2016-2017学年高二数学（理）上学期期末试卷及答案

2016～2017 学年度上学期 期 末 考 试 卷 年级：高二 科目：数学（理科） 本试题卷共 4 页，三大题 22 小题．全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．某单位员工按年龄分为 A、B、C 三个等级，其人数之比为5: 4:1，现用分层抽样的方法从总体中 抽取一个容量为 20 的样本，则从 C 等级组中应抽取的样本数为 A．2 B．4 C．8 D．10 2．下列有关命题的说法错误的是 A．若“ p q ”为假命题，则 ,p q 均为假命题 B．“ 1x  ”是“ 1x  ”的充分不必要条件 C．“ 1sin 2x  ”的必要不充分条件是“ 6x  ” D．若命题 p ： 2 0 0, 0x R x   ，则命题 p ： 2, 0x R x   3．若向量  1,2,0a  ，  2,0,1b   ，则 A． cos , 120a b   B． a b  C． a b  ∥ D． a b  4．如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲 得分的中位数与乙得分的中位数之和为 A．56 分 B．57 分 C．58 分 D．59 分 5.已知变量 x 与 y 负相关，且由观测数据计算得样本平均数 4, 6.5x y  ，则由该观测数据算得的 线性回归方程可能是 A． 2 1.5y x  B． 0.8 3.3y x  C． 2 14.5y x   D． 0.6 9.1y x   6．执行如图所示的程序框图,输出的T 等于 A．10 B．15 C． 20 D．30 D1 A B CD A1 C1 B1 P 7.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A．30 B． 48 C． 66 D． 78 8.函数 5( ) 2f x x x   图象上的动点 P 到直线 2y x 的距离为 1d ，点 P 到 y 轴的距离为 2d ，则 1 2d d  A．5 B. 5 C． 5 5 D. 不确定的正数 9. 如果实数 ,x y 满足条件 1 0 2 2 0 1 0 x y x y x           ，则 21 2 3z x y    的最大值为（ ） A．1 B． 3 4 C． 0 D． 4 7 10.椭圆 2 2 116 12 x y  的长轴为 1A 2A ，短轴为 1B 2B ，将椭圆沿 y 轴折成一个二面角，使得 1A 点在 平面 1B 2A 2B 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为 A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 11．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点， 若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的 曲线是 A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 12． 过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一个焦点 F 作平行于渐近线的两条直线，与双曲线分别 交于 A 、 B 两点，若| | 2AB a ，则双曲线离心率 e 的值所在区间是 A． (1, 2) B. ( 2, 3) C． ( 3,2) D. (2, 5) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答 错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 13．已知椭圆 x2 10－m ＋ y2 m－2 ＝1，长轴在 y 轴上，若焦距为 4，则 m＝________. 14．下列各数 )6(210 、 )4(1000 、 )2(111111 中最小的数是___________. 15．已知函数 ( ) 1f x kx  ，其中实数 k 随机选自区间[ 2,1] ，对 [0,1], ( ) 0x f x   的概率是 _________. 16．已知 ABC 的三边长分别为 5AB ， 4BC ， 3AC ，M 是 AB 边上的点，P 是平面 ABC 外一点．给出下列四个命题：[ ①若 PM 平面 ABC ，且 M 是 AB 边中点，则有 PCPBPA  ； ②若 5PC ， PC 平面 ABC ，则 PCM 面积的最小值为 2 15 ； ③若 5PB ， PB 平面 ABC ，则三棱锥 ABCP  的外接球体积为  6 2125 ； ④若 5PC ， P 在平面 ABC 上的射影是 ABC 内切圆的圆心，则三棱锥 ABCP  的体积为 232 ； 其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 12 分）设 a 是实数，有下列两个命题： :p 空间两点 ( 2, 2 , 7)A a  与 ( 1, 4, 2)B a a  的距离| | 3 10AB  . :q 抛物线 2 4y x 上的点 2 ( , )4 aM a 到其焦点 F 的距离| | 2MF  . 已知“ p ”和“ p q ”都为假命题，求 a 的取值范围. 18．（本小题满分 12 分）已知圆 C 过点  1,4 ，  3,2 ，且圆心在直线 3 0x y   上． （1）求圆 C 的方程； （2）若点  ,x y 在圆 C 上，求 z x y  的最大值． 19.（本题满分 12 分）某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为 整数，满分 100 分）分成六段[40，50），[50，60）…，[80，90），[90，100]，然后画出如图所示 部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高； （2）估计这次考试的及格率（60 分及 60 分以上为及格）和平均分； （3）把从[80，90）分数段选取的最高分的两人组成 B 组，[90，100]分数段的学生组成 C 组，现从 B，C 两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自 C 组的概率． 