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天津市部分区 2016～2017 学年度第一学期期末考试
高三数学（文科）试卷
温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作
答时请将答案写在试卷上.
题 号 一[来源:学。科。网 Z。
X。X。K][来源:学。科。网 Z。
X。X。K]
二新_课_标第_一_网
三
总 分
15 16 17 18 19 20
得 分
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.第 I
卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）
注意事项：
1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
参考公式：
如果事件 ,A B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B ．
如果事件 ,A B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B ．
锥体的体积公式 1
3V Sh ，其中 S 表示锥体的底面面积， h 表示锥体的高.
柱体的体积公式V Sh ，其中 S 表示柱体的底面面积， h 表示柱体的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合 2{0,1,4}, { | , }A B y y x x A ，则 A B U
（A） 0, 1, 16 （B） 0, 1
（C） 1, 16 （D） 0, 1, 4, 16
（2）从数字 1，2，3，4，5，6 中任取两个数，则取出的两个数的乘积为奇数的概率为
（A） 1
15
（B） 2
15
（C） 1
5
（D） 4
15
（3）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是
（A）48
（B）36
（C）24
（D）12
（4）设 xR ，则“ 2x ”是“ 1 1x ”的
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）已知 3log 0.5a ， 0.3log 0.2b ， 0.30.5c ，则
（A） a c b （B）b c a
（C） b a c （D） c a b
（6）已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0, 0a b ）的焦点到渐近线的距离为 2，且双曲线的一条渐近线
与直线 2 3 0x y 平行，则双曲线的方程为
（A）
2 2
116 4
x y （B）
2 2
18 4
x y
（C）
2
2 14
x y （D）
2
2 14
yx
（7）已知向量 (cos40 ,sin 40 ) a ， (sin 20 ,cos20 ) b ， 3 u a b（其中 R ），则 u
的最小值为
（A） 6
2
（B） 3
4
（C） 3
2
（D） 3
（8）已知函数 2
1 | |, 1,
( )
( 1) , 1.
x x
f x
x x
若 方程 (1 ) 0f x m 有三个不相等的实数根，则实数 m 的
取值范围为
（A） ( ,1) （B） 3( , )4
（C） (0,2) （D） (0,1)
第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2．本卷共 12 小题，共 110 分.
第 3 题图
二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
（9）已知 i 是虚数单位，若 (2 i) 2 4iz ，则复数 z =___________．
（10）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，
则输出 v 的值为___________.
（11）已知 2( ) ( 2 )exf x x x （其中 e 是自
然对数的底数）， ( )f x 为 ( )f x 的导
函数，则 (0)f 的值为___________.
（12）在等比数列{ na }中，
已知 1
1
4a ， 3 5 44( 1)a a a ，
则{ na }的前 10 项和 10S ___________.
（13）如图， ABC 为边长为 1 的
正三角形， D 为 AB 的中点， E 在
BC 上，且 : 1: 2BE EC ，连结 DE
并延长至 F ，使 EF DE ，连结
FC ．则 FC AC
uuur uuur
的值为________.
（14）已知 ( ) sin 3 cosf x x x
（ 0, x R ），若函数 ( )f x 在区间
(0,4 ) 内恰有5 个零点，则 的取值
范围是___________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分 13 分）
在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 , ,a b c ，且满足 2
cos cos
a b c
B C
．
（I）求角 C 的值；
（II）若 7c ， ABC 的面积为10 3 ，求 a b 的值．
（16）（本小题满分 l3 分）
某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成 , ,A B C 三种规格的小石板，每种类型的
大理石板可同时加工成三种规格小石板的块数如下表所示：
板材类型 A B C
甲型石板（块） 1 2 4
乙型石板（块） 2 1 5
第 13 题
某客户至少需要订购 ,A B 两种规格的石板分别为 20 块和 22 块，至多需要 C 规格的石板100
块．分别用 ,x y 表示甲、乙两种类型的石板数．
（I）用 ,x y 列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板
总数最少？
（17）（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， PCD 为等边三角形， 底 面
ABCD 为直角梯形， AB AD , / /AD BC ,
2 2AD BC , 3AB ，点 E 、 F 分别为 AD 、CD 的 中
点.
（I）求证：直线 / /BE 平面 PCD ；
（II）求证：平面 PAF 平面 PCD ；
（III）若 3PB ，求直线 PB 与平面 PAF 所成的角.
（18）（本小题满分 13 分）
已知数列 na 的前 n 项和 2nA n （ n N ）， 1
1
n n
n
n n
a ab a a
（ n N ），数列 nb 的前 n
项和为 nB .
（I）求数列 na 的通项公式；
（II）设
2
n
n n
ac （ n N ），求数列 nc 的前 n 项和 nC ；
（III）证明： 2 2 2 nn B n （ n N ）.
（19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1 ( 0)x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，上顶点为 B ，若 1 2BF F 的
周长为 6 ，且点 1F 到直线 2BF 的距离为b .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设 1 2,A A 是椭圆 C 长轴的两个端点，点 P 是椭圆C 上不同于 1 2,A A 的任意一点，直线 1A P
交直线 14x 于点 M ，求证：以 MP 为直径的圆过点 2A .
