海淀区初三数学期末试卷及答案

初三第一学期期末学业水平调研 数学 2019．01 学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________ 注 意 事 项 1. 本调研卷共 8 页，满分 100 分，考试时间 120 分。 2. 在调研卷和答题纸上准确填写学校名称，姓名和准考证号。 3. 调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 调研结束，请将本调研卷和答题纸一并交回。 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 1．抛物线 ( ) 21 3y x= - + 的顶点坐标为 A．( )1,3 B． ( )1,3- C．( )1, 3- - D．( )3,1 2．如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 ( )4 3P ， ，OP与 x轴正半轴的夹 角为α ，则 tan 的值为 A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 3．方程 2 3 0x x- + = 的根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．如图，一块含 30°角的直角三角板 ABC绕点C顺时 针旋转到△ A B Cⅱ ，当 B，C，A¢在一条直线上时， 三角板 ABC的旋转角度为 A．150° B．120° C．60° D．30° 5．如图，在平面直角坐标系 xOy中，B是反比例函数 2 ( 0)y x x = > 的图 象上的一点，则矩形 OABC的面积为 A．1 B． 2 C．3 D． 4 6．如图，在 ABC△ 中，DE BC∥ ，且 DE分别交 AB，AC于点 D，E， 若 : =2 : 3AD AB ，则△ ADE 和△ ABC的面积．．之比等于 A． 2:3B． 4:9 C． 4:5D． 2 : 3 7．图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机．如图 2，它的双翼展开时，双翼 边缘的端点 A与 B之间的距离为 10cm，双翼的边缘 = =AC BD 54cm，且与闸机侧立面夹 角 PCA BDQ   30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 图 1 图 2 A． (54 3+10) cm B． (54 2+10) cm C．64cm D． 54cm 8．在平面直角坐标系 xOy中，四条抛物线如图所示， 其解析式中的二次项系数一定小于 1 的是 A． 1y B. 2y C． 3y D. 4y 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．方程 2 3 0x x  的根为． 10．半径为 2 且圆心角为 90°的扇形面积为． 11．已知抛物线的对称轴是 x n ，若该抛物线与 x轴交于 1 0（，）， 3 0（，）两点，则 n的值为． 12．在同一平面直角坐标系 xOy中，若函数 y x 与 ky x   0k  的图象有两个交点，则 k的 取值范围是． 13．如图，在平面直角坐标系 xOy中，有两点 ( )2 4A ， ， ( )4 0B ， ， 以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA Bⅱ .若 B的坐 标为( )2 0， ，则点 A的坐标为． 14．已知 1( 1 )y，- ， 2(2 )y， 是反比例函数图象上两个点的坐标，且 1 2y y> ，请写出一个符 合条件的反比例函数的解析式． 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( )3 0A ， ，判断在 M N P Q， ， ， 四点中，满足到点O和点 A的距离都小于 2 的 点是 ． 16．如图，在平面直角坐标系 xOy中， P是直线 2y = 上的一 个动点，⊙ P的半径为 1，直线OQ切⊙ P于点Q，则线 段OQ的最小值为 ． 三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 题，每小题 6 分；第 27~28 题，每小题 7 分） 17．计算： ( ) 0cos45 2sin30 2- + -o o ． 18．如图， AD与 BC交于O点， A CÐ =Ð ， 4AO = ， 2CO = ， 3CD = ，求 AB的长． 19．已知 x n= 是关于 x的一元二次方程 2 4 5 0mx x- - = 的一个根，若 2 4 6mn n m- + = ，求 m 的值． 20．近视镜镜片的焦距 y（单位：米）是镜片的度数 x（单位：度）的函数，下表记录了一 组数据： x（单位：度） … 100 250 400 500 … y（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … （1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________； A． 1 100 y x= B． 100y x = C． 1 3+ 200 2 y x= - D． 2 13 19 40000 800 8 xy x= - + （2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为 200 度时，镜片的焦距约为________米． 21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点 P. 求作：过点 P的⊙O的切线． 作法：如图， 1 作射线 OP； ②在直线 OP外任取一点 A，以点 A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线 OP交于 另一点 B； ③连接并延长 BA与⊙A交于点 C； ④作直线 PC； 则直线 PC即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）． ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）． 22．2018 年 10 月 23 日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大 桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人 工岛上的 A点和东人工岛上的 B点间的距离约为 5.6 千米，点 C是与西人工岛相连的 大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥 AC段垂直的方向 航行，到达 P 点时观测两个人工岛，分别测得 ,PA PB与观光船航向 PD的夹角∠ DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥 AC段的距离 PD的长． 参考数据： sin18° 0.31 ， cos18° 0.95 ， tan18° 0.33 ， sin53° 0.80 ， cos53° 0.60 ， tan53° 1.33 ． 23．在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 1 2 y x= 与双曲线 ky x = 的一个交点是 (2 , )A a ． （1）求 k的值； （2）设点 ( )P m n， 是双曲线 ky x = 上不同于 A的一点，直线 PA与 x轴交于点 ( ,0)B b ． ①若 1m = ，求b的值； ②若 =2PB AB，结合图象，直接写出b的值． 24．如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接 AB，AC，M为 AB上的一个动点，连接 CM， 将射线 MC绕点M 顺时针旋转90，交⊙O于点 D，连接 BD．若 AB=6cm，AC=2cm， 记 A，M两点间距离为 x cm， B D， 两点间的距离为 y cm． 小东根据学习函数的经验，对函数 y随自变量 x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点．．、画图．．、测量．．，得到了 x与 y的几组值，如下表： x /cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6 y /cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 1.66 0 （2）在平面直角坐标系 xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数 的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当 BD=AC时，AM的长度约为 cm． 25．如图，AB是⊙O的弦，半径OE AB^ ，P为 AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点 C，CE 与 AB交于点 F． （1）求证：PC=PF； （2）连接 OB，BC，若 //OB PC， 3 2BC  ， 3tan 4 P  ，求 FB的长. 26．在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 G： 2 24 8 4 4y x ax a= - + - ， ( 1,0), ( ,0)A N n ． （1）当 1a = 时， ①求抛物线 G 与 x轴的交点坐标； ②若抛物线 G 与线段 AN 只有一个交点，求 n的取值范围； （2）若存在实数 a，使得抛物线 G 与线段 AN 有两个交点，结合图象，直接写出 n的取 值范围． 27．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线 l经过点 A（不经过点 B或点 C），点 C关 于直线 l的对称点为点 D，连接 BD，CD． （1）如图 1， ①求证：点 , ,B C D在以点 A为圆心， AB为半径的圆上. ②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为___________. （2）如图 2，当α=60°时，过点 D作 BD的垂线与直线 l交于点 E，求证：AE=BD； （3）如图 3，当α=90°时，记直线 l与 CD的交点为 F，连接 BF ．将直线 l绕点 A旋转， 当线段 BF的长取得最大值时，直接写出 tan FBC 的值． 图 1 图 2 图 3 28．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 (0, )A a 和点 ( 0)B b， ，给出如下定义：以 AB为边， 按照逆时针方向排列 A，B，C，D四个顶点，作正方形 ABCD，则称正方形 ABCD为 点 A， B的逆序正方形．例如，当 4a = - ， 3b = 时，点 A， B的逆序正方形如图 1 所 示． 图 1 图 2 （1）图 1 中点C的坐标为； （2）改变图 1 中的点 A的位置，其余条件不变，则点 C的坐标不变（填“横”或“纵”）， 它的值为； （3）已知正方形 ABCD为点 A， B的逆序正方形. ①判断：结论“点C落在 x轴上，则点D落在第一象限内．”______（填“正确” 或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图 2 中画出一个反例； ②⊙T 的圆心为 ( ,0)T t ，半径为 1.若 4a = ， 0b  ，且点C恰好落在⊙T 上，直 接写出 t的取值范围. 备用图 A B C D 初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考 2019．01 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A B B C A 第 8 题：二次函数 a 的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a︳越大，开口越小，显然 a10 ∴3 4 2t   方法二： 方法三： 方法四：