常州市武进区九年级二模数学试卷及答案

九 年 级 教 学 情 况 调 研 测 试 2019.5 数 学 试 题 注意事项：1．本试卷共 6 页，满分为 120 分，考试时间为 120 分钟． 2．学生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具；若试题计算 没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号与 ）． 3．请将答案按对应的题号全部填写在答题纸上，在本试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给的四个选项中，只有 一个选项是正确的） 1．－（－2）的结果是 A．2 B．－2 C． 1 2 D． 1 2  2．为了解小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的 10 位居民，得到这 10 位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9 这组数 据的众数是 A．7 B．15 C．16 D．17 3．二次函数 22 1y x   图像的顶点坐标为 A．（0，0） B．（0， 1 ） C．（ 2 ， 1 ） D．（ 2 ，1） 4．如下图，直线 a∥b，直线 l 与直线 a ，b 分别相交于 A、B 两点，过点 A 作直线 l 的垂线交 直线b 于点 C，若 1 58   ，则 2 的度数为 A．32 B． 42 C．58 D．28 5．如下图，一位同学用直尺和圆规作出了△ABC 中 BC 边上的高 AD，则一定有 A. PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D. ∠QPC＝90° l a b A B C 2 1 （第 4 题图） A B C D Q P （第 5 题图） O A D B C   （第 7 题图） 6．据市统计局发布：2018 年我市有效发明专利数比 2017 年增长 12.5 %．假定 2019 年的年增 长率保持不变，2017 年和 2019 年我市有效发明专利分别为 a 万件和 b 万件，则 A．b＝(1＋12.5%×2)a B．b＝(1＋12.5%)2a C．b＝(1＋12.5%)×2 a D．b＝12.5%×2 a 7．如右上图，△AOB≌△ADC，点 B 和点 C 是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α， ∠ABO＝β，当 BC∥OA 时，α与β之间的数量关系为 A. α＝β B. α＝ 2 C. α＋β＝90° D. α＋β＝180° 8. 已知 P(2，2)，Q(2，4)，过点 P 作 x 轴的垂线，与一次函数 y＝x＋k 和函数 1( 0)ky xx   的图像分别相交于点 A、B，若 P、Q 两个点 都在线段 AB 上，则 k 的取值范围是 A．1 2k  B． 0 7k  C． 2 4k  D． 2 3k  二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 9． 25 的平方根为 ▲ ． 10．不等式 1 1 02 x   的解集是 ▲ ． 11．函数 1 3y x   中自变量 x 的取值范围是 ▲ ． 12．常州是一座有 3200 多年历史的文化古城， 4 月 29 日，地处市中心，总投资共需约 40 亿 元的青果巷历史文化街区一期修复并开放，40 亿元用科学记数法可表示为 ▲ 元． 13．一个事件经过 5000 次试验，它的频率是 0.32，它的概率估计值是 ▲ ． 14．如图，OB⊥OA，∠BOC＝40°，OD 平分∠AOC，则∠BOD＝ ▲ °． 15．如图，点 A、B、C、D、E 在⊙O 上，且劣弧 »AE 的度数为 40°，则∠B＋∠D 的度数为 ▲ °． O A C B D （第 14 题图） A E O B C D （第 15 题图） A D B E C （第 18 题图） 16．电焊工用一个圆心角为 150°，半径为 24 cm 的扇形白铁片制作一个圆锥的侧面（假设焊接 时缝隙宽度忽略不计），那么这个圆锥的底面半径为 ▲ cm． 17．观察下列一组数：1 3 5 7, , ,2 4 6 8   ，…… ，它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第 100 个数是 ▲ ． 18．如右上图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＋BC＝14，tanB＝0.75，点 D，E 分别是边 AB， BC 上的动点，则 DC＋DE 的最小值为 ▲ ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，如无特殊说明，解答 应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（本小题满分 6 分）计算： 113 12 4sin 602    （ ） . y xO B P QA （第 8 题图） 20．（本小题满分 8 分）解方程和不等式组： ⑴ 3 4 13 3 x x x     ； ⑵ 3( 4) 0, 5 6 8 . x x x      21．（本小题满分 8 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 D 旋转 90°得到矩形 A'B'C'D，其中点 A、B、 C 分别对应点 A'、B'、C'，此时，点 A' 落在 CD 边上，点 C' 在 AD 延长线上．连接 AC、 BD 相交于点 O，连接 A'C'、B'D 相交于点 O'，连接 OO'. ⑴ 直接写出∠OO'D＝ ▲ °； ⑵ 将△OO'D 绕点 O 旋转，使点 D 与点 A 重合，得△OEA, 点 O' 对应点 E，连接 O'E 交 AC 于点 M．求证：M 为 A C' 中点. 22.（本小题满分 8 分）随着我国经济的发展，人民对于美好生活的追求越来越高．某社区为了 解家庭对文化教育的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的文化教育年消费金额进 行问卷调査，根据调查结果绘制成统计图和统计表（部分数据未给出）． 请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： ⑴ 本次被调査的家庭有 ▲ 户，表中 m＝ ▲ ； ⑵ 本次调查数据的中位数出现在 ▲ 组．扇形统计图中，D 组所在扇形的圆心角是 ▲ 度； ⑶ 这个社区有2500户家庭，请你估计家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有多少户？ A D M C' E O A' B' O' B C 组別 家庭年文化教育消费金额 x（元） 户数 A x ≤ 5000 36 B 5000 ＜ x ≤ 10000 m C 10000 ＜ x ≤ 15000 27 D 15000 ＜ x ≤ 20000 15 E x ＞ 20000 30 23. （本小题满分 8 分）我市今年植树节的主题是“种好常州幸福树，建设生态园林城.”现有 20 名学生准备参加智慧城周围的植树活动，其中男生 8 人，女生 12 人． ⑴ 若从这 20 人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率； ⑵ 若活动中的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加， 游戏规则如下：将四张牌面数字分别为 2，3，4，5 的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌 面，从中任取 2 张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏对 甲、乙公平吗？请用树状图或列表说明理由． 24．