淮安市2014-2015第二学期高一期末调研数学试题及答案

淮安市 2014－2015 学年度第二学期期末高一调查测试 数 学 试 卷 2015.07 本试卷满分共 160 分；考试时间 120 分钟。 参考公式 样本数据 x1，x2，…，xn 的方差 s2＝1 n i＝1 ∑ n (xi－－x )2，其中－x ＝1 n i＝1 ∑ n xi． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程． 请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合    1,1,3 , 3A B x x    ，则 A B  ▲ ． 2．已知角 的终边过点  3,4P  ，则 cos  ▲ ． 3．方程 2 1 12 4 x  的解 x  ▲ ． 4. 某单位有青年职工、中年职工、老年职工共 900 人，其中青年职工 450 人，为迅速了 解职工的家庭状况，采用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为 15 人， 则抽取的样本容量为 ▲ ． 5．下图是一个算法的流程图，当 n 是 ▲ 时运算结束. 6．已知函数      2 2 cosx xf x m x x    R 是奇函数，则实数 m  ▲ ． 7．现有 7 根铁丝，长度（单位：cm）分别为 2.01，2.2，2.4，2.5，2.7，3.0，3.5，若 从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差 0.3cm 的概率是 ▲ ． 8．已知函数    1 3 tan cos , 0, 2f x x x x       ，则  f x 的最大值为 ▲ ． 9．已知等比数列{ }na 中， 6 2a  ，公比 0q  ，则 2 1 2 2 2 11log log loga a a    ▲ ． 10. 已知实数 ,x y 满足 0, 0, 2 8, 3 x y x y x y      ≥ ≥ ≤ ≤9, ,则 2 3z x y  的最大值是 ▲ . 1S  1n  2nS S  1n n  33S ≥ 是 否 输出 S开始 结束 第 5 题图 A CB D E 第12题图 11．已知函数 2 2 1, 0 ( ) 2 , 0 x x f x x x x     ≤ ，若函数 ( ) ( )g x f x m  有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是 ▲ ． 12．如图，在 ABC 中，若 2BE EA  ， 2AD DC  ， ( )DE CA BC    ，则实数 = ▲ ． 13．已知公差不为 0 的等差数列 na ，其前 n 项和为 nS ，若 1 3 4, ,a a a 成等比数列，则 3 2 5 3 S S S S   的值为 ▲ ． 14 ． 已 知 函 数 1lg( 1)y x   的 定 义 域 为 A ， 若 对 任 意 x A 都 有 不 等 式 29 2 22 2 x m x mxx     恒成立，则正实数 m 的取值范围是 ▲ ． 二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案写在答． 题卡相应位置．．．．．．上. 15.(本小题满分 14 分) 已知数列 na 的前 n 项和 22 4n nS   . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设等差数列 nb 满足 7 3b a ， 15 4b a ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 16.在平面直角坐标系上，第二象限角 的终边与单位圆交于点 0 3,5A y    ． （1）求 22sin   sin 2 的值； （2）若向量OA  与OB  夹角为 60 ，且 2OB  ，求直线 AB 的斜率． 17. (本小题满分 14 分) 第 17 题图 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位: 分).已知甲代表队数据的中位数为 76， 乙代表队数据的平均数是 75. （1）求 x ， y 的值； （2）若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩 不低于 80 分的学生，求抽到的学生中，甲队 学生成绩不低于乙队学生成绩的概率； （3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明 理由（方差较小者稳定）. 18．(本小题满分 16 分) 对于函数 1 2( ), ( ), ( )f x f x h x ，如果存在实数 ,a b 使得 1 2( ) ( ) ( )h x a f x b f x    ，那么 称 ( )h x 为 1 2( ), ( )f x f x 的生成函数． （1）下面给出两组函数， ( )h x 是否分别为 1 2( ), ( )f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组： 1 2( ) sin , ( ) cos , ( ) sin( )3f x x f x x h x x     ； 第二组： 1)(,1)(,)( 22 2 2 1  xxxhxxxfxxxf ； （2）设    1 2 2 1 2 log , log , 2, 1f x x f x x a b    ，生成函数 ( )h x ． 若不等式 23 ( ) 2 ( ) 0h x h x t   在 [2, 4]x 上有解，求实数t 的取值范围. 