20．（本题满分 12 分）在直角梯形 PBCD 中，∠D=∠C= 2  ，BC=CD=2，PD=4，A 为 PD 的中点，如图 1．将△PAB 沿 AB 折到△SAB 的位置，使 SB⊥BC，点 E 在 SD 上，且 1 3SE SD  ，如图 2． (1)求证：SA⊥平面 ABCD； (2)求二面角 E-AC-D 的正切值； (3)在线段 BC 上是否存在点 F，使 SF∥平面 EAC？若存在，确定 F 的位置，若不存在，请说明理由． 21 ．（ 本 题 满 分 12 分 ） 已 知 直 线 1 0x y   经 过 椭 圆 S ： 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b     的一个焦点和一个顶点． （1）求椭圆 S 的方程； （2）如图， ,M N 分别是椭圆 S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 ,P A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为C ，连接 AC ， 并延长交椭圆于点 B ，设直线 PA 的斜率为 k ． 1 若直线 PA 平分线段 MN ，求 k 的值； ② 对任意 0k  ，求证： PA PB ． 22．（本题满分 10 分） 已 知平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 1C 方程为 2sin  ； 2C 的参数方程为 11 2 3 2 x t y t       （t 为参数）． [来源:学+科+网 Z+X+X+K] （Ⅰ）写出曲线 1C 的直角坐标方程和 2C 的普通方程； （Ⅱ）设点 P 为曲线 1C 上的任意一点，求点 P 到曲线 2C 距离的取值范围． 2016～2017 学年度上学期[来源:Z§xx§k.Com] 期 末 考 试 卷 年级：高二 科目：数学（理科） 命题人：冯钢 审题人：冯启安 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B C C D B B B D C 12【解析】选 C 设 F 为左焦点，由双曲线的对称性，不妨设点 A 的纵坐标为 a ，则 由 2 2 2 2 1 y a x y a b    得 ( , )acA ab  ， 又∵直线 AF 的方程为 ( )by x ca   ， ∴ ( )b aca ca b    ，即 2a ac bc  ， 又∵ 2 2b c a  ， ∴ 2 2 2 2 2( ) ( )a ac c a c   ， 两边同除以 4a ，得 2 2 2(1 ) ( 1)e e e   ， 即 4 22 2 1 0e e e    ， 令 4 2( ) 2 2 1f x x x x    ， ∵ ( 3) 9 6 2 3 1 2(1 3) 0f        ， (2) 16 8 4 1 3 0f       ， ∴双曲线离心率 e 的值所在区间是 ( 3,2) . 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13. 8 14. )2(111111 15. 2 3 16. ①④ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解答： p 和 p q 都是假命题， p 为真命题， q 为假命题. ………………2 分 ( 3,3 4, 5)AB a a     , 2 2 2| | 3 10 ( 3) (3 4) ( 5) 90AB a a         2 3 4 0 4 1a a a        ； …………………………………………6 分 又抛物线 2 4y x 的准线为 1x   ， q 为假命题， 2 | | 1 24 aMF    ， 2 2a   . …………………………………10 分 故所求 a 的取值范围为[ 2,1) . ………………………………12 分 18.解答：（1）设圆心坐标为（a,b)，则 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 3) ( 3) ( 2) 3 0 a b r a b r a b               解得： 1, 2, 2a b r   ，故圆的方程为： 4)2()1( 22  yx …………… 6 分 （2）因为 z＝x＋y，即 y x z   ， 当这条直线与圆相切时，它在 y 轴上的截距最大或最小，即可求出 x y 的最大和最小值. 将 y x z   代入圆的方程，令 0  ，或者利用圆心到直线的距离等于半径 可求得最大值为： 223  ……………………………………12 分 19.解答：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为： 1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）10=0.30 第四个小矩形的高为=0.03 ……4 分 （2）由题意 60 分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75， [来源:学.科.网 Z.X.X.K] 故这次考试的及格率约为 75%， ………………6 分 由 45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71， 得本次考试中的平均分约为 71： ………………8 分 （3）由已知可得 C 组共有学生 60×10×0.005=3 人，则从 B，C 两组共 5 人中选两人参加科普知识 竞赛，设 5 人分别为 1 2 1 2 3, , , ,B B C C C ，共有 1 2 1 1 1 2( , ),( , ),( , ),B B B C B C 1 3( , ),B C 2 1( , ),B C 2 2 2 3( , ),( , ),B C B C 1 2 1 3 2 3( , ),( , ),( , )C C C C C C 等 10 种不同情况，其中这两个学生都来自 C 组有 3 种不同情况， ∴这两个学生都来自 C 组的概率 3 10P  ． ……………………………………12 分 20.