（本小题满分 8 分）小明骑自行车从家中前往地铁一号线的 B 站，与此同时，一列地铁从 A 站开往 B 站．3 分钟后，地铁到达 B 站，小明离 B 站还有 1800 米．已知 A、B 两站间距离 和小明家到 B 站的距离恰好相等，这列地铁的平均速度是小明的 4 倍． ⑴ 求小明骑车的平均速度； ⑵ 如果此时另有一列地铁需 8 分钟到达 B 站，且小明骑车到达 B 站后还需 2 分钟才能走 到地铁站台候车，他要想乘上这趟地铁，骑车的平均速度至少应提高多少？ 25．（本小题满分 8 分）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过 30cm，图①是一位同 学的坐姿，把他的眼睛 B，肘关节 C 和笔端 A 的位置关系抽象成图②的△ABC，已知 BC ＝30cm，AC＝24cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参 考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 26．（本小题满分 10 分）如图①，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D、E 分别是 BA 和 CA 延长线 上的点，且△ABC ∽△AED．M 是 BC 的中点，延长 MA 交 DE 于点 N, 求证：MN⊥DE． 如图②，在小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点均在格点上．请仅用无刻度 的直尺按下列要求分别作图，并保留作图痕迹（不需要写作法）： ⑴ 在△ABC 外作△CEF，使△ABC ∽△FEC； ⑵ 在线段 FE 上作一点 P，使得点 P 到点 C 的距离最小． ① B A C② ① A B M C E N D A B C ② 27．（本小题满分 10 分）小韦同学十分崇拜科学家，立志成为有所发现、有所创造的人，他组 建了三人探究小组，探究小组对以下问题有了发现： 如图 b，已知一次函数 y=x+1 的图像分别与 x 轴和 y 轴相交于点 E、F. 过一次函数 y＝x＋1 的图像上的动点 P 作 PB⊥x 轴，垂足是 B, 直线 BP 交反比例函数 1 2y x   的图像 于点 Q．过点 Q 作 QC⊥y 轴,垂足是 C, 直线 QC 交一次函数 y＝x＋1 的图像于点 A．当点 P 与点 E 重合时（如图 a），∠POA 的度数是一个确定的值． 请你加入该小组，继续探究： ⑴ 当点 P 与点 E 重合时，∠POA＝ ▲ °； ⑵ 当点 P 不与点 E 重合时，⑴中的结论还成立吗？如果成立说明理由；如果不成立，说 明理由并求出∠POA 的度数． 28．（本小题满分 10 分）已知，如图，二次函数 y＝－x2＋2x＋3 的图像与 x 轴交于点 A、B， 与 y 轴交于点 C，点 D 为该抛物线的顶点，点 E（2，3）是抛物线上一点，连接 AD、AE．若 在该抛物线上有一点 M，使得∠DAE=∠MCB. ⑴ 求点 A 的点 C 的坐标； ⑵ 求∠DAE 的正切值； ⑶ 求点 M 的坐标. （a） O C F y x A P Q (E)(B) y F A P O x Q BE C （b） y x C A O B E D y x C A O B E D 备用图 数学试卷参考答案及评分意见 2019.5 一、 选择题（本题有 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 1. A 2. D 3. B 4. A 5. C 6. B 7. B 8. D 二、 填空题 （每小题 2 分，共 20 分） 9． 5 10． 2x  11． 3x   12． 94 10 13． 0.32 14． 25 15．160 16．10 17． 199 200  18． 192 25 三、解答题（共 84 分） 19．⑴ 原式＝3 2 3 2 2 3   ----------------------------------------------------------------- 4 分 ＝1 -------------------------------------------------------------------------------------- 6 分 20．(1)解：去分母：两边乘以( 3x  )( 3x  )得 2 2( 3) 4( 3) 9x x x     ------------------ 1 分 2 30x   15x   ----------------------------------------------------------------------------------------------- 2 分 检验：将 15x   代入 ( 3)( 3) 0x x   -------------------------------------------------------- 3 分 ∴原分式方程的解为 15x   ---------------------------------------------------------------------- 4 分 (2) 解： 解不等式①得： 4x  ------------------------------------------------------------------1 分 解不等式②得： 2x   ------------------------------------------------------------------------- 2 分 ∴ 原不等式组的解集为 2x   ． ------------------------------------------------------------- 4 分 21．（1）∠OO'D= 45° ---------------------------------------------------------------------------------- 2 分 （2）由旋转得 AE=O'D ,由矩形性质得 O'C' = O'D , ∴AE= O'C'------------------------------------------------------------------------------------------ 3 分 由旋转可知∠O D O'=∠OAE=90°. 由矩形性质∠O' C'D =∠O'D C'=90°-∠ODA, ∠MAE=90°-∠OAD, 又∵∠ODA=∠OAD, ∴∠O' C'D =∠MAE.----------------------------------------------------------------------------------5 分 ∵∠O' MC'=∠EMA, ------------------------------------------------------------------------------- 6 分 ∴△AEM ≌△C'O'M----------------------------------------------------------------------------------7 分 ∴AM=MC. 即 M 是 AC 中点.---------------------------------------------------------------------------------------8 分 22.（1）150，42--------------------------------------------------------------------------------------------- 2 分 （2）B, 36 ---------------------------------------------------------------------------------------------6 分 （3）2500× 27 15 30 150   =1200（户）．