武汉市二中2015年下学期高一数学（理）期末试卷及答案

2014——2015 学年下学期 高一年级期末考试 数学（理科）试卷 命题教师: 江峰 审题教师: 赖海燕 考试时间: 2015 年 7 月 2 日 上午 9: 00—11: 00 试卷满分: 150 分 一、选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. 1.sin15 cos15  的值为 （ ） A. 1 2 B. 6 4 C. 6 2 D. 3 2 2 2. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为 （ ） ]3. 设 ,a b 是两条不同的直线, ,  是两个不同的平面, 则能得出 a b 的是 （ ） A. a  , / /b  ,   B. a  , b  , / /  C. a  , b  , / /  D. a  , / /b  ,   4.{ }na 为等差数列, nS 为其前 n 项和, 7 75 21a S ， ，则 10S  （ ） A. 40 B. 35 C. 30 D. 28 5. 如图所示, 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, BC＝AC, AC1⊥A1B, M, N 分别为 A1B1, AB 的中点, 给出下列结论: ①C1M⊥平面 A1ABB1; ②A1B⊥AM; ③平面 AMC1 ∥平面 CNB1.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在 ABC 中, 若 2, 60 , 7a B b     , 则 BC 边上的高等于（ ） 侧视 A. B DC A. 3 3 2 B. 3 C. 3 D. 5 7. 已知圆 C: x2＋y2－2x＝1, 直线 l: y＝k (x－1)＋1, 则与 C 的位置关系是 （ ） A. 一定相离 B. 一定相切 C. 相交且一定不过圆心 D. 相交且可能过圆心 8. 已知 ,a b 是正数, 且满足 2 2 4a b   . 那么 2 2a b 的取值范围是 （ ） A. 4 16( , )5 5 B. 4( ,16)5 C.(1,16) D. 16( ,4)5 9. 已知数列{ }na 满足 * 7 (1 3 ) 10 , 6( ) , 6      Nn n a n a na n a n , 若{ }na 是递减数列, 则实数 a 的 取值范围是 （ ） A. ( 3 1 , 1) B. ( 3 1 , 2 1 ) C. ( 8 5 , 1) D. ( 3 1 , 8 5 ) 10. 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1, E, F 分别为线段 AA1, B1C 上的点, 则三棱锥 D1 EDF 的体积为 A. 1 6 B. 1 5 C. 1 4 D. 5 12 11. 在 Rt ABC 中, 90C   , 4, 2AC BC  , D 是 BC 的中点, 若 E 是 AB 的中点, P 是 ABC （包括边界）内任一点. 则 AD · EP 的取值范围是 （ ） A. [ 6,6] B. [ 9,9] C. [0,8] D. [ 2,6] 12. 数列 na 满足: 1 1a  , 且对每个 n  N , 1,n na a  是方程 2 3 0nx nx b   的两根, 则 nb 的 前 6 项的和的 4 倍为 （ ） A. 183 B. 132 C. 528 D. 732 二、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分 13. 已知 ,x y 满足约束条件 2 4, 2 4 0 0 x y x y x y         ， ， 则 z x y  的最大值为 . 14. 已 知 圆 C : 2 2 6 8 0x y x    , 直 线 y kx 与 圆 C 相 切 , 且 切 点 在 第 四 象 限 , 则 k  . 15. 已 知 0＞x , 0＞y , 且 412  yx , 若 622 2  mmyx 恒 成 立 , 则 m 的 取 值 范 围 是 ___________________ 16. 等差数列{ }na 中, 11 10 1a a   , 且其前 n 项和 Sn 有最小值, 以下命题正确的是 . ①公差 0d  ; ②{ }na 为递减数列; ③S1, S2……S19 都小于零, S20, S21……都大于零; ④ 19n  时, Sn 最小; ⑤ 10n  时, Sn 最小. 三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 17、18 题 10 分, 19、20、21 题 12 各 12 分, 22 题 14 分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 公差不为零的等差数列 na 中, 3 7a  , 2 4 9, ,a a a 成等比数列. (1) 求数列 na 的通项公式; (2) 设 2 na nb  , 求数列 nb 的前项和 nS . 18. 