怀柔区 2018—2019 学年度第一学期初三期末质量检测
数 学 试 卷 2019.1
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个
1．已知∠A 为锐角，且 sin A＝ 1
2
，那么∠A 等于
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A = 50，则∠BOC 的大小为
A．40° B．30° C．80° D．100°
3．已知△ ABC ∽△ ' ' 'A B C ，如果它们的相似比为 2∶3，那么它们的面积比是
A．3:2 B． 2:3 C．4:9 D．9:4
4．下面是一个反比例函数的图象，它的表达式可能是
A． 2y x B． 4y x
C． 3y x
D． 1
2y x
5．正方形 ABCD 内接于 O ，若 O 的半径是 2 ，则正方形的边长是
A．1 B． 2 C． 2 D． 2 2
6．如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DE∥BC．若 BC 3，DE 1.5，AD 2，
则 AB 的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
第 6 题图 第 8 题图
第 2 题图 第 4 题图 第 5 题图
7．若要得到函数 21 +2y x 的图象，只需将函数 2y x 的图象
A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
8. 如图，一条抛物线与 x 轴相交于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左侧），其顶点 P 在线段 AB 上移动，点 A，B 的坐
标分别为（-2，-3），（1，-3），点 N 的横坐标的最大值为 4，则点 M 的横坐标的最小值为
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9．二次函数 2 4 1y x x －2 图象的开口方向是__________.
10．Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 tanA 的值为 .
11. 如图，为了测量某棵树的高度，小颖用长为 2 m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落
在地面的同一点. 此时竹竿与这一点距离相距 6 m ，与树相距 15 m ，那么这棵树的高度为 .
12.已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120°，则这个扇形的弧长是 .
13.如图所示 的网格是正方形 网格，则 sin∠ BAC 与 sin ∠DAE 的大小关 系
是 .
14.写出抛物线 y=2(x-1)2 图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标
可以是 和 .
15.如图，为测量河内小岛 B 到河边公路l 的距离，在l 上顺次取 A，C，D 三点，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测
得∠BCD=60°，又测得 AC=50 米，则小岛 B 到公路l 的距离为 米．
16.在平面直角坐标系 xOy 内有三点：（0，-2），（1，-1），（2.17，0.37）.则过这三个点 （填“能”或“不能”）
画一个圆，理由是 .
三、解答题(本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分)解答应
写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．已知： 5
3
a
b
. 求： a b
b
.
18．计算： 2cos30 -4sin 45 + 8 .
11 题图 13 题图
19．已知二次函数 y = x2-2x-3.
（1）将 y = x2-2x-3 化成 y = a (x－h)2 + k 的形式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标.
20．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB 3 2 ，BC 7， sin 2
2B ，求 AC 的长．
21. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，点 E 在 AB 上，AD=1，AE=2，
BC=3，BE=1.5.
求证：∠DEC=90°．
22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构
成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程.
已知: △ABC.
求作: 在 BC 边上求作一点 P, 使得△PAC∽△ABC.
作法:如图，
①作线段 AC 的垂直平分线 GH；
②作线段 AB 的垂直平分线 EF,交 GH 于点 O；
③以点 O 为圆心，以 OA 为半径作圆；
④以点 C 为圆心，CA 为半径画弧，交⊙O 于点 D(与点 A 不重合)；
⑤连接线段 AD 交 BC 于点 P.
所以点 P 就是所求作的点.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明.
证明: ∵CD=AC，
∴ CD = .
∴∠ =∠ .
又∵∠ =∠ ，
∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依据).
23.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+2
与双曲线 ky x
相交于点 A(m，3).
（1）求反比例函数的表达式；
（2）画出直线和双曲线的示意图；
（3）若 P 是坐标轴上一点，当 OA=PA 时.
直接写出点 P 的坐标．
24. 如图，AB 是 O 的直径，过点 B 作 O 的切线 BM，点 A，C，D 分别为 O 的三等分点，连接 AC，AD，DC，
延长 AD 交 BM 于点 E， CD 交 AB 于点 F.
（1）求证： / /CD BM ；
（2） 连接 OE，若 DE=m，求△OBE 的周长.
25. 在如图所示的半圆中，P 是直径 AB 上一动点，过点 P 作 PC⊥AB 于点 P，交半圆于点 C，连接 AC.已知 AB=6cm，
设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为 y1cm，A，C 两点间的距离为 y2cm.
小聪根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小聪的探究过程，请补充完整:
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值；
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0
y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，
(x，y2)，并画出函数 y1，y2 的图象;
（3）结合函数图象，解决问题：当△APC 有一个角是 30°时，AP 的长度约为 cm.
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2y ax ax c （其中 a 、c 为常数，且 a ＜0）与 x 轴交于点 A 3,0 ，与
y 轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求 CAB 的正切值；
（3）如果点 P 是 x 轴上的一点，且 ABP CAO ，直接写出点 P 的坐标．
27. 在菱形 ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点 P 在边 CD 上（与点 C，D 不重合），连接 AP，平移 ADP ，
使点 D 移动到点 C，得到 BCQ ，在 BD 上取一点 H，使 HQ=HD，连接 HQ，AH，PH.
