2017年宁夏中考数学试卷及答案解析

2017 年宁夏中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各式计算正确的是（ ） A．4a﹣a=3 B．a6÷a2=a3 C．（﹣a3）2=a6D．a3a2=a6 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法底数不变指数相减，积的乘方等于乘 方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案． 【解答】解：A、系数相加子母机指数不变，故 A 不符合题意； B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 B 不符合题意； C、积的乘方等于乘方的积，故 C 符合题意； D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 D 不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 2．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ） A． C． 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：点 P（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，2）， 故选：A． 【点评】本题考查了关于原点 对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐 标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 3．学校国旗护卫队成员的身高分布如下表： 身高/cm 159 160 161 162 人数 7 10 9 9 则学校国旗护卫队成员的身高的众数和中位数分别是（ ） A．160 和 160 B．160 和 160.5 C．160 和 161 D．161 和 161 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大 的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【解答】解：数据 160 出现了 10 次，次数最多，众数是：160cm； 排序后位于中间位置的是 161cm，中位数是：161cm． 故选 C． 【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到 大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）， 叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排 列，就会出错． 4．某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利 润最大的是（ ） A．第一天 B．第二天 C．第三天 D．第四天 【分析】根据图象中的信息即可得到结论． 【解答】解：由图象中的信息可知， 利润=售价﹣进价，利润最大的天数是第二天， 故选 B． 【点评】本题考查了象形统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息， 理解利润=售价﹣进价是解题的关键． 5．关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0 有实数根，则 a 的取值范围是 （ ） A． B． C． 且 a≠1 D． 且 a≠1 【分析】根据一元而次方程的定义和判别式的意义得到 a≠1 且△=32﹣4（a﹣1） （﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得 a≠1 且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0， 解得 a≥﹣ 且 a≠1． 故选 D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2 ﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程 有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根． 6．已知点 A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，这个函 数图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】由点点 A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上， 可得 A 与 B 关于 y 轴对称，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，继而求得答案． 【解答】解：∵A（﹣1，1），B（1，1）， ∴A 与 B 关于 y 轴对称，故 C，D 错误； ∵B（1，1），C（2，4） ∴当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，故 D 正确，A 错误． ∴这个函数图象可能是 B， 故选 B． 【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的 关键． 7．如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分 沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是 （ ） A．=a2﹣ab C．（a﹣b） 【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积， 然后根据面积相等列出等式即可． 【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是 a2﹣b2， 第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）． 则 a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 故选 D． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面 积是关键． 8．圆锥的底面半径 r=3，高 h=4，则圆锥的侧面积是（ ） A．12π B．15π C．24π D．30π 【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【解答】解：由勾股定理得：母线 l= = =5， ∴S 侧= 2πrl=πrl=π×3×5=15π． 故选 B． 【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 二、填空题（每题 3 分，满分 24 分，将答案填在答题纸上） 9．分解因式：2a2﹣8= 2（a+2）（a﹣2） ． 【分析】先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：2a2﹣8 =2（a2﹣4）， =2（a+2）（a﹣2）． 故答案为：2（a+2）（a﹣2）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式 首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到 不能分解为止． 10．实数 a 在数轴上的位置如图，则|a﹣ |= ﹣a ． 【分析】根据数轴上点的位置判断出 a﹣ 的正负，利用绝对值的代数意义化简 即可得到结果． 【解答】解：∵a＜0， ∴a﹣ ＜0， 则原式= ﹣a， 故答案为： ﹣a 【点评】此题考查了实数与数轴，弄清绝对值里边式子的正负是解本题的关键． 