南京市中考一模数学试卷与答案

【联合体】2019 年中考模拟卷（一） 数学 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题所给的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1、 9 的值等于 A．3 B．-3 C． 3 D． 3 2、下列运算结果正确的是 A． 6 3 2a a a  B． 32 5a a C． 32 6ab ab D． 2 3 5a a a 3、已知 a 为整数，且满足 5 10a＜ ＜ ，则 a 的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 4、已知反比例函数 ky x 的图像经过点  1,3 ，若 x＜-1，则 y 的取值范围为 A． 3y ＞ B． 3y＜ C． 3 0y ＜ ＜ D．0 3y＜ ＜ 5、如图，将△ABC 绕点 A 旋转任意角度得到△ ' 'AB C ，连接 'BB 、 'CC ，则 ': 'BB CC 等于 A． :AB AC B． :BC AC C． :AB BC D． :AC AB 6、如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E,F 分别是 BC、CD 上的动点，且 EF=4，G 是 EF 中点，下列结论正确的是 A． AG EF B． AG 长度的最小值是 4 2 2 C． 4BE DF  D．△EFC 面积的最大值是 2 二、填空题（本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答题卡相应位置上） 7、在-3、4、-2、5 四个数中，任意两个数之积的最小值为________． 8、2018 年江苏省实现 GDP 约 92500 亿元.用科学记数法表示 92500 是________． 9、若式子 1 x x  在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是________． 10、计算 112 6 2  的结果是________． 11、已知关于 x 的方程 2 2 0x mx   的两个根为 1x 、 2x ，若 1 2 1 2 6x x x x   ，则 m  ______． C' B' C BA （第5题） G F E D CB A （第6题） 12、点 1( , )m y ， 2( 1, )m y 都在函数 y kx b  的图像上，若 1 2 3y y  ，则 k  _____________． 13、某校九年级（1）班 40 名同学期末考试成绩统计如下． 成绩 x （单位：分） 60 70x  70 80x  80 90x  90 100x  人数 4 14 16 6 下列结论：①成绩的中位数在80 90x  ；②成绩的众数在80 90x  ；③成绩的平均 数可能为 70；④成绩的极差可能为 40.其中所有正确结论的序号是________． 14、如图，将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 绕顶点 A 顺时针旋转 60°，则旋转后所得图形 与正六边形 ABCDEF 重叠部分的面积为________． 15、如图，在矩形 ABCD 中， 4AB  ， 6BC  ，E 为 AD 中点， CED 的外接圆与 BE 交于 点 F ，则 BF 的长度为____________． 16、如图， AB 是 O 的弦，若 O 的半径长为 6， 6 2AB  ，在 O 上取一点 C ，使得 8 2AC  ，则弦 BC 的长度为____________． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17、（7 分）计算 3 12 2 2 4 mm m m        . 18、（7 分）解不等式组 2 5 1 1.3 2 x x x    ＜ ， ＜ 并把不等式组的解集在数轴上表示出来． F E D C BA （第14题） F E D C A B （第15题） BA O （第16题） 1 2 3 4-1-2-3 0-4 19、（7 分）某区对参加 2019 年中考的 3000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制 出如下频数分布表和频数分布直方图。 某区2019年初中毕业生视力调查频数分布表 某区 2019年初中毕业生视力调查频数分布直方图 视力 x 频数/人 频率 4.0≤x＜4.3 50 0.25 4.3≤x＜4.6 30 0.15 4.6≤x＜4.9 60 0.30 4.9≤x＜5.2 a 0.25 5.2≤x＜5.5 10 b 请根据图表信息回答下列问题： ⑴在频数分布表中，a 的值为 ，b 的值为 ； ⑵将频数分布直方图补充完整； ⑶若视力在 4.9 以上（含 4.9）均为正常，根据以上信息估计全区初中毕业生中视力正 常的学生有多少人? 20、（8 分）在课外活动时间，小明、小华、小丽做“互相传球”游戏（球从一人随机传给 另一人），球从一人传到另一人就记为一次传球，现从小明开始传球。 ⑴经过三次传球后，求球仍传到小明处的概率； ⑵经过四次传球后，下列说法：①球仍传到小明处的可能性最大；②球传到小华处的可 能性最大；③球传到小华和小丽处的可能性一样大。其中所有正确结论的序号是（ ） A.①③ B.②③ C.①②③ 21、（7 分）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点 E、F， BE=CF，求证 AD 是△ABC 的角平分线． FE D CB A 22、（6 分）【阅读材料】 南京市地铁公司规定：自 2019 年 3 月 31 日起，普通成人持储值卡乘坐地铁出行，每个 自然月内，达到规定消费累计金额后的乘次，享受相应的折扣优惠，地铁出行消费累计 金额月底清零，次月重新累计． 比如：李老师二月份无储值卡消费 260 元，若采用新规持储值卡消费，则需付费 150 0.95 50 0.9 60 0.8 235.5      元． 【解决问题】 甲、乙两个成人二月份无储值卡乘坐地铁消费金额合计 300 元（甲消费金额超过 150 元，但不超过 200 元）.若两人采用新规持储值卡消费，则共需付费 283.5 元.求甲、乙 两人二月份乘坐地铁的消费金额各多少元？ 23、(9 分)甲、乙两艘快艇同时从 A 港口沿直线驶往 B 港口，甲快艇在整个航行的过程中速 度v海里/小时与航行时间t小时的函数关系如图①所示（图中的空心圆表示不含这一点）， 乙快艇一直保持匀速航行，两快艇同时到达 B 港口. ⑴A、B 两港口之间的距离为_______海里； ⑵若甲快艇离 B 港口的距离为 s1 海里，乙快艇离 B 港口的距离为 s2 海里，请在图②中 分别画出 s1、s2 与 t 之间的函数图像. ⑶在整个航行过程中，航行多少小时时两快艇相距 5 海里？ 图① 图② O t/小时 v/(海里/小时) 60 30 31 s/海里 t/小时O 165 150 135 120 105 90 75 60 45 30 15 321 24、(8 分)如图，有两座建筑物 AB 与 CD，从 A 测得建筑物的顶部 D 的仰角为 16°，在 BC 上有一点 E，点 E 到 B 的距离为 24 米，从 E 测得建筑物的顶部 A、D 的仰角分别为 37°、 45°，求建筑物 CD 的高度． （参考数据： tan16 0.30 , tan37 0.75   ） 25、（9 分）已知二次函数 2 2y mx mx  （ m 为常数，且 0m  ）． ⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图像与 x 轴有两个公共点． ⑵将该函数的图像向左平移 2 个单位． ①平移后函数图像所对应的的函数关系式为 ______； ②若原函数图像顶点为 A，平移后的函数图像顶点为 B，△OAB 为直角三角形（O 为原点），求 m 的值． 26、（10 分）如图，在□ABCD 中，连接 AC， O 是△ABC 的外接圆， O 交 AD 于点 E． ⑴求证：CE CD ⑵若 ACB DCE   ①求证 CD 与 O 相切 ②若 O 的半径是 5， 4 5BC  ,则 AE= ． (第 26 题) 16° 45°37° E D CB A （第24题） O E D CB A 27、（10 分）如图①，在□ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 AE=CF，连接 AF、 BE 交于点 G，连接 CE、DF 交于点 H． ⑴求证四边形 EGFH 为平行四边形． ① ⑵提出问题： 在 AD、BC 边上是否存在点 E、F，使得四边形 EGFH 为矩形？ 小明从特殊到一般进行了探究： 【特殊化】 如图②，若∠ABC=90°，AB=2，BC=6．在 AD、BC 边上是否存在点 E、F 使得四 边形 EGFH 为矩形？若存在，求出此时 AE 的长度；若不存在，说明理由． ② 【一般化】 如图③，若∠ABC=60°，AB=m，BC=n．在 AD、BC 边上是否存在点 E、F 使得四 边形 EGFH 为矩形？根据点 E、F 存在（或不存在）的可能情况，写出对应的 m、n 满足的条件．存在时直接写出 AE 的长度．（用含有 m、n 的代数式表示） ③ H G F E D CB A A B C D A B C D 【联合体】2019 年中考模拟试卷（答案） 数学 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D B C A B 二、填空题 题号 7 8 9 10 11 答案 -15 49.25 10 1x  3 3 -4 题号 12 13 14 15 16 答案 -3 ①④ 2 3 3.6 8 2 2 或8 2 2 三、解答题 17、解：原式=  2 2 21 2 1 mm m m     =  2 1m  = 2 2m  18、解： 2 5 1 13 2 ＜ …① ＜ …② x x x   由①得 3x＜ ，由②得 3x ＞ ， ∴不等式组的解集为 3 3x ＜ ＜ 19、⑴50；0.05 ⑵ ⑶900 20、⑴ 1 4 (树状图或者列表法) ⑵ A 1 2 3 4-1-2-3 0-4 21、证明：∵点 D 是 BC 中点，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴  △ ≌△BDE CDF HL ∴ B C   ∴ AB AC ∴AD 是角平分线（三线合一） 22、解：设甲二月份消费金额 x 元，则乙二月份消费金额 300 x 元． ∵150 200＜x  ∴乙的消费金额小于 150 元 由题意得：    150 0.95 150 0.9 300 0.95 283.5x x        解得： 180x  300-180=120（元） 答：甲二月份消费金额 180 元，乙二月份消费金额 120 元． 