昌平区初三数学期末试卷

昌平区 2018 - 2019 学年第一学期初三年级期末质量抽测 数学试卷 2019．1 一、选择题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．右图是某个几何体的三视图，该几何体是 （A）圆柱 （B）圆锥 （C）长方体 （D）三棱柱 2．已知∠A 为锐角，且 sinA ＝ 3 2 ，那么∠A 等于 （A）15° （B）30° （C）45° （D）60° 3．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮 廓的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦 当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （A） （B） （C） （D） 4．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD = 34°，那么∠BAD 等于 （A）34° （B）46° （C）56° （D）66° 5．如图，点 A、B、C、D、O 都在方格纸上，若△COD 是由△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋 转的角度为 （A）30° （B）45° （C）90° （D）135° 1. 本试卷共 7 页，五道大题，28 个小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。 2. 请在试卷上准确填写学校名称、姓名和考试编号。 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束后，请交回答题卡、试卷。 考 生 须 知 6．若函数 2 2y x x m   的图象与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 （A）m＞1 （B）m＜1 （C）m≤1 （D） m=1 7．二次函数 2 2y x x  ，若点 A 1( 1, )y ，B 2(2, )y 是它图象上的两点，则 1y 与 2y 的大小关系是 （A） 1 2y y （B） 1 2y y （C） 1 2y y （D） 不能确定 8．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定 时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度 t/℃ … -5 -3 2 … 植物高度增长量 h/mm … 34 46 41 … 科学家推测出 h（mm）与 t 之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．已知温度越适合，植物高度增 长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 （A）-2℃ （B）-1℃ （C）0℃ （D）1℃ 二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分） 9．已知反比例函数 ky x  的图象经过（-1，2），则 k 的值为 . 10．请写出一个过点（0，1）的函数的表达式_____________. 11．如图，抛物线 2y ax bx c   的对称轴为 1x  ，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的 两个交点，若点 P 的坐标为（-1，0），则点 Q 的坐标为 . 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 B (-1,2)与点 A 关于原点 O 中心对称，则点 A 的坐标为 . 13．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 是劣弧 CD 上一动点，则∠AEB= °. 14．圆心角为 60°的扇形的半径为 3 cm，则这个扇形的弧长是 cm． 15．如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点，C 是优弧 AB 上的一个动点，若∠P = 40°， 则∠ACB = °. （第 13 题图） （第 15 题图） （第 16 题图） 16. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 内一点，将 CP 绕点 C 逆时针旋转 60°得到 CQ，连接 AP，BP，BQ， PQ，若∠PBQ = 40°，下列结论：①△ACP ≌ △BCQ；②∠APB = 100°；③∠BPQ = 50°，其中一定．． 成立的是 （填序号）. 三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 17．计算：2 cos30°－tan60° + sin30° + 1 2 tan45°. 18. 如图，在 t ABCR 中， 90C   ， 1tan 2 A  ，AC = 2，求 AB 的长. 19．已知：二次函数的表达式 2 2 3y x x   . （1）用配方法将其化为 2( )y a x h k   的形式； （2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质. 20．尺规作图：如图，AD 为 ⊙O 的直径． （1）求作：⊙O 的内接正六边形 ABCDEF．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知连接 DF，⊙O 的半径为 4，求 DF 的长. 小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程. 在⊙O 中，连接 OF. ∵ 正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ∴      AB BC CD DE EF AF     ∴∠AOF=60° ∴∠ADF= 1 2 ∠AOF=30°____________________________ (填推理的依据） ∵AD 为⊙O 直径 ∴∠AFD=90° ∵cos30°= DF AD = 3 2 ∴DF=____________. 