（1） 依题意补全图 1；
（2）判断 AH 与 PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明；
（3）若 141AHQ ，菱形 ABCD 的边长为 1，请写出求 DP 长的思路. （可以不写出计算结果．．．．．．．．．）
图 1 备用图
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（x，0），B（x，y），若线段 AB 上存在一点 Q 满足 1
2
QA
QB
，则称点 Q 是线段
AB 的“倍分点”．
（1）若点 A（1，0），AB=3，点 Q 是线段 AB 的“倍分点”．
①求点 Q 的坐标；
②若点 A 关于直线 y= x 的对称点为 A′，当点 B 在第一象限时，求 'QA
QB
；
（2）⊙T 的圆心 T（0， t），半径为 2，点 Q 在直线 3
3y x 上，⊙T 上存在点 B，使点 Q 是线段 AB 的“倍分点”，
直接写出 t 的取值范围．
2018-2019 学年度第一学期期末初三质量检测
数学试卷评分标准
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9.下 10. 3
4 11. m7 12.
3
2 13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15. 25 3 16.能，因为这三点不在一条直线上.
三、解答题(本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分)
17．解：∵ 5
3
a
b
，∴ 1a b a
b b
= 5
3 +1= 8
3 .………………………5 分
3 2=2 -4 +2 22 2
18.解：原式 ………………………3 分
= 3-2 2+2 2 ………………………4 分
= 3 ………………………5 分
19．解：（1）y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3……………………………2 分
=(x-1)2-4．……………………3 分
（2）∵y=(x-1)2-4，
∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，-4）．………………………5 分
20.解：作 AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sin 2
2B ，
∴∠B=∠BAD=45°.………………2 分
∵AB 3 2 ，
∴AD=BD=3.…………………………3 分
∵BC 7，∴DC=4.
∴在 Rt△ACD 中，
2 2 5AC AD DC .…………………………5 分
21.（1）证明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．
∵AD∥BC，∴∠A=90°．∴∠A=∠B．………………2 分
∵AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5，
∴ 1 2
1.5 3
.∴ AD AE
BE BC
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2．………………3 分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°．
∴∠DEC=90°．………………5 分
22.（1）补全图形如图所示:………………2 分
（2） AC ,∠CAP=∠B，∠ACP=∠ACB，
有两组角对应相等的两个三角形相似.………………5 分
23.解：(1)∵直线 y=x+2 与双曲线 ky x
相交于点 A（m，3）
∴3=m+2，解得 m=1.
∴A（1，3）……………………………………1 分
把 A（1，3）代入 ky x
解得 k=3，
3y x
……………………………………2 分
(2)如图……………………………………4 分
(3)P(0，6)或 P(2，0) ……………………………………6 分
24.证明：(1)∵点 A、C、D 为 O 的三等分点，
∴ AD DC AC , ∴AD=DC=AC.
∵AB 是 O 的直径，
∴AB⊥CD.
∵过点 B 作 O 的切线 BM，
∴BE⊥AB.
∴ / /CD BM .…………………………3 分
(2) 连接 DB.
由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在 Rt△DBE 中，由 DE=m，解得 BE=2m，DB= 3 m.
在 Rt△ADB 中利用 30°角，解得 AB=2 3 m，OB= 3 m.…………………4 分
在 Rt△OBE 中，由勾股定理得出 OE= 7 m.………………………………5 分
④计算出△OBE 周长为 2m+ 3 m+ 7 m.………………………………6 分
25.（1）3.00…………………………………1 分
（2）…………………………………………4 分
（3）1.50 或 4.50……………………………2 分
26．解：（1）由题意得，抛物线 2 2y ax ax c 的对称轴是直线 2 12
ax a
.………1 分
∵a＜0，抛物线开口向下，又与 x 轴有交点，∴抛物线的顶点 C 在 x 轴的上方.
由于抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4，因此顶点 C 的坐标是 1,4 .
可设此抛物线的表达式是 21 4y a x ，
由于此抛物线与 x 轴的交点 A 的坐标是 3,0 ，可得 1a .
因此，抛物线的表达式是 2 2 3y x x .………………………2 分
（2）点 B 的坐标是 0,3 .
联结 BC .∵ 2 18AB ， 2 2BC ， 2 20AC ，得 2 2 2AB BC AC .
∴△ ABC 为直角三角形， 90ABC .
所以 1tan 3
BCCAB AB
.
即 CAB 的正切值等于 1
3 .………………4 分
（3）点 p 的坐标是（1，0）.………………6 分
27.（1）补全图形，如图所示.………………2 分
（2）AH 与 PH 的数量关系：AH=PH，∠AHP=120°.
证明：如图，由平移可知，PQ=DC.
∵四边形 ABCD 是菱形，∠ADC=60°，
∴AD=DC，∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ.
∵HQ=HD，∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH，∠DHQ=120°.
∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH，∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP.
∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°，∴∠AHP=120°.………………5 分
（3）求解思路如下：
由∠AHQ=141°，∠BHQ=60°解得∠AHB=81°.
a.在△ABH 中，由∠AHB=81°，∠ABD=30°，解得∠BAH=69°.
b.在△AHP 中，由∠AHP=120°，AH=PH，解得∠PAH=30°.
c.在△ADB 中，由∠ADB=∠ABD= 30°，解得∠BAD=120°.
由 a、b、c 可得∠DAP=21°.
在△DAP 中，由∠ADP= 60°，∠DAP=21°，AD=1，可解△DAP，
从而求得 DP 长.…………………………………7 分
28.解：（1）∵A（1，0），AB=3
∴B（1，3）或 B（1，-3）
∵ 1
2
QA
QB
∴Q（1，1）或 Q（1，-1）………………3 分
（2）点 A（1，0）关于直线 y= x 的对称点为 A′（0，1）
∴QA =QA′
∴ QB
AQ
2
1
………………5 分
（3）-4≤t≤4………………7 分
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