桓台二中2017年1月高三数学（理）上学期期末试卷及答案

高三期末考试数学理科试题 2017 年 1 月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 2 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1．已知复数 iz 43  （i 是虚数单位），则复数 1 i z  的虚部为（ ） A． 2 1 B． 1 i2 C． 2 1 D． 1 i2  2. 已知集合 P={ 931|  xx }， )}72ln(|{ 2 xxyZxQ  ，则 P Q  （ ） A．{1} B．{1, 2} C．{2, 3} D．{1, 2, 3} 3. 已知函数 66 9)( 2   x xxf ，则函数的奇偶性为（ ） A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是奇函数不是偶函数 D．是偶函数不是奇函数 4. 在平行四边形 ABCD 中，AD=2，∠BAD= 60o，E 为 CD 的中点．若 BEAC  =3，则 AB 的长为 （ ） A． 1 2 B．1 C．2 D．3 5. 已知  f x 为  f x 的导函数，若   ln 2 xf x  ，且  31 1 12 12 b b dx f a bx    ，则 a b 的最 小值为（ ） A． 4 2 B． 2 2 C． 9 2 22  D． 9 2 6. 已知 ,x y 都是实数，命题 3|:| xp ；命题 032: 2  xxq ，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 绝密 ☆ 启用并使用完毕前 7. 若变量 ,x y 满足条 0, 2 1, 4 3, y x y x y        则 22)1( yxz  的最小值是（ ） A.1 B.2 C. 5 5 D. 5 52 8. 若 )sin()(   xAxf （其中 0,| | 2A   ）的图象如图，为了得到 )32sin()(  xxg 的图象，则需将 ( )f x 的图象（ ） A．向右平移 6  个单位 B．向右平移 3  个单位 C．向左平移 6  个单位 D．向左平移 3  个单位 9. 已知双曲线   2 2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的一个顶点是抛物线 2 1 : 2C y x 的焦点 F，两条曲线 的一个交点为 M， 3 2MF  ，则双曲线 2C 的离心率是（ ） A. 17 3 B. 2 6 3 C. 33 3 D. 2 10. 函数          5 2 log 1 1 2 2 1 x x f x x x       ，则方程    f x a a R  实根个数不可能为（ ） A． 1 个 B．2 个 C． 3 个 D．4 个 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题:本大题共 5 小题， 每小题 5 分，共 25 分. 11. 若奇函数  f x 定义域为 R，    2f x f x   且 6)1( f ，则 )2017(f =______ 12．若 ( ax2+ 1 x 5) 的展开式中常数是 80 ，则实数 a=______ 13．某程序框图如图所示，当输出 y 的值为 8 时，则输出 x 的值为______ 14．已知 c，d 为单位向量，且夹角为 60°，若 a=c+3d ，b=2c ，则 b 在 a 方向上的投影为______ 15．给出以下四个结论： ①函数   2 1 1 xf x x   的对称中心是 1,2 ； ②若关于 x 的方程  1 0 0,1x k xx    在 没有实数根，则 k 的取值范围是 2k  ； ③在 ABC 中，“ cos cosb A a B ”是“ ABC 为等边三角形”的充分不必要条件； ④若   sin 2 3f x x      的图象向右平移  0   个单位后为奇函数，则 最小值是 12  . 其中正确的结论是______ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 16．（本小题满分 12 分） 已知函数 21( ) cos 3sin cos2f x x x x   . （1）求 ( )f x 单调递增区间； （2） ABC 中，角 , ,A B C 的对边 , ,a b c 满足 bcacb 3222  ，求 ( )f A 的取值范围. 17．（本小题满分 12 分） 某商场进行抽奖促销活动,抽奖箱中有大小完全相同的 4 个小球，分别标有 “A”“B”“C”“D”．顾 客从中任意取出 1 个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取 1 个球，重复以上操作，最多取 4 次，并规定若取出“D”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为 一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的 4 个球中有标有“A”“B”“C” 三个字的球为三等奖． x k b 1 （1）求分别获得一、二、三等奖的概率； （2）设摸球次数为 ，求 的分布列和数学期望． 18．（本小题满分 12 分） 在边长为 4 的菱形 ABCD 中， 60DAB   ，点 ,E F 分别是边 CD ，CB 的中点， AC EF O ，沿 EF 将 CEF 翻折到 PEF ，连接 , ,PA PB PD ，得到如图的五 棱锥，且 10PB  . （1）求证： BD  平面 POA; （2）求二面角 B AP O  的余弦值. 19．（本小题满分 12 分） 已知等比数列{ }na 的公比为 q （ 1q  ），等差数列{ }nb 的公差也为 q ，且 1 2 32 3a a a  ． （1）求 q 的值； （2）若数列{ }nb 的首项为 2 ，其前 n 项和为 nT ， 当 2n  时，试比较 nb 与 nT 的大小. 20．（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1（a＞b＞0）经过点 M (－2，－1)，离心率为 2 2 ．过点 M 作倾斜角互补 的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q． （1）求椭圆 C 的方程； （2）试判断直线 PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 21．