2016-2017年高二上数学（理）期中试题及答案

高 2018 级高二（上）半期考试数学 （理科）试题 考试说明：1.考试时间 120 分钟 2.试题总分 150 分 一、选择题（12*5=60） 1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ） A．3 B．1 或 2 C．1 或 3 D．2 或 3 2. 若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b∥c，则直线 a 与 c( ) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 3．若直线 l 的倾斜角为 120 ,则直线 l 的斜率是（ ） A. 3 3 B. 3 3 C. 3 D. 3 4．过点 A(2，3)且垂直于直线 2x＋y－5＝0 的直线方程为( ) A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 5.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 6.如图，在四面体 D－ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则 下列结论正确的是( ) A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( ) A．两条相交直线 B．两条平行直线 C．两个点 D．一条直线和直线外一点 8．若直线 l1：y＝k(x－4)与直线 l2 关于点(2，1)对称，则直线 l2 恒过定点( ) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 9.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个 ① 若平面 // 平面  ，直线 //m 平面 ，则 //m  ； ② 若平面 平面 ，且平面   平面 ，则 //  ； ③ 平面 平面  ，且 l   ，点 A  ， A l ，若直线 AB l ，则 AB  ； ④ 直线 m n、 为异面直线，且 m  平面 ， n  平面  ，若 m n ，则  . A. 0 B.1 C. 2 D. 3 10．如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( ) A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部 11．已知 M＝ （x，y）|y－3 x－2 ＝3 ，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且 M∩N＝∅， 则 a＝( ) A．－6 或－2 B．－6 C．2 或－6 D．－2 12．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 1CC 上，直线 OP 与平面 1A BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围（ ） A. 3 13 ,       B. 6 13 ,       C. 6 2 2 3 3,       D. 2 2 13 ,       二、填空题（4*5=20） 13．已知两点 ( 2,0)A  ， (0,4)B ，则线段 AB 的垂直平分线方程是________. 14 若直线 1 : 2 6 0l ax y   和直线    2 2 : 1 1 0l x a y a     平行，则 a  。 15.已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线CE 与 BD 所成角的余弦值为________ 16．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是 等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________. 三、解答题：（12*5+10=70） 17、（本题满分 12 分）已知直线 022:  yxl . （Ⅰ）若直线 024  yax 与l 垂直，求它们的交点坐标； （Ⅱ）求平行于l 且与它距离为 5 的直线方程. 18、（本题满分 12 分）如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3， BC＝4，AB=5，AA1＝4，点 D 是 AB 的中点， （Ⅰ）求证：AC 1//平面 CDB1； （Ⅱ）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值． 19、（本题满分 12 分）如图，正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 a ，连接 11CA 、 DA1 、 BA1 、BD 、 1BC 、 DC1 ． (Ⅰ)求三棱锥 DBCA 11  的表面积与正方体表面积的比 值； (Ⅱ)求三棱锥 DBCA 11  的体积． 20、（本题满分 12 分） 如图，已知点 P 是矩形 ABCD 所在 平面外一点，M、N 分 别是 AB、PC 的中点．AB 垂直于面 PAD,PA=PD=AD=2，AB=4. （Ⅰ）在 PB 上确定一个点 Q，使平面 MNQ∥平面 PAD.