23、⑴150 ⑵如图: ⑶由图可知，      0 ,150 , 1,120 , 3 , 0A B C 设：线段 AC 表达式为 1 1ACs k t b  ，线段 AB 表达式为 2 2ABs k t b  线段 BC 表达式 3 3BCs k t b  待定系数法可求出：  50 150 0 3ACs t t      30 150 0 1ABs t t      60 180 1 3BCs t t     ①当0 1t  时， 5AB ACs s  30 150 50 150 5t t     ，解得 1 4t  ②当1 3t  时， 5BC ACs s  60 180 50 150 5t t     ，解得 5 2t  综上所述：当 1 4t  或 5 2t  时，两快艇相距 5 海里. B C A s2 s1 s/海里 t/小时O 165 150 135 120 105 90 75 60 45 30 15 321 FE D CB A F16° 45°37° E D CB A （第24题） 24、作 AF⊥CD 于点 F，设CD x 米. ∵ 90 , 45C DEC     ∴ 45EDC   ∴△DCE 为等腰直角三角形 ∴CE CD x  ∵ 90C B AFC       ∴四边形 ABCF 为矩形 ∴ 24AF BC x   ，CF AB 在 Rt△ABE 中 tan ABAEB BE  ∴ tan37 0.7524 AB  ， 18AB  在 Rt△ADF 中 tan DFDAF AF  ∵ 18DF CD CF CD AB x      ∴ 18tan16 0.3024 x x    解得： 36x  ，经检验， 36x  为原方程的解. ∴CD 的高度为 36 米 25、⑴由题意得： 2 2 24 ( 2 ) 4 0 4b ac m m m       ∵ 0m  ∴ 2 24 4 0b ac m   ∴不论 m 为何值时，该函数图像与 x 轴始终有两个交点. ⑵①  21y m x m   ②由题意得 原函数顶点坐标： (1, )A m 平移后函数顶点坐标： ( 1, )B m  o 点坐标为 (0,0) ∴ OA OB ∴ 90°AOB  ∵ 2 2 21OA OB m   , 2 4AB  ∴  22 1 4m  ∴ 1m   26、⑴由题意得 ∵ 180 180° °，ABC AEC AEC DEC       ∴ =ABC DEC  ∵ =ABC D  ∴ =D DEC  ∴ CD CE (2)①连接 OC 并延长交 AB 于点 F ∵ ,D ABC ACB DCE      ∴ BAC CED   ∵ D DEC   ∴ BAC ABC   ∴ CA CB ∴ CF AB ∴ 90°AFC BFC    F O E D CB A ∵ ∥AB CD ∴ 90°BFC FCD    ∴ CF CD ∵ 在 上C O ∴ 与 相切CD O ②过点 O 做 BC 的垂线交 BC 与点 G ∴ 2 5BG CG  ∴ 2 2 2 25 (2 5) 5OG OC CG     ∵ ,OGC BFC FCB OCG      ∴ ∽OGC BFC  ∴ OG CG OC BF FC BC   ∴ 5 2 5 5 4 5BF FC  ∴ 4, 8BF FC  ∵ ,ABC CED ACB DCE      ∴ ∽ACB DCE  ∴ DE CE AB BC  ∵ 2 8AB BF  ∴ 8CE DC AB   ∴ 8 8 4 5 DE  ∴ 16 5 5DE  ∴ 16 5 4 54 5 5 5AE AD DE     27、⑴证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， AE=CF ∴AE∥CF，DE=BF，DE∥BF ∴四边形 AECF、DEBF 是平行四边形 ∴GF∥EH，GE∥FH ∴四边形 EGFH 为平行四边形 ⑵【特殊化】 存在 解：设 AE=CF=x，则 BF=6 x ∵四边形 EGFH 为矩形 ∴∠AGB=90° ∴△AEB∽△BAF ∴ AE AB AB BF  即 2 2 6 x x   解之得： 3 5x   ∴当 AE=3 5 时，四边形 EGFH 为矩形. E F H G A B C D G F O E D CB A 【一般化】 当 3n m 时，不存在； 当 3n m 时，存在一组点 E、F， 2 n mAE  ； 当 3 2m n m  时，存在两组点 E、F，   2 23 2 n m n mAE    ； 当 2n m 时，存在一组点 E、F，   2 23 2 n m n mAE    ； 一般化解析（4 个图对应四个范围）： E E2 E1 E A B C D A B C D A B C DD CB A