许昌市五校联考高一下期第三次考试
数学（文科）试卷
考试时间：120 分钟 分值： 150 分
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 为支援西部教育事业，从某校 118 名教师中随机抽取 16 名教师组成暑期西部讲师团.
若先用简单随机抽样从 118 名教师中剔除 6 名，剩下的 112 名再按系统抽样的方法
进行，则每人入选的可能性（ ）
A．不全相等 B．都相等，且为 1
7
C．均不相等 D. 都相等，且为 8
59
2．把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件 “甲分得红牌”与“乙分得红
牌”是( )
A．互斥但不对立事件 B．对立事件
C．不可能事件 D．必然事件
3．为了得到函数 2sin( ),3 6
xy x R 的图像，只需把函数 2sin ,y x x R 的图像
上所有的点 （ ）
A. 向左平移
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
3
1 倍(纵坐标不变)
B．向右平移
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
3
1 倍(纵坐标不变)
C．向左平移
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
D．向右平移
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
4. 设 a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D． c>b>a
5．函数 f(x)＝2x－tan x 在
－π
2
，π
2 上的图象大致是( )
A B C D
6. 定义运算 a b 为执行如图所示的程序框图输出的 s 值，则 5 5(2 cos ) (2 tan )3 4
的值（ ）
A．2 B．3 C．4 D．-1
7. 已知点 O 是△ABC 的外接圆圆心，且 AB=3，AC=4.若存在非零实数 x、y，使得
AO xAB yAC ，且 2 1x y ，则 cos ∠BAC 的值为（ ）
A. 3
3
B. 2
3
C. 2
3
D. 1
3
8. 若实数 a，b 满足 a2＋b2≤1，则关于 x 的方程 x2－2x＋a＋b＝0 有实数根的概率是
（ ）
A. 3
4
＋ 1
π
B. 3
4
＋ 1
2π
C. 3
5
＋ 1
2π
D. 3
5
＋ 1
π
9. 已知函数 ( ) sin 3f x x x ,则 1 2( ) ( )2015 2015f f 3
2015f
4029
2015f 的值为（ ）
A． 4029 B． 4029 C． 8058 D．8058
10.在下列向量组中，可以把向量 a
＝(3,2)表示出来的是( )
A. 1e
＝(-1,2)， 2e
＝(5,-2) B． 1e
＝(0,0)， 2e
＝(1,2)
C． 1e
＝(3,5)， 2e
＝(6,10) D． 1e
＝(2,-3)， 2e
＝(-2,3)
11.函数 ( ) cos ( 0)f x x 的图象关于点 3( ,0)4M 对称，且在区间[0, ]2
上是单调
函数，则的值为（ ）
A． 2
3
B． 1
2
C． 2
3
或 2 D． 2
3
或 1
2
12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)＝
x2＋2，x∈[0，1
2－x2，x∈[－1，0
且
f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝2x＋5
x＋2
，则方程 f(x )＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之
和为( )
A．－10 B．－9 C．－8 D．－7
二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.一扇形的周长等于 4 cm ，面积等于 1 2cm ，则该扇形的圆心角为 ．
14.把七进制数 62(7)化为二进制数为________．
15.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD,垂足为
P,且 AP=1,则 AP AC
=_________。
16.下列叙述：
(1)函数 ( ) sin(2 )3f x x 的一条对称轴方程
12x ；
(2)函数 y＝|cos 2x＋1
2
|的最小正周期为π
2
；
(3)函数 y＝tan x 在定义域内为增函数；
(4)函数 cos 3( ) cos
xf x x
， ( , )2 2x 有最小值，无最大值.
则所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤，写在答题纸的相应位置）
17.（本小题满分 10 分）化简：
（1）
)4(tan)3sin()2(cos
)2tan()5cos()(sin
33
3
．
（2）
170sin-1-170sin
10cos10sin2-1
2
18.（本小题满分 12 分）
已知关于 x 的方程 22 3 1 2 0x x m 的两根为sin 和 cos ：
（1）求1 sin cos 2 sin cos
1 sin cos
的值；
（2）求 m的值．
19.（本小题满分 12 分）
某单位 N 名员工参加“ 社区低碳你我他”活动．他们的年龄在 2 5 岁至 50 岁之
间．按年龄分组：第 1 组[25,30)，第 2 组[30,35)，第 3 组[35,40)，第 4 组[40,45)，
第 5 组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.