（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) lnf x x x , 2( ) 3g x x ax    ． （1）求函数 ( )f x 在[ , 2]( 0)t t t  上的最小值； （2）若存在 0 1[ , ](x e ee  是自然对数的底数， 2.71828 )e   ，使不等式 0 02 ( ) ( )f x g x 成 立，求实数 a 的取值范围． 高三期末考试数学理科试题 参考答案 一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 二、填空题:本大题共 5 小题， 每小题 5 分，共 25 分 11.-6 12. 16 13. 16 14. 13 135 15. ① 三.解答题 16．解： （1） )62sin(  xy 增区间为 ]3 2,3[  kk  5[ , ] ,3 6k k k Z     （2）由题意可知 60  A , )2 1,2 1()( Af 17．解： （1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A，B，C． 则 ( )P A  1 1 1 1 1 4 4 4 4 256     3 3 4 1 5( ) 4 256p B A   三等奖的情况有：“A，A，B，C”；“ A，B，B，C”；“ A，B，C，C”三种情况． ( )P C 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4A A A               9 64  （2）设摸球的次数为 ，则的可能取值为1、2、3、4. 1( 1) 4P    ， 3 1 3( 2) 4 4 16P      ， 3 3 1 9( 3) 4 4 4 64P       ， 27( 4) 1 ( 1) ( 2) ( 3) 64P P P P            故取球次数 的分布列为  1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C C D B D B C A P 1 4 3 16 9 64 27 64 1 3 9 27 1751 2 3 44 16 64 64 64E          18．解： （1） （2）设 AO BD H ,连接 , 60 ,BO DAB ABD   为等边三角 形, 4, 2, 2 3, 3BD BH HA HO PO      , 在 Rt BHO 中, 2 2 7BO BH HO   , 在 PBO 中, 2 2 210 , , , ,BO PO PB PO BO PO EF EF BO O EF         平面 BFED PO  平面 BFED ,以O 为原点,OF 所在直线为 x 轴, AO 所在直线 y 轴， OP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系O xyz ,则            0, 3 3,0 , 2, 3,0 , 0,0, 3 , 0, 3,0 . 0,3 3, 3 , 2,2 3,0A B P H AP AB       19．解： （）由已知可得 2 1 1 12 3a a q a q  ， ∵{ }na 是等比数列， 1 0a  ∴ 23 2 1 0q q   . 解得 1q  或 1 3q   . ∵ 1q  ， ∴ 1 3q   (2）由（）知等差数列{ }nb 的公差为 1 3  ， ∴ 72 ( 1)( )3 3n nb n       ， 2132 ( 1)( )2 3 6n n n nT n n       ， ( 1)( 14) 6n n n nT b     ， 当 14n  时， n nT b ；当 14n  时， n nT b ；当 2 14n  时， n nT b . 综上，当 2 14n  时， n nT b ； 当 14n  时， n nT b ； 当 14n  时， n nT b . 20．解： （1）由题设，得 4 a2 ＋ 1 b2 ＝1， ① 且 a2－b2 a ＝ 2 2 ， ② 由①、②解得 a2＝6，b2＝3， 椭圆 C 的方程为x2 6 ＋y2 3 ＝1． （2）记 P (x1，y1)、Q (x2，y2)．由题意知，直线 MP、MQ 的斜率存在． 设直线 MP 的方程为 y＋1＝k(x＋2)，与椭圆 C 的方程联立，得 (1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0， －2，x1 是该方程的两根，则－2x1＝8k2－8k－4 1＋2k2 ，x1＝－4k2＋4k＋2 1＋2k2 ． 设直线 MQ 的方程为 y＋1＝－k(x＋2)， 同理得 x2＝－4k2－4k＋2 1＋2k2 ． 因 y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)， 故 kPQ＝y1－y2 x1－x2 ＝k(x1＋2)＋k(x2＋2) x1－x2 ＝k(x1＋x2＋4) x1－x2 ＝ 8k 1＋2k2 8k 1＋2k2 ＝1， 因此直线 PQ 的斜率为定值．[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 21．解： （1） '( ) ln 1f x x  ( )f x 在 1(0, )e 为减函数，在 1( , )e  为增函数 ①当 1t e  时， ( )f x 在 1[ , )t e 为减函数，在 1[ , 2]te  为增函数， min 1 1( ) ( )f x f e e     …… 4 分 ②当 1t e  时， ( )f x 在[ , 2]t t  为增函数， min( ) ( ) lnf x f t t t   （2）由题意可知， 22 ln 3 0x x x ax    在 1[ , ]ee 上有解，即 22 ln 3 32lnx x xa x xx x      在 1[ , ]ee 上有解 令 3( ) 2lnh x x x x    ，即 max( )a h x 2 2 2 2 2 3 2 3 ( 3)( 1)'( ) 1 x x x xh x x x x x         ( )h x 在 (0,1) 为减函数，在 (1, ) 为增函数，则在 1( ,1)e 为减函数，在 (1, )e 为增函数 …… 13 分 1 1 3( ) 2 3 , ( ) 2h e h e ee e e         max 3( ) ( ) 2a h x h e e e      