中考数学模拟卷(一)

2018 中考数学模拟卷（一） （时间：120 分钟，总分：150 分） 友情提示： 1.作图或画辅助线等需用签字笔描黑. 2.未注明精确度的计算问题，结果应为准确数．．．. 一、选择题（每空 4 分，共 40 分） 1、下列说法正确的是（ ） A．前面带有“+”号的数一定是正数 B．前面带“﹣”号的数一定是负数 C．上升 5 米，再下降 3 米，实际上升 2 米 D．一个数不是正数就是负数 2、如图，已知 MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN 的是（ ） A．∠M=∠N B．AM=CN C．AB=CD D．AM∥CN 3、某工厂一种产品的年产量是 20 件，如果每一年都比上一年的产品增加 x 倍，两年后产品 y 与 x 的函数关系是（ ） A．y=20（1﹣x）2 B．y=20+2、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN 的面积分别为 S1、S2、S3，则下列 结论不一定成立的是（ ） A．S1＞S2+S3 B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45° D．MN=AM+CN 9、对 a，b，定义运算“＊”如下：a＊b＝ 已知 3＊m＝36， 则实数 m 等于（ ） （A）2 （B）4 （C）±2 （D）4 或±2 10、将一副三角尺（在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，在 Rt△EDF 中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点 D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P，DF 经过点 C，将△EDF 绕点 D 顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交 AC 于 点 M，DF′交 BC 于点 N，则 的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每空 4 分，共 24 分） 11、随机从甲、乙两块试验田中各抽取 100 株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为： ， ， ， ，则小麦长势比较整齐的试验田是 (填“甲”或“乙”)． 12、平面上任意两点确定一条直线，任意三点最多可确定 3 条直线，若平面上任意 n 个点最多可确定 28 条直线，则 n 的值是________________________ 13、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=14，BD 平分∠ABC，交 AC 于 D， AD：DC=5：2，则点 D 到 AB 的距离为________. 14、如图的平面直角坐标系中有一个正六边形 ABCDEF，其中 C、D 的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的 情况下，将这个六边形沿着 x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点 A、B、C、D、E、F 中，会过点（47， 2）的是点 ． 15、在平面直角坐标系中，将抛物线 C1：y=x2 绕点（1，0）旋转 180°后，得到抛物线 C2，定义抛物线 C1 和 C2 上位于 ﹣2≤x≤2 范围内的部分为图象 C3．若一次函数 y=kx+k﹣1（k＞0）的图象与图象 C3 有两个交点，则 k 的范围是： ． 16、如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处．当 △CEB′为直角三角形时，BE 的长为 ． （第 15 题图） （第 16 题图） 三、非选择题（共 86 分） 17、x2﹣4x+2=0； （5 分） 18、 （5 分） 19、如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 F 是 BE、CD 的交点，请写出图中两组全等的三 角形，并选出其中一组加以证明．(要求：写出证明过程中的重要依据) （8 分） 20、如图，帆船 和帆船 在太湖湖面上训练， 为湖面上的一个定点，教练船静候于 点．训练时要求 两 船始终关于 点对称．以 为原点，建立如图所示的坐标系， 轴， 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设 两船可近似看成在双曲线 上运动．湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与 两船恰好在直线 上时，三船同时发现湖面上有一遇险的 船，此时教练船测得 船在东南 方向上， 船测得 与 的夹角为 ， 船也同时测得 船的位置（假设 船位置不再改变， 三船可分别用 三点表 示）．（10 分） （1）发现 船时， 三船所在位置的坐标分别为 和 ； （2）发现 船，三船立即停止训练，并分别从 三点出发船沿最短路线同时前往救援，设 两船的速 度相等，教练船与 船的速度之比为 ，问教练船是否最先赶到？请说明理由． 21、课前预习是学习的重要缓解，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了 为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A．优秀，B．良好，C．一般，D．较差，并将调查结果绘制成以下 两幅不完整的统计图．（10 分） （1）本次调查的样本容量是 ；其中 A 类女生有 名，D 类学生有 名； （2）将条形统计图和扇形统计图补充完整； （3）若从被调查的 A 类和 D 类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即 A 类学生辅导 D 类学生，请 用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率． 