解法一：(1)证明：在题图 1 中，由题意可知，BA⊥PD， ABCD 为正方形， 所以在题图 2 中，SA⊥AB，SA=2， 四边 形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 因为 SB⊥BC，AB⊥BC， 所以 BC⊥平面 SAB，又 SA⊂平面 SAB，所以 BC⊥SA，又 SA⊥AB， 所 以 SA⊥平面 ABCD， ……………………4 分 (2)在 AD 上取一点 O ，使 1 3AO AD  ，连接 EO． 因为 1 3SE SD  ，所以 EO∥SA 所以 EO⊥平面 ABCD， 过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H，连接 EH， 则 AC⊥平面 EOH， 所以 AC⊥EH． 所以∠EHO 为二面角 E-AC-D 的平面角，． 在 Rt△AHO 中， 45HAO   ， 2sin 45 3HO AO  ， tan 2 2EOEHO OH    即二面角 E-AC-D 的正切值为 2 2 ．……………………8 分 (3)当 F 为 BC 中点时，SF∥平面 EAC 理由如下：取 BC 的中点 F，连接 DF 交 AC 于 M， 连接 EM，AD∥FC， 所以 1 2 FM FC MD AD   ，又由题 意 1 2 SE ED  ，即 SF∥EM， 所以 SF∥平面 EAC， 即当 F 为 BC 的中点时， SF∥平面 EAC ……………12 分 解法二：(1)同方法一 ………………………………4 分 (2)如图，以 A 为原点建立直角坐标系， A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(2，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)，E 2 4(0, , )3 3 易知平面 ACD 的法向为 (0,0,2)AS  设平面 EAC 的法向量为 ( , , )n x y z ， 2 4(2,2,0), (0, , )3 3AC AE   由 0 0 n AC n AE          所以 0 2 0 x y y z      ，可取 (2, 2,1)n   所以 1cos , 3| || | n ASn AS n AS         所以 tan , 2 2n AS   即二面角 E-AC-D 的正切值为 2 2 ． ………………………………8 分[来源:Z。xx。k.Com] (3)设存在 F∈BC， 所以 SF∥平面 EAC， 设 F(2，a，0) 所以 (2, , 2)SF a  ， 由 SF∥平面 EAC， 所以 0n SF   ，所以 4-2a-2=0， 即 a=1， 即 F(2，1，0)为 BC 的中点. ……………………………………12 分 21.解：（1）在直线 1 0x y   中令 x=0 得 y=1；令 y=0 得 x=-1， 由题意得 c=b=1， ∴ 2 2a  ，则椭圆方程为 2 2 12 x y  ． …………………………3 分 （2）①由 ( 2,0)M  ， (0, 1)N  ， ,M N 的中点坐标为 2 1( , )2 2   ， 所以 2 2k  ． ……………………………………………6 分 ②解法一：将直线 PA 方程 y kx 代入 2 2 12 x y  ，解得 2 2 1 2 x k    ， 记 2 2 1 2 m k   ，则 ( , ), ( , )P m mk A m mk  ，于是 ( ,0)C m ， 故直线 AB 的方程为 0 ( ) ( )2 mk ky x m x mm m     ， 代入椭圆方程得 2 2 2 2 2( 2) 2 8 0k x k mx k m     ，由 2 2 2 2A B k mx x k    ， 因此 2 3 2 2 (3 2)( , )2 2 m k mkB k k    ， ………………………………………………9 分 ∴ (2 ,2 )AP m mk ， 2 3 2 2 2 2 2 (3 2) 2 2( , ) ( , )2 2 2 2 m k mk mk mkPB m mkk k k k          ， ∴ 2 2 2 2 22 2 02 2 mk mkAP PB m mkk k          ，∴ AP PB  ，故 PA PB ．…………12 分 解法二：由题意设 0 0( , )P x y ， 0 0( , )A x y  ， 1 1( , )B x y ，则 0( ,0)C x ， ∵ , ,A C B 三点共线， ∴ 0 1 01 1 0 0 1 02 y y yy x x x x x    ，……………………………………8 分 又因为点 ,P B 在椭圆上， ∴ 2 2 2 20 1 0 11, 12 2 x xy y    ， 两式相减得： 0 1 0 1 0 1 0 12( )PB y y x xk x x y y      ，……………………………………………10 分 ∴ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2( ) 12( ) 2( )PA PB y x x y y x xk k x y y x x y y                      ， ∴ PA PB ． ……………………………………………………12 分 22.解：（I）曲线 1C 方程为 2sin  ，可得 2 2 sin   ，可得 2 2 2x y y  ∴ 1C 的直角坐标方程： 2 2( 1) 1x y   ， 2C 的参数方程为 11 2 3 2 x t y t       ， 消去参数t 可得： 2C 的普通方程： 3 3 0x y   ．………………………………5 分 （II）由（I）知， 1C 为以（0，1）为圆心， 1r  为半径的圆， 1C 的圆心（0，1）到 2C 的距离为 | 1 3 | 3 1 123 1 d       ， 则 1C 与 2C 相 交 ， P 到 曲 线 2C 距 离 最 小 值 为 0 ， 最 大 值 为 3 1 2d r   ，则点 P 到曲线 2C 距离的取值范围为 3 1[0, ]2  ．…………………10 分