西城区初三一模数学试卷及答案

2019 年北京市西城区初三一模数学试卷 数 学 2019.4 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1—8 题均有四个选项，符合题意的选项 只有一个。 1．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为 A． B． C． D． 2．实数a b c， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 A．a b＞ B． + 0a b＞ C． 0ac＞ D． | | | |a c＞ 3．方程组 2 0 5 2 9 x y x y ì - =ïí + =ïî 的解为 A． 1 7 x y ì = -ïí =ïî B． 3 6 x y ì =ïí =ïî C． 1 2 x y ì =ïí =ïî D． 1 2 x y ì = -ïí =ïî 4．如图，点D 在 BA的延长线上，AE// BC .若 100 65DAC B� 靶 =， ，则∠EAC 的度 数为 A．65° B．35° C．30° D．40° 5．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它 距离太阳系约 4.2 光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1 光年约为 9 500 000 000 000 千米，则“比邻星”距离太阳系约为 A． 134 10´ 千米 B． 124 10´ 千米 C． 139.5 10´ 千米 D． 129.5 10´ 千米 6． 如果 2 3 1 0a a+ + = ，那么代数式 2 29 2( 6) 3 a a a a + + × + 的值为 A．1 B．-1 C．2 D．-2 7．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点 1 2 3A A A， ， 的横、纵左边分别表示甲、 乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点 1 2 3B B B， ， 的横、纵左边分别表 示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数. 有如下三个结论： ①上午派送快递所用时间最短的是甲； ②下午派送快递件数最多的是丙； ③在这一天中派送快递总件数最多的是乙. 上述结论中，所有正确结论的序号是 A．①② B．①③ C．② D．②③ 8. 中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平 行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是 “等宽曲线”，如勒洛三角形（图1），它是分别以等边三角的每个顶点为圆心，以边长为 半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图2是等宽的勒洛三 角形和圆. 图1 图2 下列说法中错误的是 A．勒洛三角形是轴对称图形 B．图1中，点 A到 BC 上任意一点的距离都相等 C．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形 DEF 中心 1O 的距离都相等 D．图 2 中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. 如图，在线段 AD AE AF， ， 中， ABC 的高是线段. 10.若 3x - 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是. 11.分解因式： 2 25ab a- =. 12. 如图，点O A B， ， 都在正方形网格的格点上，将 OAB 绕 点O 顺时针旋转后得到 ' 'OA B ，点 A B， 的对应点 ', 'A B 也在 格点上，则旋转角 0 180a a鞍（ ＜ ＜ ）的度数为  . 13.用一组 ,a b的值说明命题“对于非零实数 ,a b，若a b＜ ，则 1 1 a b ＞ ”是错误的，这组值 可以是 ____, ____a b= = . 14. 如图，在矩形 ABCD 中，点E在边CD 上，将矩形 ABCD 沿 AE 所在直线折叠，点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处.若 5 4DE FC= =， ，则 AB 的长为. 15.小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借 助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家 餐厅，对每家餐厅随机选取了 1000 条网络评价，统计如下： 评价条数 等级 餐厅 五星 四星 三星 二星 一星 合计 甲 538 210 96 129 27 1000 乙 460 187 154 169 30 1000 丙 486 388 81 13 32 1000 （说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.） 小芸选择在（填“甲”、“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四 星）的可能性最大. 16. 高速公路某收费站出城方向有编号为 A，B，C，D，E 的五个小客车收费出口，假 定各收费出口每 20 分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收 费出口，这两个出口 20 分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A 通过小客车数（辆） 260 330 300 360 240 在 A，B，C，D，E 五个收费出口中，每 20 分钟通过小客车数量最多的一个收费出口 的编号是. 三、解答题（本题共 68 分，第 17—22 题，每小题 5 分，第 23—26 题，每小题 6 分，第 27、28 题，每小 题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17.计算： 0| 5| 12 2sin60 (2019 )p- + - - - 18.解不等式组： 4(2 1) 3 1 3 8 5 x x x x ì - +ïí -ïî ＜ ＜ 19.下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其 对角线的夹角为60 ”的尺规作图过程. 已知： O⊙ . 