----------------------------------------------------------- 8 分 23．（1）∵从这 20 名学生中随机选取一人作为联络员，有 20 种等可能结果，选到女生的结果 为 12 种， ∴P(选到女生)= 5 3 20 12  ；------------------------------------------------------------------------- 2 分 （2）如图所示： ---------------------------------------- 4 分 牌面数字之和为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，9，8. ∴偶数为 4 个，P(得到偶数)= 3 1 12 4  .----------------------------------------------------------- 6 分 ∴P(得到奇数)= 3 2 .----------------------------------------------------------------------------------- 7 分 ∴甲参加的概率＜乙参加的概率. ∴这个游戏不公平．----------------------------------------------------------------------------------- 8 分 24.（1）设小明骑车的平均速度是 x 米/分， 根据题意，得 3x+1800=12 x-------------------------------------------------------------------------2 分 解方程，得 x =200------------------------------------------------------------------------------------ 3 分 答：小明骑车的平均速度是 200 米/分. --------------------------------------------------------4 分 （2）设小明的速度提高 a 米/分, 根据题意，得 6×(200+ a)≥1800,---------------------------------------------------------------6 分 解不等式，得 a≥100.-------------------------------------------------------------------------------7 分 答：小明的速度至少应提高 100 米/分. --------------------------------------------------------8 分 （注：本小题用方程解的得 2 分） 25．解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求. 理由：如图 所示：过点 B 作 BD⊥AC 于点 D， ∵BC＝30cm，∠ACB＝53°， ∴sin53°＝ 30 BD BD BC  ≈0.8. 解得：BD＝24.----------------------------------------------------------------------------------------- 3 分 cos53°＝ DC BC ≈0.6. 解得：DC＝18.-----------------------------------------------------------------------------------------6 分 ∴AD＝24﹣18＝6（cm）， ∴AB＝ 2 2 2 26 24 612 900AD BD     . ∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．------------------------------------------------------ 8 分 26．①证明 MN⊥DE----------------------------------------------------------------------------------------4 分 ②（1）如图 1（其它正确答案参照给分）------------------------------------------------------7 分 （2）如图 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 分 27．（1） 45 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 分 （2）①当点 P 在射线 FE 上（不包括端点 F）时， 由直线 y=x+1 得∠PEO=45°. 设 P(a，a+1), 则 Q(a， 1 2a  )，PQ= 1 12 aa    . ∴PA= 12( 1)2 aa    ，PF= 2a . ∴PA·PE=2a2+2a+1， ∵OP2 = a2+(a+1)2=2a2+2a+1. ∴PA·PE=OP2 . ---------------------------------------------------------------------------------------- 4 分 ∴ PA OP OP PE  . 又∠APO=∠OPF, ∴△PAO ∽△POF.--------------------------------------------------------------------------------------- 5 分 ∴∠POA=∠PEO =45°；------------------------------------------------------------------------------6 分 ②当点 P 在射线端点 F 处时，直线 PB 与双曲线无交点，不构成∠POA；--------------- 7 分 ③当点 P 在射线 FE 反向延长线上（不包括端点 F）时， 根据题意，得△AEO ∽△OFP.----------------------------------------------------------------------- 8 分 图 1 图 2 从而∠AOE+∠POF=45°.------------------------------------------------------------------------------9 分 ∴∠POA=135°. --------------------------------------------------------------------------------------- 10 分 28.（1） ( 10A  ，）， (0 3C ，）-----------------------------------------------------------------------------------2 分 （2）证明△ADE 是直角三角形------------------------------------------------------------------------ 3 分 ∴tan∠DAE= 1 3 --------------------------------------------------------------------------------------------4 分 （3）（共有两解，方法较多）M1( 5 2 ， 7 4 )------------------------------------------------------------ 7 分 和 M2( 4 ， 5 )--------------------------------------------------------------------------------------10 分 （注：按合理步骤给分）