许昌五校2016年高一5月联考数学（理）试题及答案

许昌市五校联考高一下期第三次考试 数学（理科）试卷 考试时间：120 分钟 分值： 150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 为支援西部教育事业，从某校 118 名教师中随机抽取 16 名教师组成暑期西部讲师团. 若先用简单随机抽样从 118 名教师中剔除 6 名，剩下的 112 名再按系统抽样的方法 进行，则每人入选的可能性（ ） A．不全相等 B．都相等，且为 1 7 C．均不相等 D. 都相等，且为 8 59 2．把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红 牌”是( ) A．互斥但不对立事件 B．对立事件 [来源:学|科|网 Z|X|X|K] C．不可能事件 D．必然事件 3．为了得到函数 sin 2y x 的图像，只需把函数 cos2y x 的图像上所有的点 （ ） A．向左平移 2  个单位长度 B．向右平移 2  个单位长度 C．向右平移 4  个单位长度 D．向左平移 4  个单位长度 4. 设 a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( ) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D． c>b>a 5．函数 f(x)＝2x－tan x 在 －π 2 ，π 2 上的图象大致是( ) A B C D 6. 定义运算 a b 为执行如图所示的程序框图输出的 s 值，则 5 5(2 cos ) (2 tan )3 4   的值（ ） A．2 B．3 C．4 D． -1 7. 已知点 O 是△ABC 的外接圆圆心，且 AB=3，AC=4.若存 在非零实数 x、y，使得 AO xAB yAC    ，且 2 1x y  ，则 cos ∠BAC 的值为（ ） A. 3 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 1 3 8. 若实数 a，b 满足 a2＋b2≤1，则关于 x 的方程 x2－2x＋a＋b＝0 有实数根的概率是 （ ） A. 3 4 ＋ 1 π B. 3 4 ＋ 1 2π C. 3 5 ＋ 1 2π D. 3 5 ＋ 1 π 9. 已知函数 ( ) sin 3f x x x   ,则 1 2( ) ( )2015 2015f f 3 2015f      4029 2015f       的值为（ ） A． 4029 B． 4029 C． 8058 D．8058 10.函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω＞0，－π 2 ＜φ＜π 2 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A．2，－π 3 B．2，－π 6 C．4，－π 6 D．4，π 3 11.函数 ( ) cos ( 0)f x x   的图象关于点 3( ,0)4M  对称，且在区间[0, ]2  上是单调函 数，则的值为（ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 2 3 或 2 D． 2 3 或 1 2 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)＝ 2 2 2, [0,1) 2 , [ 1,0) x x x x       且 f(x＋1)＝-f(x)， g(x)＝2x＋5 x＋2 ，则方程 f(x )＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A．－10 B．－9 C．－8 D．－7 二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.一扇形的周长等于 4 cm ，面积等于 1 2cm ，则该扇形的 圆心角为 ． 14.把七进制数 62(7)化为二进制数为________． 15.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD,垂足为 P,且 AP=1,则 AP AC    =_________。 16.下列叙述： (1)函数 ( ) sin(2 )3f x x   的一条对称轴方程 12x   ； (2)函数 y＝|cos 2x＋1 2 |的最小正周期为π 2 ； (3)函数 y＝tan x 在定义域内为增函数； (4)函数 cos 3( ) cos xf x x  ， ( , )2 2x    有最小值，无最大值. 则所有正确结论的序号是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤，写在答题纸的相应位置） 17.（本小题满分 10 分） 已知关于 x 的方程  22 3 1 2 0x x m    的两根为sin 和 cos ： （1）求1 sin cos 2 sin cos 1 sin cos            的值 （2）求m的值． 18.（本小题满分 12 分） 如图，在平行四边形 ABCD， 1 2, , , .3 3AB a AD b CE CB CF CD           . (1)用 ,a b   表示 EF ; (2)若 1, 4a b   ，∠DAB=60°，分别求 EF  和 AC FE    的值. 19,(本小题满分 12 分) 某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在 25 岁至 50 岁 之间．按年龄分组：第 1 组[25,30)，第 2 组[30,35)，第 3 组[35,40)，第 4 组 [40,45)，第 5 组[45,50]，得到的频率分布直方图如图(18 题后)所示．下表是年 龄的频率分布表. 