求作:矩形ABCD,使得矩形ABCD内接于⊙O,且其 对角线 AC,BD 的夹角为 60° 作法：如图， ①作⊙O 的直径 AC; ②以点 A 为圆心,AO 长为半径画弧,交直线 AC 上 方的圆弧于点 B; ③连接 BO 并延长交⊙O 于点 D； ④连接 AB，BC，CD，DA. 所以四边形 ABCD 就是所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹); （2）完成下面的证明 证明：∵点 A,C 都在⊙O 上, ∴OA=OC. 同理 OB=OD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 ∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠ABC=90°()(填推理的依据) ∴四边形 ABCD 是矩形 ∵AB==BO, ∴∠AOB=60° ∴四边形 ABCD 是所求作的矩形. 20.已知关于 x 的一元二次方程 2 0x bx c+ + = （1）当 2c b= - 时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b ， c 的值，并求此时 方程的根。 21.如图，在 ABC 中， AC BC= ，点 D E F， ， 分别时 AB AC BC， ， 的中点，连接 DE DF， . （1）求证：四边形 DFCE 是菱形； （2）若 75 4A ACÐ = ° =， ，求菱形 DFCE 的面积。 22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线l y x b= +： 与 x 轴交于点 ( )0 ,2,A - 与 y 轴交于点 B.双 曲线 ky x = 直线l 交于 P Q， 两点，其中点 P的纵坐标大于点Q 的纵坐标。 （1）求点B的坐标； （2）当点 P的横坐标为 2 时，求k 的值; （3）连接 PO ,记 POB 的面积为 S ，若 1 12 S< < ，结合函数图象，直接写出k 的取 值范围。 23.如图, AB是 O⊙ 的直径,CB 与 O⊙ 相切于点 B.点 D 在⊙O 上,且 BC=BD,连接 CD 交⊙ O 于点 E.过点 E 作 EF AB^ 于点 H，交 BD 于点 M，交⊙O 于点 F. （1）求证：∠MED=∠MDE； （2）连接 BE，若 ME=3，MB=2，求 BE 的长 24.如图， AB 是直径 AB 所对的半圆弧，C 是 AB 上一定点，D 是 AB 上一动点，连接 DA，DB，DC.已知 AB=5cm，设 D，A 两点间的距离为 xcm ，D，B 两点间的距离为 1y cm， D，C 两点间的距离为 2y cm 小腾根据学习函数的经验,分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探 究。 下面是小腰的探究过程,请补充完整： （1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几 组对应值； x /cm 0 1 2 3 4 5 y1/cm 5 4.9 4 3 0 y2/cm 4 3.32 2.47 1.4 0 3 （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 1 2x y x y（ ， ）,( ， ），并画出函数 y1，y2 的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接 BC，当 △ BCD 是以 CD 为腰的等腰三角形时， DA 的长度约为 cm. 25.某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐,减少浪费”该公司共有 10 个部 门，且各部门的人数相同,为了解午餐的浪费情况，从这 10 个部门中随机抽取了 A，B 两个部门,进行了连续四周(20 个工作日)的调查,得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重 量,以下简称“每日餐余重量”(单位：千克),并对这些数据进行了整理、描述和分析.下面 给出了部分信息 .a A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：0 2x£ < ，2 4x£ < ， 4 6x£ < ， 6 8x£ < ，8 10x£ < ，10 12x＃ ）： .b A 部门每日餐余重量在 6≤x ，则 2x 的取值范围是 _______ ; （2）已知点 ( 1,2)P - ，将点 P 向右平移 4 个单位长度，得到点Q . 当 3n = 时，若抛物线 与线段 PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求m 的取值范围. 27. 如图，在 △ ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC.将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线 段 AD，E 是边 BC 上的一动点，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 BF. (1) 求证：FB=FD； (2) 点 H 在边 BC 上，且 BH=CE，连接 AH 交 BF 于点 N. ①判断 AH 与 BF 的位置关系，并证明你的结论； ②连接 CN.若 AB=2，请直接写出线段 CN 长度的最小值. 28.在平面直角坐标系 xOy中，对于两个点 ,P Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点 ,M N （ ,M N 可以重合）使得 PM QN= ，那么称点P与点Q是图形W 的一对平衡点. （1）如图 1，已知点 (0,3)A ， (2,3)B . ①设点O 与线段 AB上一点的距离为d ，则d 的最小值是 ____ ，最大值是 ____ ； ②在 1 2 3 3( 0) (1 4) ( 3 0)2P P P -，， ，， ， 这三个点中，与点 O 是线段 AB 的一对平衡点的是 ____ ； 图 1 （2）如图 2，已知 O⊙ 的半径为 1，点 D 的坐标为(5,0).若点 ( ,2)E x 在第一象限，且点 D 与点E是 O⊙ 的一对平衡点，求 x 的取值范围； 图 2 图 3 （3）如图 3，已知点 ( 3,0)H - ，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交 x 轴的正半轴于点 K .点 ( , )C a b （其中 0b ³ ）是坐标平面内一动点，且 5OC = ， C⊙ 是以点C 为圆心，半 径为 2 的圆.若 HK 上的任意两个点都是 C⊙ 的一对平衡点，直接写出b的取值范围.