2016-2017年高三一模数学（理）试题及答案

开始 结束 输出 是 否 0,0 SSk  ?2S kSS 2 2 kk k 开始 结束 输出 是 否 0,0 SSk  ?2S kSS 2 2 kk k 高中部 2017 届高三第一次模拟 数学试题（理科） 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.已知集合 2{ | 16 0}A x x   ， { 5,0,1}B   ，则 A. A B   B． B A C． {0,1}A B  D． A B 2.复数 i i -1 )1( 2 等于 A． i1 B． i1 C． i1 D． i1 3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出 k 的值是 6 ， 则输入的整数 0S 的可能值为 A.5 B.6 C.8 D.15 4.已知直线 1sincos:   yxl ,且 lOP  于 P , O 为坐标原点, 则点 P 的轨迹方程为 A． 122  yx B． 122  yx C． 1 yx D． 1 yx 5.函数 xexf x ln)(  在点 ))1(,1( f 处的切线方程是 A. )1(2  xey B. 1 exy C. )1(  xey D. exy  6.“等式 )2sin()sin(   成立”是“  、、 成等差数列”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7.在各项均为正数的等比数列 na 中， 21 a ， 542 ,2, aaa  成等差数列， nS 是数列  na 的前 n 项的和，则  410 SS A.1008 B.2016 C.2032 D.4032 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A．90 B．92 C．98 D．104 9.半径为 4 的球面上有 DCBA 、、、 四点， ADACAB 、、 两两互相垂直，则 ADBACDABC  、、 面积之和的最大值为 A．8 B．16 C．32 D.64 10.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 0,0 109  SS ，则 9 9 3 3 2 2 1 22,2,2 aaaa ， 中最大的 是 A． 1 2 a B． 5 52 a C． 6 62 a D． 9 92 a 11.已知函数 )()(()( 321 xxxxxxxf  ） （其中 321 xxx  ）， )12sin(3)(  xxxg ，且函数 )(xf 的两个极值点为 ）（，   ．设 2,2 3221 xxxx   ，则 A． )()()()(  gggg  B． )()()()(  gggg  C． )()()()(  gggg  D． )()()()(  gggg  12.设双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的右焦点为 F ，过点 F 作 x 轴的垂线交两渐近线 于点 BA, 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P ，设O 为坐标原点，若 )ROBOAOP   ，（ ， 8 522   ，则双曲线的离心率为（ ） A． 3 32 B． 5 53 C． 2 23 D． 8 9 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13.若 nS 是数列 na 的前 n 项的和，且 762  nnSn ，则数列 na 的最大项的值 为___________. 14.设 2 2 1 (3 2 )  a x x dx ,则二项式 2 61( )ax x 展开式中的第 4 项为___________. 15. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 E 为 AB 的中点．以 A 为圆心， AE 为半径，作 弧交 AD 于点 F ，若 P 为劣弧 EF 上的动点，则 PC PD    的最小值为___________. 16.已知函数 x x axf 22)( 1   在 ]3,2 1[ 上单调递增，则实数 a 的取值范围_________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 12 分） 已知函数 ))(12(sin2)62sin(3)( 2 Rxxxxf   （I）求函数 )(xf 的最小正周期； （Ⅱ）求使函数 )(xf 取得最大值的 x 的集合． 18.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥 ABCDP - 中，底面 ABCD 是菱 形，  60DAB ， ,1,  ADPDABCDPD 平面 点 ,E F 分别为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证：直线 PECAF 平面// ； (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值. 19.