桓台二中2017年1月高三数学（文）上学期期末试卷及答案

高三期末考试数学文科试题 2017 年 1 月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 2 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1．i 是虚数单位，复数 z= 23 1 i i      ，则复数 z 的共轭复数表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合 P={ 931|  xx }， {1, 2, 3}Q  ，则 P Q  （ ） A．{1} B．{1, 2} C．{2, 3} D．{1, 2, 3} 3. 在 ABC 中，若 6a ， 4b ，B=2A ，则 sinA 的值为（ ） A. 6 3 B. 6 6 C. 6 32 D. 3 3 4. 已知直角 ABC 中 AB 是斜边， (2,4)CA  （ 9,3  ）， ( 6, )CB x  （ x,3 ），则 x 的值是（ ） A．27 B．1 C．9 D． 1 5. 函数 xxy cos10 1 2  ,则函数的导数的图象是（ ） A B C D 6. 已知 ,x y 都是实数，命题 1|:| xp ；命题 032: 2  xxq ，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7. 若变量 ,x y 满足条 0, 2 1, 4 3, y x y x y        则 22 yxz  的最小值是（ ） 绝密 ☆ 启用并使用完毕前 A. 0 B. 5 5 C. 2 D. 1 8. 若 )sin()(   xAxf （其中 0,| | 2A   ）的图象如图，为了得到 )32sin()(  xxg 的图象，则需将 ( )f x 的图象（ ） A．向右平移 6  个单位 B．向右平移 3  个单位 C．向左平移 6  个单位 D．向左平移 3  个单位 9. 已知双曲线   2 2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的一个顶点是抛物线 2 1 : 2C y x 的焦点 F，两条曲线 的一个交点为 M， 3 2MF  ，则双曲线 2C 的离心率是（ ） A. 17 3 B. 2 6 3 C. 33 3 D. 2 10. 函数       axxx xx xf 0,23 01,1)1(log )( 3 2 的值域是[0，2]，则实数 a 的范围是（ ） A．[0， 2 ] B．[1， 2 ] C．[1， 3 ] D．[ 3 ，2] 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题:本大题共 5 小题， 每小题 5 分，共 25 分. 11. 若奇函数  f x 定义域为 R，    2f x f x   且 6)1( f ，则 )2017(f =______ 12．已知正数 x，y 满足 132  yx ，则 2x＋3y 的最小值为______ 13．某程序框图如图所示，当输出 y 的值为 8 时，则输出 x 的值为______ 14．已知 c，d 为单位向量，且夹角为 60°，若 a=c+3d ，b=2c ，则 b 在 a 方向上的投影为______ 15．给出以下四个结论： ①函数   2 1 1 xf x x   的对称中心是 1,2 ； ②若关于 x 的方程  1 0 0,1x k xx    在 没有实数根，则 k 的取值范围是 2k  ； ③在 ABC 中，“ cos cosb A a B ”是“ ABC 为等边三角形”的充分不必要条件； ④若   sin 2 3f x x      的图象向右平移  0   个单位后为奇函数，则 最小值是 12  . 其中正确的结论是______ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 16．（本小题满分 12 分） 已知函数 21( ) cos 3sin cos2f x x x x   . （1）求 ( )f x 单调递增区间 ； （2） ABC 中，角 , ,A B C 的对边 , ,a b c 满足 bcacb 3222  ，求 ( )f A 的取值范围. 17．（本小题满分 12 分）新 课 标 在四棱锥 P ABCD 中， PA  平面 ABCD ， E 是 PD 的中点， = 90ABC ACD    ,且 = 60BAC CAD    ， AC AP . （1）求证： CE ∥平面 PAB； （2）求证： PC AE ． 18．（本小题满分 12 分） 某地举行公车拍卖会，轿车拍卖成交了 4 辆，成交价分别为 5 元，x 万元，7 万元，9 万元；货 车拍卖成交了 2 辆，成交价分别为 7 万元，8 万元.总平均成交价格为 7 万元. （1）求该场拍卖会成交价格 的中位数； （2）某人拍得两辆车，求拍得轿车、货车各一辆且总成交价格不超过 14 万元的概率 19．（本小题满分 12 分） 已知等比数列{ }na 的公比为 q （ 1q  ），等差数列{ }nb 的公差也为 q ，且 1 2 32 3a a a  ． （1）求 q 的值； （2）若数列{ }nb 的首项为 2 ，其前 n 项和为 nT ， 当 2n  时，试比较 nb 与 nT 的大小. 20．（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1（a＞b＞0）经过点 M (－2，－1)，离心率为 2 2 ．过点 M 作倾斜角互补 的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q． （1）求椭圆 C 的方程； A B C D P E （2）试判断直线 PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 21．