21．港珠澳大桥，从 2009 年开工建造，于 2018 年 10 月 24 日正式通车. 其全长 55 公里，连接港珠澳三地， 集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥. 下图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端 A 距离海平面的高度，先测出斜 拉索底端 C 到桥塔的距离（CD 的长）约为 100 米， 又在 C 点测得 A 点的仰角为 30°，测得 B 点的 俯角为 20°，求斜拉索顶端 A 点到海平面 B 点的距离（AB 的长）. （已知 3 1.73 ，tan20°≈0.36，结果精确到 0.1 ） 22．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD 于点 E，BF∥OC,连接 BC 和 CF ，CF 交 AB 于 点 G. （1）求证：∠OCF=∠BCD ； （2）若 CD=4，tan∠OCF= 1 2 ，求⊙O 半径的长. 四、解答题（共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分） 23．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 2 y x b 的图象与 x 轴的交点为 A（2，0），与 y 轴的交点为 B， 直线 AB 与反比例函数 ky x  的图象交于点 C（-1，m）. （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点 P 是这个反比例函数图象上的点，过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为点 M， 连接 OP，BP，当 S △ ABM ＝ 2 S △ OMP 时，请直接写出点 P 的坐标. 24．如图，△ABC 内接于⊙O，过点 C 作 BC 的垂线交⊙O 于 D，点 E 在 BC 的延长线上，且∠DEC = ∠BAC． （1）求证：DE 是 ⊙O 的切线； （2）若 AC∥DE，当 AB = 8，CE = 2 时，求⊙O 直径的长． 25．有这样一个问题： 如图，Rt△ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D，AD = m，BD = n， 求 △ ABC 的面积（用含 m，n 的式子表示）． 小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究： 解：如图，令 AD = 3，BD = 4， 设△ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x． 根据切线长定理，得 AE = AD = 3，BF = BD = 4，CF = CE = x． 根据勾股定理得， 2 2 2( 3) ( 4) (3 4)x x     . 整理，得 2 7 12x x  所以S 1 1 ( 3)( 4) 2 2     ABC AC BC x x 21 1( 7 12) (12 12) 12 2 2       x x 第（1）问图 请你参考小冬的做法. 解决以下问题：（1）当 AD = 5，BD = 7 时，求△ABC 的面积； （2）当 AD = m，BD = n 时，直接写出求△ABC 的面积（用含 m，n 的式子表示） 为___ __． 26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2－4mx＋4m－2 的顶点为 M. （1）顶点 M 的坐标为_______ __. （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若 MN∥y 轴且 MN = 2. ①点 N 的坐标为_____________； ②过点 N 作 y 轴的垂线 l，若直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点，该抛物线在 P、Q 之间的部分与线 段 PQ 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求 m 的取值范围. 五、解答题（共 2 道小题，每小题 7 分，共 14 分） 27．如图，在△ABC 中，AC = BC，∠ACB = 90°，D 为 AC 上一点（与点 A，C 不重合），连接 BD，过点 A 作 AE⊥BD 的延长线于 E. （1）①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O，并用文字描述圆心 O 的位置； ②连接 OE，求证：点 E 在⊙O 上； （2）①延长线段 BD 至点 F，使 EF = AE，连接 CF,根据题意补全图形； ②用等式表示线段 CF 与 AB 的数量关系，并证明. 28．在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：若点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N 上，如果 PQ 两点间 的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 的“近距离”，记为 d（M，N）．特别地，当图 形 M 与图形 N 有公共点时，d（M，N）= 0. 已知 A（- 4，0），B（0，4），C（- 2，0）， （1）d（点 A，点 B）=________，d（点 A，线段 BC）=________； （2）⊙O 半径为 r， ① 当 r = 1 时，求 ⊙O 与线段 AB 的“近距离”d（⊙O，线段 AB）； ② 若 d（⊙O，△ABC）=1，则 r =___________. （3）D 为 x 轴上一点，⊙D 的半径为 1，点 B 关于 x 轴的对称点为点 B'，⊙D 与∠BAB' 的“近距离”d（⊙D，∠BA B'）＜1，请直接写出圆心 D 的横坐标 m 的取值范围.