肇庆市2016-2017学年第一学期高二期末统测数学（理）试卷及答案

肇庆市中小学教学质量评估 2016—2017 学年第一学期统一检测题 高二数学（理科） 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、 座位号填写在答题卷上对应位置，再用 2B 铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑． 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上． 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应 的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔 和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. （1）命题“ 0x  ， ln 0x  ”的否定是 （A） 0x  ， ln 0x  （B） 0x  ， ln 0x  （C） 0x  ， ln 0x  （D） 0x  ， ln 0x  （2）过点 (2, 1)C  且与直线 3 0x y   垂直的直线是 （A） 1 0x y   （B） 1 0x y   （C） 3 0x y   （D） 1 0x y   （3）双曲线 2 2 116 9 x y  的离心率是 （A） 5 4 （B） 5 3 （C） 7 4 （D） 25 16 （4）图 1 是一个组合体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的体积是 (A) 38 3  （B） 19 3  （C） 13 3  （D）11 3  （5）“ 1 0x   ”是“ 2 1 0x   ”的 2 2 俯视图 图 1 1 3 正视图 侧视图 1 1 2 1 11 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）直线 4 3 0x y a   与圆 2 2( 1) ( 2) 9x y    相交于 A、B 两点，且 4 2AB  ，则实数 a 的值是 （A） 5a   或 15a   （B） 5a   或 15a  （C） 5a  或 15a   （D） 5a  或 15a  （7）如图 2，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB，CD 在原正方体中的位置关系是 （A）平行 （B）相交成 60° （C）相交且垂直 （D）异面直线 （8）已知椭圆 2 2 14 x y m   过点 (0,4)B ，则此椭圆上任意一点到两焦点的距离的和是 （A）4 （B）8 （C）12 （D）16[来源:Z,xx,k.Com] （9）一个几何体的三视图如图 3 所示（单位：cm）， 则该几何体的表面积是 （A）4 2cm （B） 43 2 2cm （C） 23 2cm （D）24 2cm （10）已知过点 ( 2,0) 的直线l 与圆 2 2 2 0x y x   有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是 （A） 2 2,2 2 （B） 2, 2 （C） 2 2,4 4      （D） 1 1,8 8     （11） ,m n 是空间两条不同直线， ,  是两个不同平面．有以下四个命题： ①若 m  , n  且  ，则 m n ； ②若 m  , n  且  ，则 m n ； ③若 m  , n  且  ，则 m n ； ④若 m  , n  且  ，则 m n . 其中真命题的序号是 （A）①② （B）②③ （C） ③④ （D）①④ （12）已知动直线 ( 1)y k x  与椭圆 2 2: 3 5C x y  相交于 A 、 B 两点,已知点 7( ,0)3M  ，则 A B D C 图 2 正视图 侧视图 俯视图 图 3 2 1 M 图 5 MA MB  的值是 （A） 9 4  （B） 9 4 （C） 4 9  （D） 4 9 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. （13）已知直线 1 2:3 2 0, : 3 0l x y l x my      ，若 1 2l l ，则 m 的值等于 ▲ . （14）如图 4，在圆 2 2 16x y  上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在 圆上运动时，则线段 PD 的中点 M 的轨迹方程为 ▲ . （15）某四面体的三视图如图 5 所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于 ▲ . （16）有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为 4 ，已知球的半径 3R  ，则此 圆锥的体积为 ▲ . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. （17）（本小题满分 11 分） 已知斜率 1 2k  且过点 (7,1)A 的直线 1l 与直线 2 : 2 3 0l x y   相交于点 M. （Ⅰ）求以点 M 为圆心且过点 (4, 2)B  的圆的标准方程 C； （Ⅱ）求过点 (4,2)N 且与圆 C 相切的直线方程. （18）（本小题满分 11 分） 如图 6，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， , , ,E F G H 分别是 1AD 、 1CD 、 BC 、 AB 的中点. （Ⅰ）求证： , , ,E F G H 四点共面； y x 俯视图 图 4 正视图 侧视图 （Ⅱ）求证： 1GH B D . （19）（本小题满分 12 分） 已知 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 2: 1( 0)9 x yC aa    的左右焦点，点 P 是双曲线上任一点，且 1 2| | | | 2PF PF  ，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为 L. （Ⅰ）求双曲线 C 的渐近线方程和抛物线 L 的标准方程； （Ⅱ）过抛物线 L 的准线与 x 轴的交点作直线，交抛物线于 M、N 两点，问直线的斜率等于 多少时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线 L 的焦点? （20）（本小题满分 12 分） 如图 7，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD  平面 ABCD ， ADP 是等腰直角三角形， APD 是直角， , 1AB AD AB  ， 2, 5AD AC CD   . （Ⅰ）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （Ⅱ）求平面 PCD 与平面 PAB 所成二面角的平面角的余弦值. （21）（本小题满分 12 分） 如图 8，直角梯形 ABCD 中， 90ABC BAD     ，AB BC 且 ABC 的面积等于 ADC 面积的 1 2 ．梯形 ABCD 所在平面外有一点 P ，满足 PA  平面 ABCD ， PA AB ． （Ⅰ）求证：平面 PCD  平面 PAC ； （Ⅱ）侧棱 PA 上是否存在点 E ，使得 / /BE 平面 PCD? 若存在，指出点 E 的位置并证明；若不存在，请说明理由； （22）（本小题满分 12 分） 已 知 椭 圆 G 的 中 心 在 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 ， 离 心 率 1 2e  ， 右 焦 点 与 圆 C ： 2 2 2 3 0x y x    的圆心重合. （Ⅰ）求椭圆 G 的方程； P A B C D 图 7 （Ⅱ）设 1F 、 2F 是椭圆 G 的左焦点和右焦点，过 2F 的直线 : 1l x my  与椭圆 G 相交于 A、 B 两点，请问 1ABF 的内切圆 M 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 l 的方程， 若不存在，请说明理由. 2016—2017 学年第一学期统一检测题 高二数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A D A A B B C C B D （12）解析：将 ( 1)y k x  代入 2 23 5x y  中得 2 2 2 2(1 3 ) 6 3 5 0k x k x k     新_课_标第_一_网 4 2 2 236 4(3 1)(3 5) 48 20 0k k k k        ， 2 1 2 2 6 3 1 kx x k     ， 2 1 2 2 3 5 3 1 kx x k   所以 1 1 2 2 1 2 1 2 7 7 7 7( , )( , ) ( )( )3 3 3 3MA MB x y x y x x y y         2 1 2 1 2 7 7( )( ) ( 1)( 1)3 3x x k x x      2 2 2 1 2 1 2 7 49(1 ) ( )( )3 9k x x k x x k       2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 6 49(1 ) ( )( )3 1 3 3 1 9 k kk k kk k         4 2 2 2 3 16 5 49 3 1 9 k k kk      4 9  . 