（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) ( 1)ln ( )af x x a x ax     R ． （1）当 10  a 时，求函数 )(xf 的单调区间； （2）是否存 在实数 a ，使得至少存在一个 0 (0, )x   ，使 0 0( )f x x 成立，若存在， 求出实 数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 高三期末考试数学文科试题 参考答案 一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 二、填空题:本大题共 5 小题， 每小题 5 分，共 25 分 11.-6 12. 25 13. 16 14. 13 135 15. ① 三.解答题 16．解： （1） )62sin(  xy 增区间为 ]3,6[  kk  （k 为 Z） （2）由题意可知 60  A , )2 1,2 1()( Af 17．解： （1）取 AD 的中点 M ,连接 CM , EM .则有 EM ∥ PA . 因为 PA平面 PAB ， EM  平面 PAB 所以 EM ∥平面 PAB ． 由题意知 = = 60BAC CAD ACM     , 所以 CM ∥ AB . 同理 CM ∥平面 PAB ． 又因为 CM  平面CME , EM  平面CME ,CM EM M 所以 平面CME ∥平面 PAB ． 因为 CE  平面CME 所以 CE ∥平面 PAB． （2）取 PC 的中点 F ,连接 EF , AF ,则 EF ∥CD .因为 AP AC ,所以 PC AF . 因为 PA  平面 ABCD ，CD  平面 ABCD ，所以 PA CD 又 AC CD 所以 CD ⊥平面 PAC 因为 PC  平面 PAC 所以 CD ⊥ PC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ｂ B D D C A B B C C 又 EF ∥ CD ，所以 EF PC 又因为 PC AF , AF EF F 所以 PC ⊥平面 AEF 因为 AE  平面 AEF 所以 PC AE 18．解： （1）因为 6 1 （5+x+7+9+7+8）=7 所以 x=6 则中位数为 2 1 （7+7）=7 （2）设轿车编号 a,b,c,d,火车编号 1,2 共有(a,b)(a,c)(a,d)(a,1)(a,2)(b,c)(b,d)(b,1)(b,2)(c,d)(c,1)(c,2)(c,d)(c,1)(c,2)共 15 种基本事件 则不超过 14 万元的有（a,1）（a,2）（b,1）(b,2)(c,1)共 5 各基本事件 根据古典概型概率公式 P= 3 1 19．解： （）由已知可得 2 1 1 12 3a a q a q  ， ∵{ }na 是等比数列， 1 0a  ∴ 23 2 1 0q q   . 解得 1q  或 1 3q   . ∵ 1q  ， ∴ 1 3q   (2）由（）知等差数列{ }nb 的公差为 1 3  ， ∴ 72 ( 1)( )3 3n nb n       ， 2132 ( 1)( )2 3 6n n n nT n n       ， ( 1)( 14) 6n n n nT b     ， 当 14n  时， n nT b ；当 14n  时， n nT b ；当 2 14n  时， n nT b . 综上，当 2 14n  时， n nT b ； 当 14n  时， n nT b ； 当 14n  时， n nT b . 20．解： （1）由题设，得 4 a2 ＋ 1 b2 ＝1， ① 且 a2－b2 a ＝ 2 2 ， ② 由①、②解得 a2＝6，b2＝3， 椭圆 C 的方程为x2 6 ＋y2 3 ＝1． （2）记 P (x1，y1)、Q (x2，y2)．由题意知，直线 MP、MQ 的斜率存在． 设直线 MP 的方程为 y＋1＝k(x＋2)，与椭圆 C 的方程联立，得 (1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0， －2，x1 是该方程的两根，则－2x1＝8k2－8k－4 1＋2k2 ，x1＝－4k2＋4k＋2 1＋2k2 ． 设直线 MQ 的方程为 y＋1＝－k(x＋2)， 同理得 x2＝－4k2－4k＋2 1＋2k2 ． 因 y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)， 故 kPQ＝y1－y2 x1－x2 ＝k(x1＋2)＋k(x2＋2) x1－x2 ＝k(x1＋x2＋4) x1－x2 ＝ 8k 1＋2k2 8k 1＋2k2 ＝1， 因此直线 PQ 的斜率为定值． 21．解： （1）函数  f x 的定义域为 0, ，     ' 2 2 111 x a xa af x x x x      当 0 1a  时，由  ' 0f x  得， x a   或 1x  ， 由  ' 0f x  得， a x  ∴函数  f x 的单调增区间为 0,a 和 1, ,单调减区间为 ,1a 当 1a  时,  ' 0f x  ,  f x 的单调增区间为 0, (2）命题“至少存在一个 0 (0, )x   ，使 0 0( )f x x 成立”的否定是“ (0, )x   ，  f x x 恒 成立”。 即可转化为 ( ) ( 1)lnaf x x a x xx      亦即  1 ln 0a a x x   恒成立。 令    1 lnx a a x x    ，则只需   0x  在  0,x  恒成立即可， ∵     1 1 lnx a x    当 1 0a   时，在 10,x e     时，  ' 0x  ，在 1 ,x e      时，  ' 0x  ∴  x 的最小值为 1 e       ，由 1 0e       得 1 1a e   ， ∴当 1 1a e   时  f x x 恒成立， 当 1 0a   时，   1x   ，   0x  在  0,x  不能恒成立， 当 1 0a   时，取 ,1x 有 ,1)1(  a   0x  在  0,x  不能恒成立， ∴当 1 1a e   时， (0, )x   ，  f x x 恒成立 综上，当 1 1a e   时，至少有一个 0 (0, )x   ，使 0 0( )f x x 成立。