怀柔区初三数学期末试卷及答案

第 1 页 共 12 页 怀柔区 2018—2019 学年度第一学期初三期末质量检测 数 学 试 卷 2019.1 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 1．已知∠A 为锐角，且 sin A＝ 1 2 ，那么∠A 等于 A．15° B．30° C．45° D．60° 2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A = 50，则∠BOC 的大小为 A．40° B．30° C．80° D．100° 3．已知△ ABC ∽△ ' ' 'A B C ，如果它们的相似比为 2∶3，那么它们的面积比是 A．3:2 B． 2:3 C．4:9 D．9:4 4．下面是一个反比例函数的图象，它的表达式可能是 A． 2y x B． 4y x  C． 3y x   D． 1 2y x 5．正方形 ABCD 内接于 O ，若 O 的半径是 2 ，则正方形的边长是 A．1 B． 2 C． 2 D． 2 2 6．如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DE∥BC．若 BC 3，DE 1.5，AD  2， 则 AB 的长为 A．2 B．3 C．4 D．5 第 6 题图 第 8 题图 第 2 题图 第 4 题图 第5题图 第 2 页 共 12 页 7．若要得到函数  21 +2y x  的图象，只需将函数 2y x 的图象 A．先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 B．先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 C．先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 D．先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 8. 如图，一条抛物线与 x 轴相交于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左侧），其顶点 P 在线段 AB 上移动，点 A，B 的坐 标分别为（-2，-3），（1，-3），点 N 的横坐标的最大值为 4，则点 M 的横坐标的最小值为 A.-1 B.-3 C.-5 D.-7 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．二次函数 2 4 1y x x  －2 图象的开口方向是__________. 10．Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 tanA 的值为 . 11. 如图，为了测量某棵树的高度，小颖用长为 2 m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落 在地面的同一点. 此时竹竿与这一点距离相距 6 m ，与树相距 15 m ，那么这棵树的高度为 . 12.已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120°，则这个扇形的弧长是 . 13.如图所示 的网格是正方形 网格，则 sin∠ BAC 与 sin ∠DAE 的大小关 系 是 . 14.写出抛物线 y=2(x-1)2 图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标 可以是 和 . 15.如图，为测量河内小岛 B 到河边公路l 的距离，在l 上顺次取 A，C，D 三点，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测 得∠BCD=60°，又测得 AC=50 米，则小岛 B 到公路l 的距离为 米． 16.在平面直角坐标系 xOy 内有三点：（0，-2），（1，-1），（2.17，0.37）.则过这三个点 （填“能”或“不能”） 画一个圆，理由是 . 三、解答题(本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分)解答应 写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．已知： 5 3 a b  . 求： a b b  . 18．计算： 2cos30 -4sin 45 + 8  . 11 题图 13 题图 第 3 页 共 12 页 19．已知二次函数 y = x2-2x-3. （1）将 y = x2-2x-3 化成 y = a (x－h)2 + k 的形式； （2）求该二次函数图象的顶点坐标. 20．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB  3 2 ，BC 7， sin 2 2B  ，求 AC 的长． 21. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，点 E 在 AB 上，AD=1，AE=2， BC=3，BE=1.5. 求证：∠DEC=90°． 22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构 成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程. 已知: △ABC. 求作: 在 BC 边上求作一点 P, 使得△PAC∽△ABC. 作法:如图， ①作线段 AC 的垂直平分线 GH； ②作线段 AB 的垂直平分线 EF,交 GH 于点 O； ③以点 O 为圆心，以 OA 为半径作圆； ④以点 C 为圆心，CA 为半径画弧，交⊙O 于点 D(与点 A 不重合)； ⑤连接线段 AD 交 BC 于点 P. 