2017年黔东南州中考数学试卷及答案解析

2017 年贵州省黔东南州中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．|﹣2|的值是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 2．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A 的度数是（ ） A．120°B．90° C．100°D．30° 3．下列运算结果正确的是（ ） A．3a﹣a=2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b D．a（a+b）=a2+b 4．如图所示，所给的三视图表示的几何体是（ ） A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱 5．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠A=15°，半径为 2，则弦 CD 的长为（ ） A．2 B．﹣1 C． D．4 6．已知一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两根分别为 x1，x2，则 + 的值为（ ） A．2 B．﹣1 C． D．﹣2 7．分式方程 =1﹣ 的根为（ ） A．﹣1 或 3 B．﹣1 C．3 D．1 或﹣3 8．如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC 交 BD 于 O，则 ∠DOC 的度数为（ ） A．60° B．67.5° C．75° D．54° 9．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x=﹣1，给出下列结论： ①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b） n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算（a+b）20 的展开式中第三项的系数为（ ） A．2017 B．2016 C．191 D．190 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．在平面直角坐标系中有一点 A（﹣2，1），将点 A 先向右平移 3 个单位，再 向下平移 2 个单位，则平移后点 A 的坐标为 ． 12．如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，已知 FB=CE，AC∥DF，请你添加一个 适当的条件 使得△ABC≌△DEF． 13．在实数范围内因式分解：x5﹣4x= ． 14．黔东南下司“蓝每谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农 今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝 莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在 0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为 800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产 量约是 kg． 15．如图，已知点 A，B 分别在反比例函数 y1=﹣ 和 y2= 的图象上，若点 A 是 线段 OB 的中点，则 k 的值为 ． 16．把多块大小不同的 30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第 一块三角板 AOB 的一条直角边与 y 轴重合且点 A 的坐标为（0，1），∠ABO=30°； 第二块三角板的斜边 BB1 与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y 轴于点 B1；第三 块三角板的斜边 B1B2 与第二块三角板的斜边 BB1 垂直且交 x 轴于点 B2；第四块三 角板的斜边 B2B3 与第三块三角板的斜边 B1B2C 垂直且交 y 轴于点 B3；…按此规律 继续下去，则点 B2017 的坐标为 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 86 分） 17．计算：﹣1﹣2+| ﹣ |+（π﹣3.14）0﹣tan60°+ ． 18．先化简，再求值：（x﹣1﹣ ）÷ ，其中 x= +1． 19．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整 的统计图表． 身高分组 频数 频率 152≤x＜155 3 0.06 155≤x＜158 7 0.14 158≤x＜161 m 0.28 161≤x＜164 13 n 164≤x＜167 9 0.18 167≤x＜170 3 0.06 170≤x＜173 1 0.02 根据以上统计图表完成下列问题： （1）统计表中 m= ，n= ，并将频数分布直方图补充完整； （2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 范围内； （3）在身高≥167cm 的 4 人中，甲、乙两班各有 2 人，现从 4 人中随机推选 2 人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同 班级的概率． 21．如图，已知直线 PT 与⊙O 相切于点 T，直线 PO 与⊙O 相交于 A，B 两点． （1）求证：PT2=PA•PB； （2）若 PT=TB= ，求图中阴影部分的面积． 22．如图，某校教学楼 AB 后方有一斜坡，已知斜坡 CD 的长为 12 米，坡角α为 60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安 全隐患，决定对斜坡 CD 进行改造，在保持坡脚 C 不动的情况下，学校至少要把 坡顶 D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数） （参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24） 23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学 校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8 天就可以完成该项工程；若由甲队 先单独做 3 天后，剩余部分由乙队单独做需要 18 天才能完成． （1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？ （2）甲队每天工资 3000 元，乙队每天工资 1400 元，学校要求在 12 天内将学生 公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作 m 天，乙队工作 n 天，求学校需支付 的总工资 w（元）与甲队工作天数 m（天）的函数关系式，并求出 m 的取值范 围及 w 的最小值． 24．如图，⊙M 的圆心 M（﹣1，2），⊙M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A， 经过点 A 的一条直线 l 解析式为：y=﹣ x+4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛 物线经过 x 轴上点 D（2，0）和点 C（﹣4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：直线 l 是⊙M 的切线； （3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E，PF∥y 轴，交直 线 l 于点 F，是否存在这样的点 P，使△PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点 P 的坐标及△PEF 面积的最小值；若不存在，请说明理由． 2017 年贵州省黔东南州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．|﹣2|的值是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 【考点】15：绝对值． 【分析】根据绝对值的性质作答． 【解答】解：∵﹣2＜0， ∴|﹣2|=2． 故选 B． 2．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A 的度数是（ ） A．120°B．90° C．100°D．30° 【考点】K8：三角形的外角性质． 【分析】根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B =120°﹣20° =100°， 故选：C． 3．下列运算结果正确的是（ ） A．3a﹣a=2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b D．a（a+b）=a2+b 【考点】4I：整式的混合运算． 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=2a，不符合题意； B、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意； C、原式=﹣3b，符合题意； D、原式=a2+ab，不符合题意， 故选 C 4．如图所示，所给的三视图表示的几何体是（ ） A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱 【考点】U3：由三视图判断几何体． 【分析】由左视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据主视图是三角形可判断出 此几何体为正三棱柱． 【解答】解：∵左视图和俯视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵主视图是一个三角形， ∴此几何体为正三棱柱． 故选：D． 5．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠A=15°，半径为 2，则弦 CD 的长为（ ） A．2 B．﹣1 C． D．4 【考点】M5：圆周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂径定理． 【分析】根据垂径定理得到 CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°， 根据直角三角形的性质得到 CE= OC=1，最后由垂径定理得出结论． 【解答】解：∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD， ∴CE=DE，∠CEO=90°， ∵∠A=15°， ∴∠COE=30°， ∵OC=2， ∴CE= OC=1， ∴CD=2OE=2， 故选 A． 6．已知一元二次方程 x2﹣2x﹣1=0 的两根分别为 x1，x2，则 + 的值为（ ） A．2 B．﹣1 C． D．﹣2 【考点】AB：根与系数的关系． 【 分 析 】 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 x1+x2=2 ， x1x2= ﹣ 1 ， 利 用 通 分 得 到 + = ，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据题意得 x1+x2=2，x1x2=﹣1， 所以 + = = =﹣2． 故选 D． 7．分式方程 =1﹣ 的根为（ ） A．﹣1 或 3 B．﹣1 C．3 D．1 或﹣3 【考点】B3：解分式方程． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检 验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x， 解得：x=﹣1 或 x=3， 经检验 x=﹣1 是增根，分式方程的根为 x=3， 故选 C 8．如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC 交 BD 于 O，则 ∠DOC 的度数为（ ） A．60° B．67.5° C．75° D．54° 【考点】LE：正方形的性质． 【分析】如图，连接 DF、BF．如图，连接 DF、BF．首先证明∠FDB= ∠FAB=30°， 再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 DF、BF． ∵FE⊥AB，AE=EB， ∴FA=FB， ∵AF=2AE， ∴AF=AB=FB， ∴△AFB 是等边三角形， ∵AF=AD=AB， ∴点 A 是△DBF 的外接圆的圆心， ∴∠FDB= ∠FAB=30°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°， ∴∠FAD=∠FBC， ∴△FAD≌△FBC， ∴∠ADF=∠FCB=15°， ∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°． 