22、阅读与思考 婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学 成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国《九章算术》，而他的负数乘除法法则在 全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及部分证明过程如下： 已知：如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，对角线 AC⊥BD 于点 P，PM⊥AB 于点 M，延长 MP 交 CD 于点 N，求证：CN=DN． 证明：在△ABP 和△BMP 中，∵AC⊥BD，PM⊥AB， ∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°． ∴∠BAP=∠BPM． ∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC． ∴… （1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分．（6 分） （2）已知：如图 2，△ABC 内接于⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点 D 在⊙O 上，∠BCD=60°，连接 AD，与 BC 交于点 P，作 PM⊥AB 于点 M，延长 MP 交 CD 于点 N，则 PN 的长为？（6 分） 23、如图 1，在△ABC 中，点 P 为 BC 边中点，直线 a 绕顶点 A 旋转，若点 B，P 在直线 a 的异侧，BM⊥直线 a 于点 M．CN ⊥直线 a 于点 N，连接 PM，PN． （1）延长 MP 交 CN 于点 E（如图 2）． ①求证：△BPM≌△CPE；（4 分） ②求证：PM=PN；（4 分） （2）若直线 a 绕点 A 旋转到图 3 的位置时，点 B，P 在直线 a 的同侧，其它条件不变，此时 PM=PN 还成立吗？若成立， 请给予证明；若不成立，请说明理由；（6 分） （3）若直线 a 绕点 A 旋转到与 BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形 MBCN 的形状及此时 PM=PN 还 成立吗？不必说明理由．（5 分） 24、设 a，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a， b]．对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 m≤x≤n 时，有 m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m．n] 上的“闭函数”．如函数 y=﹣x+4，当 x=1 时，y=3；当 x=3 时，y=1，即当 1≤x≤3 时，有 1≤y≤3，所以说函数 y= ﹣x+4 是闭区间[1，3]上的“闭函数”． （1）反比例函数 y= 是闭区间[1，2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（4 分） （2）若二次函数 y=x2﹣2x﹣k 是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求 k 的值；（5 分） （3）若一次函数 y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的表达式（用含 m，n 的代数式表示）．（6 分） 2018 年中考资料介绍 英语部分 1.中考词汇辨析 122 组 2.中学英语词组大全 3.初中必背的英语重点词组句型 4.中考英语词组必考必备 5.中考英语各种题型的解题技巧 6.2018 中考英语阅读天天练系列——日常生活类 7.2018 中考英语完形天天练系列——日常生活类 8.2018 中考英语阅读天天练系列——人生百味类 9.2018 中考英语完形天天练系列——人生百味、科普宣传类 10.2018 中考英语阅读天天练系列——科普宣传类 11.2018 中考英语完形天天练系列——政治经济文化类 12.2018 中考英语阅读天天练系列——政治经济文化类 13.2018 中考英语完形天天练系列——人物传记、故事类 物理部分 1.2018 年中考物理模拟卷 2.2016-2017 学年毕业班中考模拟试卷物理 3.2016-2017 学年第二学期第一次质量检测物理试卷（2 份） 4.2016-2017 学年第一学期物理期末质量检测 5.2016-2017 学年第一学期物理期末质量检测 语文部分 1.2018 中考语文——文言文专题练习 数学部分 1.2018 中考数学模拟卷（一） 期末部分 1.2017--2018 学年上学期九年级数学期末质量检测 2.2017-2018 学年初三第一学期物理期末质量检测 3.2017--2018 学年上学期九年级化学期末质量检测 2018 中考模拟卷系列从 1 月起，每月 1 份，考察内容于中考相同，难度合适，从未开始总复习 到中考前检测，从中看到进步，发现问题，从而在中考中发挥出最好水平，本练习为 2018 年 1 月。 2018 中考数学模拟卷（一）参考答案 一、选择题 1、C 【考点】正数和负数． 【分析】根据各个选项中的说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：+（﹣2）=﹣2，故选项 A 错误； ﹣（﹣2）=2，故选项 B 错误； 上升 5 米，再下降 3 米，实际上升 2 米，故选项 C 正确； 一个数不是正数，就是负数或零，故选项 D 错误； 2、B【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有 AAS、SSS、ASA、SAS 四种．逐条验证． 