二、填空题 （13） 1 3  （14） 2 2 116 4 x y  （15） 2 3 [来源:Z#xx#k.Com] （16）  4 3 5 3  或  4 3 5 3  （答 1 个得 3 分，答 2 个得 5 分） （15）解析：由三视图知该几何体为棱锥 S﹣ABD，其中 SC⊥平面 ABCD；四面体 S﹣ABD 的四个 面中 SBD 面的面积最大，三角形 SBD 是边长为 2 2 的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积 最大的为 3 8 2 34   ． （16）解析：由 2 4r  得圆锥底面半径为 2r  ，如图设 1OO x ， 则 2 2 2 23 2 5x R r     ，圆锥的高 3 5h R x    或 3 5h R x    所以，圆锥的体积为  4 3 51 1 4 (3 5)3 3 3V Sh          或  4 3 51 1 4 (3 5)3 3 3V Sh          三、解答题 （17）（本小题满分 11 分） 解：（Ⅰ）依题意得，直线 1l 的方程为 11 ( 7)2y x   ，即 2 5 0x y   . （2 分） 由 2 3 0 2 5 0 x y x y        ，解得 1 2 x y     . 即点 M 的坐标为 (1, 2)M  . （4 分） 设圆 C 的半径为 r ，则 22 2 2(4 1) ( 2 2) 9r BM       . （5 分） 所以，圆 C 的标准方程为 2 2( 1) ( 2) 9x y    . （6 分）新*课标*第*一*网 （Ⅱ）①因为圆 C 过点 B（4，-2），所以直线 x=4 为过点 N（4，2）且与圆 C 相切的直线. （8 分） ②设过点 (4,2)N 且与圆 C 相切的直线方程的斜率为 1k ， 则直线方程为 1 12 4 0k x y k    . （9 分） 由 1 1 2 1 2 2 4 3 1 k k k      ， 得 1 7 24k  ， 即 7 24 20 0x y   是 圆 C 的 一 条 切 线 方 程 . （10 分） 综上，过点 (4,2)N 且与圆 C： 2 2( 1) ( 2) 9x y    相切的直线方程为 7 24 20 0x y   和 4x  . （11 分） （18）（本小题满分 11 分） 证明：（Ⅰ）如图，连结 AC. （1 分） ∵ ,E F 分别是 1AD 、 1CD 的中点，∴ EF AC . （2 分） ∵ ,G H 分别是 BC 、 AB 的中点，∴GH AC . （3 分） ∴ EF GH . （4 分） ∴ , , ,E F G H 四点共面。 （5 分） （Ⅱ）连结 BD. ∵ 1 1 1 1ABCD A B C D 是正方体，∴ 1,AC BD AC DD  . （7 分） ∵ 1BD DD D ， 1,BD DD  平面 1 1BDD B ，∴ AC 平面 1 1BDD B . （9 分） 又∵GH AC ，∴GH  平面 1 1BDD B ， （10 分） 又∵ 1BD  平面 1 1BDD B ，∴ 1GH B D . （11 分） （19）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知， 2 2a  ，即 1a  . （1 分） ∴双曲线的标准方程为 2 2 19 yx   . （2 分） ∴双曲线的渐近线方程 3y x  . （3 分） 双曲线的右顶点坐标为  1,0A ，即抛物线 L 的焦点坐标为  1,0A ， ∴抛物线 L 的标准方程为 2 4y x ， （5 分） （Ⅱ）抛物线 2 4y x 的准线与对称轴的交点为 ( 1,0) . （6 分） 设直线 MN 的斜率为 k，则其方程为 ( 1)y k x  . （7 分） 由      xy xky 4 )1( 2 ，得  2 2 2 22 2 0k x k x k    . ∵直线 MN 与抛物线交于 M、N 两点， ∴ 2 2 44( 2) 4 0k k     ，解得 1 1k   . （8 分） 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，抛物线焦点为 F(1，0)， ∵以线段 MN 为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF. （9 分） ∴ 1 2 1 2 y 11 1 y x x     ，即  1 2 1 2 1 2 1 0y y x x x x     . （10 分） 又 2 1 2 2 2( 2)kx x k    ， 1 2 1x x  ， 2 2 1 2 1 24 4 16y y x x   且 1 2,y y 同号， ∴ 6)2(2 2 2  k k . 解得 2 1 2k  ，∴ 2 2k   . （11 分） 即直线的斜率等于 2 2  时，以线段 MN 为直径的圆经过抛物线的焦点. （12 分） （20）（本小题满分 12 分） 解：取 AD 的中点 O，连结 OP，OC， ∵ ADP 是等腰直角三角形， APD 是直角，∴ PO AD . ∵平面 PAD  平面 ABCD ，∴ PO  平面 ABCD . ∴ PO  OA ， PO  OC ，又∵ AC CD ，∴OC AD . 即 , ,OC AD PO 两两垂直. （2 分） 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由条件知， 22 2 5 1 2OC AC AO     ， 1PO  . 