11．如图所示的圆形纸板被等分成 10 个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖 均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ． 【分析】直接利用阴影部分÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案． 【解答】解：由题意可得：阴影部分有 4 个小扇形，总的有 10 个小扇形， 故飞镖落在阴影区域的概率是： = ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用概率公式分析是解题关键． 12．某种商品每件的进价为 80 元，标价为 120 元，后来由于该商品积压，将此 商品打七折销售，则该商品每件销售利润为 4 元． 【分析】设该商品每件销售利润为 x 元，根据进价+利润=售价列出方程，求解即 可． 【解答】解：设该商品每件销售利润为 x 元，根据题意，得 80+x=120×0.7， 解得 x=4． 答：该商品每件销售利润为 4 元． 故答案为 4． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关 键． 13．如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 A'处．若∠1= ∠2=50°，则∠A'为 105° ． 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三 角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG= ∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A， 即可得到结果． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBG， 由折叠可得∠ADB=∠BDG， ∴∠DBG=∠BDG， 又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°， ∴∠ADB=∠BDG=25°， 又∵∠2=50°， ∴△ABD 中，∠A=105°， ∴∠A'=∠A=105°， 故答案为：105°． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以 及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB 的度 数是解决问题的关键． 14．在△ABC 中，AB=6，点 D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E， 点 M 在 DE 上，且 ME= DM．当 AM⊥BM 时，则 BC 的长为 8 ． 【分析】根据直角三角形的性质求出 DM，根据题意求出 DE，根据三角形中位线 定理计算即可． 【解答】解：∵AM⊥BM，点 D 是 AB 的中点， ∴DM= AC=3， ∵ME= DM， ∴ME=1， ∴DE=DM+ME=4， ∵D 是 AB 的中点，DE∥BC， ∴BC=2DE=8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于 第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 15．如图，点 A，B，C 均在 6×6 的正方形网格格点上，过 A，B，C 三点的外接 圆除经过 A，B，C 三点外还能经过的格点数为 5 ． 【分析】根据圆的确定先做出过 A，B，C 三点的外接圆，从而得出答案． 【解答】解：如图，分别作 AB、BC 的中垂线，两直线的交点为 O， 以 O 为圆心、OA 为半径作圆，则⊙O 即为过 A，B，C 三点的外接圆， 由图可知，⊙O 还经过点 D、E、F、G、H 这 5 个格点， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外 接圆是解题的关键． 16．如图是由若干个棱长为 1 的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这 个几何体的表面积是 22 ． 【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得 到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数． 【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有 3+1=4 个小正 方体，第二有 1 个小正方体， 因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是 4+1=5 个． ∴这个几何体的表面积是 5×6﹣8=22， 故答案为 22． 【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空 间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违 章”是解题的关键． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．解不等式组： ． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解： ， 由①得：x≤8， 由②得：x＞﹣3， 则不等式组的解集为﹣3＜x≤8． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．解方程： ﹣ =1． 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案． 【解答】解：（x+3）2﹣4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3） x2+6x+9﹣4x+12=x2﹣9， x=﹣15， 令 x=﹣15 代入（x﹣3）（x+3）≠0， ∴原分式方程的解为：x=﹣15， 【点评】本题考查分式的方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法， 本题属于基础题型． 19．校园广播主持人培训班开展比赛活动，分为 A、B、C、D 四个等级，对应的 成绩分别是 9 分、8 分、7 分、6 分，根据如图不完整的统计图解答下列问题： （1）补全下面两个统计图（不写过程）； （2）求该班学生比赛的平均成绩； （3）现准备从等级 A 的 4 人（两男两女）中随机抽取两名主持人，请利用列表 或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率？ 【分析】（1）首先用 A 等级的学生人数除以 A 等级的人数所占的百分比，求出 总人数；然后用总人数减去 A、B、D 三个等级的人数，求出 C 等级的人数，补 全条形图；用 C 等级的人数除以总人数，得出 C 等级的人数所占的百分比，补全 扇形图； （2）用加权平均数的计算公式求解即可； （3）若 A 等级的 4 名学生中有 2 名男生 2 名女生，现从中任意选取 2 名参加学 校培训班，应用列表法的方法，求出恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率是多少 即可． 【解答】解：（1）4÷10%=40（人）， C 等级的人数 40﹣4﹣16﹣8=12（人）， C 等级的人数所占的百分比 12÷40=30%． 