【解答】解：A、∠M=∠N，符合 ASA，能判定△ABM≌△CDN，故 A 选项不符合题意； B、根据条件 AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故 B 选项符合题意； C、AB=CD，符合 SAS，能判定△ABM≌△CDN，故 C 选项不符合题意； D、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合 AAS，能判定△ABM≌△CDN，故 D 选项不符合题意． 3、C【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】根据已知表示出一年后产品数量，进而得出两年后产品 y 与 x 的函数关系． 【解答】解：∵某工厂一种产品的年产量是 20 件，每一年都比上一年的产品增加 x 倍， ∴一年后产品是：20（1+x）， ∴两年后产品 y 与 x 的函数关系是：y=20（1+x）2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，得出变化规律是解题关键． 4、B； 5、.C 6、B． 7、B． 8、A． 【解析】（1）如答图 1，过点 M 作 MP∥AO 交 ON 于点 P，∵点 O 是线段 AE 上的一个动点， 当 AM=MD 时，S 梯形 ONDA= （OA+DN）•ADS△MNO= MP•AD，∵ （OA+DN）=MP，∴S△MNO= S 梯形 ONDA，∴S1=S2+S3，∴不一定 有 S1＞S2+S3. 故 A 不一定成立. （2）∵MN 是⊙O 的切线，∴OM⊥MN，又∵四边形 ABC D 为正方形， ∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°.∴∠AOM=∠DMN. 在△AMO 和△DMN 中，∵ ，∴△AMO∽△DMN．故 B 成立. （3）如答图 2，过点 B 作 BP⊥MN 于点 P，∵MN，BC 是⊙O 的切线， ∴∠PMB= ∠MOB，∠CBM= ∠MOB.∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB. ∴∠AMB=∠PMB. 在 Rt△MAB 和 Rt△MPB 中，∵ ， ∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）.∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC. 在 Rt△BPN 和 Rt△BCN 中， ，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）. ∴PN=CN，∠PBN=∠CBN. ∴∠MBN=∠MBP+∠PBN.∴MN=MN+PN=AM+CN．故 C，D 成立. 综上所述，A 不一定成立. 故选 A． 9、A 10、C【考点】旋转的性质． 【专题】压轴题． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得 CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°， 可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到 = ，然 后在 Rt△PCD 中利用正切的定义得到 tan∠PCD=tan30°= ，于是可得 = ． 【解答】解：∵点 D 为斜边 AB 的中点， ∴CD=AD=DB， ∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°， ∵∠EDF=90°， ∴∠CPD=60°， ∴∠MPD=∠NCD， ∵△EDF 绕点 D 顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°）， ∴∠PDM=∠CDN=α， ∴△PDM∽△CDN， ∴ = ， 在 Rt△PCD 中，∵tan∠PCD=tan30°= ， ∴ =tan30°= ． 故选 C． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋 转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质． 二、填空题 11、甲 12、 8 13、4 14、D 解：如图所示： 当滚动到 A′D⊥x 轴时，E、F、A 的对应点分别是 E′、F′、A′，连接 A′D，点 F′，E′作 F′G⊥A′D，E′H⊥A′ D， ∵六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴∠A′F′G=30°， ∴A′G= A′F′= ，同理可得 HD= ， ∴A′D=2， ∵D（2，0） ∴A′（2，2），OD=2， ∵正六边形滚动 6 个单位长度时正好滚动一周， ∴从点（2，2）开始到点（47，2）正好滚动 45 个单位长度， ∵ =7…3， ∴恰好滚动 7 周多 3 个， ∴会过点（47，2）的是点 D， 故答案为：D． 15、﹣2+2 ＜k≤ 或 ≤k﹣4 +6 或 k≥15 ． 【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】如图，由题意图象 C2 的解析式为 y=﹣（x﹣2）2，图象 C3 是图中两根红线之间的 C1、C2 上的部分图象，分五 种情形讨论即可． 【解答】解：如图，由题意图象 C2 的解析式为 y=﹣（x﹣2）2，图象 C3 是图中两根红线之间的 C1、C2 上的部分图象． 由﹣2 x≤2，则 A（2，4），B（﹣2，﹣16），D（2，0）． 因为一次函数 y=kx+k﹣1（k＞0）的图象与图象 C3 有两个交点 ①当直线经过点 A 时，满足条件，4=2k+k﹣1，解得 k= ， ②当直线与抛物线 C1 切时，由 消去 y 得到 x2﹣kx﹣k+1=0，∵△=0， ∴k2+4k﹣4=0，解得 k= 或﹣2﹣2 （舍弃）， 观察图象可知当﹣2+2 ＜k≤ 时，直线与图象 C3 有两个交点． ③当直线与抛物线 C2 相切时，由 ，消去 y，得到 x2﹣（4﹣k）x+3+k=0，∵△=0， ∴（4﹣k）2﹣4（3+k）=0，解得 k=6﹣4 或 6+4 （舍弃）， ④当直线经过点 D（2，0）时，0=2k+k﹣1，解得 k= ， 观察图象可知， ≤k﹣4 +6 时，直线与图象 C3 有两个交点． ⑤当直线经过点 B（﹣2，﹣16）时，﹣16=﹣2k+k﹣1，解得 k=15， 观察图象可知，k≥15 时，直线与图象 C3 有两个交点． 