图 ， 在边长为 1 个单位长度的小正方形网格中： (1) 画出 △ ABC 向上平移 6 个单位长度 ， 再向右平移 5 个单位长度后的 △ A 1 B 1 C 1 ； (2) 以点 B 为位似中心 ， 在第一象限将 △ ABC 放大为原来的 2 倍 ， 得到 △ A 2 B 2 C 2 ， 请在网格中画出 △ A 2 B 2 C 2 ； (3) 求 △ CC 1 C 2 的面积． 解： (1) 图略　 (2) 图略 (3) 图略 ， S △ CC 1 C 2 ＝ 9 17 ． 如图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， △ ACD 沿 AD 折叠 ， 使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处． (1) 求证： △ BDE ∽△ BAC ； (2) 已知 AC ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， 求线段 AD 的长度． 18 ． 如图 ， 矩形 ABCD 为台球桌面 ， AD ＝ 260 cm ， AB ＝ 130 cm ， 球目前在 E 点位置 ， AE ＝ 60 cm . 如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去 ， 经过反弹后 ， 球刚好弹到 D 点位置． (1) 求证：△ BEF∽△CDF ； (2) 求 CF 的长． 20 ． 如图 ， 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料 ， 为节约资源 ， 现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形 ( 阴影部分 ) 铁片备用 ， 当截取的矩形面积最大时 ， 求矩形两边长 x ， y. 21 ． ( 2016 · 南宁 ) 如图 ， 已知抛物线经过原点 O ， 顶点为 A(1 ， 1) ， 且与直线 y ＝ x － 2 交于 B ， C 两点． (1) 求抛物线的解析式及点 C 的坐标； (2) 求证：△ ABC 是直角三角形； (3) 若点 N 为 x 轴上的一个动点 ， 过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M ， 则是否存在以 O ， M ， N 为顶点的三角形与△ ABC 相似？若存在 ， 请求出点 N 的坐标；若不存在 ， 请说明理由．