荆州市 2020 年初中学业水平考试
数学试题
一、选择题
1. 有理数 2 的相反数是（ ）
A. 2 B. 1
2 C. 2 D. 1
2
2. 下列四个几何体中，俯视图与其他三个不同的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，一次函数 1y x 的图像是（ ）
A. B.
C. D.
4. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若 30CAB ，则 ACB 的度数是（ ）
A. 45 B. 55 C. 65 D. 75
5. 八年级学生去距学校 10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20min 后，其余学生乘
汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生的速度，若设骑车学
生的速度为 xkm/h,则可列方程为（ ）
A. 10 10 202x x
B. 10 10 202x x
C. 10 10 1
2 3x x
D. 10 10 1
2 3x x
6. 若 x 为实数，在 3 1 x 的 中添上一种运算符号（在＋，－，×、÷中选择） 后，其运算的结果是
有理数，则 x 不可能的是（ ）
A. 3 1 B. 3 1 C. 2 3 D. 1 3
7.如图，点 E 在菱形 ABCD 的 AB 边上，点 F 在 BC 边的延长线上，连接 CE,DF，对于下列条件：① BE CF
② ,CE AB DF BC ③CE DF ④ BCE CDF 只选其中一个添加，不能确定的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
8. 如图，在平面直角坐标系中， Rt OAB 的斜边 OA 在第一象限，并与 x 轴的正半轴夹角为 30 度，C 为
OA 的中点，BC=1,则 A 点的坐标为（ ）
A. 3, 3 B. 3,1 C. 2,1 D. 2, 3
9. 定义新运算 a b ，对于任意实数 a,b 满足 1a b a b a b ，其中等式右边是通常的加法、减法、
乘法运算，例如 4 3 (4 3)(4 3) 1 7 1 6 ，若 x k x （k 为实数） 是关于 x 的方程，则它的根
的情况是（ ）
A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D.没有实数根
10. 如图，在 6 6 正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A,B,C 均在网格交点上， O 是 ABC
的外接圆，则 cos BAC 的值是（ ）
A. 5
5 B. 2 5
5 C. 1
2 D. 3
2
二、填空题
11.若
1
0 12020 , , 32a b c
，则 a,b,c 的大小关系是_________________.（用0)，其他条件不变，则 ________OABCS ;
③类比猜想：若直线 y=a(a>0)交函数 ( 0)ky kx
的图像于 A,B 两点，连接 OA,过点 B 作 BC//OA 交 x 轴
于 C,则 ________OABCS ;
22.如图矩形 ABCD 中，AB=20,点 E 是 BC 上一点，将 ABE 沿着 AE 折叠，点 B 刚好落在 CD 边上的点 G
处，点 F 在 DG 上，将 ADF 沿着 AF 折叠，点 D 刚好落在 AG 上点 H 处，此时 : 2:3CFE AFHS S .
（1）求证： EGC GFH
（2）求 AD 的长；
（3）求 tan GFH 的值。
23.为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共 500 吨，乙厂的生产量是甲厂的 2 倍少 100
吨，这批防疫物资将运往 A 地 240 吨，B 地 260 吨，运费如下：（单位：吨）
（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往 A 地 x 吨，全部运往 A,B 两地的总运费为 y 元，求 y 与 x 之间的函数关系式，
并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费降低 m 元，（ 0 m 15 且 m 为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过 5200
元，求 m 的最小值.
24.如图 1，在平面直角坐标系中， 2, 1 , 3, 1A B ,以 O 为圆心，OA 的长为半径的半圆 O 交 AO 的延
长线于 C,连接 AB,BC,过 O 作 ED//BC 分别交 AB 和半圆 O 于 E,D,连接 OB,CD.
（1）求证：BC 是半圆 O 的切线；
（2）试判断四边形 OBCD 的形状，并说明理由；
（3）如图 2，若抛物线经过点 D，且顶点为 E，求此抛物线的解析式；点 P 是此抛物线对称轴上的一动点，
以 E,,D,P 为顶点的三角形与 OAB 相似，问抛物线上是否存在点 Q,使得 EPQ OABS S ，若存在，请直接
写出 Q 点的横坐标；若不存在，说明理由.