故选 A． 9．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x=﹣1，给出下列结论： ①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系． 【分析】①利用抛物线与 x 轴有 2 个交点和判别式的意义对①进行判断； ②由抛物线开口方向得到 a＞0，由抛物线对称轴位置确定 b＞0，由抛物线与 y 轴交点位置得到 c＞0，则可作判断； ③利用 x=﹣1 时 a﹣b+c＜0，然后把 b=2a 代入可判断； ④利用抛物线的对称性得到 x=﹣2 和 x=0 时的函数值相等，即 x=﹣2 时，y＞0， 则可进行判断． 【解答】解：①∵抛物线与 x 轴有 2 个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0， 所以①错误； ②∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， ∴a、b 同号， ∴b＞0， ∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0， 所以②正确； ③∵x=﹣1 时，y＜0， 即 a﹣b+c＜0， ∵对称轴为直线 x=﹣1， ∴﹣ =﹣1， ∴b=2a， ∴a﹣2a+c＜0，即 a＞c， 所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣1， ∴x=﹣2 和 x=0 时的函数值相等，即 x=﹣2 时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， 所以④正确． 所以本题正确的有：②③④，三个， 故选 C． 10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b） n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算（a+b）20 的展开式中第三项的系数为（ ） A．2017 B．2016 C．191 D．190 【考点】4C：完全平方公式． 【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20 的展开式中第三项的系数； 【解答】解：找规律发现（a+b）3 的第三项系数为 3=1+2； （a+b）4 的第三项系数为 6=1+2+3； （a+b）5 的第三项系数为 10=1+2+3+4； 不难发现（a+b）n 的第三项系数为 1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）， ∴（a+b）20 第三项系数为 1+2+3+…+20=190， 故选 D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．在平面直角坐标系中有一点 A（﹣2，1），将点 A 先向右平移 3 个单位，再 向下平移 2 个单位，则平移后点 A 的坐标为 （1，﹣1） ． 【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【分析】根据坐标平移规律即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：A 的横坐标+3，纵坐标﹣2，即可求出平移后的坐标， ∴平移后 A 的坐标为（1，﹣1） 故答案为：（1，﹣1） 12．如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，已知 FB=CE，AC∥DF，请你添加一个 适当的条件 ∠A=∠D 使得△ABC≌△DEF． 【考点】KB：全等三角形的判定． 【分析】根据全等三角形的判定定理填空． 【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下： ∵FB=CE， ∴BC=EF． 又∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∴在△ABC 与△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 故答案是：∠A=∠D． 13．在实数范围内因式分解：x5﹣4x= x（x2+3）（x+ ）（x﹣ ） ． 【考点】58：实数范围内分解因式． 【分析】先提取公因式 x，再把 4 写成 22 的形式，然后利用平方差公式继续分解 因式． 【解答】解：原式=x（x4﹣22）， =x（x2+2）（x2﹣2） =x（x2+2）（x+ ）（x﹣ ）， 故答案是：x（x2+3）（x+ ）（x﹣ ）． 14．黔东南下司“蓝每谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农 今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝 莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在 0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为 800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产 量约是 560 kg． 【考点】X8：利用频率估计概率． 【分析】根据题意可以估计该果农今年的“优质蓝莓”产量． 【解答】解：由题意可得， 该果农今年的“优质蓝莓”产量约是：800×0.7=560kg， 故答案为：560． 15．如图，已知点 A，B 分别在反比例函数 y1=﹣ 和 y2= 的图象上，若点 A 是 线段 OB 的中点，则 k 的值为 ﹣8 ． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】设 A（a，b），则 B（2a，2b），将点 A、B 分别代入所在的双曲线方程 进行解答． 【解答】解：设 A（a，b），则 B（2a，2b）， ∵点 A 在反比例函数 y1=﹣ 的图象上， ∴ab=﹣2； ∵B 点在反比例函数 y2= 的图象上， ∴k=2a•2b=4ab=﹣8． 故答案是：﹣8． 16．