所以点 P 就是所求作的点. 第 4 页 共 12 页 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) （2）完成下面的证明. 证明: ∵CD=AC， ∴CD = . ∴∠ =∠ . 又∵∠ =∠ ， ∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依据). 23.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+2 与双曲线 ky x  相交于点 A(m，3). （1）求反比例函数的表达式； （2）画出直线和双曲线的示意图； （3）若 P 是坐标轴上一点，当 OA=PA 时. 直接写出点 P 的坐标． 24. 如图，AB 是 O 的直径，过点 B 作 O 的切线 BM，点 A，C，D 分别为 O 的三等分点，连接 AC，AD，DC， 延长 AD 交 BM 于点 E， CD 交 AB 于点 F. （1）求证： / /CD BM ； （2） 连接 OE，若 DE=m，求△OBE 的周长. 第 5 页 共 12 页 25. 在如图所示的半圆中，P 是直径 AB 上一动点，过点 P 作 PC⊥AB 于点 P，交半圆于点 C，连接 AC.已知 AB=6cm， 设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为 y1cm，A，C 两点间的距离为 y2cm. 小聪根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小聪的探究过程，请补充完整: （1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值； x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0 y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)， (x，y2)，并画出函数 y1，y2 的图象; （3）结合函数图象，解决问题：当△APC 有一个角是 30°时，AP 的长度约为 cm. 第 6 页 共 12 页 26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2y ax ax c   （其中 a 、c 为常数，且 a ＜0）与 x 轴交于点 A  3,0 ，与 y 轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4． （1）求抛物线的表达式； （2）求 CAB 的正切值； （3）如果点 P 是 x 轴上的一点，且 ABP CAO   ，直接写出点 P 的坐标． 第 7 页 共 12 页 27. 在菱形 ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点 P 在边 CD 上（与点 C，D 不重合），连接 AP，平移 ADP ， 使点 D 移动到点 C，得到 BCQ ，在 BD 上取一点 H，使 HQ=HD，连接 HQ，AH，PH. （1） 依题意补全图 1； （2）判断 AH 与 PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明； （3）若 141AHQ   ，菱形 ABCD 的边长为 1，请写出求 DP 长的思路. （可以不写出计算结果．．．．．．．．．） 图 1 备用图 第 8 页 共 12 页 28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（x，0），B（x，y），若线段 AB 上存在一点 Q 满足 1 2 QA QB  ，则称点 Q 是线段 AB 的“倍分点”． （1）若点 A（1，0），AB=3，点 Q 是线段 AB 的“倍分点”． ①求点 Q 的坐标； ②若点 A 关于直线 y= x 的对称点为 A′，当点 B 在第一象限时，求 'QA QB ； （2）⊙T 的圆心 T（0， t），半径为 2，点 Q 在直线 3 3y x 上，⊙T 上存在点 B，使点 Q 是线段 AB 的“倍分点”， 直接写出 t 的取值范围． 第 9 页 共 12 页 2018-2019 学年度第一学期期末初三质量检测 数学试卷评分标准 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B B C A C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9.下 10. 3 4 11. m7 12. 3 2 13.sin∠BAC>sin∠DAE 14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15. 25 3 16.能，因为这三点不在一条直线上. 三、解答题(本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分) 17．解：∵ 5 3 a b  ，∴ 1a b a b b    = 5 3 +1= 8 3 .………………………5 分 3 2=2 -4 +2 22 2  18.解：原式 ………………………3 分 = 3-2 2+2 2 ………………………4 分 = 3 ………………………5 分 19．解：（1）y=x2-2x-3 =x2-2x+1-1-3……………………………2 分 =(x-1)2-4．……………………3 分 （2）∵y=(x-1)2-4， ∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，-4）．………………………5 分 20.解：作 AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵sin 2 2B  ， ∴∠B=∠BAD=45°.