试题答案部分
一、选择题
AACDC; CCBCB
二、填空题
11. b a c 12.2 13.线段的垂直平分线的性质
14. 2
3 15.24 16. 1,0 或 2,0 或 0,2
三解答题
17.解：（1）原式=
21 ( 1)
( 1)( 1)
a a
a a a
1a
a
（2）不等式的解集为 2 4a ，
所以 a 的最小值为 2
所以原式= 3
2
18.续解： 22 9t
2 3t
解得 1 21, 5t t
2 2 1t x x
2 2 1x x ， 2( 1) 2x
1 21 2, 1 2x x
经检验都是方程的解
19.（1）证明： , 60ABC DBE ABD CBE
,AB BD ABD 是等边三角形
所以 60DAB
, //CBE DAB BC AD ;
（2）依题意得：AD=BD=4,BC=BE=1,
所以 A,C 两点经过的路径长之和为 60 4 60 1 5
180 180 3
20 解：
（1） 2, 90, 90, 90a b c d
（2）七八年级成绩的众数和中位数相同，但是八年级的平均成绩比七年级的高，且从方差看，八年级的成
绩整齐，综上八年级成绩较好.
21.解：（1）m=1
(2)函数图像关于 y 轴对称；当 0x 时，y 随 x 增大而减少;函数的图像无限接近坐标轴，但不与其相交;函
数没有最大值等等
（3）4, 4, 2k
22.（1）证明：因为四边形 ABCD 是矩形
所以 90B D C
90GHF C ,
90EGC HGF
90GFH HGF
EGC GFH
EGC GFH
(2)解： : 2:3CFM AFMS S
: 2:3GH AH
20AG GH AH AB
8, 12GH AH
12AD AH
(3)解：在直角三角形 ADG 中，
2 2 2 220 12 16DG AG AD
由折叠对称性知 DH HF x ，
16GH x
2 2 2GH HF GF
2 2 28 (16 )x x
解得：x=6,
所以 HF=6
在直角三角形 GHF 中， 4tan 3
GHGFH HF
.
23.解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了 a 吨，乙厂生产了 b 吨；
则 500
2 100
a b
a b
解得： 200, 300a b
（2） 20(240 ) 25[260 (300 )] 15 24(300 )y x x x x
4 11000x
0
240 0
300 0
40 0
x
x
x
x
40 240x
当 x=240 时运费最小
所以总运费的方案是：甲厂 200 吨全部运往 B 地；乙厂运往 A 地 240 吨，运往 B 地 60 吨.
(3)由（2）知 4 11000 500y x m
当 x=240 时, 4 240 11000 500 =10040-500my m 最小 ,
10040 500 5200m
9.68m
所以 m 的最小值为 10.
24.(1)如图 1，设 AB 与 y 轴交于点 M,则 AM=2,OM=1,AB=5
则 5OA OC
//OE BC
OE 是三角形的中位线
所以 1 5 , 22 2AE AB BC EO ,
1 1, 1 , , 12 2E ME OM
2 2 5
2OE OM ME
2 5BC OE
2 22 2 22 5 5 25AC BC AB
ABC 是直角三角形
即 BC AC
所以 BC 是半圆的 O 的切线；
（2）四边形 OBCD 是平行四边形
由图知： 5BC O OA
//OD BC
所以四边形 OBCD 是平行四边形.
（3）①由（2）知： 5OD OA
E 为 AB 的中点，过点 D 作 DN y 轴，DN//ME,
ODN OEM
ON DN OD
OM ME OE
5
11 5
2 2
ON DN
2, 1ON DN
1,2D
设此抛物线的解析式为 21( ) 12y a x
则
211 1 22 a
4
3a
所以此抛物线的解析式为 24 4 2
3 3 3y x x
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