19. (本小题满分 16 分) 如图，有一直径为 8 米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种 植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆 周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要， 该光源照射范围是 6ECF   ,点 ,E F 在直径 AB 上， 且 6ABC   ． （1）若 13CE  ，求 AE 的长； （2）设 ACE   , 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积． 20．(本小题满分 16 分) 已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足： 2 1)n nS a （ ，数列 nb 满足：对任意 *n N 有 1 n i i i a b   1( 1) 2 2nn     . （1）求数列 na 与数列 nb 的通项公式； （2）记 n n n bC a  ，数列 nC 的前 n 项和为 nT ，证明：当 6n≥ 时， 2 1nn T  ． 第 19 题图 2014－2015 学年度高一调查测试 数学试卷参考答案与评分标准 2015.6 一、填空题： 1． 1,1 2． 3 5  3． 1 2  4. 30 5．5 6． 1 7． 1 7 8．2 9．11 10.13 11． 0,1 12． 1 3 13．2 14． 3 60, 1 2       二.解答题: 15.（1）因为数列 na 的前 n 项和 22 4n nS   . 所以 3 1 1 2 4 4a S    ，……………………………………………………………2 分 当 1n  时， 2 1 1 1 (2 4) (2 4) 2n n n n n na S S           ，…………………………4 分 因为 1n  时也适合，所以 12 ( *)n na n N  ；…………………………………6 分 （2）设等差数列 nb 的首项为 1b ，公差为 d ，因为 7 3b a ， 15 4b a ， 12n na  所以 1 1 6 16, 14 32. b d b d      …………………………………………………………10 分 解得 1 4, 2. b d    ……………………………………………………………………12 分 所以数列 nb 前 n 项和 2 1 ( 1) 32n n nT nb d n n    .……………………14 分 16.（1）因为角 的终边与单位圆交于点 0 3,5A y    ，所以 2 2 0 3( ) 15 y   ， 解得 0y = 4 5  ，又因为角 是第二象限角， 所以 0y = 4 5 ，所以sin = 4 5 ，cos = 3 5  ，……………………………………2 分 所以 22sin   sin 2  22sin 2sin cos   2  24( )5 4 32 ( )5 5     8 25  ；………………………………………6 分 （2）由（1）知， 3 4,5 5OA       ，设 B 点坐标为 ( , )m n ，则 OB  = ( , )m n ， 因为 2OB  ，所以 2 2 4m n  ，……………………………………………8 分 又因为OA  与OB  夹角为 60 ，所以 cos60OA OB OA OB      ， 即 3 4 15 5m n   ，……………………………………………………………10 分 联立解得 3 4 3 5 4 3 3 5 m n      或 3 4 3 5 4 3 3 5 m n      ， 所以 B 点坐标为( 3 4 3 5   , 4 3 3 5  )或（ 3 4 3 5   ， 4 3 3 5  ），…12 分 所以 4 3 3 3,5 5AB        或 4 3 3 3,5 5AB         ， 所以直线 AB 的斜率为 3 4 ．……………………………………………………14 分 17.（1）因为甲代表队的中位数为 76，其中已知 高于 76 的有 77，80，82，88，低于 76 的有 71，71， 65，64，所以 6x  ；………………………2 分 因为乙代表队的平均数为 75，其中超过 75 的差值为 5，11，13，14，和为 43，少于 75 的差值为 3，5， 7，7，19，和为 41，所以 3y  ；…………4 分 （2）甲队中成绩不低于 80 的有 80，82，88； 乙队中成绩不低于 80 的有 80，86，88，89， 甲、乙两队各随机抽取一名，种数为 3 4 12  ，………………………………………6 分 其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80，80；82，80；88，80；88，86；88， 88。种数为 3+1+1=5， …………………………………………………………………8 分 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 5 12P  ．