并证明你的结论 （Ⅱ）求 PB 与面 ABCD 所成角的正弦值。 21、（本题满分 12 分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. （Ⅰ）求证:平面 PAC⊥平面 PBC; （Ⅱ）若 AB=2,AC=1,PA=1,求二面角 C-PB-A 的余弦值. 22、（本题满分 10 分）如图所示，在三棱柱 111 CBAABC  中， BA1 平面 ABC，AB⊥AC. （Ⅰ）求证： 1BBAC  ； （Ⅱ）若 P 是棱 11CB 的中点，求平面 PAB 将三棱柱 111 CBAABC  分成两部分体积之比. 2016-2017 学年（上）半期考试 高 2018 级数学（理科）试题 考试说明：1.考试时间 120 分钟 2.试题总分 150 分 3.试卷页数 4 页 一、选择题（12*5=60） 1．空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ C ） A．3 B．1 或 2 C．1 或 3 D．2 或 3 2. 若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b∥c，则直线 a 与 c( D ) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 3．若直线 l 的倾斜角为 120 ,则直线 l 的斜率是（ D ） A. 3 3 B. 3 3 C. 3 D. 3 4．过点 A(2，3)且垂直于直线 2x＋y－5＝0 的直线方程为( A ) A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 5.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ D ） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 6.如图，在四面体 D－ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则下列结论正确 的是( C ) A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE 7.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( C ) A．两条相交直线 B．两条平行直线 C．两个点 D．一条直线和直线外一点 8．若直线 l1：y＝k(x－4)与直线 l2 关于点(2，1)对称，则直线 l2 恒过定点( B ) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 9.下列四个命题中，正确命题的个数是( B )个 ① 若平面 // 平面  ，直线 //m 平面 ，则 //m  ； ② 若平面 平面 ，且平面   平面 ，则 //  ； ③ 平面 平面  ，且 l   ，点 A  ， A l ，若直线 AB l ，则 AB  ； ④ 直线 m n、 为异面直线，且 m  平面 ， n  平面  ，若 m n ，则  . A. 0 B.1 C. 2 D. 3 10．如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( A ) A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部 11．已知 M＝ （x，y）|y－3 x－2 ＝3 ，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且 M∩N＝∅，则 a＝( A ) A．－6 或－2 B．－6 C．2 或－6 D．－2 12．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 1CC 上，直线 OP 与平面 1A BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围（ B ） A. 3 13 ,       B. 6 13 ,       C. 6 2 2 3 3,       D. 2 2 13 ,       二、填空题（4*5=20） 13．已知两点 ( 2,0)A  ， (0,4)B ，则线段 AB 的垂直平分线方程是 __ 2 3 0x y   ______. 14 若 直 线 1 : 2 6 0l ax y   和 直 线    2 2 : 1 1 0l x a y a     平 行 ， 则 a  2 或 -1 。 15.已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线CE 与 BD 所成角的余弦值为_____ 6 3 ___ 16．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是 等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为__4 3π. ______. 三、解答题：（12*5+10=70） 17、（本题满分 12 分）已知直线 022:  yxl . (1)若直线 024  yax 与l 垂直，求它们的交点坐标； （2）求平行于l 且与它距离为 5 的直线方程. 17.