（本小题满分 12 分） 某网站用“10 分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随 机抽取 16 名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位 数字为茎，小数点后的一位数字为叶）． （I）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”， 求从这 16 人中随机选取 3 人，至多有 1 人是“极安全”的概率； （II）以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人 数很多）任选 3 人，记  表示抽到“极安全”的人数，求  的分布列及数学 期望． 20.（本小题满分 12 分） 如图，已知直线 1:  myxl 过椭圆 1: 2 2 2 2  b y a xC 的右焦点 F ，抛物线： yx 342  的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于 BA、 两点，点 BFA 、、 在直线 4xg： 上的射影依次为点 EKD 、、 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若直线 l 交 y 轴于点 M ，且 BFMBAFMA 21   ， ，当 m 变化时，探求 21   的值是否为定值？若是，求出 21   的值，否则，说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 设 x m 和 x n 是函数 21( ) ln ( 2)2f x x x a x    的两个极值点,其中 m n , a R . (Ⅰ) 求 ( ) ( )f m f n 的取值范围; (Ⅱ) 若 1 2a e e    ,求 ( ) ( )f n f m 的最大 值. 22.（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如 图 所 示 ， 已 知 ⊙ O 的 半 径 长 为 4 ， 两 条 弦 BDAC, 相交于点 E ，若 34BD ， DEBE  ，E 为 AC 的中点， AEAB 2 . (Ⅰ) 求证： AC 平分 BCD ； (Ⅱ)求 ADB 的度数. 23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程为        sin3 cos2 y x （其中 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 01sincos   . (Ⅰ) 分别写出曲线 1C 与曲线 2C 的普通方程； (Ⅱ)若曲线 1C 与曲线 2C 交于 BA, 两点，求线段 AB 的长. 24.（本小题满分 10 分） 选修 4－5：不等式选讲 已知函数 |12|)(  xxf . (Ⅰ)求不等式 2)( xf 的解集； (Ⅱ)若函数 )1()()(  xfxfxg 的最小值为 a ，且 )0,0(  nmanm ，求 n n m m 12 22  的最小值. . A B C D E O. A B C D E O 东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13.12 14. 31280 x 15.5 2 5 16.[﹣1，1] 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(Ⅰ) f(x)= 3sin(2x－π 6 )+1－cos2(x－π 12 ) = 2[ 3 2 sin2(x－π 12 )－1 2 cos2(x－π 12 )]+ 1 =2sin[2(x－π 12 )－π 6 ]+1 = 2sin(2x－π 3 ) +1 ∴ T=2π 2 =π (Ⅱ)当 f(x)取最大值时, sin(2x－π 3 )=1, 有 2x－π 3 =2kπ+π 2 即 x=kπ+ 5π 12 (k∈Z) ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ+ 5π 12 , (k∈Z)}. 18.解：(Ⅰ)证明：作 FM∥CD 交 PC 于 M. ∵点 F 为 PD 中点，∴ CDFM 2 1 . …………2 分 ∵ 2 1k ，∴ FMABAE  2 1 ， ∴AEMF 为平行四边形，∴AF∥EM， ……4 分 ∵ AF PEC EM PEC 平面 ， 平面 ， ∴直线 AF // 平面 PEC. ……………6 分 (Ⅱ) 60DAB   ， DE DC  . 如图所示，建立坐标系，则 P(0,0,1),C(0,1,0),E( 3 2 ,0,0), A( 3 2 ， 1 2  ，0)， 3 1( , ,0)2 2B ， ∴ 3 1, ,12 2AP        ，  0,1,0AB  . …8 分 设平面 PAB 的一个法向量为  , ,n x y z . ∵ 0n AB   ， 0n AP   ，∴      0 02 1 2 3 y zyx ，取 1x  ，则 3 2z  ， ∴平面 PAB 的一个法向量为 3(1,0, )2n  . …………………………10 分 设向量 n PC  与 所成角为 ，∵ (0,1, 1)PC   ， ∴ 3 422cos 147 24 n PC n PC           ， ∴PC 平面 PAB 所成角的正弦值为 42 14 . .…………………………12 分 19. 