把多块大小不同的 30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第 一块三角板 AOB 的一条直角边与 y 轴重合且点 A 的坐标为（0，1），∠ABO=30°； 第二块三角板的斜边 BB1 与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y 轴于点 B1；第三 块三角板的斜边 B1B2 与第二块三角板的斜边 BB1 垂直且交 x 轴于点 B2；第四块三 角板的斜边 B2B3 与第三块三角板的斜边 B1B2C 垂直且交 y 轴于点 B3；…按此规律 继续下去，则点 B2017 的坐标为 （0，﹣ ） ． 【考点】D2：规律型：点的坐标． 【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点 B2017 的 坐标． 【解答】解：由题意可得， OB=OA•tan60°=1× = ， OB1=OB•tan60°= =（ ）2=3， OB2=OB1•tan60°=（ ）3， … ∵2017÷4=506…1， ∴点 B2017 的坐标为（0，﹣ ）， 故答案为：（0，﹣ ）． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 86 分） 17．计算：﹣1﹣2+| ﹣ |+（π﹣3.14）0﹣tan60°+ ． 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三 角函数值． 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝 对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式=1+（ ）+1﹣ =2 18．先化简，再求值：（x﹣1﹣ ）÷ ，其中 x= +1． 【考点】6D：分式的化简求值． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法 法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式= • = • =x﹣1， 当 x= +1 时，原式= ． 19．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集． 【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大 小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来． 【解答】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即 x≤1， 由②得：4x﹣2＜5x+5，即 x＞﹣7， 所以﹣7＜x≤1． 在数轴上表示为： 20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整 的统计图表． 身高分组 频数 频率 152≤x＜155 3 0.06 155≤x＜158 7 0.14 158≤x＜161 m 0.28 161≤x＜164 13 n 164≤x＜167 9 0.18 167≤x＜170 3 0.06 170≤x＜173 1 0.02 根据以上统计图表完成下列问题： （1）统计表中 m= 14 ，n= 0.26 ，并将频数分布直方图补充完整； （2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 161≤x＜164 范围内； （3）在身高≥167cm 的 4 人中，甲、乙两班各有 2 人，现从 4 人中随机推选 2 人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同 班级的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分 布直方图；W4：中位数． 【分析】（1）设总人数为 x 人，则有 =0.06，解得 x=50，再根据频率公式求出 m，n．画出直方图即可； （2）根据中位数的定义即可判断； （3）画出树状图即可解决问题； 【解答】解：（1）设总人数为 x 人，则有 =0.06，解得 x=50， ∴m=50×0.28=14，n= =0.26． 故答案为 14，0.26． 频数分布直方图： （2）观察表格可知中位数在 161≤x＜164 内， 故答案为 161≤x＜164． （3）将甲、乙两班的学生分别记为甲 1、甲 2、乙 1、乙 2 树状图如图所示： 所以 P（两学生来自同一所班级）= = ． 21．如图，已知直线 PT 与⊙O 相切于点 T，直线 PO 与⊙O 相交于 A，B 两点． （1）求证：PT2=PA•PB； （2）若 PT=TB= ，求图中阴影部分的面积． 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；MO：扇形面积的计 算． 【分析】（1）连接 OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得 = ，由此即可解决问 题； （2）首先证明△AOT 是等边三角形，根据 S 阴=S 扇形 OAT﹣S△AOT 计算即可； 【解答】（1）证明：连接 OT． ∵PT 是⊙O 的切线， ∴PT⊥OT， ∴∠PTO=90°， ∴∠PTA+∠OTA=90°， ∵AB 是直径， ∴∠ATB=90°， ∴∠TAB+∠B=90°， ∵OT=OA， ∴∠OAT=∠OTA， ∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P， ∴△PTA∽△PBT， ∴ = ， ∴PT2=PA•PB． （2）∵TP=TB= ， ∴∠P=∠B=∠PTA， ∵∠TAB=∠P+∠PTA， ∴∠TAB=2∠B， ∵∠TAB+∠B=90°， ∴∠TAB=60°，∠B=30°， ∴tanB= = ， ∴AT=1， ∵OA=OT，∠TAO=60°， ∴△AOT 是等边三角形， ∴S 阴=S 扇形 OAT﹣S△AOT= ﹣ •12= ﹣ ． 22．如图，某校教学楼 AB 后方有一斜坡，已知斜坡 CD 的长为 12 米，坡角α为 60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安 全隐患，决定对斜坡 CD 进行改造，在保持坡脚 C 不动的情况下，学校至少要把 坡顶 D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数） （参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24） 【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【分析】假设点 D 移到 D′的位置时，恰好∠α=39°，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E， 作 D′E′⊥AC 于点 E′，根据锐角三角函数的定义求出 DE、CE、CE′的长，进而可得 出结论． 