故 , , , , ,O A B C D P 各 点 的 坐 标 分 别 为 ： (0,0,0), (0,1,0)O A ， (1,1,0), (2,0,0)B C ， (0, 1,0), (0,0,1)D P ， 所 以 ， (1,0,0), (0, 1,1),AB AP    (1,1, 1)PB   ， (2,1,0)DC  ， (0,1,1)DP  . （4 分） （Ⅰ）设平面 PCD 的法向量为 ( , , )x y zn ，则 0 0 DC DP        n n ，即 2 0 0 x y y z      令 1x  ，则 2, 2y z   ，故 (1, 2,2) n 是平面 PCD 的一个法向量. （6 分） 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 1 ，则 1 1 2 2 3sin cos , 39 3 PBPB PB            nn n ，即 直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 3 3 . （8 分） （Ⅱ）设平面 PAB 的法向量为 1 1 1( , , )x y zm ，则 0 0 AB AP        m m ，即 1 1 1 0 0 x y z     . 令 1 1y  ，则 1 1z  ，故 (0,1,1)m 是平面 PAB 的一个法向量. （10 分） 设平面 PCD 与平面 PAB 所成角的二面角的平面角为 2 ，则 2 0 2 2cos 0 9 2       n m n m ，所以 平面 PCD 与平面 PAB 所成二面角的平面角的余弦值 0. （12 分） （21）（本小题满分 12 分） 证明：（Ⅰ）∵ PA  平面 ABCD ，∴CD PA ． （1 分） 又 ABC 的面积等于 ADC 面积的 1 2 ， ∴ 1 2AB BC AD  ． （2 分） 在底面 ABCD 中，∵ 90ABC BAD     ， 1 2AB BC AD  ， ∴ AC CD  2 2 AD ，∴ CDAC  ． （4 分） 又∵ PA AC A ，∴ CD 平面 PAC ． （5 分） 又 CD  平面 PCD ， ∴平面 PCD ⊥平面 PAC . （6 分） （Ⅱ）取 PA 的中点 E ，使得 ∥BE 平面 PCD . （7 分） 证明如下： 取 PD的中点是 F ，连结 BE ， EF ， FC ， 则 / /EF AD ，且 1 2EF AD ． （8 分） 由已知 90ABC BAD     ，∴ / /BC AD ． （9 分） 又 1 2BC AD ，∴ / /BC EF ，且 BC EF . ∴四边形 BEFC 为平行四边形， （10 分） ∴ CFBE ∥ ． （11 分） ∵ BE  平面 PCD ， CF 平面 PCD ，∴ ∥BE 平面 PCD ． （12 分） （22）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）圆 C： 2 2 2 3 0x y x    的圆心为 (1,0) . （1 分） 设椭圆 G 的方程 2 2 2 2 1x y a b   ， 则 11, 2 cc e a    ，得 2a  . （2 分） ∴ 2 2 2 22 1 3b a c     ， （3 分） ∴椭圆 G 的方程 2 2 14 3 x y  . （4 分） （Ⅱ）如图，设 1ABF 内切圆 M 的半径为 r ，与直线 l 的切点为 C，则三角形 1ABF 的面积等于 ABM 的面积+ 1AF M 的面积+ 1BF M 的面积. 即 1 2 2 1 ( )2ABFS AB AF BF r   △ 1 2 1 2 1[( ) ( )] 2 42 AF AF BF BF r ar r     .当 1ABFS△ 最 大时， r 也最大， 1ABF 内切 圆的面积也最大. （5 分） 设 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ( 1 20, 0y y  )， 则 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2ABFS F F y F F y y y     △ . （6 分） 由 2 2 1 14 3 x my x y     ，得 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ， 解得 2 1 2 3 6 1 3 4 m my m     , 2 2 2 3 6 1 3 4 m my m     . （7 分） ∴ 1 2 2 12 1 3 4ABF mS m  △ . （8 分） 令 2 1t m  ，则 1t  ，且 2 2 1m t  ， 有 1 2 2 12 12 12 13( 1) 4 3 1 3 ABF t tS t t t t       △ . （9 分） 令 1( ) 3f t t t   ，因为 ( )f t 在[1, ) 上单调递增，有 ( ) (1) 4f t f  . （10 分） ∴ 1 12 34ABFS  △ . 即当 1t  ， 0m  时，4r 有最大值3，得 max 3 4r  ，这时所求内切圆的面积为 9 16  . （11 分） ∴存在直线 : 1l x  ， 1ABF 的内切圆 M 的面积最大值为 9 16  . （12 分）