（20）（本小题满分 14 分）
已知函数 3 25( ) 2f x x x ax b （ ,a b R ），函数 ( )f x 的图象记为曲线C .
（I）若函数 ( )f x 在 1x 时取得极大值 2，求 ,a b 的值；
（II）若函数 25( ) 2 ( ) (2 1) 32F x f x x a x b 存在三个不同的零点，求实数b 的取值范围；
（III）设动点 0 0( , ( ))A x f x 处的切线 1l 与曲线C 交于另一点 B ，点 B 处的切线为 2l ，两切线的
斜率分别为 1 2,k k ，当 a 为何值时存在常数 使得 2 1k k ？并求出 的值.
天津市部分区 2016～2017 学年度第一学期期末考试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题:
1-4 DCDA 5-8 BACD
二、填空题:
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三、解答题:
15.（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）已知 可化为
， …………………………3 分
整理得 ，
，
又 …………………………6 分
（Ⅱ）由 得 ，
由（Ⅰ） ， 所以由余弦定理得：
，
，即， …………………………9 分
所以 . …………………………13 分
16.（本小题满分 13 分）
解：（I）由题意得 ………………………………3 分
二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.
………………………………6 分
（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为 ，则目标函数 ，作出直线 ，平移直线 ，
如图，
易知直线经过点 A 时， 取到最小值，
解方程组 得点 的坐标为 ，………………………………10 分
所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别 8 块和 6 块．
答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别 8 块和 6
块．………………………………13 分
17.（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ） ，且 为 的中点， .
又因为 ，则四边形 是平行四边形，∴ ， 平面 ， 平面 ， 直线 平
面 . ……………4 分
（II）∵在等边 中， 是 的中点， ；
又 ， ；
又 ， ，又 ，
，又 ， 平面 ，
故平面 平面 ； ……8 分
（III）设 与 交于点 ，
由（II）知 平面 ， ，
故 平面 ，连结 ， 为直线 与平面 所成的角.
在 中， ， ，
. ………………………13 分
18．（本小题满分 13 分）
解：（I）当 时， ， ，
两式相减： ；
当 时， ，也适合 ，
故数列 的通项公式为 ；………………………………….3 分
（II） ， ，
， ，两式相减可得：
， ………………………………… 4 分
即 ，
， . ………………… 7 分
（III） ，显然 ，
即 ， ；………………………………. 9 分
另一方面， ，
即 ， ，…， ， ，
即： . ……………………….. 13 分
19．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由已知得 ，解得 .
所以椭圆 的方程为 . ……………5 分
（Ⅱ）由题意知 ， ……………6 分
设 ，则 ，得 .
且由点 在椭圆上，得 . ……………9 分
所以
…………13 分
以 为直径的圆过点 . ……………14 分
20．（本小题满分 14 分）
解：函数 的导函数为 .
（I）当 时极大值 2，则 ，解得 ；…… 4 分
（II）由题意可得 有三个不 同的零点，即方程 有三个实数解.
令 ，则 ，由 可得 或 ，且 是其单调递增区间， 是其单调递减区间， .因此，实数 的取值
范围是 . 9 分
（III）由（I）知点 处的切线 的方程为 ，与 联立得 ，即 ，所以点 的横坐标是 ，可得 ，
即 ， 等价于 ，解得 .
综上可得，当 时存在常数 使得 . ……………14 分
天津市部分区 2016～2017 学年度第一学期期末考试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题:
1-4 DCDA 5-8 BACD
二、填空题:
9. 2i 10. 6 11. 2 12. 1023
4 13. 1
12
14. 7 17
6 12
三、解答题:
15.（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）已知 0coscos)2( BcCba 可化为
0cossincos)sinsin2( BCCBA ， …………………………3 分
整理得 BCCBCA cossincossincossin2 ACB sin)sin( ，
,0sinπ,0 AA 2
1cos C ，
又 .3
ππ,0 CC …………………………6 分
（Ⅱ）由 1 1 πsin sin 10 32 2 3ABCS ab C ab 得 40ab ，
由（Ⅰ）
2
1cos C ， 所以由余弦定理得：
2 2 2 2 22 cos ( ) 3 ( ) 3 40c a b ab C a b ab a b ，
249 ( ) 3 40a b ，即， 2( ) 169a b …………………………9 分
所以 13a b . …………………………13 分
16.（本小题满分 13 分）
解：（I）由题意得
0, 0
2 20 0,
2 22 0,
4 5 100 0,
.y
x y
x y
x y
x
≥
≥
≤
≥ ≥
………………………………3 分
二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.
………………………………6 分
（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为 z ，则目标函数 z x y ，作出直线
0 : 0l x y ，平移直线 0l ，如图，
易知直线经过点 A 时， z 取到最小值，
解方程组 2 20
2 22
x y
x y
得点 A 的坐标为
(8,6)A ，………………………………10 分
所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分 别 8 块和
6 块．
答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工 甲、乙两
种类型的板材分别 8 块和 6 块．………………………………13 分
17.（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ） 2 2AD BC ，且 E 为 AD 的中点， BC ED .