20.解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点 F（1，0），∴c=1， 抛物线 的焦点坐标 ，∴ ∴b2=3 ∴a2=b2+c2=4∴椭圆 C 的方程 （Ⅱ）易知 m≠0，且 l 与 y 轴交于 ， 设直线 l 交椭圆于 A（x1，y 1），B（x2，y2） 由 ∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0 ∴ 又由 ∴ 同理 ∴ ∵ ∴ 所以，当 m 变化时，λ1+λ2 的值为定值 ； （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知 A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2） 方法 1）∵ 当 时， = = ∴点 在直线 lAE 上， 同理可证，点 也在直线 lBD 上； ∴当 m 变化时，AE 与 BD 相交于定点 方法 2）∵ = ∴kEN=kAN∴A、N、E 三点共线， 同理可得 B、N、D 也三点共线； ∴当 m 变化时，AE 与 BD 相交于定点 ． 解:函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) , 21 ( 2) 1( ) ( 2) x a xf x x ax x         . 依题意,方程 2 ( 2) 1 0x a x    有两个不等的正根 m , n (其中 m n ).故 2( 2) 4 0 0 2 0 a a a         , 并且 2, 1m n a mn    . 所以, 2 21( ) ( ) ln ( ) ( 2)( )2f m f n mn m n a m n       2 21 1[( ) 2 ] ( 2)( ) ( 2) 1 32 2m n mn a m n a            故 ( ) ( )f m f n 的取值范围是 ( , 3)  (Ⅱ)解:当 1 2a e e    时, 2 1( 2) 2a e e     .若设 ( 1)nt tm   ,则 2 2 2 ( ) 1 1( 2) ( ) 2 2m na m n t emn t e           . 于是有 1 1 1( )(1 ) 0t e t e t et e te          2 2 2 21 1( ) ( ) ln ( ) ( 2)( ) ln ( ) ( )( )2 2 n nf n f m n m a n m n m n m n mm m              2 2 2 21 1 1ln ( ) ln ( ) ln ( )2 2 2 1 1ln ( )2 n n n m n n mn mm m mn m m n t t t            构造函数 1 1( ) ln ( )2g t t t t    (其中 t e ),则 2 2 2 1 1 1 ( 1)( ) (1 ) 02 2 tg t t t t        . 所以 ( )g t 在[ , )e  上单调递减, 1( ) ( ) 1 2 2 eg t g e e     . 故 ( ) ( )f n f m 的最大值是 11 2 2 e e   22.（本小题满分 10 分） 解：（1）由 E 为 AC 的中点， AEAB 2 得 AB AC AE AB  2 又 CABBAE  ABE ∽ ACB ACBABE  又 ABEACD  ACBACD  故 AC 平分 BCD ………………5 分 （2）连接OA ，由点 A 是弧 BAD 的中点，则 BDOA  ， 设垂足为点 F ，则点 F 为弦 BD 的中点， 32BF 连接 OB ，则 2)32(4 2222  BFOBOF ， 224  OFOAAF ， 60,2 1 4 2cos  AOBOB OFAOB 302 1  AOBADB ………………10 分 . A B C D E O F . A B C D E O F 23.（本小题满分 10 分） 解：（1）曲线 1C 134: 22  yx ，………………2 分 曲线 2C ： 01  yx ………………4 分 （2）联立      134 01 22 yx yx ，得 0887 2  xx ， 设 ),(),,( 2211 yxByxA ，则 7 8,7 8 2121  xxxx 于是 7 244)(211 21 2 2121  xxxxxxAB . 故线段 AB 的长为 7 24 .………………10 分 24.（本小题满分 10 分） 解：（1）由 2)( xf 知 2|12| x ，于是 2122  x ，解得 2 3 2 1  x ，故不 等式 2)( xf 的解集为      2 3,2 1 ；……………………3 分 （2）由条件得 2|)32(12||32||12|)(  xxxxxg ，当且仅当     2 3,2 1x 时，其最小值 2a ，即 2 nm …………………6 分 又    2232 1232 112 2 112            n m m n nmnmnm ，…………8 分 所以 n n m m 12 22   2232 1212  nmnm 2 227  ， 故 n n m m 12 22  的最小值为 2 227  ，此时 222,224  nm .……10 分 12 分 不用注册，免费下载！