综上所述，当﹣2+2 ＜k≤ 或 ≤k﹣4 +6 或 k≥15 时，直线与图象 C3 有两个交点． 故答案为﹣2+2 ＜k≤ 或 ≤k﹣4 +6 或 k≥15 16、 或 3 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题． 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点 B′落在矩形内部时，如答图 1 所示． 连结 AC，先利用勾股定理计算出 AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得 到∠EB′C=90°，所以点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处，则 EB=EB′，AB=AB′ =3，可计算出 CB′=2，设 BE=x，则 EB′=x，CE=4﹣x，然后在 Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出 x． ②当点 B′落在 AD 边上时，如答图 2 所示．此时 ABEB′为正方形． 【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点 B′落在矩形内部时，如答图 1 所示． 连结 AC， 在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=4， ∴AC= =5， ∵∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5﹣3=2， 设 BE=x，则 EB′=x，CE=4﹣x， 在 Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4﹣x）2，解得 x= ， ∴BE= ； ②当点 B′落在 AD 边上时，如答图 2 所示． 此时 ABEB′为正方形，∴BE=AB=3． 综上所述，BE 的长为 或 3． 故答案为： 或 3． 【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股 定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 三、非选择题 17、x2﹣4x+4=2， （x﹣2）2=2， x﹣2=± ， 所以 x1=2+ ，x2=2﹣ ； 18、 19、解：△ABE≌△ACD，△BCD≌△CBE 或△BFD≌△CFE（写出两个即可） （1）选△ABE≌△ACD 证明：∵点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴AD= AB，AE= AC 又∵AB=AC，∴AD=AE 在△ABE 和△ACD 中， ∴△ABE≌△ACD（SAS） （2）选△BCD≌△CBE 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） ∵点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴BD= AB，CE= AC，∴BD=CE 在△BCD 和△CBE 中， ∴△BCD≌△CBE （3）选△BFD≌△CFE 方法一： 证明：∵点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴AD= AB，AE= AC 在△ABE 和△ACD 中， ∴△ABE≌△ACD（SAS） ∴∠ABE=∠ACD（全等三角形对应角相等） ∵点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴BD= AB，CE= AC， ∴BD=CE 在△BFD 和△CFE 中， ∴△BFD≌△CFE（AAS） 方法二： 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） ∵点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴BD= AB，CE= AC，∴BD=CE 在△BCD 和△CBE 中， ∴△BCD≌△CBE（SAS） ∴∠BDC=∠CEB（全等三角形对应角相等） ∴△BFD≌△CFE（AAS） 20、（1） ； ； ． （2）作 轴于 ，连 和 ． ∵A 的坐标为 ， ， ． ∵C 在 的东南 方向上， ． ∵AO=BO， ．又∵∠BAC=60° 为正三角形． ． ． 由条件设：教练船的速度为 ， 两船的速度均为 4 ． 则教练船所用的时间为： ， 两船所用的时间均为： ． ∵ ， ， ． 教练船没有最先赶到． 21、【考点】列表法与树状图法；总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）根据 B 类有 6+4=10 人，所占的比例是 50%，据此即可求得总人数，再求得 A 类总人数可得 A 类女生人 数，由各类别人数之和为总人数可得 D 类人数； （2）利用（1）中求得的结果及对应人数除以总人数即为其百分比，补全图形即可得； （3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解． 【解答】解：（1）本次调查的学生数=（6+4）÷50%=20（名）， 则 A 类女生有：20×15%﹣1=2（名），D 类学生有 20﹣（3+10+5）=2（名）， 故答案为：20、2、2； （2）C 类百分比为 ×100%=25%，D 类别百分比为 ×100%=10%， 补全图形如下： （3）由题意画树形图如下： 从树形图看出，所有可能出现的结果共有 6 种，且每种结果出现的可能性相等，所选一位女同学辅导一位男同学的结 果共有 2 种． 所以 P（一位女同学辅导一位男同学）= = ． 22、【考点】三角形的外接圆与外心；含 30 度角的直角三角形；圆内接四边形的性质． 【分析】（1）由直角三角形的性质∠BAP=∠BPM．