…………………………10 分 （3）因为甲的平均数为  1 64 65 71 71 76 76 77 80 82 88 7510x           甲 ，…………………………11 分 所以甲的方差          2 2 2 2 22 1= [ 64 75 65 75 71 75 71 75 76 7510s         甲    2 276 75 77 75         2 2 280 75 82 75 88 75 ] 50.2       ， ……………12 分 又乙的方差          2 2 2 2 22 1= [ 56 75 68 75 68 75 70 75 72 7510s         乙    2 273 75 80 75         2 2 286 75 88 75 89 75 ] 70.3       ， ……………13 分 因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定. ……………………14 分 18．（1）① 设 sin cos sin( )3a x b x x    ，即 1 3sin cos sin cos2 2a x b x x x   ， 取 1 3,2 2a b  ，所以 ( )h x 是 1 2( ), ( )f x f x 的生成函数．……………………………4 分 ② 设 2 2 2( ) ( 1) 1a x x b x x x x       ，即 2 2( ) ( ) 1a b x a b x b x x       ， 则 1 1 1 a b a b b         ，该方程组无解。所以 ( )h x 不是 1 2( ), ( )f x f x 的生成函数．………8 分 （2）因为    1 2 2 1 2 log , log , 2, 1f x x f x x a b    ， 所以 1 2 2 1 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2log log logh x f x f x x x x     ， 不等式 23 ( ) 2 ( ) 0h x h x t   在 [2, 4]x 上有解， 等价于 2 2 2 23 ( ) 2 ( ) 3log 2logt h x h x x x      在 [2, 4]x 上有解，………12 分 令 2logs x ，则 [1, 2]s ，由 2 2 2 23log 2log 3 2y x x s s      ， 知 y 取得最小值 5 ，所以 5t   ．………………………………………………16 分 19．（1）连结 AC ，已知点 C 在以 AB 为直径的半圆周上，所以 ABC 为直角三角形， 因为 8AB  ， 6ABC   ，所以 3BAC   ， 4AC  ， 在 ACE 中由余弦定理 2 2 2 2 cosCE AC AE ACAE A   ，且 13CE  ， 所以 213 16 4AE AE   ， 解得 1AE  或 3AE  ，…………6 分 （2）因为 2ACB   ， 6ECF   ， 所以 ACE   [0, ]3  ， 所以 3 6 2AFC A ACF                     ， 在 ACF 中由正弦定理得： sin sin cossin( )2 CF AC AC AC A CFA       所以 2 3 cosCF  ，……………………………………………………………8 分 在 ACE 中，由正弦定理得： sin sin sin( )3 CE AC AC A AEC      所以 2 3 sin( )3 CE     ，……………………………………………………10 分 若产生最大经济效益，则 CEF 的面积 MCNS 最大， 1 3 12sin2 sin( )cos 2sin(2 ) 33 3 ECFS CE CF ECF              ，………………14 分 因为 [0, ]3   ，所以 0 sin(2 ) 13  ≤ ≤ 所以当 = 3  时， MCNS 取最大值为 4 3 ，此时该地块产生的经济价值最大．…16 分 20.（1）当 1n  时， 1 1 12( 1)S a a   ，所以 1 2a  ， 当 1n  时， 1 12( )n n n n na S S a a     ， 所以数列 na 是以 1 2a  ，公比 2q  的等比数列， 通项公式为 2 ( )n na n N   .………………………………………………………2 分 由题意有 1 1a b  2(1 1) 2 2 2    ，得 1 1b  . 当 2n≥ 时， n na b  1 1 2 2( )n na b a b a b   1 1 2 2 1 1( )n na b a b a b     1( 1) 2 2nn        ( 2) 2 2nn      2nn ，于是得 nb n 故数列 nb 的通项公式为 nb n ( )n N  ．………………………………………6 分 （2） 证明： nT = 1 2 1 2 n n bb b a a a    = 2 1 2 2 2 2n n   ，所以 1 2 nT = 2 3 1 1 2 2 2 2n n    ， 错位相减得 1 2 nT = 2 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2n n n      ， 所以 2nT   2 2n n  ，即 2 nT  2 2n n  ，………………………………………10 分 下证：当 6n≥ 时， ( 2) 12n n n   ，令 ( )f n = ( 2) 2n n n  ， ( 1) ( )f n f n  = 1 ( 1)( 3) ( 2) 2 2n n n n n n     = 2 1 3 2n n   当 2n≥ 时， ( 1) ( ) 0f n f n   ，即当 2n≥ 时， ( )f n 单调减，又 (6) 1f  ， 所以当 6n≥ 时， ( ) 1f n  ，即 ( 2) 12n n n   ，即当 6n≥ 时， 2 1nn T  .……16 分 系列资料