【解答】解：假设点 D 移到 D′的位置时，恰好∠α=39°，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，作 D′E′⊥AC 于点 E′， ∵CD=12 米，∠DCE=60°， ∴DE=CD•sin60°=12× =6 米，CE=CD•cos60°=12× =6 米． ∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′， ∴四边形 DEE′D′是矩形， ∴DE=D′E′=6 米． ∵∠D′CE′=39°， ∴CE′= ≈ ≈12.8， ∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）． 答：学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 6.8 米才能保证教学楼的安全． 23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学 校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8 天就可以完成该项工程；若由甲队 先单独做 3 天后，剩余部分由乙队单独做需要 18 天才能完成． （1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？ （2）甲队每天工资 3000 元，乙队每天工资 1400 元，学校要求在 12 天内将学生 公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作 m 天，乙队工作 n 天，求学校需支付 的总工资 w（元）与甲队工作天数 m（天）的函数关系式，并求出 m 的取值范 围及 w 的最小值． 【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用． 【分析】（1）设甲队单独完成需要 x 天，乙队单独完成需要 y 天．列出分式方程 组即可解决问题； （2）设乙先工作 x 天，再与甲合作正好如期完成．则 + =1，解得 x=6．由 此可得 m 的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作 6 天，再与甲合作 6 天正好如期完成，此时费用最小； 【解答】解：（1）设甲队单独完成需要 x 天，乙队单独完成需要 y 天． 由题意 ，解得 ， 经检验 是分式方程组的解， ∴甲、乙两队工作效率分别是 和 ． （2）设乙先工作 x 天，再与甲合作正好如期完成． 则 + =1，解得 x=6． ∴甲工作 6 天， ∵甲 12 天完成任务， ∴6≤m≤12． ∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用， ∴让乙先工作 6 天，再与甲合作 6 天正好如期完成，此时费用最小， ∴w 的最小值为 12×1400+6×3000=34800 元． 24．如图，⊙M 的圆心 M（﹣1，2），⊙M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A， 经过点 A 的一条直线 l 解析式为：y=﹣ x+4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛 物线经过 x 轴上点 D（2，0）和点 C（﹣4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：直线 l 是⊙M 的切线； （3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E，PF∥y 轴，交直 线 l 于点 F，是否存在这样的点 P，使△PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点 P 的坐标及△PEF 面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）设抛物线的解析式为 y=a（x﹣2）（x+4），将点 M 的坐标代入可求 得 a 的值，从而得到抛物线的解析式； （2）连接 AM，过点 M 作 MG⊥AD，垂足为 G．先求得点 A 和点 B 的坐标，可 求得，可得到 AG、ME、OA、OB 的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠ MAG=∠ABD，故此可证明 AM⊥AB； （3））先证明∠FPE=∠FBD．则 PF：PE：EF= ：2：1．则△PEF 的面积= PF2， 设点 P 的坐标为（x，﹣ x2﹣ x+ ），则 F（x，﹣ x+4）．然后可得到 PF 与 x 的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x﹣2）（x+4），将点 M 的坐标代入 得：﹣9a=2，解得：a=﹣ ． ∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2﹣ x+ ． （2）连接 AM，过点 M 作 MG⊥AD，垂足为 G． 把 x=0 代入 y=﹣ x+4 得：y=4， ∴A（0，4）． 将 y=0 代入得：0=﹣ x+4，解得 x=8， ∴B（8，0）． ∴OA=4，OB=8． ∵M（﹣1，2），A（0，4）， ∴MG=1，AG=2． ∴tan∠MAG=tan∠ABO= ． ∴∠MAG=∠ABO． ∵∠OAB+∠ABO=90°， ∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°． ∴l 是⊙M 的切线． （3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°， ∴∠FPE=∠FBD． ∴tan∠FPE= ． ∴PF：PE：EF= ：2：1． ∴△PEF 的面积= PE•EF= × PF• PF= PF2． ∴当 PF 最小时，△PEF 的面积最小． 设点 P 的坐标为（x，﹣ x2﹣ x+ ），则 F（x，﹣ x+4）． ∴PF=（﹣ x+4）﹣（﹣ x2﹣ x+ ）=﹣ x+4+ x2+ x﹣ = x2﹣ x+ = （x﹣ ）2+ ． ∴当 x= 时，PF 有最小值，PF 的最小值为 ． ∴P（ ， ）． ∴△PEF 的面积的最小值为= ×（ ）2= ． 2017 年 7 月 2 日