………………2 分 ∵AB  3 2 ， ∴AD=BD=3.…………………………3 分 ∵BC 7，∴DC=4. ∴在 Rt△ACD 中， 2 2 5AC AD DC   .…………………………5 分 第 10 页 共 12 页 21.（1）证明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°． ∵AD∥BC，∴∠A=90°．∴∠A=∠B．………………2 分 ∵AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5， ∴ 1 2 1.5 3  .∴ AD AE BE BC  ∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2．………………3 分 ∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°． ∴∠DEC=90°．………………5 分 22.（1）补全图形如图所示:………………2 分 （2） AC ,∠CAP=∠B，∠ACP=∠ACB， 有两组角对应相等的两个三角形相似.………………5 分 23.解：(1)∵直线 y=x+2 与双曲线 ky x  相交于点 A（m，3） ∴3=m+2，解得 m=1. ∴A（1，3）……………………………………1 分 把 A（1，3）代入 ky x  解得 k=3，  3y x  ……………………………………2 分 (2)如图……………………………………4 分 (3)P(0，6)或 P(2，0) ……………………………………6 分 24.证明：(1)∵点 A、C、D 为 O 的三等分点， ∴ AD DC AC  , ∴AD=DC=AC. ∵AB 是 O 的直径， ∴AB⊥CD. ∵过点 B 作 O 的切线 BM， ∴BE⊥AB. ∴ / /CD BM .…………………………3 分 (2) 连接 DB. 由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在 Rt△DBE 中，由 DE=m，解得 BE=2m，DB= 3 m. 在 Rt△ADB 中利用 30°角，解得 AB=2 3 m，OB= 3 m.…………………4 分 在 Rt△OBE 中，由勾股定理得出 OE= 7 m.………………………………5 分 ④计算出△OBE 周长为 2m+ 3 m+ 7 m.………………………………6 分 25.（1）3.00…………………………………1 分 第 11 页 共 12 页 （2）…………………………………………4 分 （3）1.50 或 4.50……………………………2 分 26．解：（1）由题意得，抛物线 2 2y ax ax c   的对称轴是直线 2 12 ax a     .………1 分 ∵a＜0，抛物线开口向下，又与 x 轴有交点，∴抛物线的顶点 C 在 x 轴的上方. 由于抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4，因此顶点 C 的坐标是  1,4 . 可设此抛物线的表达式是  21 4y a x   ， 由于此抛物线与 x 轴的交点 A 的坐标是  3,0 ，可得 1a   . 因此，抛物线的表达式是 2 2 3y x x    .………………………2 分 （2）点 B 的坐标是  0,3 . 联结 BC .∵ 2 18AB  ， 2 2BC  ， 2 20AC  ，得 2 2 2AB BC AC  . ∴△ ABC 为直角三角形， 90ABC   . 所以 1tan 3 BCCAB AB    . 即 CAB 的正切值等于 1 3 .………………4 分 （3）点 p 的坐标是（1，0）.………………6 分 27.（1）补全图形，如图所示.………………2 分 （2）AH 与 PH 的数量关系：AH=PH，∠AHP=120°. 证明：如图，由平移可知，PQ=DC. ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ADC=60°， ∴AD=DC，∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ. ∵HQ=HD，∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH，∠DHQ=120°. ∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH，∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP. ∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°，∴∠AHP=120°.………………5 分 （3）求解思路如下： 第 12 页 共 12 页 由∠AHQ=141°，∠BHQ=60°解得∠AHB=81°. a.在△ABH 中，由∠AHB=81°，∠ABD=30°，解得∠BAH=69°. b.在△AHP 中，由∠AHP=120°，AH=PH，解得∠PAH=30°. c.在△ADB 中，由∠ADB=∠ABD= 30°，解得∠BAD=120°. 由 a、b、c 可得∠DAP=21°. 在△DAP 中，由∠ADP= 60°，∠DAP=21°，AD=1，可解△DAP， 从而求得 DP 长.…………………………………7 分 28.解：（1）∵A（1，0），AB=3 ∴B（1，3）或 B（1，-3） ∵ 1 2 QA QB  ∴Q（1，1）或 Q（1，-1）………………3 分 （2）点 A（1，0）关于直线 y= x 的对称点为 A′（0，1） ∴QA =QA′ ∴ QB AQ  2 1 ………………5 分 （3）-4≤t≤4………………7 分