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数 25 a b (1)求正整数 a，b，N 的值； (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1,2,3 组的人数分别是 多少？ (3)在(2)的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人在第 3 组的概 率． 20.（本小题满分 12 分） 2015 年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注的关系，某网站对其中一位经常上春晚的演员 上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据： 上春晚次数 x （单位：次） 1 2 4 6 8 粉丝数量 y （单位：万人） 5 10 20 40 80 （1）若该演员的粉丝数量 y 与上春晚次数 x 满足线性回归方程，试求回归方程 ˆˆ ˆy bx a  （精确到 整数）； （2）试根据此方程预测该演员上春晚 12 次时的粉丝数； （参考公式：      1 2 1 ˆ ˆˆ n i i i n i i x x y y b a y bx x x           ， ．） 21.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a  ＝(－1,2)，又点 A(8,0)， B(n，t)，C(ksin θ，t) 0≤θ≤π 2 . (1)若  AB ⊥ a  ，且|  AB |＝ 5|  OA |，求向量  OB ； (2)若向量  AC 与向量 a  共线，当 k＞4，且 tsin θ取最大值 4 时，求  OA ·  OC . 22.（本小题满分 12 分） 已知函数          x xxf 3 3lg ，其中  3,3x （1）判别函数  xf 的奇偶性； （2）判断并证明函数  xf 在 3,3 上单调性； （3）是否存在这样的负实数 k ，使     0coscos 22  kfkf  对一切 R 恒成立，若存在，试 求出 k 取值的集合；若不存在，说明理由． 许昌市五校联考高一下期第三次考试 数学试卷参考答案（理） 一、选择题： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D A C D D C B B C A C D 二、填空题： 13. 2 14. 1 011 00 (2) 15. 2 16.(1)(4) 三、解答题: 17.解：依题得： ， ; ……2 分 （1） ……6 分 （2） ． ……10 分 18.解：（1） …5 分 (2) ∵ ∴ ∴ . 又 ， ……9 分[来源:Z§xx§k.Com] ……12 分 19.解：(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以 a＝25.且 b＝25×0.08 0.02 ＝100. 总人数 N＝ 25 0.02×5＝250. ……3 分 (2)因为第 1,2,3 组共有 25＋25＋100＝150 人，利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人，每组抽取 的人数分别为： 第 1 组的人数为 6× 25 150＝1，第 2 组的人数为 6× 25 150＝1， 第 3 组的人数为 6× 100 150＝4， 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人． ……6 分 (3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A，第 2 组的 1 人为 B，第 3 组的 4 人分别为 C1，C2，C3，C4，则从 6 人 中抽取 2 人的所有可能结果为： (A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)， (C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有 15 种． 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B， C2)，(B，C3)，(B，C4)，共有 8 种． 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 8 15. ……12 分 20.解：（1）由题意可知， xiyi=985， =121， =4.2， =31， ∴ = =10， ∴ =31﹣4.2×10=﹣11， ∴ =10x﹣11； ……8 分 （2）当 x=12 时， =10×12﹣11=109， 即该演员上春晚 10 次时的粉丝数约为 109 万人． ……12 分 21.解：(1)由题设知 ＝(n－8，t)， ∵ ⊥ ，∴8－n＋2t＝0. 又∵| |＝| |， ∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得 t＝±8. 当 t＝8 时，n＝24； t＝－8 时，n ＝－8， ∴ ＝(24,8)或 ＝(－8，－8)． ……6 分 (2)由题设知 ＝(ksin θ－8，t)，∵ 与 共线， ∴t＝－2ksin θ＋16， tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ＝－2k 4 k2＋ 32 k . ……8分 ∵k＞4，∴0＜ 4 k＜1，∴当 sin θ＝ 4 k时，tsin θ取得最大值 32 k . 由 32 k ＝4，得 k＝8，此时θ＝ π 6 ， ＝(4,8)． ∴ · ＝(8,0)·(4,8)＝32 ……12 分 22.解：（1） 是奇函数． ……3 分 （2）任取 是 上的减函数； ……3 分 （3） 是 上的减函数 令 同理：由 得： 由 得： 即综上所得： 所 以存在这样的 k 其范围为 ……12 分