两个统计图补充如下： （2）9×10%+8×40%+7×30%+6×20%=7.4（分）； （3）列表为： 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 ﹣﹣ 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2x.k.b.1 男 1 男 2 ﹣﹣ 女 1 男 2 女 2 男 2 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 ﹣﹣ 女 2 女 1 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 女 2 ﹣﹣ 由上表可知，从 4 名学生中任意选取 2 名学生共有 12 种等可能结果，其中恰好 选到 1 名男生和 1 名女生的结果有 8 种， 所以恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率 P= = ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的 列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完 成的事件；解题时 要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为： 概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图、条形统计图的应用以 及加权平均数． 20．在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，3），B（1，1）， C（5，1）． （1）把△ABC 平移后，其中点 A 移到点 A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1； （2）把△A1B1C1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90°，画出旋转后的△A2 B2C2． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后得的△A1B1C1 即可； （2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2 B2C2 即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求； （2）如图，△A2 B2C2 即为所求． 【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题 的关键． 21．在△ABC 中，M 是 AC 边上的一点，连接 BM．将△ABC 沿 AC 翻折，使点 B 落在点 D 处，当 DM∥AB 时，求证：四边形 ABMD 是菱形． 【分析】只要证明 AB=BM=MD=DA，即可解决问题． 【解答】证明：∵AB∥DM， ∴∠BAM=∠AMD， ∵△ADC 是由△ABC 翻折得到， ∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM， ∴∠DAM=∠AMD， ∴DA=DM=AB=BM， ∴四边形 ABMD 是菱形． 【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质．平行线的性质等知识， 解题的关键是证明△ADM 是等腰三角形． 22．某商店分两次购进 A、B 两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相 同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A Bx_k_b_1 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 （1）求 A、B 两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定 A 种商品以每件 30 元出售，B 种商品以每件 100 元出售．为满足 市场需求，需购进 A、B 两种商品共 1000 件，且 A 种商品的数量不少于 B 种商 品数量的 4 倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【分析】（1）设 A 种商品每件的进价为 x 元，B 种商品每件的进价为 y 元，根 据两次进货情况表，可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 B 种商品 m 件，获得的利润为 w 元，则购进 A 种商品（1000﹣m） 件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出 w 与 m 之间的函数关系式，由 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍，即可得出关于 m 的一元一次不等 式，解之即可得出 m 的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设 A 种商品每件的进价为 x 元，B 种商品每件的进价为 y 元， 根据题意得： ， 解得： ． 答：A 种商品每件的进价为 20 元，B 种商品每件的进价为 80 元． （2）设购进 B 种商品 m 件，获得的利润为 w 元，则购进 A 种商品（1000﹣m） 件， 根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+10000． ∵A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍， ∴1000﹣m≥4m， 解得：m≤200． ∵在 w=10m+10000 中，k=10＞0， ∴w 的值随 m 的增大而增大， ∴当 m=200 时，w 取最大值，最大值为 10×200+10000=12000， ∴当购进 A 种商品 800 件、B 种商品 200 件时，销售利润最大，最大利润为 12000 元． 【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不 等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数 量关系，找出 w 与 m 之间的函数关系式． 四、解答题（本大题共 4 小题，共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 23．将一副三角板 Rt△ABD 与 Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°， ∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD 中∠D 所对直角边与 Rt△ACB 斜边恰好重合．以 AB 为直径的圆经过点 C，且与 AD 交于点 E，分别连接 EB，EC． （1）求证：EC 平分∠AEB； （2）求 的值． 【分析】（1）由 Rt△ACB 中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定 理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即 EC 平分∠ AEB； （2）设 AB 与 CE 交于点 M．根据角平分线的性质得出 = ．易求∠BAD=30°， 由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE 得到 AE= BE，那么 = = ．作 AF⊥CE 于 F，BG⊥CE 于 G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三 角形对应边成比例得出 = = ，进而求出 = = = ． 【解答】（1）证明：∵Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC， ∴∠AEC=∠BEC， 即 EC 平分∠AEB； （2）解：如图，设 AB 与 CE 交于点 M． ∵EC 平分∠AEB， ∴ = ． 