已知 f(x)＝a·b, 其中 a＝(2cos x, － 3sin 2x), b＝(cos x, 1)(x∈R). (1) 求 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, f(A)＝－1, a＝ 7, AB→ ·AC→ ＝3, 求 b 和 c 的值(b＞c). 19. 已知直线 l 的方程为 t(x1)+2x+y+1＝0 (t∈R) (1) 若直线 l 在两坐标轴上的截距相等, 求直线 l 的方程; (2) 若直线 l 不经过第二象限, 求实数 t 的取值范围. 20. 已知圆 C: x2＋y2＋x－6y＋m＝0 与直线 l: x＋2y－3＝0. (1) 若直线 l 与圆 C 没有公共点, 求 m 的取值范围; (2) 若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点, O 为原点, 且 OP⊥OQ, 求实数 m 的值. 21. 如图, 在四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, 平面 PAB⊥平面 ABCD, PA＝PB ＝AB＝ 1 2 AD,∠BAD＝60º, 点 E,F 分别为 AD,PC 的中点. (1) 求证: EF∥平面 PAB; (2) 求二面角 DPAB 的余弦值. 22. 设 nS 是非负等差数列 na 的前 n 项和, , ,m n p N  ,若 2m n p  , 求证: (1) 2 3 2, ,n n n n nS S S S S  成等差数列; (2) 1 1 2 m n pS S S   . 2014——2015 学年下学期 高一年级期末考试 数学试卷参考答案 1－6 CDCADA 7－12 CBDABD 13. 8 3 ; 14 . 2 4  ; 15 2 4m   ; 16. ①③⑤ 17. (1) 数列{an}的通项公式为 3 2na n  (2) 3 22 n nb  ,数列{bn}是以 2 为首项，8 为公比的等比数列， 2 (8 1)7 n nS   18. (1) T＝π f(x)的单调递减区间为 kπ－π 6 ，kπ＋π 3 ，k∈Z (2) b＝3，c＝2 19. (1)当直线 l 过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零，此时相等， 所以 t＝1，直线 l 的方程为 3x＋y＝0. 当直线 l 不过原点时，由截距存在且均不为 0， 得 1 2 t t   ＝t－1，即 t＋2＝1， 所以 t＝－1，直线 l 的方程为 x＋y＋2＝0. 故所求直线 l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0. (2)将直线 l 的方程化为 y＝－(t＋2)x＋t－1， 因为 l 不经过第二象限， 所以 ( 2) 0 1 0 t t       或 ( 2) 0 1 0 t t       所以 t≤－2， 所以 t 的取值范围是(－∞，－2]. 20.(1)圆的方程为(x＋1 2)2＋(y－3)2＝37－4m 4 ， 故有37－4m 4 >0，解得 m0 成立，∴m＝3. 21.（1）如图，取 PB 的中点 G，联结 AG，FG， ∵点 F 为 PC 的中点， ∴FG∥BC,且 FG= 1 2 BC 又底面 ABCD 是平行四边形，点 E 为 AD 的中点 ∴AE∥BC,且 AE= 1 2 BC ∴FG∥AE 且 FG=AE ∴四边形 AEFG 是平行四边形 ∴EF∥AC,又 AG  平面 PAB， EF  平面 PAB ∴EF∥平面 PAB （2）如图，取 PA 的中点 N，连 BN,DN ∵△PAB 是等边三角形, ∴BN⊥PA. ∵AB= 1 2 AD,∠ BAD=60º ∴△ABD 是直角三角形，且∠ ABD=90º 又平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD＝AB. BD  平面 ABCD, BD ⊥AB ∴BD⊥平面 PAB 又 PB 平面 PAB，∴BD⊥PB 又 PB=AB, ∴Rt△PBD ≌ Rt△ABD ∴PD =AD,DN⊥AP， ∴∠DNB 是二面角 DPAB 的平面角． 由 BD⊥平面 PAB 可知 BD ⊥BN, 在 Rt△BDN 中,BD= 3 AB=2BN,DN= 5 BN, ∴ 5cos 5 BNDNB DN    ∴二面角 DPAB 的余弦值为 5 5 22. (1) 证明略 (2)证明：在等差数列 na 中，由 2 ,m n p  易得 2m n pa a a  ，等式两边同时加 12a ， 得 1 1 1( ) ( ) 2( )m n pa a a a a a     . 由等差数列前 n 项和公式化简得 2 pm n SS S m n p   ，有 21 1 1 1 1 1 1 1 12m n m n m n n m S S S S S S m n m n S m S n m n mn m n                          因此， 221 1 1 1p m n S S S p m n             ， 故 2 21 1 1 1 ( ) 1 1 2 4m n p p p m n S S S Sm n m n                 . 又 2 2( )2( ) 1 1 8 4 4 4p p p n m m n m n m n mn S S Sm n           （以上等号可同时成立） 故 1 1 2 m n pS S S   成立