由圆周角定理得出∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．证出∠DPN=∠PDN， 得出 DN=PN，同理 CN=PN，即可得出结论； （2）由圆周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形内角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC 是等腰直角三角形，∴PA=PC， ∠CPD=90°，由 AAS 证明△CPD≌△APB，得出 CD=AB=2，同（1）得出 CN=DN，由三角形内角和定理得出 PN= CD=1 即可． 【解答】解：（1）在△ABP 和△BMP 中，∵AC⊥BD，PM⊥AB， ∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°． ∴∠BAP=∠BPM． ∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC． ∴∠DPN=∠PDN， ∴DN=PN， 同理：CN=PN， ∴CN=DN； （2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°， ∴∠ACD=45°+60°=105°， 又∵∠D=∠B=30°， ∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°， ∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°，△APC 是等腰直角三角形， ∴PA=PC，∠CPD=90°， 在△CPD 和△APB 中， ， ∴△CPD≌△APB（AAS）， ∴CD=AB=2， ∵∠CPD=90°，PM⊥AB 于点 M，延长 MP 交 CD 于点 N， ∴同（1）得：CN=DN， ∴PN= CD=1； 故答案为：1． 23、【考点】旋转的性质；全等三角形的判定；矩形的判定． 【专题】几何综合题；压轴题． 【分析】（1）①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP 再根据 BP=CP，∠BPM=∠CPE 即可得到； ②由△BPM≌△CPE，得到 PM=PE 则 PM= ME，而在 Rt△MNE 中，PN= ME，即可得到 PM=PN． （2）证明方法与②相同． （3）四边形 MBCN 是矩形，则 PM=PN 成立． 【解答】（1）证明：①如图 2： ∵BM⊥直线 a 于点 M，CN⊥直线 a 于点 N， ∴∠BMA=∠CNM=90°， ∴BM∥CN， ∴∠MBP=∠ECP， 又∵P 为 BC 边中点， ∴BP=CP， 又∵∠BPM=∠CPE， ∴△BPM≌△CPE， ②∵△BPM≌△CPE， ∴PM=PE ∴PM= ME， ∴在 Rt△MNE 中，PN= ME， ∴PM=PN． （2）解：成立，如图 3． 证明：延长 MP 与 NC 的延长线相交于点 E， ∵BM⊥直线 a 于点 M，CN⊥直线 a 于点 N， ∴∠BMN=∠CNM=90° ∴∠BMN+∠CNM=180°， ∴BM∥CN ∴∠MBP=∠ECP， 又∵P 为 BC 中点， ∴BP=CP， 又∵∠BPM=∠CPE， 在△BPM 和△CPE 中， ， ∴△BPM≌△CPE， ∴PM=PE， ∴PM= ME， 则 Rt△MNE 中，PN= ME， ∴PM=PN． （3）解：如图 4， 四边形 M′BCN′是矩形， 根据矩形的性质和 P 为 BC 边中点，得到△M′BP≌△N′CP， 得 PM′=PN′成立．即“四边形 MBCN 是矩形，则 PM=PN 成立”． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 24、【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由 k＞0 可知反比例函数 y= 在闭区间[1，2016]上 y 随 x 的增大而减小，然后将 x=1，x=2016 分 别代入反比例解析式的解析式，从而可求得 y 的范围，于是可做出判断； （2）先求得二次函数的对称轴为 x=1，a=1＞0，根据二次函数的性质可知 y=x2﹣2x﹣k 在闭区间[1，2]上 y 随 x 的增 大而增大，然后将 x=1，y=1，x=2，y=2 分别代入二次函数的解析式，从而可求得 k 的值； （3）当 k＞0 时，将（m，m）、（n，n）代入直线的解析式得到关于 k、b 的方程组，从而可求得 k=1、b=0，故此函 数的表达式为 y=x；当 k＜0 时，将（m，n）、（n，m）代入直线的解析式得到关于 k、b 的方程组，从而可求得 k= ﹣1、b=m+n 的值，从而可求得函数的表达式． 【解答】解：（1）∵k=2016＞0， ∴当 1≤x≤2016 时，y 随 x 的增大而减小． ∴当 x=1 时，y=2016；当 x=2016 时，y=1． ∴1≤y≤2106． ∴反比例函数 y= 是闭区间[1，2016]上的“闭函数”． （2）∵x=﹣ =1，a=1＞0， ∴二次函数 y=x2﹣2x﹣k 在闭区间[1，2]上 y 随 x 的增大而增大． ∵二次函数 y=x2﹣2x﹣k 是闭区间[1，2]上的“闭函数”， ∴当 x=1 时，y=1；当 x=2 时，y=2． 将 x=1，y=1；x=2，y=2 代入得： ． 解得：k=﹣2． ∴k 的值为﹣2． （3）∵一次函数 y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”， ∴当 k＞0 时，直线经过点（m，m）、（n，n）． ∴ ． 解得： ． ∴直线的解析式为 y=x． 当 k＜0 时，直线经过点（m，n）、（n，m） ∴ ． 解得： ． ∴直线的解析式为 y=﹣x+m+n． 综上所述，当 k＞0 时，直线的解析式为 y=x，当 k＜0，直线的解析式为 y=﹣x+m+n． 【点评】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的 关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．