解：（1）∵ 2: 1 kl ，而直线 4,024 2 akyax  ........2 分 由题意，两直线垂直，∴ 1)2(4  a ，即 2a 所求直线为 ,0242  yx 即 ,012  yx ........5 分 012 022      yx yx ，交点为(-1,0) ........6 分 （2）因为所求直线平行于l ，所以直线方程设 为 02  myx （ 2m ） .......7 分 5 12 2 22   m .......9 分 ∴ 7m 或 3m 所求直线方程为 072  yx 或 032  yx .....12 分 18、（本题满分 12 分）如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3， BC＝4，AB=5，AA1＝4，点 D 是 AB 的中点， （1）求证：AC 1//平面 CDB1； （2）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值． 解析 （1）记 CB1∩BC1=M，连接 DM，显然 M 为 BC 中点，所以 DM 为△ ABC1 的中位线，所以 AC1∥DM 又∵AC1  平面 CDB1 DM  平面 CDB1 ∴AC 1//平面 CDB1 ........6 分 （2）∵AC1∥DM，由等角定理，  CMD 即为直线异面直线 AC1 与 B1C 所成角或其补角，下面计算 其余弦值。 经过计算，CD=MD=2.5，CM= 22 ∴cos CMD= 5 22 即为所求。 .....12 分 19、（本题满分 12 分）如图，正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 a ，连接 11CA 、 DA1 、 BA1 、BD 、 1BC 、 DC1 ． (Ⅰ)求三棱锥 DBCA 11  的表面积与正方体表面积的比值； (Ⅱ)求三棱锥 DBCA 11  的体积． 19.解:(Ⅰ)∵ 1111 DCBAABCD  是正方体， ∴ aDCBDBCDACABA 2111111  ……1 分 ∴三棱锥 DBCA 11  的表面积为： 23222 322 14 aaa  ………4 分 而正方体的表面积为 26a ，故三棱锥 DBCA 11  的表面积与正方体表面积的 比值为 3 3 6 32 2 2  a a ………6 分 (Ⅱ) 32 6 1 2 1 3 1 11111111 aaaVVVV CBABCDADBCDCA ABD   锥锥锥锥 ．……9 分 故 36 144- 3 33 111 aaaVVV ABDADBCA   锥正方体锥 ……12 分 20、（本题满分 12 分） 如图，已知点 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB、PC 的中点．AB 垂直于面 PAD,PA=PD=AD=2，AB=4. （Ⅰ）在 PB 上确定一个点 Q，使平面 MNQ∥平面 PAD.并证明你的结论 （Ⅱ）求 PB 与面 ABCD 所成角的正弦值。 解析 （1）找到 PB 的中点，记为 Q，连接 MQ、NQ，下证平面 MNQ ∥平面 PAD. 在△PAB 中，∵MQ 为中位线 ∴MQ∥PA 又∵MQ  平面 PAD，PA  平面 PAD ∴MQ∥平面 PAD 同理，NQ∥平面 PAD 又∵MQ∩NQ=Q ∴平面 MNQ∥平面 PAD .....6 分 （2）过 P 点作 PH⊥AD 于 H,连接 BH ∵AB⊥平面 PAD，AH  PAD ∴AB⊥PH 又∵AD∩AB=A ∴PH⊥平面 ABCD ∴  PBH 即为 PB 与面 ABCD 所成角 又∵PA=PD=AD=2 ∴H 为 AD 中点 ∴AH=1，BH= 17 ，PH= 3 ,PB= 52 ∴sin 10 15PBH 即为所求 .....12 分 21、（本题满分 12 分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 AB=2,AC=1,PA=1,求二面角 C-PB-A 的余弦值. 解析 (1)证明:由 AB 是圆的直径,得 AC⊥BC,由 PA⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA⊂平面 PAC,AC⊂平面 PAC,所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC⊂平面 PBC, 所以平面 PBC⊥平面 PAC.(6 分) 解法二:过 C 作 CM⊥AB 于 M, 因为 PA⊥平面 ABC,CM⊂平面 ABC,所以 PA⊥CM, 故 CM⊥平面 PAB. （2）过 M 作 MN⊥PB 于 N,连结 NC, 由三垂线定理得 CN⊥PB. 所以∠CNM 为二面角 C-PB-A 的平面角. 在 Rt△ABC 中,由 AB=2,AC=1,得 BC= 3 ,CM= 2 3 ,BM= 2 3 . 在 Rt△PAB 中,由 AB=2,PA=1,得 PB= 5 . 因为 Rt△BNM∽Rt△BAP, 所以=,故 MN= 10 53 . 又在 Rt△CNM 中,CN= 5 30 ,故 cos∠CNM= 4 6 . 所以二面角 C-PB-A 的余弦值为 4 6 . 22、（本题满分 10 分）如图所示，在三棱柱 111 CBAABC  中， BA1 平面 ABC，AB⊥AC. （1）求证： 1BBAC  ； （2）若 P 是棱 11CB 的中点，求平面 PAB 将三棱柱 111 CBAABC  分成的两 部分体积之比. 所以 VVVV PQBAAB 12 5 12 7 11  .所以 5 7 11 1    PQBAAB ABCPQC V V . 不用注册，免费下载！