区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]
人数 25 a b
(1)求正整数 a，b，N 的值；
(2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1,2,3 组的人数分别是
多少？
(3)在(2)的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人在第 3 组的概
率．
20.（本小题满分 12 分）
2015 年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员
上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：
上春晚次数 x（单位：次） 1 2 4 6 8
粉丝数量 y（单位：万人） 5 10 20 40 80
（1）若该演员的粉丝数量 y 与上春晚次数 x 满足线性回归方程，试求回归方程 ˆˆ ˆy bx a （精确到
整数）；
（2）试根据此方程预测该演员上春晚 12 次时的粉丝数；
（参考公式：
1
2
1
ˆ ˆˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
， ．）
21.（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a
＝(－1,2)，又点 A(8,0)，
B(n，t)，C(ksinθ，t)
0≤θ≤π
2 .
(1)若
AB ⊥ a
，且|
AB |＝ 5|
OA |，求向量
OB ；
(2)若向量
AC 与向量 a
共线，当 k＞4，且 tsin θ取最大值 4 时，求
OA ·
OC .
22.（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) sin( ),f x A wx x R （其中 0, 0,0 2A w ）的图象与
x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
4
，且图象上一个最低点为 ( , 1)3M ．
（Ⅰ）求 ( )f x 的表达式;
（Ⅱ）将函数 ( )f x 的图象向右平移
8
个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来
的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 ( )y g x 的图象，若关于 x 的方程 ( ) 0g x k ，在区间
0, 2
上有且只有一个实数解，求实数 k 的取值范围．
许昌市五校联考高一下学期第三次考试
数学试卷参考答案（文）
一、选择题：
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
D A C D D[ 来 源 :
学 & 科 & 网
Z&X&X&K]
C B B C A C D
二、填空题：
13. 2 14. 1 011 00 (2) 15.2 16.(1)(4)
三、解答题:
17.解：
(1)原式 1
… …5 分
(2)原式= = =-
1 … …10 分
18 解：依题得： ，
;
……2 分
（1） ……6 分
（2）
． ……12 分
19.解：(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以 a＝25.
且 b＝25×
0.08
0.02＝100.
总人数 N＝
25
0.02×5＝250. ……3 分
(2)因为第 1,2,3 组共有 25＋25＋100＝150 人，利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人，每组抽取
的人数分别为：
第 1 组的人数为 6×
25
150＝1，
第 2 组的人数为 6×
25
150＝1，
第 3 组的人数为 6×
100
150＝4，
所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人． ……6 分
(3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A，第 2 组的 1 人为 B，第 3 组的 4 人分别为 C1，C2，C3，C4，则从 6 人
中抽取 2 人的所有可能结果为：
(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，
(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有 15 种．
其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2 )，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，
C2)，(B，C3)，(B，C4)，共有 8 种．
所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为
8
15. ……12 分
20.解：（1）由题意可知， xiyi=985， =121， =4.2， =31，
∴ = =10， ∴ =31﹣4.2×10=﹣11，
∴ =10x﹣11； ……8 分
（2）当 x=12 时， =10×12﹣11=109，
即该演员上春晚 10 次时的粉丝数约为 109 万人． ……12 分
21.解：(1)由题设知 ＝(n－8，t)， ∵ ⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵| |＝| |， ∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得 t＝±8.
当 t＝8 时，n＝24； t＝－8 时，n＝－8，
∴ ＝(24,8)或 ＝(－8，－8)． ……6 分
(2)由题设知 ＝(ksin θ－8，t)，
∵ 与 a 共线，
∴t＝－2ksin θ＋16，
tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ
＝－2k
4
k2＋
32
k . ……8 分
∵k＞4，∴0＜
4
k＜1，
∴当 sin θ＝
4
k时，tsin θ取得最大值
32
k .
由
32
k ＝4，得 k＝8，
此时θ＝
π
6 ， ＝(4,8)．
∴ · ＝(8,0)·(4,8)＝32 ……12 分
22 解：解：（1）由最低点为 得 A=1.
由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ，
即 T= ， ……3 分
由点 在图象上得，
故 ∴
又 ∴ ……6 分
(Ⅱ)将 的图象向右平移个 个单位后,得到 的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸
长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 的图象.
所以 ……………8 分
因为 ,所以
在区间 上有且只有一个实数解,即函数 与 在区间 上有且只有
一个交点,由正弦函数的图象（图略）可知 或 ……………10 分
所以 或 ……………12 分
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