在 Rt△ABD 中，∠ABD=90°，∠D=60°， ∴∠BAD=30°， ∵以 AB 为直径的圆经过点 E， ∴∠AEB=90°， ∴tan∠BAE= = ， ∴AE= BE， ∴ = = ． 作 AF⊥CE 于 F，BG⊥CE 于 G． 在△AFM 与△BGM 中， ∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG， ∴△AFM∽△BGM， ∴ = = ， ∴ = = = ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函 数定 义，通过作辅助线得出 = = 是解题的关键． 24．直线 y=kx+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点 B（6，n），与坐标轴分别交于点 C 和点 D． （1）求直线 AB 的解析式； （2）若点 P 是 x 轴上一动点，当△COD 与△ADP 相似时，求点 P 的坐标． 【分析】（1）首先确定 A、B 两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）分两种情形讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵y=kx+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象分别交于点 A（m， 3）和点 B（6，n）， ∴m=2，n=1， ∴A（2，3），B（6，1）， 则有 ， 解得 ， ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+94 （2）如图①当 PA⊥OD 时，∵PA∥CC， ∴△ADP∽△CDO， 此时 p（2，0）． ②当 AP′⊥CD 时，易知△P′DA∽△CDO， ∵直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+4， ∴直线 P′A 的解析式为 y=2x﹣1， 令 y=0，解得 x= ， ∴P′（ ，0）， 综上所述，满足条件的点 P 坐标为（2，0）或（ ，0）． 【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的性质、相似三角形的判定和性 质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论 的思想思考问题，属于中考常考题型． 25．为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每 户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部 分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费．为对基本用水量进行决 策，随机抽查 2000 户 居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计 表： 用户每 月用水 量（m3） 32 及 其 以 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 及 其 以 下 上 户数 （户） 200 160 180 220 240 210 190 100 170 120 100 110 （1）为确保 70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本 用水量最低应确定为多少立方米？ （2）若将（1）中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米 1.8 元交费，超 过基本用水量的部分按每立方米 2.5 元交费．设 x 表示每户每月用水量（单位： m3），y 表示每户每月应交水费（单位：元），求 y 与 x 的函数关系式； （3）某户家庭每月交水费是 80.9 元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量 是多少立方米？ 【分析】（1）根据统计表可得出月均用水量不超过 38 吨的居民户数占 2000 户 的 70%，由此即可得出结论； （2）分 0≤x≤38 及 x＞38 两种情况，找出 y 与 x 的函数关系式； （3）求出当 x=38 时的 y 值，与 80.9 比较后可得出该家庭当月用水量超出 38 立 方米，令 y=2.5x﹣26.6=80.9 求出 x 值即可． 【解答】解：（1）200+160+180+220+240+210+190=1400（户）， 2000×70%=1400（户）， ∴基本用水量最低应确定为多 38m3． 答：为确保 70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用 水量最低应确定为 38 立方米． （2）设 x 表示每户每月用水量（单位：m3），y 表示每户每月应交水费（单位： 元）， 当 0≤x≤38 时，y=1.8x； 当 x＞38 时，y=1.8×38+2.5（x﹣38）=2.5x﹣26.6． 综上所述：y 与 x 的函数关系式为 y= ． （3）∵1.8×38=68.4（元），68.4＜80.9， ∴该家庭当月用水量超出 38 立方米． 当 y=2.5x﹣26.6=80.9 时，x=43． 答：该家庭当月用水量是 43 立方米． 【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数图象上点的坐标特征以及统计表， 解题的关键是：（1）根据统计表数据找出月均用水量不超过 38 吨的居民户数占 2000 户的 70%；（2）分 0≤x≤38 及 x＞38 两种情况，找出 y 与 x 的函数关系式； （3）令 y=2.5x﹣26.6=80.9 求出 x 值． 26．在边长为 2 的等边三角形 ABC 中，P 是 BC 边上任意一点，过点 P 分别作 PM ⊥A B，PN⊥AC，M、N 分别为垂足． （1）求证：不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一 边上的高； （2）当 BP 的长为何值时，四边形 AMPN 的面积最大，并求出最大值． 【分析】（1）连接 AP，过 C 作 CD⊥AB 于 D，根据等边三角形的性质得到 AB=AC， 根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）设 BP=x，则 CP=2﹣x，由△ABC 是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角 三角形得到BM= x，PM= x，CN= （2﹣x），PN= （2﹣x），根据二次函 数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）连接 AP，过 C 作 CD⊥AB 于 D， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC， ∵S△ABC=S△ABP+S△ACP， ∴ ABCD= ABPM+ ACPN， ∴PM+PN=CD， 即不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高； （2）设 BP=x，则 CP=2﹣x， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵PM⊥AB，PN⊥AC， ∴BM= x，PM= x，CN= （2﹣x），PN= （2﹣x）， ∴四边形 AMPN 的面积= ×（2﹣ x） x+ [2﹣ （2﹣x）] （2﹣x）= ﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣1）2+ ， ∴当 BP=1 时，四边形 AMPN 的面积最大，最大值是 ． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质， 正确的作出辅助线是解题的关键．