又因为 / /AD BC ，则四边形 BCDE 是平行四边形，∴ / /BE CD ， CD 平面 PCD ，BE
平面 PCD ，直线 / /BE 平面 PCD . ……………4 分
（II）∵在等边 PCD 中， F 是 CD 的中点， CD PF ；
又 / / ,BC AD AB AD ， AB BC ；
又 3, 1AB BC ， 2AC ，又 2AD ，
CD AF ，又 PF AF F ， CD 平面 PAF ，
故平面 PAF 平面 PCD ； ……8 分
（III）设 AF 与 BE 交于点G ，
由（II）知CD 平面 PAF ， / /BE CD ，
故 BG 平面 PAF ，连结 PG ， BPG 为直线 BP 与 平 面
PAF 所成的角.
在 Rt PBG 中， 3
2BG ，
3
32sin 23
BGBPG PB
，
3BPG . ………………………13 分
18．（本小题满分 13 分）
解：（I）当 2n 时， 2nA n ， 2
1 ( 1) nA n ，
两式相减： 1 2 1 n n na A A n ；
当 1n 时， 1 1 1 a A ，也适合 2 1 na n ，
故数列 na 的通项公式为 2 1 na n ；………………………………….3 分
（II） 2 1
2 2
n
n n n
a nc ， 1 2n nC c c c ，
1 2 3
1 3 5 2 1
2 2 2 2
n n
nC ， 2 3 4 1
1 3 5 2 1
2 2 2 2 2
n
n
C n ，两式相减可得：
1 2 3 1
1 2 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2
n
n n
C n ， ………………………………… 4 分
即 1 2 3 -1 1
1 1 1 1 1 2 1( )2 2 2 2 2 2 2
n
n n
C n ，
-1 1
1 1 2 1(1 )2 2 2 2
n
n n
C n ， 2 33 2
n n
nC . ………………… 7 分
（III） 2 1 2 1
2 1 2 1
n
n nb n n
，显然 2 1 2 1 2 1 2 12 22 1 2 1 2 1 2 1
n n n n
n n n n
，
即 2nb ， 1 2 2n nB b b b n ；………………………………. 9 分
另一方面， 2 1 2 1 2 2 2 21 1 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
n n
n n n n n n
，
即 1
2 22 1 3
b ， 2
2 22 3 5
b ，…， 1 12 2 2 1 2 1
nb n n
，
2 2 2 2 2 2 2(2 ) (2 ) (2 ) 2 2 2 21 3 3 5 2 1 2 1 2 1
nB n nn n n
，
即： 2 2 2 nn B n . ……………………….. 13 分
19．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由已知得
2 2 2
2 2 6
2
c a
cb ab
a b c
，解得
2
3
1
a
b
c
.
所以椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y . ……………5 分
（Ⅱ）由题意知 1 2( 2,0), (2,0)A A ， ……………6 分
设 0 0( , )P x y ，则
1
0
0
: ( 2)2A P
yl y xx
，得 0
0
16(14, ))2
yM x .
且由点 P 在椭圆上，得
2
2 0
0 3(1 )4
xy . ……………9 分
所以
2
0 0
2 2 0 0 0
0 0
16 16(12, ) ( 2, ) 12( 2)2 2
y yA M A P x y xx x
2
0 0 0
0 0
0 0
12(4 ) 12( 2)( 2)12( 2) 12( 2) 02 2
x x xx xx x
…………1 3 分
以 MP 为直径的圆过点 2A . ……………14 分
20．（本小题满分 14 分）
解：函数 3 25( ) 2f x x x ax b 的导函数为 2( ) 3 5f x x x a .
（I）当 1x 时极大值 2，则 ( 1) 0, ( 1) 2f f ，解得 52, 2a b ；…… 4 分
（II）由题意可得 25( ) 2 ( ) (2 1) 32F x f x x a x b 有三个不同的零点，即方程
3 252 02x x x b 有三个实数解.
令 3 25( ) 2 2g x x x x ， 则 2( ) 6 5 1 (2 1)(3 1)g x x x x x ， 由 ( ) 0g x 可 得
1
2x 或 1
3x ，且 1 1( , ),( , )2 3
是其单调递增区间， 1 1( , )2 3
是其单调递减区间，
1 1 1 7( ) , ( )2 8 3 54g g .因此，实数b 的取值范围是 7 1( , )54 8
. 9 分
（III）由（I）知点 0 0( , ( ))A x f x 处的切线 1l 的方程为 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x ，与 ( )y f x
联立得 0 0 0( ) ( ) ( )( )f x f x f x x x ，即 2
0 0
5( ) ( 2 ) 02x x x x ，所以点 B 的横坐标是
0
5(2 )2Bx x ，可得 2 2
1 0 0 2 0 0
5 53 5 , 3(2 ) 5(2 )2 2k x x a k x x a ，即
2
2 0 0
2512 20 4k x x a ， 2 1k k 等价于 2
0 0
25(3 5 )(4 ) ( 1) 4x x a ，解得
254, 12a .
综上可得，当 25
12a 时存在常数 4 使得 2 1k k . ……………14 分
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